磁場、帶電粒子在磁場中的運動（講義）-2025年高考物理二輪復(fù)習(xí) （解析版）

專題10磁場帶電粒子在磁場中的運動

目錄

01考情透視目標導(dǎo)航............................................................................3

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................................4

03核心精講?題型突破............................................................................5

題型一磁場的性質(zhì)...........................................................................5

【核心精講】...............................................................................5

一、磁場疊加問題的解題思路................................................................5

二、安培力的分析與計算....................................................................5

【真題研析】...............................................................................6

【命題預(yù)測】...............................................................................7

考向一磁場的疊加...........................................................................7

考向二安培力作用下的平衡問題..............................................................9

題型二帶電粒子在勻強磁場中的運動..........................................................11

【核心精講】..............................................................................11

一、帶電粒子在勻強磁場運動的基本公式.....................................................11

二、帶電粒子在勻強磁場運動的“兩個確定”.................................................11

三、帶電粒子在磁場中的臨界極值問題四個結(jié)論...............................................11

【真題研析】..............................................................................11

【命題預(yù)測】..............................................................................13

考向一直線邊界............................................................................13

考向二圓形邊界............................................................................15

考向三多解問題............................................................................16

題型三帶電粒子在勻強磁場中的動態(tài)圓模型....................................................18

【核心精講】..............................................................................18

一、放縮圓模型............................................................................18

二、旋轉(zhuǎn)圓模型............................................................................19

三、平移圓模型............................................................................19

四、磁聚焦模型............................................................................19

【真題研析】..............................................................................20

【命題預(yù)測】..............................................................................22

考向一放縮圓模型.........................................................................22

考向二旋轉(zhuǎn)圓模型.........................................................................24

考向三平移圓模型.........................................................................26

考向四磁聚焦模型.........................................................................28

考情透視?目標導(dǎo)航

題統(tǒng)計

2024年2023年2022年

命題要點

2024浙江卷14、2023?江蘇卷12、2022.湖北卷.TU、

2024?貴州卷?T5、2023?福建卷16、2022?湖南卷13、

2024?重慶卷-T13、2022?全國卷15、

2024?福建卷16、2022?江蘇卷13、

磁場的性質(zhì)

2022?浙江卷13、

熱

考

角

度

2024江西卷17、2023?全國乙卷118、2022?遼寧卷18、

2024湖北卷17、2023?全國甲卷120、2022?廣東卷17、

帶電粒子在勻

強磁場中的運2024?河北卷110、2023?湖北卷?T15、2022?湖北卷?T8

動及動態(tài)圓問

題

高考對帶電粒子在有界磁場中的運動的考查較為頻繁，以選擇題和計算題中

命題規(guī)律出現(xiàn)較多，選擇題的難度一般較為簡單，計算題的難度相對較大。與安培力有關(guān)

的通電導(dǎo)體在磁場中的加速或平衡問題，也應(yīng)引起足夠重視。

預(yù)計在2025年高考中，還會以選擇題的形式對安培力的大小方向和平衡問

考向預(yù)測

題還會有考查，同時重點關(guān)注帶電粒子在有界磁場中的運動問題。

對于安培力的考查多以導(dǎo)體棒為典型模型予以命題;對于帶電粒子在磁場中

命題情景

的運動多以平行邊界、圓形邊界的磁場命題較多。

常用方法整體法和隔離法、正交分解法、畫圖法

磁感強度大小：〃二力“izn

磁聚焦模型：軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等

核心增出翱型空衲

//?\\

題型一磁場的性質(zhì)

核心精講「I

一、磁場疊加問題的解題思路

1.根據(jù)安培定則確定通電導(dǎo)線周圍磁場的方向。

2.磁場中某點磁感應(yīng)強度的方向為該點磁感線的切線方向。

3.磁感應(yīng)強度是矢量，多個通電導(dǎo)體產(chǎn)生的磁場疊加時，合磁場的磁感應(yīng)強度等于場源單獨存在時在該點磁感

應(yīng)強度的矢量和。

二,安培力的分析與計算

1.安培力公式：尸=ILBsinB。

2.彎曲通電導(dǎo)線的有效長度

xBx

(1)當(dāng)導(dǎo)線彎曲時，L是導(dǎo)線兩端的有效直線長度(如圖所示)。

(2)對于任意形狀的閉合線圈，其有效長度均為零，所以通電后在勻強磁場中受到的安培力的矢量和為零。

3.安培力方向的判斷

(1)判斷方法：左手定則。

(2)方向特點：既垂直于8,也垂直于/,所以安培力一定垂直于8與1決定的平面。

4.通電導(dǎo)線在磁場中的平衡和加速問題的分析思路

(1)選定研究對象。

(2)變?nèi)S為二維，如側(cè)視圖、剖面圖或俯視圖等，并畫出平面受力分析圖，其中安培力的方向要注意

F安，B、b安，/；如圖所示。

n

平面圖

（3）列平衡方程或牛頓第二定律方程進行求解。

|真題研析工

--------------

1.（2022?全國?高考真題）安裝適當(dāng)?shù)能浖螅弥悄苁謾C中的磁傳感器可以測量磁感應(yīng)強度瓦如圖,

在手機上建立直角坐標系，手機顯示屏所在平面為xOy面。某同學(xué)在某地對地磁場進行了四次測量，每次

測量時y軸指向不同方向而z軸正向保持豎直向上。根據(jù)表中測量結(jié)果可推知（）

測量序號Bx/MBy/|1TBZ/RT

1021-45

20-20-46

3210-45

4-210-45

A.測量地點位于南半球

B.當(dāng)?shù)氐牡卮艌龃笮〖s為5011T

C.第2次測量時y軸正向指向南方

D.第3次測量時y軸正向指向東方

【答案】BC

【詳解】A.如圖所示

地球可視為一個磁偶極，磁南極大致指向地理北極附近，磁北極大致指向地理南極附近。通過這兩個磁極

的假想直線(磁軸)與地球的自轉(zhuǎn)軸大約成11.3度的傾斜。由表中z軸數(shù)據(jù)可看出z軸的磁場豎直向下，則

測量地點應(yīng)位于北半球，A錯誤；

B.磁感應(yīng)強度為矢量,故由表格可看出此處的磁感應(yīng)強度大致為B=廢+&=腐不夠計算得B工50nT,

B正確；

CD.由選項A可知測量地在北半球，而北半球地磁場指向北方斜向下，則第2次測量，測量為<0,故y

軸指向南方，第3次測量%>0,故x軸指向北方而y軸則指向西方，C正確、D錯誤。

故選BC。

【技巧點撥】

(1)題中z軸方向始終為負，說明測量地點磁感應(yīng)強度豎直分量向下，位于北半球；

(2)根據(jù)矢量合成法則求得合磁場的大小和方向。

2.(2024.貴州.高考真題)如圖，兩根相互平行的長直導(dǎo)線與一“凸”形導(dǎo)線框固定在同一豎直平面內(nèi)，導(dǎo)線

框的對稱軸與兩長直導(dǎo)線間的距離相等。已知左、右兩長直導(dǎo)線中分別通有方向相反的恒定電流A、l2,且

h>l2,則當(dāng)導(dǎo)線框中通有順時針方向的電流時，導(dǎo)線框所受安培力的合力方向()

A.豎直向上B.豎直向下C.水平向左D.水平向右

【答案】C

【詳解】根據(jù)右手螺旋定則可知導(dǎo)線框所在磁場方向向里，由于。>/2,可知左側(cè)的磁場強度大，同一豎直

方向上的磁場強度相等，故導(dǎo)線框水平方向?qū)Ь€所受的安培力相互抵消，根據(jù)左手定則結(jié)合尸=B/L可知左

半邊豎直方向的導(dǎo)線所受的水平向左的安培力大于右半邊豎直方向的導(dǎo)線所受的水平向右的安培力，故導(dǎo)

線框所受安培力的合力方向水平向左。

故選C。

【技巧點撥】

(1)根據(jù)右手安培定則判斷導(dǎo)線框里的磁場方向；

(2)根據(jù)左手定則判斷安培力的方向，根據(jù)大小，判定合力方向。

I命題預(yù)測T

考向一磁場的疊加

3.（2024?江蘇鎮(zhèn)江?一模）如圖，紙面內(nèi)有兩條互相垂直的長直絕緣導(dǎo)線乙、L2,L中的電流方向向左，

L中的電流方向向上；L的正上方有。、6兩點，它們相對于七對稱。整個系統(tǒng)處于勻強外磁場中，外磁場

的磁感應(yīng)強度大小為瓦，方向垂直于紙面向外。已知。、6兩點的磁感應(yīng)強度大小分別為2Bo和之瓦，方向

也垂直于紙面向外。則（）

L2

b....-.......a?

*zr

A.流經(jīng)L的電流在6點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為看為

B.流經(jīng)L的電流在a點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為2及

C.流經(jīng)乙2的電流在b點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為2瓦

D.流經(jīng)上的電流在a點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為看瓦

【答案】A

【詳解】設(shè)乙中的電流在“、b兩點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度大小為七中的電流在。、6兩點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強

度大小為治，由安培定則可知L中的電流在。點產(chǎn)生的磁場方向垂直于紙面向里，乙2中的電流在。點產(chǎn)生

的磁場方向垂直于紙面向里；L中的電流在。點產(chǎn)生的磁場方向垂直于紙面向里，乙2中的電流在。點產(chǎn)生

的磁場方向垂直于紙面向外，所以根據(jù)已知條件得到BO-（BI+B2）=M殳-BI+=4解得當(dāng)=詈,

B2=生故選Ao

z12

4.（2025?安徽?一模）根據(jù)經(jīng)典電磁理論，運動的電荷會產(chǎn)生磁場。某帶電量為+q點電荷以速率v沿x軸

正方向運動，該運動電荷在x軸上各點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度恰為0、在y軸上距其r處的M點產(chǎn)生的磁感應(yīng)強

度大小為黑，方向垂直于平面xOy、其中左是靜電常數(shù)，c是真空中的光速，據(jù)此可以確定半徑為R、大小

為/的環(huán)形電流在其圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的大小為（）

圖1圖2

D

A，西B.c2fi2/C.-

【答案】C

【詳解】設(shè)圓環(huán)的載流子帶電量為q,體密度為九，載流子勻速運動的速率為"，圓環(huán)橫截面積為S,則環(huán)形

電流中包含的載流子個數(shù)N=n（2irRS）環(huán)形電流產(chǎn)生的磁場可以認為是這N個載流子產(chǎn)生的磁場的疊加，即

Bo=N黑再根據(jù)/=nqSv聯(lián)立可得=嚼故選C。

一4c￡R

考向二安培力作用下的平衡問題

5.（2025?江蘇南通?二模）在傾角。=37。的光滑導(dǎo)體滑軌的上端接入一個電動勢E=3V,內(nèi)阻r=0.5。的

電源，滑軌間距L=50cm,將一個質(zhì)量加=40g,電阻R=1Q的金屬棒水平放置在滑軌上。若滑軌所在空

間加一勻強磁場，當(dāng)閉合開關(guān)S后，金屬棒剛好靜止在滑軌上,如圖所示。已知sin37。=0.6,cos37°=0.8,g=

10m/s2,下列說法正確的是（）

A.磁感應(yīng)強度有最小值，為0.32T,方向垂直滑軌平面向下

B.磁感應(yīng)強度有最大值，為0.4T,方向水平向右

C.磁感應(yīng)強度有可能為0.3T,方向豎直向下

D.磁感應(yīng)強度有可能為0.4T,方向水平向左

【答案】C

【詳解】A.由閉合電路歐姆定律可得/=R=4一A=2A對金屬棒受力分析可知，當(dāng)安培力沿斜面向上

時，安培力最小，此時/安=mgsind=0.04x10xsin37°N=0.24N當(dāng)安培力最小，且磁感應(yīng)強度方向與電

流方向相互垂直時，磁感應(yīng)強度最小為8?^=贊=黑T=°.24T由左手定則判斷可知，磁感應(yīng)強度的方

向為垂直斜面向下，故A錯誤;

B.當(dāng)磁感應(yīng)強度方向水平向右，安培力豎直向上，當(dāng)=金屬棒剛好靜止在滑軌上，可得8=臂=

嘴"T=0.4T但此時磁感應(yīng)強度并不是最大值，故B錯誤;

C.當(dāng)磁感應(yīng)強度方向豎直向下，金屬棒受到安培力方向水平向右，金屬棒平衡可得B'〃cos37。=zngsin37。

mgsin3700.04X10X0.6

解得夕=T=0.3T故C正確;

ZLcos37°0.5X2X0.8

D.當(dāng)磁感應(yīng)強度方向水平向左，安培力豎直向下，不可能平衡，故D錯誤。

故選C。

6.（2022?湖南?高考真題）如圖Q）,直導(dǎo)線被兩等長且平行的絕緣輕繩懸掛于水平軸。。上，其所

在區(qū)域存在方向垂直指向。。，的磁場，與。。，距離相等位置的磁感應(yīng)強度大小相等且不隨時間變化，其截面

圖如圖（b）所示。導(dǎo)線通以電流/,靜止后，懸線偏離豎直方向的夾角為0。下列說法正確的是（）

?

/腦'、

doM(N)

左右

圖(a)圖(b)

A.當(dāng)導(dǎo)線靜止在圖（a）右側(cè)位置時，導(dǎo)線中電流方向由N指向/

B.電流/增大，靜止后，導(dǎo)線對懸線的拉力不變

C.tan＜與電流/成正比

D.sin。與電流/成正比

【答案】D

【詳解】A.當(dāng)導(dǎo)線靜止在圖Q）右側(cè)位置時，對導(dǎo)線做受力分析有

⑥0(0)

可知要讓安培力為圖示方向，則導(dǎo)線中電流方向應(yīng)由M指向N,A錯誤；

BCD.由于與00距離相等位置的磁感應(yīng)強度大小相等且不隨時間變化，有sin。=翳，尸產(chǎn)mgcos。則可看

出sin。與電流/成正比，當(dāng)/增大時。增大，則cos。減小，靜止后，導(dǎo)線對懸線的拉力弦減小，BC錯誤、

D正確。故選D。

題型二帶電粒子在勻強磁場中的運動

核心精講=]

............

一、帶電粒子在勻強磁場運動的基本公式

2

1.向心力公式應(yīng)2=加亍。

2.軌道半徑公式:r=器。

3.周期公式:7=平=黑。

1/qtt

4.運動時間公式:仁?兀

211

二,帶電粒子在勻強磁場運動的“兩個確定”

1.圓心確定：

(1)與速度方向垂直的直線過圓心；

(2)弦的垂直平分線過圓心；

(3)軌跡圓弧與邊界切點的法線過圓心。

2.半徑確定：

(1)利用廣翳公式確定半徑；

bq

(2)利用平面幾何知識求半徑。

三,帶電粒子在磁場中的臨界極值問題四個結(jié)論

1.剛好穿出磁場邊界的條件是帶電粒子在磁場中運動的軌跡與邊界相切。

2.當(dāng)速率v一定時，弧長(或圓心角小于180。時的弦長)越長，圓心角越大，則帶電粒子在有界磁場中運動的時間

越長。

3.當(dāng)速率v變化時，圓心角越大，運動時間越長。

4.在圓形勻強磁場中，若帶電粒子速率v一定且運動軌跡圓半徑大于磁場區(qū)域圓半徑，則入射點和出射點為磁

場直徑的兩個端點時，軌跡對應(yīng)的偏轉(zhuǎn)角最大(所有的弦長中直徑最長)

真題研析

7.(2024?廣西?高考真題)。盯坐標平面內(nèi)一有界勻強磁場區(qū)域如圖所示，磁感應(yīng)強度大小為8,方向垂直

紙面向里。質(zhì)量為機，電荷量為+q的粒子，以初速度v從。點沿?zé)o軸正向開始運動，粒子過y軸時速度與y

軸正向夾角為45。，交點為P。不計粒子重力，則P點至。點的距離為（)

XXXXXX

B

XXXXjXX、

XxXXxX

C.(1+魚偌D.(1+日譚

qB2qB

【答案】c

【詳解】粒子運動軌跡如圖所示

在磁場中，根據(jù)洛倫茲力提供向心力有quB=小告可得粒子做圓周運動的半徑r=等根據(jù)幾何關(guān)系可得P

點至。點的距離5=r+⑥=（1+V2）,故選Co

【技巧點撥】

（1）畫出軌跡，根據(jù)入射方向和出射方向確定圓心；

（2）根據(jù)洛倫茲力向心力公式確定半徑，通過幾何關(guān)系確定待求物理量。

8.（2024?湖北.高考真題）如圖所示，在以。點為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強

磁場，磁感應(yīng)強度大小為瓦圓形區(qū)域外有大小相等、方向相反、范圍足夠大的勻強磁場。一質(zhì)量為7"、電

荷量為q（q>o）的帶電粒子沿直徑AC方向從A點射入圓形區(qū)域。不計重力，下列說法正確的是（）

A.粒子的運動軌跡可能經(jīng)過。點

B.粒子射出圓形區(qū)域時的速度方向不一定沿該區(qū)域的半徑方向

C.粒子連續(xù)兩次由A點沿AC方向射入圓形區(qū)域的最小時間間隔為空

3qB

D.若粒子從A點射入到從C點射出圓形區(qū)域用時最短，粒子運動的速度大小為沁

【答案】D

【詳解】AB.在圓形勻強磁場區(qū)域內(nèi)，沿著徑向射入的粒子，總是沿徑向射出的；根據(jù)圓的特點可知粒子

的運動軌跡不可能經(jīng)過。點，故AB錯誤;

C.粒子連續(xù)兩次由A點沿AC方向射入圓形區(qū)域，時間最短則根據(jù)對稱性可知軌跡如圖

則最短時間有翳故C錯誤;

D.粒子從A點射入到從C點射出圓形區(qū)域用時最短，則軌跡如圖所示

設(shè)粒子在磁場中運動的半徑為r,根據(jù)幾何關(guān)系可知r=苧根據(jù)洛倫茲力提供向心力有quB=小9可得"=

曾故D正確。故選D。

【技巧點撥】

(1)在圓形勻強磁場區(qū)域內(nèi)，沿著徑向射入的粒子，總是沿徑向射出；

(2)根據(jù)對稱性，畫出軌跡，找出時間最短的條件。

命題預(yù)測

考向一直線邊界

9.(2024?江西景德鎮(zhèn)?一模)如圖所示，abed為紙面內(nèi)矩形的四個頂點，矩形區(qū)域內(nèi)(含邊界)處于垂直

紙面向外的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度大小為ad=L,ab=V3Lo一質(zhì)量為機、電荷量為q(q>0)的

粒子，從。點沿"方向運動，不計粒子重力。下列說法正確的是(

----

B

A.粒子能通過cd邊的最短時間t=若

2qB

B.若粒子恰好從d點射出磁場，粒子速度12=理

m

C.若粒子恰好從c點射出磁場，粒子速度"=理

m

D.若粒子只能從ad邊界射出磁場，則粒子的入射速度0<uW理

m

【答案】c

【詳解】A.粒子能通過cd邊，從c點射出的粒子在磁場中運動的時間最短，根據(jù)幾何關(guān)系

2

（r2-乙/+（V3L）=上?解得上=2L則轉(zhuǎn)過的圓心角sin。=號=?即6=60。粒子在磁場中運動的周期

T=等則粒子能通過cd邊的最短時間t=總丁=舞故A錯誤；

B.若粒子恰好從1點射出磁場，由幾何關(guān)系可知其半徑q=根據(jù)解得％=鬻故B錯誤；

C.若粒子恰好從c點射出磁場，根據(jù)幾何關(guān)系g-LA+（V3L）2=母解得上=2L由洛倫茲力提供向心力

得小⑶=加合解得方=弓手故C正確；

D.若粒子從d點射出磁場，粒子運動軌跡為半圓，從d點出射時半徑最大，對應(yīng)的入射速度最大，貝加m=警

1112m

故若粒子只能從ad邊界射出磁場，則粒子的入射速度0<uW等，故D錯誤。故選C。

10.（2024?廣東?二模）如圖所示，斜邊MN長度為工的等腰直角三角形。MN區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強度大小為

8的勻強磁場（三角形邊界上也存在磁場）。一電荷量為外質(zhì)量為機的帶正電的粒子（不計重力）從斜邊

MN上的尸點進入磁場，速度方向與PM間的夾角8=45。，且MP=/經(jīng)過一段時間，粒子從PN上的。點

（未畫出）離開磁場，則下列說法正確的是（）

，：N

,/|

\4p

'''：M

A.磁場方向垂直于紙面向里

B.粒子的最大速度為鬻

C.。點到P點的最大距離為］

D.粒子在磁場中運動的時間為岬

qB

【答案】C

【詳解】A.根據(jù)左手定則可知，磁場方向垂直于紙面向外，A項錯誤；

B.速度越大，粒子在磁場中做圓周運動的半徑越大，當(dāng)速度達到最大值時，根據(jù)幾何關(guān)系可知，粒子做圓

周運動的軌跡同時與三角形的。M,ON邊相切，且從。點飛出的速度方向與MN的夾角也為8=45。，畫出

粒子在磁場中的運動軌跡如圖，

由幾何關(guān)系有小ax=1。S。由洛倫茲力提供向心力有q為axB=小必解得出ax=陰，B項錯誤；

3rmax67n

C.由幾何關(guān)系有出。="=）,C項正確；

COStz3

D.粒子做勻速圓周運動的周期7=等粒子在磁場中運動的時間t=?T=二，D項錯誤。故選C。

qB42qB

考向二圓形邊界

11.（2024.云南昆明?模擬預(yù)測）一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O,筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁

場，磁感應(yīng)強度為及質(zhì)量為機、電荷量為q的帶正電粒子以速度v沿半徑SO方向射入磁場中。粒子與圓

筒發(fā)生兩次碰撞后仍從S孔射出，設(shè)粒子與圓筒碰撞過程中沒有動能損失，且電荷量保持不變，在不計重

力的情況下，則圓筒的半徑為（）

2mv

【答案】B

【詳解】粒子進入磁場后做勻速圓周運動，運用幾何關(guān)系做出圓心為。'，圓半徑為r,設(shè)第一次碰撞點為A,

由于粒子與圓筒發(fā)生兩次碰撞又從S孔射出，因此SA弧所對的圓心角NAO'S=g由幾何關(guān)系得r=Rtang粒

子運動過程中洛倫茲力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律得quB=小三聯(lián)立解得R=粵故選Bo

12.（2024?江西?模擬預(yù)測）如圖所示，在半徑為R、圓心為。的半圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向里、磁感應(yīng)

強度大小為B的勻強磁場，帶電荷量為-q、質(zhì)量為根的粒子（不計所受重力）從。點沿紙面各個方向射入

勻強磁場后，均從OC段射出磁場，下列說法正確的是（）

A.粒子射入磁場時的最大速度為迎

m

B.粒子射入磁場時的最大速度為空

m

C.粒子在磁場中運動的最長時間為史

qB

D.粒子在磁場中運動的最長時間為胃

qB

【答案】D

【詳解】如圖所示

當(dāng)離子軌跡與半圓形邊界相切時，離子軌跡半徑最大，則有之=：由洛倫茲力提供向心力可得=小色

可得粒子射入磁場時的最大速度為方=鬻粒子在磁場中運動的最長時間為%=T=普故ABC錯誤，D

正確。故選D。

考向三多解問題

13.（2025?河南安陽?一模）如圖所示，在平面直角坐標系第一象限內(nèi)存在一理想邊界，邊界和無軸之間存

在垂直紙面、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場（圖中未畫出），邊界與y軸之間存在沿x軸負方向、電場強

度大小為E的勻強電場。在第四象限內(nèi)存在平行于y軸向下的勻強電場，在y軸正半軸上有可移動的粒子源

能無初速釋放電荷量大小為e、質(zhì)量為根的電子，電子從靜止被電場加速后進入磁場區(qū)域均能垂直穿過尤

軸，圖中A點坐標為。,0),不計電子受到的重力，求：

(1)磁場的方向；

⑵邊界曲線的方程；

(3)能經(jīng)過A點的電子釋放點的縱坐標應(yīng)滿足的條件。

【答案】(1)垂直紙面向里(2)y=J等>0)G)妥川+(2幾+l)y=L(n=0,1,2,???)

【詳解】(1)電子能垂直x軸進入第四象限，由左手定則可判定磁場垂直紙面向里。

(2)設(shè)電子由靜止釋放的縱坐標為》到達邊界時的速度大小為v,對應(yīng)邊界上點的坐標為(x,y),則有eEx=

jzn/,y=詈解得y=J篝x(x>0)

(3)能經(jīng)過A點的粒子軌跡如圖所示，

設(shè)釋放點縱坐標為》則有x+(2n+l)y=L(n=0,1,2,…)即滿足為y?(l)=L(n=0,1,2,…)時

2.1TIE+2n+y

電子能經(jīng)過A點。

14.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測)如圖所示，以O(shè)P為分界線將直角MON分為區(qū)域I和H,區(qū)域I內(nèi)存在

方向垂直紙面向外、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場，區(qū)域II內(nèi)存在方向垂直紙面向里、磁感應(yīng)強度大小

為2B的勻強磁場，OP與間的夾角為30。。一質(zhì)量為冷帶電量為+q的粒子從分界線上的P點以速度V、

沿與分界線。尸成60。角的方向射入?yún)^(qū)域I,在區(qū)域I偏轉(zhuǎn)后直接從。點離開磁場區(qū)域，不計粒子的重力。

(1)求。尸之間的距離；

(2)若粒子從尸點射入的速度方向不變，大小可以改變，要使粒子仍從。點離開磁場區(qū)域，求粒子射入時

速度大小的可能值。

MO

【答案】（1）—（2）—（n=O,l,2,3...）

qB3n+2

2

【詳解】（1）根據(jù)牛頓第二定律=巾?得『=卷粒子運動軌跡如圖

OP長度為I=gr=@生

qB

（2）粒子從。點離開一定是從區(qū)域I與。N相切離開磁場區(qū)域，故乃=g，G=粵=，根據(jù)幾何關(guān)系（6勺+

qBC[-2D2

倔加+島=OP即（叵翳+叵半川+存器=8=遍詈…警，＞需解得白

(n=0,1,2,3...)

題型三帶電粒子在勻強磁場中的動態(tài)圓模型

核心精講:口

一、放縮圓模型

粒子源發(fā)射速度方向一定，速度大小不同的帶電粒子進入勻強磁場

速度方向一定，速度

時，這些帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的軌跡半徑隨速度的變化

大小不同

而變化

如圖所示（圖中只畫出粒子帶正電的情景），速度U越大，運動半徑也

越大?？梢园l(fā)現(xiàn)這些帶電粒子射入磁場后，它們運動軌跡的圓心在垂

適用條件直初速度方向的直線尸產(chǎn)'上

X節(jié)，XXXX

軌跡圓圓心共線

XXXX

/\:'

x/x”*、、x\X

X:X:X

\?0：、、"

XX*x\^0x

XXXX，X

以入射點尸為定點，圓心位于PP'直線上，將半徑放縮作軌跡圓，從而探索出臨界條件，這

界定方法

種方法稱為“放縮圓”法

二、旋轉(zhuǎn)圓模型

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進入勻強磁場時，它們在磁場中做勻

mvo

速圓周運動的半徑相同，若射入初速度為M),則圓周運動半徑萬，如圖所示

適

速度大小

用

一定，方向

條

不同P

件

帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在以入射點P

軌跡圓圓心共圓

為圓心、半徑R=的圓上

mvo

將一半徑R="方的圓以入射點為圓心進行旋轉(zhuǎn)，從而探索粒子的臨界條件，這種方

界定方法

法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

三、平移圓模型

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同，但在同一直線的帶電粒子進入勻強磁

速度大小一mvo

定，方向一場時，它們做勻速圓周運動的半徑相同，若入射速度大小為vo,則半徑R=］萬，如

適

定，但入射點圖所示

用

在同一直線XXXXXXX

條xg松以WX

上

件III

軌跡圓圓心帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心在同一直線上，該直線與所有入射點的連線

共線平行

mvo

界定方法

將半徑R=7萬的圓進行平移，從而探索粒子的臨界條件，這種方法叫“平移圓”法

四、磁雌模型

1.磁發(fā)散：如圖1所示，有界圓形磁場的磁感應(yīng)強度為2,圓心為。，從尸點有大量質(zhì)量為加、電荷量為

q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁場，帶電粒子從圓形有界勻強磁場邊界上同一點射

入，如果軌跡圓半徑與磁場圓半徑相等(R=r),則粒子出射方向與磁場邊界在入射點的切線方向平行。

2.磁匯聚：如圖2所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡

圓半徑與磁場圓半徑相等(R=r),則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出，磁場邊界在該點的切線

與入射方向平行。

15.（2024.河北.高考真題）如圖，真空區(qū)域有同心正方形A8CD和abed,其各對應(yīng)邊平行，ABC。的邊長

一定，abed的邊長可調(diào)，兩正方形之間充滿恒定勻強磁場，方向垂直于正方形所在平面.A處有一個粒子

源，可逐個發(fā)射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿方向進入磁場。調(diào)整abed的邊長，可使速度大小

合適的粒子經(jīng)ad邊穿過無磁場區(qū)后由邊射出。對滿足前述條件的粒子，下列說法正確的是（）

A.若粒子穿過ad邊時速度方向與ad邊夾角為45。，則粒子必垂直BC射出

B.若粒子穿過ad邊時速度方向與ad邊夾角為60。，則粒子必垂直BC射出

C.若粒子經(jīng)cd邊垂直8C射出，則粒子穿過ad邊的速度方向與ad邊夾角必為45。

D.若粒子經(jīng)兒邊垂直BC射出，則粒子穿過ad邊時速度方向與ad邊夾角必為60°

【答案】AD

【詳解】A.粒子在磁場中做勻速圓周運動，在正方形abed區(qū)域中做勻速直線運動，粒子穿過淚邊時速度

方向與ad邊夾角為45。，在正方形仍cd區(qū)域中的運動軌跡必平行于AC的連線，可知粒子必經(jīng)過加邊，進

入正方形abed區(qū)域前后的兩段圓弧軌跡的半徑相等，并且圓心角均為45。，據(jù)此作出粒子可能的兩個運動

軌跡如圖所示

粒子的運動軌跡均關(guān)于直線8。對稱，粒子必從C點垂直于BC射出，故A正確;

C.若粒子經(jīng)加邊垂直射出，粒子運動軌跡如圖所示

設(shè)粒子穿過ad邊時速度方向與ad邊夾角為仇則圖中兩段圓弧軌跡的圓心角名與仍的關(guān)系為。1+。2=90°設(shè)

兩正方形的對應(yīng)邊之間的距離為A3為保證粒子穿過ad邊，需滿足Rsin%>AL且有R一Reos%=AL聯(lián)立

解得&<60。為保證粒子穿過cd邊,需滿足Rsin%>"為保證從BC邊射出，需滿足R-Reos%<以聯(lián)立

解得%>45?？傻昧Ｗ咏?jīng)cd邊垂直BC射出，粒子穿過ad邊時速度方向與ad邊夾角范圍是45°W/S60。故

C錯誤；

BD.粒子穿過ad邊時速度方向與ad邊夾角為60。時，作出粒子恰好經(jīng)過c點的運動軌跡如圖所示

設(shè)粒子在e點進入正方形"cd區(qū)域，線段垂直平分軌跡ec,與AB選項的分析同理，粒子的軌跡關(guān)于

線段MN對稱。線段CE平行于軌跡ec,取圓弧軌跡的中點R過尸點做軌跡ec的平行線分別交A。與

于點G和點尸'，點O為點E關(guān)于的對稱點。易知點e為ad的中點，點E為的中點，既垂直于ad

和AD設(shè)粒子軌跡半徑為r,正方形ABCD的邊長為2L。由幾何關(guān)系得rsin60°=3FQ=rsin30°,EP=

L-FQ,PF=———rsin60°,tan/PEF=竺聯(lián)立解得NPEF=30°因NEGF=60°,故N￡FG=90°,即EF

cos30°EP

垂直于GF',由對稱性可知四邊形EFF，。為矩形，/9垂直于CE,可知點F'是點歹關(guān)于的對稱點，即

點F是圓弧c”的中點，可知由c到廠粒子的軌跡圓心角為30。，可得粒子垂直BC射出。若粒子速度較大，

軌跡半徑較大，則粒子在C點左側(cè)穿過C”，其軌跡如圖所示

與臨界軌跡對比，粒子第二段的軌跡圓心不會在2C上，故粒子不會垂直射出。若粒子速度較小，軌跡

半徑較小，則粒子在c點下方穿過仍，其軌跡如圖所示。

與粒子恰好經(jīng)過c點的運動過程同理，根據(jù)對稱性可知粒子一定垂直BC射出，故B錯誤，D正確。

故選AD。

【技巧點撥】

利用不同情況的動態(tài)圓的特點，畫出軌跡圖，找出臨界條件；

?命題預(yù)測二?

L...............................................................

考向一放縮圓模型

16.（2024.陜西安康.模擬預(yù)測）如圖所示，在豎直面內(nèi)有一半徑為R的能吸收帶電粒子的半圓形裝置，在

裝置外有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為8,邊界湖為過圓心。的一水平直線。一群質(zhì)量為

m、電荷量為q的帶正電粒子以不同的速率從A點豎直向上進入磁場，AO的長度為日R,粒子重力和粒子間

的相互作用不計，sin37°=|,下列說法正確的是（）

A.能夠被裝置吸收的粒子的最大速度為警

3m

B.能夠被裝置吸收的粒子的最小速度為雪

3m

C.能夠被裝置吸收的粒子中，運動時間最短的粒子速度大小為誓

3m

D.能夠被裝置吸收的粒子中，運動時間最短的粒子運動時間為篝

90qB

【答案】BD

【詳解】A.粒子從A點進入磁場，運動軌跡半徑最大時有最大速度，當(dāng)粒子從半圓形裝置最右面被該裝置

吸收時，其軌跡半徑最大，其速度最大，對于粒子有=整理有畫有幾何關(guān)系可知，其粒子的

rm

半徑設(shè)為Fax，有2小ax=2R+IR所以有上述分析有Umax=甯故A項錯誤；

B.當(dāng)運動軌跡最小時，其粒子的速度最小，即粒子從裝置最左側(cè)被吸收其半徑最小，由幾何關(guān)系有2rmin=

；7?結(jié)合之前的分析可知，有%1m=等故B項錯誤；

CD.粒子進入磁場運動至圓周上，時間最短即為圓心角最小，根據(jù)圓心角等于2倍弦切角可知，時間最小，

即運動軌跡圓的弦切角需最小。如圖所示

a

運動時間最短，此時軌跡圓的弦AC與題設(shè)半圓相切，由幾何關(guān)系可知N04C=37。，圓心角為0=53。*2=

106。根據(jù)幾何關(guān)系"更也53。=!/?結(jié)合之前的分析'其中勺=翳所以%=警'匕=》署=黑故C

錯誤，D正確。故選BD。

17.（2024?四川成都?模擬預(yù)測）如圖所示，邊長為L的正三角形ABC內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁

感應(yīng)強度為瓦。為2C的中點，有一群帶電量為+外質(zhì)量為相的粒子從。點以不同速率沿與8c成30。的

方向進入磁場。不計粒子重力和粒子間的相互作用，以下說法正確的是（）

A

/xXX\

/AXX\

B

D

A.所有從8C邊出射的粒子運動時間均相同

B.所有從AC邊出射