北師大版八年級數學專項復習：勾股定理的應用（解析版）

第03講勾股定理的應用

學^目標彳

1.利用勾股定理及逆定理解決生活中的實際問題。

2.通過觀察圖形，探索圖形間的關系，發(fā)展學生的空間觀念.

|磨基礎知￡

---------------------llllillllllllllllllllllllllllllllllllllll-----------------------

知識點1:勾股定理應用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數量關系判斷一個三角

形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應用兩短邊的平方和與最長邊的平方

進行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯誤的

結論.本專題分類進行鞏固解決以下生活實際問題

類型一、應用勾股定理解決梯子滑落高度問題

類型二'應用勾股定理解決旗桿高度

類型三、應用勾股定理解決小鳥飛行的距離

類型四、應用勾股定理解決大樹折斷前的高度

類型五'應用勾股定理解決水杯中的筷子問題

類型六'應用勾股定理解決航海問題

類型七、應用勾股定理解決河的寬度

類型八、應用勾股定理解決汽車是否超速問題

類型九、應用勾股定理解決是否受臺風影響問題

類型十、應用勾股定理解決選扯距離相離問題

類型十一、應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題

知識點2：平面展開圖-最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下：

長方體

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點之間線段最短確定最短路

線，構造直角三角形，利用勾股定理求解

l|Q考點剖析^

---------------------IIIIII1IIIIII1IIIIIIUIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

考點一：應用勾股定理解決梯子滑落高度問題

0cl例L(2023春?潮陽區(qū)校級期中)如圖，一架長10米的梯子AB,斜靠在豎直的墻

上，這時梯子底端離墻(BO)6米

(1)此時梯子頂端A離地面多少米？

(2)若梯子頂端A下滑3米到C處，那么梯子底端B將向左滑動多少米到。處？

T4F

二

□[口口口]1口口口口□11

【答案】⑴8米⑵(色凹-6)米

【解答】解：(1)：A2=10米，20=6米，

梯子距離地面的高度AOWAB2-BO2=8米，

答：此時梯子頂端離地面8米；

(2)?.?梯子下滑了3米，即梯子距離地面的高度CO=8-3=5米,

BD+B0=D0=VCD2-C02=V102-52=5^3*-

，DB=D0-0B=(5?-6)米，即下端滑行了(W§-6)米.

答：梯子底端將向左滑動了(3-6)米.

【變式1】(2023春?北辰區(qū)期中)如圖梯子斜靠在豎直的墻AO,A。長為24dm,OB為7dm.

(1)求梯子A3的長；

(2)梯子的頂端A沿墻下滑4dm到點C,梯子底端B外移到點D,求8。的長.

【解答】解：(1)由題意可知，NAO5=90°,AO—24dm,OB—ldm,

??AB=VAO2-K)B2=V242+72=25(而)，

答：梯子AB的長為25dm；

(2)由題意可知，CD=AB=25dm,AC=4dm,

：.OC=AO-AC=24-4=20(dm),

在RtZkCOO中，由勾股定理得：00=也口2_0c2=652-2()2=15(.dm),

：.BD=OD-08=15-7=8(dm),

答：BO的長為84".

考點二：應用勾股定理解決旗桿高度

「、口例2.八(2)班數學課外活動小組的同學測量學校旗桿的高度

?一-時，發(fā)現升旗的繩子垂到地面要多1米，當他們把繩子的下端拉

開5米后，發(fā)現下端剛好接觸地面.你能將旗桿的高度求出

來嗎？

【答案】12米

【解答】本題考查了勾股定理的實際應用，由題可以知道，旗桿，繩子與地面構成直角三

角形,根據題中數據，用勾股定理即可解答.

設旗桿高xm,則繩子長為(x+1)m,

???旗桿垂直于地面，

；?旗桿，繩子與地面構成直角三角形，

由題意列式為X2+52=（X+1）2,

解得x=12m,

所以旗桿的高度為12米.

【變式2-1】如圖，學校要測量旗桿的高度，同學們發(fā)現系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多

出一段（如圖1）,同學們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖

2）,測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度.

圖1圖2

【答案】12米

【解答】解：設旗桿的高度為x米，則繩子AC的長度為G+1）米，

在RtZXABC中，根據勾股定理可得：尤2+52=（x+i）2,

解得，x=12.

答：旗桿的高度為12米.

【變式2-2］數學綜合實驗課上，同學們在測量學校旗桿的高度時發(fā)現：將旗桿頂端升旗用

的繩子垂到地面還多2米；當把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據以

上數據，同學們準確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎？

【答案】15米

【解答】解：設旗桿高A8=xm,則繩子長為AC=（尤+2）m.

在RtAABC中，ZABC=90°,

由勾股定理得,

所以N+82=（x+2）2.

解得5m.

所以旗桿的高度為15米.

考點三：應用勾股定理解決小鳥飛行的距離

例3.如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，請問它飛行的最短路

I-程是多少米？（先畫出示意圖，然后再求解）.

【答案】13米

【解答】解：如圖所示，過〃點作〃此力6,垂足為￡

：49=13,6^=8

又VBFCD,D即BC

AE=AB-BE=AB-CD=\3-8=5

...在Rt△業(yè)應中，DE=BO\2

：.^=^W=122+52=144+25=169

...4M3（負值舍去）

答：小鳥飛行的最短路程為13m.

【變式3】（2020秋?亭湖區(qū)校級期中）如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵

高6米，兩樹相距8米.一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小

鳥至少飛行多少米.

【答案】10米

【解答】解：如圖，設大樹高為48=12〃

小樹高為CD=6m,

過。點作血功于E,則演如是矩形，

連接AC,

:.EB=CD=6m,EC=BD=8m,AE=AB-EB=12-6=6加,

在Rt△45'C中，J^g2+g^2=Jg2+g2=1Qm,

考點四：應用勾股定理解決大樹折斷前的高度

史］例4.“風吹樹折”問題又稱為“折竹抵地”，源自《九章算術》，原文為：“今

有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何?”意思是：一根竹子，原高一

丈，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠，則折斷

后的竹子高度為多少尺？（1丈=10尺）

【答案】4.55尺

【解答】設折斷后的竹子高度為x尺，則被折斷的竹子長度為（10—x）尺.

由勾股定理得X2+32=（10-x）2,解得x=4.55.

答：折斷后竹子的高度是4.55尺

【變式4-1］（2023春?沙河口區(qū)期中）如圖，一木桿在離地面3相處折斷，木桿頂端落在

離木桿底端4m處，則木桿折斷之前的高度是（）

【答案】C

【解答】解：???一木桿在離地面3相處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4m處，

.??折斷的部分長為：732+42=5-

，折斷前高度為5+3=8（M.

故選：C.

【變式4-2］（2021秋?廣南縣期末）如圖，一棵豎直生長的竹子高為8米，一陣強風將竹

子從C處吹折，竹子的頂端A剛好觸地，且與竹子底端的距離是4米.求竹子折斷

處與根部的距離CB.

【解答】解：由題意知8C+AC=8,ZCBA=90°,

.,.設BC長為x米，則AC長為（8-尤）米，

在RtACBA中，有BC1+AB2=AC1,

即：x2+16=（8-x）2,

解得x=3,

竹子折斷處C與根部的距離為3米.

考點五：應用勾股定理解決水杯中的筷子問題

（2022秋?南關區(qū)校級期末）如圖，水池中離岸邊。點4米的C處，直立長

著一根蘆葦，出水部分BC的長是2米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到。點,

則水池的深度AC為多少米.

B

【答案】3米

【解答】解：設水池的深度為尤米，由題意得：

x2+42=(x+2)2,

解得：x=3.

答：水池的深度為3米.

【變式5-1](2022秋?任城區(qū)期中)如圖，在波平如鏡的湖面上，有一朵盛開的美麗的紅

蓮，它高出水面30〃小突然一陣大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，

如果知道紅蓮移動的水平距離為60cm,求水深是多少cm?

【解答】解：設水深為秘力,

由題意得：在中，AB=hcm,AC=(/?+30)cm,BC=6Qcm,

由勾股定理得：A^AB^BC2,

即07+30)』公+6()2,

解得：h—45.

答：水深是45cm.

【變式5-2】小芳在喝易拉罐飲料的時候，發(fā)現如果沿著罐內壁豎直放置吸管，露在外

面部分52）=2厘米；如果盡最大長度往里放置，吸管正好和罐頂持平，已知易拉罐的底部

是直徑（AC）為8厘米的圓，請你求出吸管的長度.

【答案】17厘米

【解答】解：設吸管長度為X,則易拉罐高BC為x-2,

在中，由勾股定理可得：

AC2+BC2=AB2

即：82+（x-2）2=%2

解得：x=17

即吸管的長度為17厘米.

考點六：應用勾股定理解決航海問題

6.（2023春?思明區(qū)校級期中）如圖，甲乙兩船從港口A同時出發(fā)，甲船以16

海里/時的速度向北偏東40°航行，乙船以30海里/時的速度航行，半小時后，甲船到達

C島，乙船到達2島，若C、3兩島相距17海里，求乙船的航行方向？

【答案】50°

【解答】解：如圖，由題意可得：ZCAD=40°,AC,X16=8海里，30=15

海里，

AZCAF=90°-40°=50°,

?.?BC=17海里，

.\82+152=172,BPAC1+AB2=BC1,

AZCAB=90°,

AZBAF=40°,

：.ZBAE=50°,即乙船的航行方向為南偏東50°.

【變式6-1］（2023春?蔡甸區(qū)期中）如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上，“遠航”

號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16

海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口2小時后分別位于Q、R處，且相

距40海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

【答案】北偏西45。（或西北）

【解答】解：由題意可得：RP=12X2=24海里，20=16X2=32海里，。氏=40海里，

V322+242=402,

:ARPQ是直角三角形，

；.NRPQ=90°,

V“遠航”號沿東北方向航行，即沿北偏東45。方向航行，

：.ZRPS=45°,

；?“海天”號沿北偏西45°（或西北）方向航行.

【變式6-2］（2023?灌橋區(qū)校級模擬）如圖，海中有一小島P,它的周圍12海里內有暗礁,

漁船跟蹤魚群由西向東航行，在M處測得小島P在北偏東60。方向上，航行16海里到

N處，這時測得小島P在北偏東30。方向上.如果漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，是否

有觸礁危險，并說明理由.

【答案】不會有觸礁危險

【解答】解：漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險，理由如下:

過點尸作肱V,交的延長線于點A,

北北

,ZPNA=90°-30°=60°,

，ZAPN=90°-ZPNA=30°,

設AN=x海里，則PN=2x海里，

AP=VPN2-AN2=V（2X）2-X2=（海里），AM=MN+AN=（16+x）海里,

VZPMA=30°,

...PM=2AP=2V^v（海里）,

在RtZXAMP中，PM2=AP2+AM2,

即（2我x）2=（V3x）2+（x+16）之，

解得：xi=8,X2=-4（不合題意，舍去）；

.,.AP=V3X=8V3（海里），

（873）2=192,122=144,

/.8a>12,

漁船不改變航線繼續(xù)向東航行，不會有觸礁危險

考點七：應用勾股定理解決河的寬度

7.（2022春?蘭山區(qū)期末）在一條東西走向的河的一側有一村莊C,河

邊原有兩個取水點A,B,其中A3=AC,由于某種原由，C到A的路現在已

經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A,H,B在一

條直線上），并新修一條路CH,測得C3=3左加，CH=2Akm,BH=1.8km.求

原來的路線AC的長.

【答案】2.5km

【解答】解：CH2+BH2=2.42+1.82=9,302=32=9,

ACH2+BH2=BC2,

...△CHB是直角三角形，且NCH3=90°,

：.ZCHA=9Q°,

：.AC1=AH1+CH2,

'：AB^AC,

：.AH=AB-HB=AC-1.8,

：.AC2=(AC-1.8)2+24,

解得：AC=2.5,

答：原來的路線AC的長為2.5版.

【變式7】如圖，點A是華清池景點所在位置，游客可以在游客觀光車站3或C

處乘車前往，且A3=3C,因道路施工，點C到點A段現暫時封閉，為方便

出行，在這條路上的。處修建了一個臨時車站，由。處亦可直達A處，

AC=1km,AD=0.8km,CD=0.6km.

(1)判斷△AC。的形狀，并說明理由；

(2)求路線A3的長.

【答案】(1)△ACD是直角三角形(2)AB=1km

6

【解答】解：(1)△AC。是直角三角形.

理由如下：

VAC=1km,A￡)=0.8km,CD=0.6km,

：.AC2=1,AD2=O.82=O.64,0)2=062=0.36,

.*.AC2=AD2+CD2,

.?.△AC。是直角三角形；

(2)..?△AC。是直角三角形，

：.AD±BC.

^AB=BC=xkm,貝U-DC=(x-0.6)km,

由勾股定理得：AB2=AD2+BD2,

即%2=0.82+(%-0.6)2,

解得x=9,

6

.\AB=^-km.

6

考點八：應用勾股定理解決汽車是否超速問題

例8.（2021八上?葉縣期末）某條道路限速70/cm//l,如圖，一輛小汽車在這

條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的c處,

過了2s后，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速測檢測儀間的距離為50m，這輛

小汽車超速了嗎？

小汽車小汽車

B”

扁儀

【答案】超速

【解答】解：在RtAABC中，

BC=^AB2-AC2

=J52-32

=40米

?=s+t=40+2=20m/s，

20m/s=72km/h，

所以小汽車超速了.

【變式8】“某市道路交通管理條例“規(guī)定：小汽車在城市道路上行駛速度不得超過60千

米/時，如圖，一輛小汽車在一條城市道路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面對車速

檢測儀A正前方24米的C處，過了1.5秒后到達8處（BCLAC）,測得小汽車與車速

檢測儀間的距離A3為40米，請問這輛小汽車是否超速？若超速，則超速了多少？

B：-------------------------F

、、1

1

、、、1

、、、I

1

、、、、I

A

觀測點

【答案】已超速

【解答】解：根據題意，得AC=24m，AB=40m,ZC=90°,

在Rt/XACB中，根據勾股定理，-4^2=402-24』322,

所以BC=32m,

小汽車1.5秒行駛32米，則1小時行駛76800（米），

即小汽車行駛速度為76.8千米/時，因為76.8>60,

所以小汽車已超速行駛

考點九：應用勾股定理解決是否受臺風影響問題

例9.（2022秋?慶云縣期中）如圖，是一條鐵路，點A是居民區(qū)，火

車位于P處時，測得居民區(qū)A位于P的北偏西30°方向上，火車行駛200米

到達點。，此時測得居民區(qū)A位于Q的北偏西60°方向上.

（1）求火車在。處時距離居民區(qū)A的距離？

（2）若200米范圍內，會對居民區(qū)有噪音影響，求如果火車的行駛速度是

72kmih,求居民區(qū)受影響的時間是多少秒？

M

【答案】（1）200米（2）10s

【解答】（1）解：過點A作A3垂直航N于點5,

VZAPQ=30°,ZAQB=60°,

ZBAQ=9Q°-NAQB=30°,ZPAB=9Q°-NAP。=60°,

ZAQP=ZPAB-ZQAB=3Q°,

：.ZQAP=ZQPA,

：.AQ=PQ=20Q米，

答：火車在。處時距離居民區(qū)A的距離是200米.

(2)解：過點A作A3垂直于點3,延長。5至點C使

.,.AB是CQ的垂直平分線，

.,.AC=AQ=200米，

受影響路段為CQ,

'：AQ=AC,ZAQC=60°,

??.△AQC為等邊三角形，

QC=AQ=200米，

速度：12km/h=2Qm/s,

...時間：200+20=10s,

答：居民區(qū)受影響的時間是10s.

中N

\P

M

【變式9】(2023春?渝北區(qū)月考)如圖，在甲村至乙村的公路旁有一塊山地需要開發(fā)，現

有一C處需要爆破，已知點C與公路上的?？奎cA的距離為300米，與公路上另一?？?/p>

點B的距離為400米，且為了安全起見，爆破點C周圍半徑250米范圍內受

會有危險.請通過計算判斷在公路上行駛時是否會遇到危險？若無，請說明理由，若

有危險請求出危險路段的長度.

【解答】解：在公路上行駛時會遇到危險.

理由如下：如圖，過C作CD_LA3于D.

c

根據勾股定理得ABWAC2+BC2=500（米）?

S^ABC=—AB'CD=^BC'AC,

22

.?.CQ=BC"AC=4°CiX30°=240（米），

AB500

由于240米V25O米，故有危險，

故在公路AB上行駛時會遇到危險；

如圖，設為需要封鎖的公路，

???爆破點C周圍半徑250米范圍內不得進入，

；.CE=CF=250米，

：CQ=24O米，

ADE=DF=7CE^-CD2=70（米），

；.EF=140米，

故需要封鎖的公路長為140米.

考點十：應用勾股定理解決選扯距離相離問題

例10.（2023春?惠陽區(qū)校級期中）如圖，鐵路上A,8兩點相距25的I,C,。為兩

村莊，于點A,CB_L4B于點2,已知ZM=15初z,CB=10km,現在要在鐵路

AB上建一個土特產品收購站E,使得C,D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A

站多少km處?

【解答】解：,?,使得C。兩村到后站的距離相等,

：.DE=CE.

???ZM_LAB于A,CB±ABB,

：.ZA=ZB=90°,

J.AET+AEP-^DE1,BE2+BC2=EC2,

：.AE^+AD1=BE^+BC2,設AE=x,則-AE=（25-x）.

DA=15km,CB=10km,

.,.?+152=（25-x）2+102,

解得：x=lO,

.\AE=10km.

答：E站應建在離A站lOfon處.

【變式10】（2023春?渦陽縣期中）一條東西走向的公路上有A,B兩個站點（視為直線上

的兩點）相距30協(xié)z,C,。為兩村莊（視為兩個點）,D4LA8于點A,C2LAB于點2

（如圖），已知D4=1251,CB=20km,現在要在公路A3上建一個土特產儲藏倉庫產,

使得C,D兩村莊到儲藏倉庫P的直線距離相等，請求出儲藏倉庫P到A站點的距離.（精

確到1km）

【解答】解：???（：、。兩村到儲藏倉庫尸的直線距離相等，

：.CP=DP,

；DA_LAB,CBLAB,

：.ZA=ZB=90°,

在RtZvl尸。和RtzXBCP中，由勾股定理得：DP2=AD2+AP2,CP2=BP2+BC2,

:.AD1+AP2=BP2+BC2,

AP=xkm,貝！］8尸=（30-x）km,

，122+/=（30-x）2+202,

解得：X^19,

答：儲藏倉庫P到A站點的距離約為19km.

考點十一：應用勾股定理解決幾何圖形中折疊問題

（2020春?西城區(qū)校級期中）如圖，長方形ABC。中，AB=8,BC=10,在

邊CD上取一點E,將△AOE折疊后點。恰好落在BC邊上的點F處

（1）求CE的長;

（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點尸，使得B4+PE值最?。咳舸嬖?，請求出最

小值：若不存在，請說明理由.

\D

備用圖

【答案】(1)3(2)V2H

【解答】(1)長方形ABCD中，AB=8,BC=1Q

：.ZB=ZBCD=90°,CD=AB=8,AO=BC=10

由折疊知，EF=DE,AF=AD=8

=Vi4F2—AB2=

在中，根據勾股定理得，BF6

：.CF=BC-BF=4

設CE=x,貝ijEF=DE=CD-CE=8-尤

在RtZXECF中，根據勾股定理得，CP+C序=E^

：A6+x2=(8-x)2,；.x=3,：.CE=3

(2)如圖，延長EC至E使CE=CE=3,連接AE交BC于P

此時，E4+PE最小，最小值為AE

VCD=8,DE=CD+CE=S+3=11

=y/AD2+DE'2=V221

在Rt^AQE中，根據勾股定理得，AE

【變式11］如圖所示，折疊長方形一邊AD,點。落在BC邊的點歹處，已知BC=10厘米,

AB=8厘米.

(1)求BE與PC的長.

【答案】(1)4cm(2)3cm

【解答】解：(1):△AOE折疊后的圖形是△4FE,

：.AD=AF,ZD=ZAFE,DE=EF.

\uAD=BC=10cm,

.\AF=AD=10cm.

又?.?A3=8cm,在Rt/VIB/中，根據勾股定理，得A4+3產=人產

???82+3產=102,

/.BF=6cm,

：.FC=BC-BF=10-6=4cm.

(2)設EC的長為xcm,貝!JO￡=(8-x)cm.

在Rt△斯C中，根據勾股定理，得：FC+EC=EP,

A42+x2=(8-x)2,

即16+/=64-16%+九2,

化簡，得16x=48,

**x—3，

故EC的長為3cm

考點十二：平面圖形-最短路徑問題

（2023春?南崗區(qū)校級月考）如圖，長方體的長，寬，高分別為2cm，1cm,

4cmf螞蟻在長方體表面爬行，從點A爬到點8的最短路程是（）

A.5B.V29c.V37D.7

【答案】A

【解答】解：根據題意，分三種情況:

①展開前面和右面，如圖，則AB=V（2+1）2+42=5（cm）；

②展開前面和上面，如圖，則即W22+（4+1）（cm）；

③展開左面和上面，如圖，則杷W/+（2+4）2=*'^^（cm）；

5<V29<V37.

從點A爬到點B的最短路程是5cm,

故選：A.

【變式12-1］（2022?陜西）如圖，是一個棱長為1的正方體紙盒.若一只螞蟻要沿著正方

體紙盒的表面，從頂點A爬到頂點8去覓食，則需要爬行的最短路程是（）

B.2C.娓D.3

【答案】C

【解答】解：需要爬行的最短路程即為線段的長，如圖:

???正方體棱長為1，

.*.BC=1,AC=2,

AB=VAC2+BC2=722+12=返，

；?需要爬行的最短路程為泥；

故選：c.

【變式12-2】（2023春?靈丘縣月考）如圖，正方體的棱長為351,已知點B與點C之間的

距離為1cm,一只螞蟻沿著正方體的表面從點A爬到點C,需要爬行的最短距離為（）

C.4cmD.Viocir

【答案】B

【解答】解：如圖b

B

圖1

AC=^"^+§2=5(cm),

如圖2,

CB

圖2

AC=y]62+12="^37(cm),

???5<V37

；?需要爬行的最短距離為5cm.

故選：B.

:J例13.（2023春?東港區(qū)校級月考）如圖所示，已知圓柱的底面周長為36,高A3

=5,P點位于圓周頂面上處，小蟲在圓柱側面爬行，從A點爬到P點，然后再爬回C點，

3

則小蟲爬行的最短路程為（）

B.13+V61C.13A/2D.2761

【答案】B

【解答】解：如圖,

小蟲爬行的最短路程=AP+PC=J52+6122+52=761+13.

故選：B.

【變式13-1]（2023春?富順縣校級月考）如圖，一個底面圓周長為24cm,高為9cm的圓

柱體，一只螞蟻從距離上邊緣4cm的點A沿側面爬行到相對的底面上的點B所經過的最

短路線長為（）

A.B.15cmC.14cmD.13cm

【答案】D

【解答】解：將圓柱體的側面展開，連接AB,

如圖所示：由于圓柱體的底面周長為24cm,

c

4、

D

B

則B￡)=24xA=12cm,

2

又因為AD=9-4=5cm,

所以AB=《122+52=13（cm）,

即螞蟻沿表面從點A到點B所經過的最短路線長為13c〃z.

故選：D.

【變式13-2］（2022秋?競秀區(qū)期末）如圖，有一個圓柱形油罐，其底面周長是12〃?，高

AB為5m,現在要以點A為起點環(huán)繞油罐表面建梯子，終點正好建在點A的正上方的點

8處，則梯子最短需要（）

A.10米B.11米C.12米D.13米

【答案】D

【解答】解：如圖，???油罐的底面周長為12%

又：高AB為5加，即展開圖中，BC=5m,

:.AB=?][2+52=13(m).

故所建梯子最短為13m.

故選：D.

真題演練

1.（2020?巴中）《九章算術》是我國古代數學的經典著作，書中有一個“折竹抵地”問題:

“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”意思是：一根竹子，原來高

一丈（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離原竹

子根部三尺遠，問：原處還有多高的竹子？（）

A.4尺B.4.55尺C.5尺D.5.55尺

【答案】B

【解答】解：設竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10-x）尺，

根據勾股定理得：/+3?=（10-x）2

解得：x=4.55.

答：原處還有4.55尺高的竹子.

故選：B.

2.（2020?廣西）《九章算術》是古代東方數學代表作，書中記載：今有開門去鬧（讀k?,

門檻的意思）一尺，不合二寸，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平

面示意圖）,推開雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點C和點。距離門檻都為1

尺（1尺=10寸），則AB的長是（）

【答案】C

【解答】解：取AB的中點。，過。作于E,如圖2所示:

由題意得：OA=OB=AD=BC,

設0A=03=AT）=BC=r寸，

則A2=2r（寸），DE=10（寸），OE=LcD=l（寸），AE=（r-1）寸,

2

在RtZVIDE中，AE1+DE1=Ab1,

即（r-1）2+102=r2,

解得：r=50.5,

.*.2r=101（寸），

.\AB=101寸，

故選：C.

2寸

圖2

3.（長沙）我國南宋著名數學家秦九韶的著作《數書九章》里記載有這樣一道題目：“問

有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這

道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田面積

有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米

C.75平方千米D.750平方千米

【答案】A

【解答】解：：52+122=132,

.?.三條邊長分別為5里，12里，13里，構成了直角三角形，

，這塊沙田面積為：.1X5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

2

故選：A.

4.（浙江）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角

的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米.如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻

時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）

【答案】C

【解答】解：在Rt/XACB中，VZACB=90°,BC=0.7米，AC=2.4米,

,,.AB2=0.72+2.42=6.25.

在RtZW2。中，DB=90°,A'。=2米，BD2+A'D1=A'B2,

：.Bb1+22=6.25,

：.BD2=225,

'：BD>0,

.?.30=1.5米，

：.CD=BC+BD=0.1+l.5=2.2米.

故選：C.

5.(荊州)《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺.問

折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一陣風將竹子折斷，其竹

梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地

面的高度為x尺，則可列方程為()

A.x2-6=(10-%)2B.%2-62=(10-%)2

C./+6=(10-%)2D.^+62=(10-%)2

【答案】D

【解答】解：如圖，設折斷處離地面的高度為x尺，則AB=10-x,BC=6,

在RtAABC中，AC1+BC1=AB-,即A62=(10-x)2.

圓柱的底面直徑為A3,高為AC,一只螞蟻在C處，沿圓柱的側

面爬到2處，現將圓柱側面沿AC“剪開”，在側面展開圖上畫出螞蟻爬行的最近路線,

正確的是()

【答案】c

【解答】解：將圓柱側面沿AC“剪開”，側面展開圖為矩形，

?.,圓柱的底面直徑為AB,

點B是展開圖的一邊的中點,

???螞蟻爬行的最近路線為線段，

；.C選項符合題意，

故選：C.

7.（2021?玉林）如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，

各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分

別位于點A,B處，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿

方向航行.

［答案］北偏東50°

【解答】解：由題意可知：AP=12,2尸=16,AB=20,

V122+162=202,

...△APB是直角三角形，

/.ZAPB=90°,

由題意知/APN=40°,

：.ZBPN=90°-ZAPN=90°-40°=50°,

即乙船沿北偏東50。方向航行，

故答案為：北偏東50°.

8.（2021?宿遷）《九章算術》中一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出

水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其地面

是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AC生長在它的中央，高出水面部分8c為1尺，如

果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部C恰好碰到岸邊的。處（如

圖），水深和蘆葦長各多少尺？則該問題的水深是尺.

【答案】12

【解答】解：依題意畫出圖形,

設蘆葦長AC=4C'=x尺,

則水深AB=（x-1）尺，

VC,E=10尺，

：.C3=5尺，

在RtZXAC'B中，

52+(x-1)2=x2,

解得x=13,

即蘆葦長13尺，水深為12尺,

故答案為：12.

9.（黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14a底面周長為32°相，在杯內壁離杯底5cm的點

8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3c機與蜂蜜相對的點A處，則

螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為—cm（杯壁厚度不計）.

螞蟻/

5烽蜜

【答案】20

【解答】解：如圖:

16

將杯子側面展開，作A關于所的對稱點A',

連接A'B,則A'8即為最短距離，A'~D+BD=V162+12^=（cm）.

故答案為20.

10.（湘潭）《九章算術》是我國古代最重要的數學著作之一，在“勾股”章中記載了一道

“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”翻譯成

數學問題是：如圖所示，△ABC中，ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長，

如果設AC=x,則可列方程為.

［答案］/+32=（I。-*）2

【解答】解：設AC=x,

'：AC+AB=10,

.,.AB=10-x.

;在RtZXABC中，ZACB=90°,

：.AC2+BC2=AB2,即/+32=（10-x）2.

故答案為：A32=（10-X）2.

11.（東營）我國古代有這樣一道數學問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛

藤自根纏繞而上，五周而達其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作

一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處

纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達點8處，則問題中葛藤的最短長度是尺.

【答案】25

【解答】解：如圖，一條直角邊（即枯木的高）長20尺,

另一條直角邊長5X3=15（尺），

因止匕葛藤長為42（）2+152=25（尺）.

故答案為：25.

12.（2023?夏津縣一模）小南同學報名參加了學校的攀巖選修課，攀巖墻近似一個長方體

的兩個側面，如圖所示，他根據學過的數學知識準確地判斷出：從點A攀爬到點B的最

【答案】872

【解答】解：平面展開圖為:

8米

A5米3米

AB=V（5+3）2+82=8V2（米），

故答案為

13.（大慶）如圖，一艘船由A港沿北偏東60°方向航行10切1至2港，然后再沿北偏西

30°方向航行10歷篦至C港.

（1）求4,C兩港之間的距離（結果保留到0.1加1,參考數據：72^1.414,73^1,732）；

（2）確定C港在A港的什么方向.

北

彳東

P

B'

【解答】解：（1）由題意可得，NPBC=30°,ZMAB=60°,

：.ZCBQ=60°,NBAN=30°,

：.ZABQ=30°,

ZABC=90°.

'：AB=BC=1O,

.".AC=^AB2^（.2=1072^14.1（km）.

答：A、C兩地之間的距離為

（2）由（1）知，AABC為等腰直角三角形，

ZBAC=45°,

ZCAM=60°-45°=15°,

；.C港在A港北偏東15°的方向上.

14.（南通）如圖，沿AC方向開山修路.為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工，

從AC上的一點8取/AftD=120°,BD=52O/7i,ZZ）=3O0.那么另一邊開挖點E離。

多遠正好使A,C,E三點在一直線上（J5取1.732,結果取整數）？

【解答】解：VZABD=120°,/￡）=30°,

AZAED=120°-30°=90°,

在RtZkBOE中，BD=520m,ND=30°,

：.BE=^BD=260m,

2

D￡=^BD2_BE2=260百心450（m）.

答：另一邊開挖點石離。450加，正好使A,C,E三點在一直線上.

|］晝過關檢洌門I

----------------------lllllllllllllllltlllllllllllllllillllllll------------------------

1.（2023春?沙河口區(qū)期中）如圖，一木桿在離地面3冽處折斷，木桿頂端落在離木桿底端

4m處，則木桿折斷之前的高度是（）

【答案】C

【解答】解：.??一木桿在離地面3相處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4爪處，

二折斷的部分長為：.2+42=5,

.,?折斷前高度為5+3=8（m）.

故選：C.

2.（2023春?新市區(qū)期中）如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表

面鋪地毯，地毯的長度至少為（）

【答案】B

【解答】解：由勾股定理得:

樓梯的水平寬度=便，=4,

???地毯鋪滿樓梯時其長度的和應該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和,

地毯的長度至少是3+4=7米.

故選：B.

3.（2023春?興寧區(qū)校級期中）如圖是一圓柱玻璃杯，從內部測得底面半徑為6cm,高為

16cm,現有一根長為25c機的吸管任意放入杯中，則吸管落在杯口外的長度最少是（）

B.（25-2^73）cmC.9cmD.5cm

【答案】D

由題意可知，是直角三角形，且NABC=90°,

:底面半徑為半徑為6cm,高為16cm,

'.AB=12cm,BC=16cm,

由勾股定理得：AC=>\/AB2+BC2=V122+162=20（cm）,

...吸管露在杯口外的長度最少為：25-20=5（cm）,

故選：D.

4.（2023春?西城區(qū)校級期中）如圖，一棵大樹在一次強臺風中距地面5%處折斷，倒下后

樹頂端著地點A距樹底端B的距離為12m,這棵大樹在折斷前的高度為（）

【答案】C

【解答】解：；樹的折斷部分與未斷部分、地面恰好構成直角三角形，且BC=5m,AB

=12m,

AC=VAB2+BC2=V122+52=13⑺，

這棵樹原來的高度=2C+AC=5+13=18Cm）.

即：這棵大樹在折斷前的高度為18%

故選：C.

5.（2023春?洪山區(qū)校級月考）如圖，一架2.5米長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,

這時梯足B到墻底端。的距離為0.7米，若梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么梯足將外

A.1.5B.0.9C.0.8D.0.4

【答案】C

【解答】解；在RtZ\4BO中，已知AB=2.5米，08=0.7米，

VAr>=0.4米，

；.0。=2米，

;在RtZ\O￡?C中，A2=cr>=2.5米，

0C=VCD2-0D2=1.5（米），

：.BC=OC-OB=1.5-0.1=0.8（米），

.??梯足向外移動了0.8米.

故選：C.

6.（2022秋?阜平縣期末）如圖，禁止捕魚期間，某海上稽查隊在某海域巡邏，上午某一

時