2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE第一章計(jì)數(shù)原理本章學(xué)問要覽本章的主要內(nèi)容有分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理、排列、組合、簡(jiǎn)潔計(jì)數(shù)問題、二項(xiàng)式定理．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q許多實(shí)際問題供應(yīng)了思想和工具．一般地，對(duì)于一個(gè)困難的計(jì)數(shù)問題，可以分類或分步將它分解為若干個(gè)簡(jiǎn)潔計(jì)數(shù)問題，解決這些簡(jiǎn)潔問題，再將它們整合起來就得到問題的答案，這是本章常常運(yùn)用的方法．排列、組合是兩類特別而重要的計(jì)數(shù)問題，而解決它們的基本思想和工具就是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，教材通過詳細(xì)的實(shí)例概括出排列、組合的概念，應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理得出排列數(shù)公式，應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式．最終運(yùn)用組合數(shù)引出了二項(xiàng)式定理，同時(shí)通過探討二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)深化對(duì)組合數(shù)的相識(shí)．本章的重點(diǎn)是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，排列、組合的意義及排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式，二項(xiàng)式定理．本章的主要難點(diǎn)是正確運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及排列、組合的概念分析和解決問題．計(jì)數(shù)原理是中學(xué)數(shù)學(xué)相對(duì)獨(dú)立的內(nèi)容，不論是內(nèi)容還是思維方法，與其他章節(jié)都有很大的不同，因此細(xì)致理解、體會(huì)這部分內(nèi)容，駕馭常用的思維方法和解題技巧，是學(xué)好這部分的關(guān)鍵.1．分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是計(jì)數(shù)問題的兩個(gè)基本原理，它體現(xiàn)了解決問題時(shí)將其分解的兩種常用方法：把問題分類解決或分步解決．怎樣確定完成一件事情是分類還是分步？分類表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給事情，而分步必需把各步驟均完成才能完成所給事情，所以精確理解兩個(gè)原理的關(guān)鍵在于：明確分類計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類方法互不干擾，彼此之間交集為空集，并集為全集，不論哪一類方法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成所給事情；而分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不行，須要依次完成全部步驟才能完成所給事情，步與步之間互不影響，即前一步用什么方法不影響后一步實(shí)行什么方法．2．排列與組合是兩類特別的計(jì)數(shù)問題，它還有一些較為獨(dú)特的思索方法，應(yīng)理解駕馭．關(guān)于排列組合問題，有時(shí)還用到以下兩種方法：(1)間接法：把不合條件的排列數(shù)或組合數(shù)剔除掉．(2)窮舉法：把符合條件的全部排列或組合一一列舉出來．3．二項(xiàng)式定理是組合思想方法的詳細(xì)應(yīng)用，要體會(huì)理解這肯定理的含義，駕馭綻開式的通項(xiàng)公式及二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．§1分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)問點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理[填一填]完成一件事，可以有n類方法，在第一類方法中有m1種方法，在其次類方法中有m2種方法，……，在第n類方法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法．(也稱加法原理)[答一答]1．應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是什么？提示：應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是看每一類方法中的每種方法是否獨(dú)立地完成了這件事．學(xué)問點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理[填一填]完成一件事須要經(jīng)過n個(gè)步驟，缺一不行，做第一步有m1種方法，做其次步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法．(也稱乘法原理)[答一答]2．應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是什么？提示：應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的關(guān)鍵是看每一步中的每種方法并不能完成這件事，只有每一步都完成了，才完成這件事．1．怎樣區(qū)分和理解兩個(gè)基本原理？(1)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)是把一個(gè)原始事務(wù)分解成若干個(gè)事務(wù)來完成；不同點(diǎn)是分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)．(2)必需搞清晰兩個(gè)原理的條件和結(jié)論．假如完成一件事情有若干類方案，無論哪一類方案中的哪一種方法都能獨(dú)立完成這件事情，求完成這件事情的方法種數(shù)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理．假如完成一件事情須要分成若干個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不行缺少的，須要依次完成全部步驟，才能完成這件事情，而完成每一個(gè)步驟有若干種不同的方法，求完成這件事情的方法種數(shù)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．(3)在解決詳細(xì)問題時(shí)，首先必需弄清晰是“分類”還是“分步”，接著還要搞清晰“分類”或者“分步”的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn)是什么，簡(jiǎn)潔地說：“分類互斥”“分步互依”，關(guān)鍵是看能否獨(dú)立完成這件事．與此同時(shí)還要留意分類、分步不能重復(fù)、不能遺漏．(4)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列、組合問題的最基本的原理，同時(shí)也是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，還是求解排列、組合問題的基本思想方法．2．如何理解“分類”與“分步”？(1)分類：“完成一件事，可以有幾類方法”，這是對(duì)完成這件事的全部方法的一個(gè)分類．分類時(shí)，首先要依據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合它的分類標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類；其次，分類時(shí)要留意滿意兩條基本原則：①完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類；②分屬于不同類的方法是不同的方法．(2)分步：“完成一件事，須要經(jīng)過n個(gè)步驟”，這是說完成一件事的任何一種方法都要分成幾個(gè)步驟．分步時(shí)，首先依據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)可行的分步標(biāo)準(zhǔn)；其次，步驟的設(shè)置要滿意完成這件事必需并且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后，這件事才算最終完成．3．在運(yùn)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理時(shí)，怎樣才能有效地防止“重復(fù)”和“遺漏”的發(fā)生？(1)畫“樹形圖”：當(dāng)問題比較簡(jiǎn)潔時(shí)，通過畫“樹形圖”可以把全部的狀況“不重不漏”地列舉出來．(2)分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一：利用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分類時(shí)，肯定要以同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類．(3)依次排序法：利用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，把數(shù)字或字母分先后，先排前面的數(shù)字或字母，再依次排后面的數(shù)字或字母，將最終的數(shù)字或字母排完則結(jié)束．題型一用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題[例1]書架的第一層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，其次層放有3本不同的文藝書，第三層放有2本不同的體育書．從書架上任取1本書有多少種不同的取法？[思路探究]從書架上任取1本書，可以分別從第一、二、三層取，不管是從哪一層取都可以完成這件事，故可用分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．[解]把取1本書分成三類計(jì)數(shù)：第一類：從書架的第一層取出1本書，有4種取法．其次類：從書架的其次層取出1本書，有3種取法．第三類：從書架的第三層取出1本書，有2種取法．依據(jù)加法原理，共有4＋3＋2＝9種取法．故從書架上任取1本書有9種不同的取法．規(guī)律方法用分類加法計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題，應(yīng)先推斷該問題是否滿意分類加法計(jì)數(shù)原理的條件，即每一種方法是否能單獨(dú)完成這件事情．若滿意，則再確定適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，最終采納分類加法計(jì)數(shù)原理求方法總數(shù)．(1)上海世博會(huì)期間，一志愿者帶一客人去預(yù)訂房間，賓館有上等房10間，中等房20間，一般房25間，則客人選一間房的選法有(C)A．500種 B．5000種C．55種 D．10種(2)滿意a，b∈{－1,0,1,2}，且關(guān)于x的方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a，b)的個(gè)數(shù)為(B)A．14 B．13C．12 D．10解析：(1)選法為10＋20＋25＝55種．(2)因?yàn)閍，b∈{－1,0,1,2}，可分為兩類：①當(dāng)a＝0時(shí)，b可能為－1或0或1或2，即b有4種不同的選法；②當(dāng)a≠0時(shí)，依題意得Δ＝4－4ab≥0，所以ab≤1.當(dāng)a＝－1時(shí)，b有4種不同的選法，當(dāng)a＝1時(shí)，b可能為－1或0或1，即b有3種不同的選法，當(dāng)a＝2時(shí)，b可能為－1或0，即b有2種不同的選法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，(a，b)的個(gè)數(shù)共有4＋4＋3＋2＝13.題型二用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題[例2](1)4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)3個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？(2)4名同學(xué)爭(zhēng)奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍(每項(xiàng)冠軍只允許一人獲得)，共有多少種可能的結(jié)果？[思路探究](1)因?yàn)槭?名同學(xué)選報(bào)項(xiàng)目，所以應(yīng)以人作為分步的依據(jù)；(2)因?yàn)槭墙o三項(xiàng)冠軍找人，所以應(yīng)以項(xiàng)目為分步的依據(jù)．[解](1)要完成的是“4名同學(xué)每人從3個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4名同學(xué)都報(bào)完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在3個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3×3×3×3＝81種報(bào)名方法．(2)要完成的是“3個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲得”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍是4名同學(xué)中的某一人，有4種可能的狀況，于是共有4×4×4＝64種可能的狀況．規(guī)律方法在應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，各個(gè)步驟都完成，才算完成一件事，各步驟之間互不影響，即前一步用什么方法，不影響后一步實(shí)行什么方法．運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，要確定好次序．(1)現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長(zhǎng)褲，假如一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套，則不同配法的種數(shù)為(B)A．7 B．12C．64 D．81(2)將3封信投到4個(gè)郵筒，全部投法有(C)A．24種 B．4種C．64種 D．81種解析：(1)要完成長(zhǎng)褲與上衣配成一套，分兩步：第一步：選上衣，從4件中任選一件，有4種不同選法；其次步：選長(zhǎng)褲，從3條長(zhǎng)褲中任選一條，有3種不同選法．故共有4×3＝12種不同的配法．(2)分三步完成投信這件事．第一步投第1封信有4種方法，其次步投第2封信有4種方法，第三步投第3封信有4種方法，故共有N＝4×4×4＝64種方法．題型三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用[例3]用0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？[思路探究]因?yàn)榻M成的四位數(shù)是偶數(shù)，且個(gè)位數(shù)字的選擇對(duì)其他位的數(shù)字有影響，所以應(yīng)分成三類：個(gè)位數(shù)字為0,2或4，然后對(duì)四位數(shù)的其他數(shù)位分步進(jìn)行選擇．[解]完成這件事可分為三類：第一類是個(gè)位數(shù)字為0的比2000大的四位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步：選取千位上的數(shù)字，從2,3,4,5中選擇，有4種選法．其次步：選取百位上的數(shù)字，除0和千位上已選定的數(shù)字以外，有4個(gè)數(shù)字可供選擇，有4種選法．第三步：選取十位上的數(shù)字，從剩余的3個(gè)數(shù)字中選擇，有3種選法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為4×4×3＝48.其次類是個(gè)位數(shù)字為2的比2000大的四位偶數(shù)，它可以分三步去完成：第一步：選取千位上的數(shù)字，除去2,1,0，只有3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選法．其次步：選取百位上的數(shù)字，在去掉已經(jīng)確定的2個(gè)數(shù)字之外，還有4個(gè)數(shù)字可供選擇，有4種選法．第三步：選取十位上的數(shù)字，從剩余的3個(gè)數(shù)字中選擇，有3種選法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，這類數(shù)的個(gè)數(shù)為3×4×3＝36.第三類是個(gè)位數(shù)字為4的比2000大的四位偶數(shù)，其方法步驟同其次類，個(gè)數(shù)為36.由分類加法計(jì)數(shù)原理知，所求無重復(fù)數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)共有48＋36＋36＝120個(gè)．規(guī)律方法利用兩個(gè)原理在計(jì)數(shù)問題中解題的思路處理詳細(xì)問題時(shí)，首先要弄清是分類還是分步，簡(jiǎn)潔地說是“分類互斥、分步互依”，因此在解題時(shí)，要弄清題目的條件與結(jié)論，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事務(wù)發(fā)生的過程進(jìn)行分步．還要留意分類時(shí)，要做到分類明確，層次清晰，不重不漏；分步時(shí)，要合理設(shè)計(jì)步驟、依次，使各步相互獨(dú)立．對(duì)于一些較困難的題目，往往既要分類又要分步，也就是說既要應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理又要運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理．綜合運(yùn)用兩個(gè)原理解題的原則是分類、分步明確，方法簡(jiǎn)便．從1,2,3,4中選三個(gè)數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)，則滿意下列條件的數(shù)有多少個(gè)？(1)三位數(shù)；(2)三位數(shù)的偶數(shù)．解析：(1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位：百位，十位，個(gè)位，故可分三步完成：第一步，排個(gè)位，從1,2,3,4中選1個(gè)數(shù)字，有4種方法；其次步，排十位，從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第三步：排百位，從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有4×3×2＝24個(gè)滿意要求的三位數(shù)．(2)分三步完成：第一步，排個(gè)位，從2,4中選1個(gè)，有2種方法；其次步，排十位，從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有3種方法；第三步，排百位，只能從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有2種方法．故共有2×3×2＝12個(gè)三位數(shù)的偶數(shù)．

[例4]如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊．現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊地里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，問共有多少種不同的種植方法．[思路探究]本題可以先分類，由A，C是否種相同的花分為兩類，也可以先分步，在考慮C時(shí)再分類．[解]法一：分為兩類：第一類：當(dāng)花壇A，C中種的花相同時(shí)有4×3×1×3＝36種；其次類：當(dāng)花壇A，C中種的花不同時(shí)有4×3×2×2＝48種．共有36＋48＝84種．法二：分為四步：第一步：考慮A，有4種；其次步：考慮B，有3種；第三步：考慮C，有兩類：一是A與C同，C的選法有1種，這樣第四步D的選法有3種；二是A與C不同，C的選法有2種，此時(shí)第四步D的選法也有2種．共有4×3×(1×3＋2×2)＝84種．規(guī)律方法綜合應(yīng)用兩個(gè)原理時(shí)，肯定要把握好分類與分步．分類是依據(jù)完成方法的不同類別，分步是依據(jù)一種方法進(jìn)程的不同步驟．如圖，用6種不同的顏色把圖中A，B，C，D4個(gè)區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則有多少種不同的涂色方法？解：方法一：第一步，先對(duì)區(qū)域A涂色，有6種涂色方法．其次步，區(qū)域B的涂色方法有5種．第三步，區(qū)域C的涂色方法有4種．第四步，給區(qū)域D涂色，需分兩種狀況：(1)若區(qū)域D，A同色，則有1種方法；(2)若區(qū)域D，A不同色，則有3種方法．所以給區(qū)域D涂色的方法有(1＋3)種．依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的涂色方法有6×5×4×(1＋3)＝480(種)．方法二：第一類，用4種顏色進(jìn)行涂色，從區(qū)域A起先進(jìn)行涂色，區(qū)域A，B，C，D的涂色方法分別有6,5,4,3種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得當(dāng)用4種顏色進(jìn)行涂色時(shí)，有6×5×4×3＝360種涂色方法．其次類，用3種顏色進(jìn)行涂色，則區(qū)域A與區(qū)域D所涂顏色必定相同，從區(qū)域A起先進(jìn)行涂色，區(qū)域A，B，C的涂色方法分別有6,5,4種，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得當(dāng)用3種顏色進(jìn)行涂色時(shí)，有6×5×4＝120種涂色方法．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，可得總共有360＋120＝480種涂色方法．——誤區(qū)警示系列——對(duì)題意理解不到位致誤[例5]植樹節(jié)那一天，四位同學(xué)植樹，現(xiàn)有三棵不同的樹，則不同的植法有多少種？[錯(cuò)解]3×3×3×3＝34.[錯(cuò)解分析]搞錯(cuò)了事務(wù)的主體，這里完成的事務(wù)是把三棵不同的樹植完，是對(duì)樹分步，而不是對(duì)人分步．[正解]完成這件事分三步，即第一步植第一棵樹，共4種不同的方法；其次步植其次棵樹，共4種不同的方法；第三步植第三棵樹，共4種不同的方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的植法為4×4×4＝43種．有紅、黃、藍(lán)旗各3面，每次升1面、2面或3面旗縱向排列在某一旗桿上表示不同的信號(hào)，依次不同也表示不同的信號(hào)，共可以組成39種不同的信號(hào)．解析：每次升1面旗可組成3種不同的信號(hào)；每次升2面旗可組成3×3＝9(種)不同的信號(hào)；每次升3面旗可組成3×3×3＝27(種)不同的信號(hào)．依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共可組成3＋9＋27＝39(種)不同的信號(hào)．1．某人的旅行路途是“北京→青島→香港”，從北京到青島可乘坐汽車、火車、飛機(jī)3種交通工具，從青島到香港可乘坐汽車、火車、飛機(jī)、輪船4種交通工具，則此人可選擇的旅行方式共有(D)A．3種B．4種C．7種D．12種解析：要完成按“北京→青島→香港”的路途去旅游這件事，須要分2步：第一步：從北京到青島，有3種方法．其次步：從青島到香港，有4種方法．依據(jù)乘法原理，此人可選擇的旅行方式共有3×4＝12種．2．把10個(gè)蘋果分成3份，要求每份至少1個(gè)，至多5個(gè)，則不同的分法種數(shù)共有(C)A．5種B．6種C．4種D．3種解析：由于分成3份，每份至少1