北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊壓軸題攻略：相似三角形的五種基本模型（解析版）（北師大版）

專題09相似三角形的五種基本模型

類型一、A字型（雙A字型）

反，理

例L如圖，已知。是BC的中點(diǎn)，M是的中點(diǎn).求4V:NC的值.

【分析】過點(diǎn)C作AD的平行線交的延長線于點(diǎn)X,構(gòu)造"A"型和"8"型，得出ABOWs3cH和

AAMNsMHN,再結(jié)合相似三角形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義即可得出答案;

【詳解】如圖，過點(diǎn)C作AD的平行線交的延長線于點(diǎn)X.

所以些=也

CHBC

因為。為2C的中點(diǎn)，所以券=BD1

CHBC2

因為M為A。的中點(diǎn)，所以=所以g=1.

Crz2

因為DM//CH,所以△AMNs/\CHN,所以學(xué)二絆■=：.

CNCH2

例2.（培優(yōu)）如圖，中，點(diǎn)。在AC邊上，MZBDC=90o+1zABr）.

（2）點(diǎn)E在8C邊上，連接AE交3。于點(diǎn)R且NA7Z>=/ABC,BE=CD,求NACB的度數(shù).

（3）在（2）的條件下，若8C=16,歹的周長等于30,求AF的長.

【答案】（1）見解析；（2）/ACB=60。；（3）AF=11

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運(yùn)用等量代換得出NA=N3/M,證得=

（2）作CH=BE,連接DH,根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得/E4C=/C,再由三角形全等判定得回BDH幽ABE,最后

推出EIDCH為等邊三角形，即可得出—ACB=60。；

（3）借助輔助線AC0CE,構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造國BFE釀BDH,建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，完成

等式變形和求值，即可得出AF的值.

【詳解】（1）證明：幽BDC=90°+；EIABD,0BDC=0ABD+0A,

EEA=9O--1-0ABD.

aBBDC+EIBDA=：L80°,

D3BDA=180°—EIBDC=90°—；EIABD.

0回A=I3BDA=9O°一1回ABD.

0DB=AB.

解：（2）如圖1,作CH=BE,連接DH,

00AFD=0ABC,0AFD=0ABD+[2BAE,0ABC=EABD+I2DBC,

團(tuán)團(tuán)BAE=[UDBC.

回由(1)知，0BAD=0BDA,

又團(tuán)團(tuán)EAC=[3BAD—B1BAE,回C=R1ADB—R1DBC,

麗CAE=M.

團(tuán)AE=CE.

回BE=CH,

回BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

團(tuán)AB=BD,

團(tuán)團(tuán)BDHR01ABE.

回BE=DH.

回BE=CD,

團(tuán)CH=DH=CD.

00DCH為等邊三角形.

團(tuán)團(tuán)ACB=60°.

(3)如圖2,過點(diǎn)A作AO團(tuán)CE,垂足為O.

回團(tuán)CAE=囪CDH=60°,國AEC=t3DHC=60°.

甌ACE是等邊三角形.

設(shè)AC=CE=AE=x,貝1BE=16—x,

團(tuán)DH團(tuán)AE,

回回BFE回回BDH.

BFBEEF_16-x

團(tuán)----=-----

BDBH~DH~x

16-x16-x

^\BF=BD=AB,

xx

EEABF的周長等于30,

即AB+BF+AF=AB+AB+x~^16~^=30,

ATIXl=tX

解得AB=16—7r.

在RtHACO中，AC=-，A0=

22

X

團(tuán)B0=16——

2

在RtmABO中，AO2+BO2=AB2,

即—鼻]=[16—I：.解得玉=0（舍去）％=學(xué).

256

0AC=——.0AF=11.

21

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，

解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力，.

【變式訓(xùn)練1】一塊直角三角形木板的面積為L5n?,一條直角邊AB為1.5m,怎樣才能把它加工成一個面

積最大的正方形桌面？甲、乙兩位木匠的加工方法如圖所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位木匠的方法符合

要求（加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）.

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.說明見解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出兩種加工方式中正方形的邊長，邊長最大就符合

要求；由已知三角形的面積和一條直角邊的邊長可求出其余兩邊的邊長，根據(jù)乙加工方案中的平行關(guān)系得

到相似三角形，根據(jù)相似三角形對應(yīng)變成比例，可求出正方形的邊長；根據(jù)甲加工方案中，根據(jù)相似三角

形的高的比等于邊長比，可求出正方形的邊長，對比兩方案的邊長即可知誰符合要求.

【詳解】解：作3加4c于"，交DE于M,如圖

團(tuán)Sfc'AHBC

回5C=22=2

1.5

0AC=VAB2+BC2=V1.52+22=-

2

^S/\ABC=~ACBH

[2BH=|

又國0KMe

DEBM

團(tuán)---=----

ACBH

6_

x5x々刀,曰30

回5=工,解得工=萬

25

設(shè)正方形的邊長為x米，如圖乙

團(tuán)。的鉆

DECD

團(tuán)----二

ABCB

x2-x,解得x=T

回一=

1.52

630

團(tuán)一〉一

737

回乙木匠的加工方法符合要求.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的實際應(yīng)用及分析、解決問題的能力，正確理解題意，建立

數(shù)學(xué)模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解決本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(-3,4),￡>(-1,0),點(diǎn)C是y軸正半軸上一動點(diǎn)，以AC為直

角邊構(gòu)造直角AABC,另一直角邊交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)8,E為線段3c的中點(diǎn)，則OE的最小值為.

【答案】葛19

【分析】根據(jù)AC為直角邊可分EICAB=90。和E1ACB=9O。兩種情況進(jìn)行討論.

【詳解】回AABC為直角三角形，AC為直角邊，

①當(dāng)NC4B=90。時，

0ZA=9O°,又NCO3=90°,

回A、C、。、8四點(diǎn)共圓，且BC為直徑，

回E為8C中點(diǎn)，則E為圓心，連接AO,則A0為圓的一條弦，

團(tuán)圓心一定在A0的垂直平分線上，

取40中點(diǎn)尸，過P做直線用，49,則E的運(yùn)動軌跡為直線

回當(dāng)時，OE取得最小值，

回A(-3,4),

4

回A0的解析式為y=-§x,

又回產(chǎn)為A0中點(diǎn)，

心|,21

0OF=-,

2

0FH±A(9,

3

回FH的解析式可設(shè)為y=-x+b,

代入得：2=T+6,b=?,

\JOO

325

團(tuán)FH的解析式為y=：■龍+:7，

48

25

令y=0,得了=_一，

6

回舊卜葺,。］,

0OM=—,

6

又團(tuán)OD=L

0MD=—,

6

回DELFH,

DEUFO,

團(tuán)Z\MDEs/\MOF,

DEND

團(tuán)---=----,

FOMO

團(tuán)虧OE噎T，

26

“19519

團(tuán)DE=—x—=—.

25210

②當(dāng)NACB=90。時，

19

8點(diǎn)交于無軸原點(diǎn)處不符合題意，故DE的最小值為3,

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與幾何問題的綜合應(yīng)用，靈活運(yùn)用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及相似三角形、四

邊形和圓的有關(guān)性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵.

類型二、X字型

A

反X字型（不平行）

例1.如圖在平行四邊形A8C。中,E是C。的中點(diǎn)，廠是AE的中點(diǎn)，CF交8E于點(diǎn)G,若BE=8,則GE=_.

【分析】延長CRBA交于根據(jù)已知條件得出EF=AF,CE=^DC,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出。548,

DC=AB,根據(jù)全等三角形的判定得出回CEflfflMAE根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE=4M,求出BM=3CE,

根據(jù)相似三角形的判定得出回CEG0NWBG,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可.

【詳解】解：延長CF、交于

0EF=AF,CE=』DC,

回四邊形ABCD是平行四邊形,

EDC12L4B,DC=AB,

SCE—^AB,0￡CF=0M,

在EICEf'和EMAF中

ZEFC=ZAMF

ZECF=ZM

EF=AF

WCEF^\MAF(A4S),

^\CE=AM,

團(tuán)3M=3CE,

0DO2L4B,

^\CEG^\MBG9

CEEG1

回---=---=一

BMBG3

回36=8,

解得：GE=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和

判定等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵.

例2.(培優(yōu))矩形ABC。中，48=8,AD=12.將矩形折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)尸處，折痕為OE.

Ap

(1)如圖①，若點(diǎn)尸恰好在邊8C上，連接AP,求黑的值；

(2)如圖②，若E是A2的中點(diǎn)，EP的延長線交BC于點(diǎn)孔求的長.

【分析】(1)如圖①中，取DE的中點(diǎn)M,連接PM.證明團(tuán)POM團(tuán)回DCP,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

(2)如圖②中，過點(diǎn)P作GHE1BC交AB于G,交CD于H.設(shè)EG=x,貝!]BG=4-x.證明EIEGPEHPHD,推出

EGPGEP1

——=——=—=-,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在RtlBPHD中，PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)

PHDHPD3

2=122,求出x,再證明團(tuán)EGP釀EBF,利用相似三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1)如圖①中，取DE的中點(diǎn)M,連接PM.

回四邊形ABCD是矩形，

RH1BAD=E]C=9O°,

由翻折可矢口，AO=OP,APR1DE,02=03,0DAE=E1DPE=9OO,

在Rt團(tuán)EPD中，回EM=MD,

團(tuán)PM=EM=DM,

團(tuán)團(tuán)3=ISMPD,

RO11=R]3+R1MPD=2回3,

回團(tuán)ADP=2回3,

團(tuán)團(tuán)1=[EADP,

團(tuán)AD團(tuán)BC,

團(tuán)團(tuán)ADP=R1DPC,

團(tuán)團(tuán)1=13DPC,

團(tuán)回MOP=IEC=90°,

團(tuán)團(tuán)POM甌DCP,

POCD82

QPM~PD~12~39

(2)如圖②中，過點(diǎn)P作GH團(tuán)BC交AB于G,交CD于H.則四邊形AGHD是矩形，設(shè)EG=x,則BG=4

團(tuán)團(tuán)A=[2EPD=9O°,團(tuán)EGP=[2DHP=9O°,

團(tuán)團(tuán)EPG+團(tuán)DPH=90°,回DPH+回PDH=90°,

團(tuán)團(tuán)EPG=E)PDH,

團(tuán)團(tuán)EGP釀PHD,

EGPGEP41

QPH~DH~PD~12~39

團(tuán)PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,

在Rt回PHD中，[?]PH2+DH2=PD2,

團(tuán)(3x)2+(4+x)2=122,

解得：x=y(負(fù)值已經(jīng)舍棄)，0BG=4-y=

在Rt回EGP中，GP=>jEP2-EG2=y,

0GH0BC,H3EGPEHEBF,

EGGP——

0------------,團(tuán)55，RIBF=3.

EBBF丁曲

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似

三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

【變式訓(xùn)練1】如圖，在4鉆C中，點(diǎn)。在BC上，BD=2CD=2,連接AD,ZADC=2ZBAC=60°,則

線段的長為.

【答案】2+76

【分析】過A作AE_LBC,交8c的延長線于E,過B作M_LAD,交4)的延長線于P，可求2尸=6，DF=1,

AFBF

設(shè)AD=%，可證△A^sA4CE,由——二—即可求解.

AECE

【詳解】解：如圖，過A作AE_L3C,交5c的延長線于E,過8作交AD的延長線于下，

F

:.ZAEB=ZBFD=90°,

???ZADC=2ZBAC=60°,

:.ZDAE=ZBAC=30°,

ZBDF=ZADC=60°,

/.ZZ)BF=30°,

???BD=2CD=2,

.*.CD=1,DF=-BD=l

2f

BF=y/BD2-DF2=V3，

11

設(shè)AZ)=x,則￡>￡1=—%,CE=-x-l,

22

AF=x+l,

AE=ylAD2-DE2=—X,

2

?.?NBAD+ZACD=30。,

ZACD+ZCAE=30°f

:.ZBAD=ZCAE,

.'.^,ABFs^\CE,

AFBF

,~AE~~CE'

整理得：x2-4尤-2=0,

解得：玉=2+&，々=2-卡（舍去），

AD=2+-\/6,

故答案：2+巫.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性

質(zhì)，并會根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】（1）某學(xué)校"學(xué)習(xí)落實"數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個題目

如圖，在EL48C中，點(diǎn)。在線段8C上，0BAO=3O°,E1OAC=75。，AO=6，BO：CO=2：1,求AB的長

經(jīng)過數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)2作BZMAC,交A。的延長線于點(diǎn)，通過構(gòu)造M2。就可以解決問題（如

圖2）

AA

請回答：0ADB=°,AB=

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3在四邊形ABC。中對角線AC與8D相交于點(diǎn)。，ACSAD,A0=+,EL4BC=a4CB=75°,BO：OD

=2：1,求。C的長

A

圖3

【答案】（1）75,36；（2）。。=半

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出0AOB=I3OAC=75。，結(jié)合回3。。=回（7。4可得出EIBO￡）a3COA,利用相似

三角形的性質(zhì)可求出。。的值，進(jìn)而可得出的值，由三角形內(nèi)角和定理可得出&42。=75。=M。2,由等

角對等邊可得出AB^AD即可求解；

（2）過點(diǎn)2作2砸AD交AC于點(diǎn)E,同（1）可得出AE=3#，在火順旗中，利用勾股定理可求出8E的

長度，再在M0C4D中，利用勾股定理即可求出。C的長.

【詳解】解：（1）如圖2中，過點(diǎn)8作BZM4C,交AO的延長線于點(diǎn)D,

0BDE1AC,EBA￡)B=EIOAC=75°.

團(tuán)團(tuán)30。=團(tuán)COA,回團(tuán)30。團(tuán)回COA,回一=一=2,.

OA0C

又0Ao=石，團(tuán)。。=24。=2指，

BAD=AO+OD=3y/3.

團(tuán)團(tuán)34。=30°,MZ)5=75°,

團(tuán)M3D=180°-^BAD-^\ADB=75°=^ADBf

^\AB=AD=3^；

故答案為：75,3^/3.

(2)如圖3中，過點(diǎn)5作8砸AO交AC于點(diǎn)E.

朋。3A。，BE^AD,

甌ZMC=I33EA=9O°.

團(tuán)她0。=團(tuán)E03,

^\AOD^\EOB,

BOEOBE

回==-2.

ODAOAD

回30：OD=1：3,

0Ao=退，回石。=2財￡=3指.

^\ABC=^ACB=75°f

釀3AC=30°,AB=AC,^AB=2BE.

在Rt團(tuán)4口中，BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+Be=(2BE)2,

3

解得：BE=3,^AB=AC=6,AD=-

2

在RffilCA。中，AC2+AD2=CD2,即6?+(-)2=CD2,解得：CD=^~(負(fù)根已經(jīng)舍棄).

22

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及平行線的性質(zhì)，掌握平

行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)以及判定定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵.

類型三、母子型

例1.如圖，AABC中，點(diǎn)。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,BC=5,則線段CO的長為

C

【答案】V14

【分析】延長CB到E,使BE=BD,連接DE,可得等腰ABED和等腰ACED,CD=ED,再證明

△EDB~AECD,利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出ED.

【詳解】解：如圖所示，延長CB到￡,使BE=BD,連接?！?

ME=NEDB

國NDBC=2NBCD,NDBC=NE+NEDB,

ME=NDCB=NEDB,

團(tuán)小EDB~AECD,CD=ED

EDEBED2

回—=—,BanP-----=—，

ECED2+5ED

解得：ED=CD=y/i^,

故答案為：A/14.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰

△BED和②構(gòu)造等腰ACED是解題關(guān)鍵.

例2.（培優(yōu)）已知：如圖，“1BC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分線交于點(diǎn)E,交AZ）于點(diǎn)

交AC于點(diǎn)G,交BC的延長線于點(diǎn)尸，求證：DF2=CFBF.

A

【答案】見解析

【分析】連接AF,先利用垂直平分定義以及角平分線性質(zhì)，求證所以=/，所

以DF2=CFBF

【詳解】證明：如圖所示，連AF,回阻垂直平分AD,

^\FA=FD,ZFAD=/FDA,

E1AD平分/3AC,0ZC4Z>=ZB4￡>,ZFAD-ZCAD=ZFDA-ZBAD,

^\ZB=ZFDA-ZBAD,^ZFAC=ZB,又ZA/C公共，

AFCF

^\AFC~NBFA,0——=——，^\AF2=CFBF,

BFAF

回DF2=CFBF.

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定與性質(zhì)，能夠靈活運(yùn)用三角形判定定理是解題關(guān)鍵

【變式訓(xùn)練1】如圖，在RSASC中，44。3=90。,4。=3。=6,。是43上一點(diǎn)，點(diǎn)￡在3。上，連接。0,AE

交于點(diǎn)F,若NCFE=453BD=2AD,則CE=.

【分析】過。作。H垂直AC于4點(diǎn)，過。作DG〃AE交BC于G點(diǎn)，先利用解直角三角形求出CO的長，

其次利用△CDGSACBD,求出CG的長，得出5G的長，最后利用ABDGSAWE求出BE的長，最后得出答

案.

【詳解】解：如圖：過。作。/垂直AC于X點(diǎn)，過。作￡>G〃A￡交3c于G點(diǎn),

團(tuán)在RtAABC中，AC=3C=6,

0AB=7AC2+BC2=672-

又國BD=2AD,

回AD=2應(yīng)，

團(tuán)在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2,

0CH=6—2=4,

在及△C〃￡＞中，CD7cH2+DH2=26，

0DG//AE,

團(tuán)NCFE=NCDG=45。，4=45。，

團(tuán)NCDG=N5,

又0/DCG=/BCD,

0ACDG1^ACBD,

CDCG

團(tuán)-------

CBCD

0CD2=CGCB,

即20=6CG,

0CG=T

1°Q

⑦BG=BC—CG=6——=-,

33

又回OG〃AE,0ABZX;^ABAE,

「BDBG2

又團(tuán)BD=2AD,回一=

BABE3

o3

又BG=（團(tuán)3石=3Gx—=4,團(tuán)CE=6—4=2,故答案為：2.

32

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做

出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案.

【變式訓(xùn)練2】如圖，在AABC中，ZABC=45°,AB=20，AD=AE,NDAE=90。，CE=#,貝UCD

的長為.

【分析】在CD上取點(diǎn)F,使NDEF=-ADB,證明AADBSQEF,求解DF=4,再證明ACEF,?ACDE,

利用相似三角形的性質(zhì)求解CP即可得到答案.

【詳解】解：在CD上取點(diǎn)F,使NDEF=NADB,

由｛AD。+AE?=[DE?，

DE=V2AD=V2AE，

?.?/ABC=45。，/ADE=45。，

且/ADC=/ADE+^EDC=ZABD+ABAD,

.-.^BAD=^EDC,

4DA=^DEF,/.AADB0ADEF,

DFr）Fr-

=V2,ZEFD=ZABD=45°,

ABAD

:AB=2近，.-.DF=4,

XZAED=45°=^CDE+ZQ.,NEFD=NCEF+NC=45。,NCEF=/CDE,

???NC=NC,.-.ACEF0ACDE,=

.?音=，CF=1或CF=5（舍去）,

XvDF=4,CE=^

CF75

經(jīng)檢驗：CP=1符合題意，；.CD=CF+4=5.故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的

判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

類型四、旋轉(zhuǎn)相似模型

例.在AABC中，CA^CB,ZACB=a,點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A,C重合的任意一點(diǎn)，連接AP,將線段AP

繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段DP,連接4￡),BD,CP.

⑴觀察猜想

如圖①，當(dāng)￡=60。時，器的值是,直線8。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是.

(2)類比探究

如圖②，當(dāng)。=90。時，請寫出黑的值及直線3。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)，并就圖②的情形

說明理由.

【答案】⑴1,60°；

(2)0,45°,理由見解析

【分析】⑴首先根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，即可證得“PC絲AADWSAS),如圖①中,

設(shè)直線PC與直線交于點(diǎn)/,再利用全等三角形的性質(zhì)及角的關(guān)系，即可求得結(jié)果；

AKAr)

⑵首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可證得--=—^^ZDAB=ZPAC即可證得

ACAPf

如圖②中，設(shè)直線3。交CP于G,AC交BD于點(diǎn)H,再利用相似三角形的性質(zhì)及角的關(guān)系，即可求得結(jié)

果.

【詳解】(1)解：,.46=60。，ZAPD=60°,CA=CB,AP=DP,

.-.△ACB與4APD都是等邊三角形，

:.ZCAB=ZPAD=60°,AC=AB,AP=AD,

:.ZCAP=ZCAB-ZPAB=ZPAD-ZPAB=ZBAD,

在△APC與△AD5中，

AC=AB

ZCAP=ZBAD

AP=AD

/.△APC^AADB(SAS),

:.BD=CP,ZACP=ZABD,

21;

CP

設(shè)CP與BD的延長線交于點(diǎn)/,如圖①,

圖①

ZCIB=180°-ZPCB-ZCBD=180°-(60°-ZACP)-(60°+ZABD)=60°+ZACP-ZABD=60°,

團(tuán)直線3。與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為60°；

(2)解：器=忘，直線與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45。，

理由如下：

ZACB=90°,CA=CB,

ABrr

.-.ZG4B=45°,——=，2,

AC

Ar\/—

同理可得：440=45。，——=V2,

AP

ABAD

,?就一

?/ZCAB=ZPAD.

ZCAB+ZDAC=ZPAD+ZDAC,

即NZMB=NB4C,

/.△DAB,

BD.ABp-

ZDBA=ZPCA,

cF一AC一，

設(shè)3D交CP于點(diǎn)G,BD交CA于點(diǎn)、H,如圖②,

圖②

■：ABHA=Z.CHG,

:.ZCGH=ZBAH=45°,

回直線3D與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)為45。.

【點(diǎn)睛】本題考查的是幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形和相似三角形解決問題.

【變式訓(xùn)練11某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：

①問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,44BC中，ZSAC=90°,AB=AC.點(diǎn)P是底邊8C上一點(diǎn)，連接AP,以AP為腰

作等腰Rt4APQ,且/以。=90。，連接CQ、則3尸和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

⑵變式探究：如圖2,AA5c中，ZSAC=90°,AB=AC.點(diǎn)P是腰A8上一點(diǎn)，連接CP,以“為底邊

作等腰RSCP。，連接A0,判斷和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶問題解決：如圖3,在正方形ABC。中，點(diǎn)P是邊BC上一點(diǎn)，以。P為邊作正方形。PEF,點(diǎn)。是正方

形OPEF兩條對角線的交點(diǎn)，連接CQ.若正方形DPEF的邊長為加，CQ=后,求正方形ABCD的邊長.

【答案】(1)BP=C。

(2)BP=y/2AQ

(3)3

【分析】(1)根據(jù)已知條件利用邊角邊證明AABP/AACQ,再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到8尸和C。

的數(shù)量關(guān)系；

(2)根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證明

△CBPs^CAQ,之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到8P和AQ的數(shù)量關(guān)系；

(3)連接3D,如圖(見詳解)，先由正方形的性質(zhì)判斷出△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，再利用

與第二問同樣的方法證出由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段的長，接著設(shè)正方形

ABCD的邊長為無，運(yùn)用勾股定理列出方程即可求得答案.

【詳解】(1)解：回△APQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90°,

在AABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,

^\AP=AQ,ZBAP+APAC=ZCAQ+APAC,

^ZBAP=ZCAQ.

AB=AC

在AABP和AAC。中，,NBAP=ZCAQ,

AP=AQ

0AABP^AACg(SAS),

^BP=CQ.

(2)解：判斷8P=0A。，理由如下：

國ACP。是等腰直角三角形，中，/斜C=90。，AB^AC,

國如=江=變，ZACB=ZQCP=45°.

PCBC2

ENBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,

SZBCP=ZACQ,

回△CBPs"AQ,

問QCACAQ72

PCBCBP2

0BP=屈AQ；

（3）解：連接3D,如圖所示，

回四邊形ABC。與四邊形Z3PEF是正方形，DE與PF交于點(diǎn)Q,

0ABCD和APQD都是等腰直角三角形，

回空=生=變，ZBDC=ZPDQ=45°.

PDBD2

0ZBDP+ZPDC=ZCDQ+ZPDC=45°,

^\ZBDP=ZCDQ,

B^BDP^CDQ,

^.QDCD_CQy/2

而=而=標(biāo)

BCQ=y/2,

SBP=y/2CQ=2.

在Rt△尸CD中，CD1+CP2=DP-,設(shè)CD=x,貝i」CP=x-2,

又回正方形Z2P￡F的邊長為,

^DP=y/lQ,

0X2+(X-2)2=(^/1O)2,

解得無i=T(舍去)，x2=3.

回正方形ABCD的邊長為3.

【點(diǎn)睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角

形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練2】在0ABe中，AB=AC,SBAC=a，點(diǎn)尸為線段CA延長線上一動點(diǎn)，連接將線段尸3繞

點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,得到線段PD,連接。8,DC.

(1)如圖1,當(dāng)a=60。時，求證：PA=DC；

(2)如圖2,當(dāng)a=120。時，猜想和。C的數(shù)量關(guān)系并說明理由.

(3)當(dāng)a=120。時，若A8=6,BP=屈,請直接寫出點(diǎn)。到”的距離.

【答案】(1)見解析；(2)CD=^3PA;(3)乎或孝

【分析】(1)當(dāng)a=60。時，0ABe和團(tuán)尸2。為等邊三角形，根據(jù)三角形全等即可求證；

(2)過點(diǎn)A作求得絲=且，根據(jù)題意可得可得W=絲，再根據(jù)

BC3ABBC

ZPBA=ZDBC,判定△PBAS/OBC,得至|］以_=d=正，即可求解；

CDBC3

(3)過點(diǎn)8作班，AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作OP1AC于點(diǎn)尸，分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)P在線段AE或當(dāng)尸

在線段AE延長線上時，設(shè)尸尸=x根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：(1)當(dāng)a=60。時，^AB=AC

MABC為等邊三角形，

0AB=BC,ZABC=60°

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：ZBPD=60°,PB=PD

幽PBO為等邊三角形

BPB=BD,/PBD=60。

0ZPBA=ZPBD-ZABD=ZABC-ZABD=ZDBC

在IBP和△C3D中

PB=BD

<ZPBA=ZDBC

AB=BC

團(tuán)AABP^ACBD(SAS)

國AP=CD

(2)過點(diǎn)A作AEJ_5C,如下圖：

回當(dāng)a=120°時，AB=AC

0ZABC=1(180°-120°)=30°,BC=2BE

BAB=2AE

22

由勾股定理得BE=4AB-AE=61AE

?BC=2BE=2^>AE

0BC=A/3AB

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：NBPD=120。,PB=PD

1ARAr

0ZPBD=-(180°-120°)=30°,——二—

2PBPD

又團(tuán)/BPD=120°=ABAC

BPBD

團(tuán)---=---

ABBC

又回ZPBA=NPBD+NDBA,ZDBC=ZABC+ZDBA

^\ZDBC=ZPBA

回△PBAS/DBC

PABA

LLI------=-------=------

CDBC3

0CD=V3PA

(3)過點(diǎn)B作班，AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作DF1AC于點(diǎn)尸，則點(diǎn)。到CP的距離就是。尸的長度

當(dāng)尸在線段AE上時，如下圖:

由題意可得：AB=AC=6

0a=12O°,

EZE4B=60°

在RjABE中，AB=6,ZEAB=60°S\AE=3,BE=3/

在RtABPE中，BE=34,BP=而,回EP=2

^\AP=AE-EP=1,PC=AC+AP=7

由(2)得CD=6

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：PD=BP=?

設(shè)尸尸=x,則CP=7—x

由勾股定理可得：DF-=PD2-PF2=CD2-CF-

即31-尤2=3-(7-X)2,解得X=U

貝DF=一尸〃2=立

2

當(dāng)P在線段AE延長線上，如下圖：

則PA=AE+PE=5,PC=AC+PA=U

由（2）得，CD=5《

設(shè)尸尸=x,貝UCF=ll—x

由勾股定理可得：DF-=PD2-PF2=CD2-CF-

即31_/=(56)2_(11_勸2,解得x=J,則DF=[PD。-PF)=更

22

綜上所述：點(diǎn)。到CP的距離為辿或正

22

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)以及勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練3】如圖1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,在斜邊AB上取一點(diǎn)過點(diǎn)。作DE〃8C,

交AC于點(diǎn)E.現(xiàn)將VADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度到如圖2所示的位置(點(diǎn)。在"RC的內(nèi)部)，使得

ZABD+ZACD=90°.

（1）①求證：AABD-AACE；②若C￡>=1,BD=y[6,求AD的長;

（2）如圖3,將原題中的條件〃AC=3C〃去掉，其它條件不變，丁7===左設(shè)，若8=1，BD=3,AD=4,

ABAD

求左的值；

（3）如圖4,將原題中的條件〃NAC5=90°〃去掉，其它條件不變，若去=啜AF=彳?，設(shè)CD=機(jī)，

ABAD3

BD=n,AD=p,試探究“n,P三者之間滿足的等量關(guān)系.（直接寫出結(jié)果，不必寫出解答過程）

【答案】（1）①見解析；②2拉；⑵笈=半；（3）4p2=9m2+4n2.

【分析】⑴①先利用平行線分線段成比例定理得若=喘，進(jìn)而得出結(jié)論；

ACAD

②利用①得出的比例式求出CE,再判斷出回DCE=90。，利用勾股定理即可得出結(jié)論；

（2）同（1）的方法判斷出△ABDH3ACE,即可得出AE=4k,CE=3k,同（1）的方法得出I3DCE=9O。，利用勾股

定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；

（3）同（2）的方法得出?！?=加+§4〃2,?！?隹=:?。即可得出結(jié)論；

【詳解】解：（1）①EIDEIBBC,

AEAD

團(tuán)m--=---,

ACAB

由旋轉(zhuǎn)知，回EAC二團(tuán)DAB,

REABD回團(tuán)ACE,

②在RSABC中，AC=BC,

團(tuán)A5=0AC，

由①知，ZkABD團(tuán)團(tuán)ACE,

團(tuán)團(tuán)ABD二團(tuán)ACE,

團(tuán)團(tuán)ACD+團(tuán)ABD=90°,

團(tuán)回ACE+團(tuán)ACD=90°,

團(tuán)回DCE=90°,

團(tuán)團(tuán)ABD回團(tuán)ACE,

.ABADBD

*AC-AE-CE-'

團(tuán)AO=@石，BD=CCE

團(tuán)BD=s/6

回CE=百

在RtZkCDE中，CD=l,CE=yf^

根據(jù)勾股定理得，DE=2,

在RSADE中，AE=DE,

^AD=42DE=2y/2

(2)由旋轉(zhuǎn)知，團(tuán)EAC二團(tuán)DAB,

ACAE

回團(tuán)ABD回回ACE,

~AB~~AD?

ACAECE7

-----=k..

AB-而一BD

團(tuán)AD=4,BD=3,團(tuán)AE=kAD=4k,CE=kBD=3k,

釀ABD團(tuán)回ACE,

團(tuán)團(tuán)ABD二團(tuán)ACE,

回回ACD+團(tuán)ABD=90°,

團(tuán)團(tuán)ACE+團(tuán)ACD=90°,

團(tuán)團(tuán)DCE=90°,

在RSCDE中，DE2=CD2+CE2=l+9k2,

在RSADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2,

[?]l+9k2=16-16k2,

回人=巫或k=一姮(舍)，

55

(3)由旋轉(zhuǎn)知，團(tuán)EAC二團(tuán)DAB,

ACAE

,/——=——，團(tuán)團(tuán)ABD回回ACE,

ABAD

ACAECE2

,AD~BD~3

2222

團(tuán)AD=p,BD=n,0AE=—AD=—p,CE=—BD=^n9

R01ABD團(tuán)團(tuán)ACE,團(tuán)團(tuán)ABD二團(tuán)ACE,

團(tuán)團(tuán)ACD+回ABD=90°,團(tuán)團(tuán)ACE+團(tuán)ACD=90°,fflDCE=90°,

在RtACDE中，DE1=CD2+CE1=in2+^n2,

244

0DE=AE=~^p,；.gp。,04p2=：9m2+4n2.

【點(diǎn)睛】此題是相似三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角

三角形的判定，解本題的關(guān)鍵是得出回DCE=9O。和利用兩邊對應(yīng)成比例夾角相等來判斷兩三角形相似的方法

應(yīng)用.

類型五、K字模型

例1.(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,ZABC=a,將邊AC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)a得到線段CE,在射線BC上取點(diǎn)

D,使得NCDE=cr.請求出線段與DE的數(shù)量關(guān)系；

(2)類比探究：如圖2,若a=90。，作NACE=90。，MCE=|AC,其他條件不變，則線段BC與DE的

數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化?如果變化，請寫出變化后的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)拓展延伸：如圖3,正方形ABCD的邊長為6,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，且AE=2,把線段CE逆時針旋

轉(zhuǎn)90。得到線段E戶，連接所，直接寫出線段跳■的長.

【答案】(1)BC=DE；(2)發(fā)生變化，BC=2DE,證明見解析；(3)2國

【分析】(1)結(jié)合“一線三等角”推出△ABC會從而證得結(jié)論即可；

(2)利用條件證明△ABCSACDE,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；

(3)作延長線于“點(diǎn)，過E點(diǎn)作交BC于G點(diǎn)、,交切于T點(diǎn)，結(jié)合“一線三垂直”證

明AFTE冬AEGC,從而利用全等三角形的性質(zhì)求出和小，最后利用勾股定理計算即可.

【詳解】(1)解：SZABC=ZCDE^ZACE^a,

BZA=ZECD.

在AABC和ACOE中，

ZABC=NCDE

<ZA=ZDCE

AC=CE

0AABC公△CDE（AAS）,

0BC=DE.

(2)發(fā)生變化，BC=2DE.

證明：由（1）得，ZA=NECD,ZABC=ZCDE,

BCACc

0—=—=2,

DECE

國BC=2DE.

（3）如圖所示，作FHL54延長線于H點(diǎn)，過E點(diǎn)作GTL切，交BC于G點(diǎn)，交EH于T點(diǎn),

貝Um=3G=AE=2,EG=AB=6,AH=TE,

由（工）同理可證，AFZE^AEGC（AAS）,

國FT=EG=6,AH=TE=GC=6—2=4,

BFH=FT+TH=6+2=8,BH=BA+AH=6+4=10,

回=\IFH2+BH2=782+102=2標(biāo).

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，準(zhǔn)確證明三角形全等或相似，

并熟練運(yùn)用其性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

例2.（培優(yōu)）如圖，在矩形A8CZ）中，BC=6,AB=2,RtABEF的頂點(diǎn)E在邊CD或延長線上運(yùn)動，且I38EF

=90°,EF=3BE,DF^JlQ,則BE=.

【答案】3⑻

【分析】過F作FG團(tuán)CD,交CD的延長線于G,依據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得到FG=gEC,GE=2=CD；

設(shè)EC=x,則DG=x,FG=；x,再根據(jù)勾股定理，即可得到CE2=9,最后依據(jù)勾股定理進(jìn)行計算，即可得

出BE的長.

【詳解】如圖所示，過尸作FG0C。，交CO的延長線于G,貝岫G=90。,

B

一

團(tuán)四邊形A8CD是矩形，

團(tuán)團(tuán)。=90°,AB=CD=2,

又加BE/=90°,

團(tuán)團(tuán)/EG+團(tuán)3EC=90°=團(tuán)EBC+回BEC,

mFEG=^\EBC,

又團(tuán)團(tuán)C=I3G=9O°,

團(tuán)團(tuán)5CE0團(tuán)EG/，

FGGEEFFGGE1

團(tuán)——=——=—,nn即一=——=一,

ECCBBEEC63

0FG=-￡C,GE=2=CD,

3

0DG=EC,

設(shè)EC=x,則。G=x,FG=；x,

回RtMDG中，F(xiàn)G2+DG2=DF2,

0（；X）2+X2~（Vlo）2,

解得N=9,

即CE2=9,

回RtSBCE中，BE=7C￡2+BC2=J9+36=3君，

故答案為：3行.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注

意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方

法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形.

【變式訓(xùn)練1】【感知】如圖①，在四邊形ABC。中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易證△DAPs△尸5c.（不需要證明）

【探究】如圖②，在四邊形ABC。中，點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)48重合），ZA=NB=NDPC.若PD=4,

PC=8,BC=6,求A尸的長.

【拓展】如圖③，在AABC中，AC=BC=8,筋=12,點(diǎn)P在邊AB上（點(diǎn)尸不與點(diǎn)A、B重合），連結(jié)

CP,作NCPE=NA,PE與邊BC交于點(diǎn)、E,當(dāng)是等腰三角形時，直接寫出AP的長.

【答案】【探究】3；【拓展】4或號.

【分析】探究：根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可;

拓展：證明"CPHaBPE,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】探究：證明：國/。P3是443。的外角,

0ZDPB=ZA+ZPZM,

即ZDPC+ZCPB=ZA+/PDA,

QZA^ZDPC,

^ZPDA=ZCPB,

又E1NA=ZB,

HAZMP^APBC,

PDAP

團(tuán)---=---,

PCBC

回BD=4,PC=8,BC=6,

4AP

團(tuán)一二---,

86

解得：AP=3；

拓展：0AC=BC,

團(tuán)&4=回8,

E0CP8是A4PC的外角，

fflCPB=EL4+0PCA,BP0CPE+E￡P(guān)B=EIA+EPC4,

aa4=iscPE,

0EIACP=0BP￡,

能L4=勖，^\ACP^\BPE,

當(dāng)。尸二CE時，國CPE案CEP,

團(tuán)團(tuán)。石尸〉團(tuán)3,團(tuán)CPE二團(tuán)A二團(tuán)3,回C尸二CE不成立;

當(dāng)尸C=PE時，AACP^BPE,貝!JPB=AO8,

^AP=AB-PB=12-8=^；

當(dāng)石OE尸時，0CPE=0ECP,

團(tuán)團(tuán)3二團(tuán)CPE,團(tuán)團(tuán)EC尸二團(tuán)3,^\PC=PB,

ACAPPC

回她CPfflBPE,回----=----

BPBEEP

12-PBPB

A=，解得：PB=3,

PBBE8—BE

^\AP=AB-PB=12-----=——

33

綜上所述：回。