北師大版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：探索勾股定理（2種題型） （原卷版）

第01講探索勾股定理（2種題型）

D【知識梳理】

一、勾股定理

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長分別為

a,b,斜邊長為c,那么。2+〃2=cL

要點詮釋：（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

（2）利用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段

長可以建立方程求解，這樣就將數(shù)與形有機地結(jié)合起來，達到了解決問

題的目的.

（3）理解勾股定理的一些變式：

a2=c2—b1,b2=c2—a2,c2=（?+/?）"—lab.

二、勾股定理的證明

方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形.

圖°）中幾方“前=（a+6）2=/+4X）處，所以1+川=3

At&2

方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.

圖⑵中S防般的0=1=3-4+4*；而，所以/=/+「

="+歐=2X%+1J，所以/+/=/

三、勾股定理的作用-“

1.已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；

2.用于解決帶有平方關(guān)系的證明問題；

3.利用勾股定理，作出長為式的線段.

邊.

【考點剖析】

題型一、勾股定理的應(yīng)用

例1、在AABC中，NC=90°,NA、ZB,NC的對邊分別為a、b、c.

(1)若a=5,b=12,求c；

(2)若c=26,b=24,求a.

例2.如圖所示，在多邊形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=45°,ZB=ZD=90°,求多邊形

ABCD的面積.

【變式】已知：如圖，在AABC,BC=2,SAABC=3,ZABC=135°,求AC、AB的長.

例3、長方形紙片ABCD中，AD=4cm,AB=10cm,按如圖方式折疊，使點B與點D重合，折

痕為EF,求DE的長.

題型二、勾股定理的證明

例4、如圖所示，在RtZ\ABC中，/C=90°,AM是中線，MNXAB,垂足為N,

試說明/UY?—BN?

例5.請用兩種方法證明：△ABC中，若/C=90°,則。2+反=?2

例6.圖中大正方形是由4個全等直角三角形和一個小正方形拼成的，其中每個直角三角形

兩直角邊為a,b,斜邊為c,你能通過此圖驗證得到勾股定理嗎？請說說你的理由.

例7.做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a,b,斜邊為c,再做3個邊

長分別為a，b,c的正方形，把它們按圖4,圖5所示的方式拼成兩個正方形.利用兩個

正方形的面積相等來證明勾股定理：a2+b2=c2.

abab

例8.如圖，己知NC=/O=90°,D,E,C三點共線，各邊長如圖所示，請利用面積法證

明勾股定理.

【過關(guān)檢測】

選擇題

1.（2022春?西華縣期中）如圖，這是用面積為18的四個全等的直角三角形拼成的“趙爽

弦圖”.如果大正方形的邊長為9,那么小正方形的邊長為（）

2.（2022春?高安市期中）勾股定理被譽為“幾何明珠”，如圖是我國古代著名的“趙爽弦

圖”，它由4個全等的直角三角形拼成，已知大正方形面積為25,小正方形面積為1,若用

。、b表示直角三角形的兩直角邊（a>b）,則下列說法：①。2+房=25,②a-b=l,③ab=

12,④。+b=7.正確的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

二.填空題

3.用四個全等的直角三角形拼成如圖一個大正方形ABC。和一個小正方形EFG”，這就是著

名的“趙爽弦圖"，若48=15,AF=12,則小正方形EFGH的面積為

4.（2022春?臺江區(qū)期中）在△ABC中，ZC=90",若AB=&,則482+8。2+忙2

5.（2022春?長垣市期中）如圖是一株美麗的勾股樹，所有四邊形都是正方形，所有三角形

是直角三角形，若正方形A、B、C面積為2、8、5,則正方形。的面積為

6.1876年美國總統(tǒng)加菲爾德利用圖驗證了一個十分著名的定理，這個定理稱

為,該定理的結(jié)論其數(shù)學(xué)表達式為

7.（2022春?新邵縣期中）如圖所示，在RtA4BC中，ZB=90°,A。平分/BAC,交8C于

點0,DE±AC,垂足為點E,若BO=3,則DE的長為.

三.解答題

8.（2022春?巢湖市校級期中）學(xué)習(xí)勾股定理之后，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)證明勾股定理有很多方法.某

同學(xué)提出了一種證明勾股定理的方法：如圖1點B是正方形ACOE邊C。上一點，連接A8,

得到直角三角形ACB,三邊分別為a,b,c,將裁剪拼接至△/?￡下位置，如圖2所示，

該同學(xué)用圖1、圖2的面積不變證明了勾股定理.請你寫出該方法證明勾股定理的過程.

F

9.如圖所示是用硬紙板做成的四個完全相同的直角三角形和一個邊長為c的正方形，直角

三角形兩條直角邊的長分別是。，b,斜邊的長為c,請你將它們拼成一個能推導(dǎo)勾股定理的

圖形.

(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖；

(2)推導(dǎo)勾股定理.

bb

aac

10.【閱讀理解】我國古人運用各種方法證明勾股定理，如圖①，用四個直角三角形拼成正

方形，通過證明可得中間也是一個正方形.其中四個直角三角形直角邊長分別為。、b,斜

邊長為c.圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2,也可表示為c2+4X」ab,即（a+b）2=

2

C2+4X—ab,所以<j2+b2=c2.

2

【嘗試探究】美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾