北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題：一元二次方程應(yīng)用的四種考法（原卷版）

專題08一元二次方程應(yīng)用的四種考法

類型一、銷售利潤問題

例.我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200

千克，后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克.

⑴若該專賣店銷售這種品牌茶葉要想平均每周獲利41600元，請回答：

①每千克茶葉應(yīng)降價多少元？

②在平均每周獲利不變的情況下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，該店應(yīng)按原售價的幾折出售？

（2）在降價情況下，該專賣店銷售這種品牌茶葉平均每周獲利能達(dá)到50000元嗎？請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】某運(yùn)動品牌銷售一款運(yùn)動鞋，已知每雙運(yùn)動鞋的成本價為60元，當(dāng)售價為100元時，平均

每天能售出200雙；經(jīng)過一段時間銷售發(fā)現(xiàn)，平均每天售出的運(yùn)動鞋數(shù)量y（雙）與降低價格x（元）之間

存在如圖所示的函數(shù)關(guān)系.

⑴求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

⑵公司希望平均每天獲得的利潤達(dá)到8910元，且優(yōu)惠力度最大，則每雙運(yùn)動鞋的售價應(yīng)該定為多少？

⑶為了保證每雙運(yùn)動鞋的利潤不低于成本價的50%,公司每天能否獲得9000元的利潤？若能，求出定價;

若不能，請說明理由.

【變式訓(xùn)練2］某服裝店以每件30元的價格購進(jìn)一批T恤，如果以每件40元的價格出售，那么一個月內(nèi)能

售出300件，根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，銷售單價每提高1元，銷售量就會減少10件，設(shè)這種T恤的銷售單價

提高無兀.

⑴該服裝店希望一個月內(nèi)銷售這種T恤能獲得利潤3360元，并且盡可能減少庫存，則這種T恤的銷售單價

應(yīng)提高多少元？

(2)當(dāng)銷售單價提高多少元時，該服裝店一個月內(nèi)銷售這種T恤獲得的利潤最大？最大利潤是多少元？

【變式訓(xùn)練3】嘉海學(xué)校八年級開展社會實(shí)踐活動，下表是"遇數(shù)臨風(fēng)”小組的記錄表，請根據(jù)相關(guān)信息解決

表中的兩個問題.

嘉海學(xué)校社會實(shí)踐記錄表

團(tuán)隊(duì)名稱遇數(shù)臨風(fēng)活動時間2023.4.26

班級人員802王嘉、馬俊、張寧地點(diǎn)城南蔬菜超市

實(shí)踐內(nèi)容調(diào)查青菜行情，幫超市解決銷售問題的同時為顧客謀實(shí)惠.

青菜的進(jìn)價為2元/千克.

調(diào)研信息青菜售價為2.5元/千克時，每天可銷售125千克.

每千克每漲價0」元，每天少銷售5千克.

問題1某天超市正好銷售1。5千克的青菜，則獲利多少元？

解決問題

問題2

若超市想一天銷售青菜獲利100元，則青菜的售價為多少元/千克？

類型二、幾何圖形運(yùn)動問題

例.如圖，已知A,B,C,D為矩形的四個頂點(diǎn)，AB=16cm,AD=6cm,動點(diǎn)、P,。分別從點(diǎn)A,C同時

出發(fā)，點(diǎn)尸以3cm/s的速度向點(diǎn)2移動，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)。以2cm/s的速度向點(diǎn)。移動，設(shè)移動的時

間為f秒.

⑴當(dāng)f為何值時，P，。兩點(diǎn)間的距離最??？最小距離是多少？

⑵連接QB.

①當(dāng)為等腰三角形時，求f的值；

②在運(yùn)動過程中，是否存在一個時刻，使得NPQ3=90。？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

【變式訓(xùn)練1】如圖，已知，在直角梯形ABC。中，AD〃BC,2B90?,AB=8cm,AD=24cm,3c=26cm,

動點(diǎn)P從A開始沿AD邊向點(diǎn)。以1cm/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿CB邊向8以3cm/s的速度運(yùn)動,

尸、。分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為f秒.

(1〃為何值時，「?！??為什么？

(2)當(dāng)PQ=2而'em時，求f的值.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在矩形A3CD中，AB=15cm,AD=5cm,動點(diǎn)尸、。分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，點(diǎn)尸

以3cm/s的速度向點(diǎn)3移動，一直到點(diǎn)2為止，點(diǎn)。以2cm/s的速度向點(diǎn)D移動(點(diǎn)尸停止移動時，點(diǎn)。

也停止移動).設(shè)移動時間為t(s).連接PQ,QB.

⑴用含，的式子表示線段的長：CQ=；PB=

⑵當(dāng)f為何值時，尸、。兩點(diǎn)間的距離為13cm?

⑶當(dāng)/為何值時，四邊形AP。。的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出f的值；若不可能，請說明理由.

【變式訓(xùn)練3】如圖，AB、C、￡＞為矩形的四個頂點(diǎn)，AB=16cm,AD=6cm,動點(diǎn)P、。分別從點(diǎn)AC

同時出發(fā)，點(diǎn)尸以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動，一直到達(dá)B為止，點(diǎn)。以2cm/s的速度向。移動.

⑴凡。兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時，四邊形P8CQ的面積為36cm2?

(2)A。兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時，點(diǎn)尸和點(diǎn)。的距離是6伍m?

⑶P、。兩點(diǎn)從出發(fā)開始到幾秒時,點(diǎn)尸、Q、。組成的三角形是等腰三角形？

類型三、工程問題

例.為了提升干線公路美化度，相關(guān)部門擬定派一個工程隊(duì)對39000米的公路進(jìn)行路面“白改黑〃工程.該工

程隊(duì)計劃使用一大一小兩種型號設(shè)備交替的方式施工，原計劃小型設(shè)備每小時鋪設(shè)路面30米，大型設(shè)備每

小時鋪設(shè)路面60米.

⑴由于小型設(shè)備工作效率較低，該工程隊(duì)計劃使用大型設(shè)備的時間比使用小型設(shè)備的時間多:，當(dāng)這個工

程完工時，小型設(shè)備的使用時間為多少小時？

⑵通過勘察、又新增了部分支線公路美化，結(jié)果此工程的實(shí)際施工里程比最初擬定的里程39000米多了9000

米，于是在實(shí)際施工中，小型設(shè)備在鋪設(shè)公路效率不變的情況下，使用時間比原計劃增加了18m小時，同

時，因?yàn)樾略龅墓と瞬僮鞔笮驮O(shè)備不夠熟練，使得比原計劃每小時下降了，〃米，使用時間增加了(150+2m)

小時，求機(jī)的值.

【變式訓(xùn)練1】“端午臨中夏，時清日復(fù)長”.臨近端午節(jié)，一網(wǎng)紅門店接到一批3200袋粽子的訂單，決定

由甲、乙兩組共同完成.已知甲組3天加工的粽子數(shù)比乙組2天加工的粽子數(shù)多300袋.兩組同時開工，

甲組原計劃加工10天、乙組原計劃加工8天就能完成訂單.

⑴求甲、乙兩組平均每天各能加工多少袋粽子；

⑵兩組人員同時開工2天后，臨時又增加了500袋的任務(wù)，甲組人員從第3天起提高了工作效率，乙組的

工作效率不變.經(jīng)估計，若甲組平均每天每多加工100袋粽子，則甲、乙兩組就都比原計劃提前1天完成

任務(wù).已知甲、乙兩組加工的天數(shù)均為整數(shù)，求提高工作效率后，甲組平均每天能加工多少袋粽子？

【變式訓(xùn)練2】2020年新冠疫情爆發(fā)時，醫(yī)療物資極度匱乏，中國許多企業(yè)都積極的宣布生產(chǎn)醫(yī)療物資以

應(yīng)對疫情，某工廠及時引進(jìn)了一條口罩生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，開工第一天生產(chǎn)500萬個，第三天生產(chǎn)720萬個，

若每天增長的百分率相同，試回答下列問題：

（1）求每天增長的百分率；

（2）經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，1條生產(chǎn)線最大產(chǎn)能是1500萬個/天，若每增加1條生產(chǎn)線，每條生產(chǎn)線的最大產(chǎn)能將

減小50萬個/天.

①現(xiàn)該廠要保證每天生產(chǎn)口罩6500萬件，在增加產(chǎn)能同時又要節(jié)省投入的條件下（生產(chǎn)線越多，投入越大）,

應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？

②是否能增加生產(chǎn)線，使得每天生產(chǎn)口罩15000萬件，若能，應(yīng)該增加幾條生產(chǎn)線？若不能，請說明理由.

【變式訓(xùn)練3】甲、乙兩工程隊(duì)共同承建某高速鐵路橋梁工程，橋梁總長5000米.甲，乙分別從橋梁兩端

向中間施工.計劃每天各施工5米，因地質(zhì)情況不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米橋梁施工所需成本不一樣.甲

每合格完成1米橋梁施工成本為10萬元，乙每合格完成1米橋梁施工成本為12萬.

⑴若工程結(jié)算時，乙總施工成本不低于甲總施工成本的g,求甲最多施工多少米.

⑵實(shí)際施工開始后，因地質(zhì)情況及實(shí)際條件比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化，甲每

合格完成1米隧道施工成本增加。萬元時，則每天可多挖米.乙在施工成本不變的情況下，比計劃每天

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少挖5a米.若最終每天實(shí)際總成本在少于150萬的情況下比計劃多（74-12）萬元.求a的值.

類型四、行程問題

例.周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發(fā)，勻速跑向距離12000m處的B

地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達(dá)B地.

(1)求小明、小紅的跑步速度；

⑵若從A地到達(dá)B地后，小明以跑步形式繼續(xù)前進(jìn)到C地(整個過程不休息)，據(jù)了解，在他從跑步開始前

30分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就

增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘.

【變式訓(xùn)練1】小明在平整的草地上練習(xí)帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后,

又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達(dá)到6%/s后保持勻速運(yùn)動.下圖記錄了小

明的速度匕(m/s)以及球的速度%(m/s)隨時間r(s)的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球.(提

示：當(dāng)速度均勻變化時，平均速度^="初二珠,距離s=d)

2

⑴當(dāng)0<tW4時，求匕關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式；

(2)求圖中a的值；

⑶小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s,球運(yùn)動方向不變，當(dāng)小明帶球跑完200m,寫出小明踢球次

數(shù)共有次，并簡要說明理由.

【變式訓(xùn)練2】“鐵路建設(shè)助推經(jīng)濟(jì)發(fā)展〃，近年來我國政府十分重視鐵路建設(shè).渝利鐵路通車后，從重慶到

上海比原鐵路全程縮短了320千米，列車設(shè)計運(yùn)行時速比原鐵路設(shè)計運(yùn)行時速提高了120千米/小時，全程

設(shè)計運(yùn)行時間只需8小時，比原鐵路設(shè)計運(yùn)行時間少用16小時.

（1）渝利鐵路通車后，重慶到上海的列車設(shè)計運(yùn)行里程是多少千米？

（2）專家建議：從安全的角度考慮，實(shí)際運(yùn)行時速要比設(shè)計時速減少m％,以便于有充分時間應(yīng)對突發(fā)事

件，這樣，從重慶到上海的實(shí)際運(yùn)行時間將增加上加小時，求機(jī)的值.

課后作業(yè)

1."五月枇杷黃似橘，誰思荔枝同此時"，"天上王母蟠桃，人間合川枇杷五月正是枇杷大量上市時，某

超市以相同的進(jìn)價購進(jìn)兩批枇杷，第一批400千克，以每千克20元出售；第二批300千克，以每千克16

元出售，兩批枇杷全部售完，超市共獲利7200元.

⑴求枇杷的進(jìn)價是每千克多少元？

⑵枇杷很受歡迎，該超市以比前兩次每千克少2元的進(jìn)價購進(jìn)第三批枇杷600千克，計劃兩天售完，第一

天將枇杷漲價到每千克20元出售，結(jié)果僅售出200千克，第二天超市決定在第一天售價的基礎(chǔ)上降價促銷，

若在第一天售價的基礎(chǔ)上每降2元，第二天的銷量在第一天的基礎(chǔ)上增加20千克，到了晚上關(guān)店時還剩部

分枇杷沒售完，超市老板便把剩余枇杷免費(fèi)分享給員工，第三批枇杷的利潤恰好為4040元，求第二天枇杷

的售價為每千克多少元？

2.如圖，AC是正方形A3C。的對角線，AD=8,E是AC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A3方向以每秒

1個單位的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時動點(diǎn)。從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個單位的速度先沿方向運(yùn)動到點(diǎn)C,

再沿CZ）方向向終點(diǎn)。運(yùn)動，以EP、EQ為鄰邊作平行四邊形PEQF設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為f秒（0</<8）

（1）當(dāng)/'=1時，試求尸E的長；

⑵當(dāng)點(diǎn)尸恰好落在線段上時，求2尸的長；

⑶在整個運(yùn)動過程中，當(dāng)口PEQF為菱形時，求f的值.

3.已知，一輛汽車在筆直的公路上剎車后，該車的速度v（米/秒）與時間，（秒）（0<r415）之間滿足一次函數(shù)

關(guān)系，其圖象如圖所示；

⑴求v與/之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑵已知汽車在該運(yùn)動狀態(tài)下，一段時間內(nèi)向前滑行的距離等于這段時間內(nèi)的平均速度乘以時間（該運(yùn)動狀態(tài)

下的平均速度V=*券，匕表示這段時間起始時刻的速度，匕表示這段時間結(jié)束時刻的速度）.若該車剎

車后f秒內(nèi)向前滑行了378米，求f的值.

4.2018—2020年注定是不平凡的三年，2018年非洲豬瘟疫情爆發(fā)，2019年中國豬肉價格持續(xù)高漲，2020

年新冠病毒爆發(fā)，目前各行各業(yè)都存在潛在的變化，例如2019年豬肉價格持續(xù)高漲，引起了政府、市場監(jiān)

督等部門的高度重視，據(jù)統(tǒng)計，2019年1月精品瘦肉的售價為3