導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第14講導(dǎo)數(shù)的概念與運(yùn)算

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、概念

函數(shù)于（X）在無=X。處瞬時(shí)變化率是lim電=lim/（―+&）-/（不）,我們稱它為函數(shù)

-Ax-。Ax

>=〃x）在％=不處的導(dǎo)數(shù)，記作尸（修）或〉［一.

知識(shí)點(diǎn)詮釋：

①增量Ax可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0.Axf0的意義：Ax與0之

間距離要多近有

多近，即|Ax-0|可以小于給定的任意小的正數(shù)；

②當(dāng)AxfO時(shí)，Ay在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在

一個(gè)常數(shù)與

包=無限接近；

AxAx

③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率.如瞬時(shí)速度即

是位移在這一時(shí)

刻的瞬間變化率，即尸（飛）=lim"=lim/a+W5）.

。Ax-Ax

2、幾何意義

函數(shù)y=/（x）在x=Xo處的導(dǎo)數(shù)f'（x0）的幾何意義即為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P（x0,%）處

的切線的斜率.

3、物理意義

函數(shù)s=s（f）在點(diǎn)務(wù)處的導(dǎo)數(shù)s'%）是物體在務(wù)時(shí)刻的瞬時(shí)速度v,即v=sa）；

v=V（O在點(diǎn)t0的導(dǎo)數(shù)Mg）是物體在t0時(shí)刻的瞬時(shí)加速度a,即。=M4）.

知識(shí)點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

1、求導(dǎo)的基本公式

基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)

/（X）=c（C為常數(shù)）八幻=。

/(%)=xa(aeQ)/r(x)=axa~l

f(x)=ax(a>0,a^I)f\x)=ax\na

f(x)=log。x(a>0,aw1)/'(X)=一一

xina

/(X)=e*

f(x)=lnx

zv)=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

f(x)=cosXfr(x)=-sinx

2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)函數(shù)和差求導(dǎo)法則："(x)±g(x)]'=尸(尤)±g'(x)；

(2)函數(shù)積的求導(dǎo)法則："(x)g(x)]=/'(x)g(x)+/(x)g'(x)；

(3)函數(shù)商的求導(dǎo)法則：g(無)NO,則[四]=7'(x)g(x)[/(x)g，(x).

g(x)g(%)

3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)

u

復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=/("),〃=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為”=yux-

【解題方法總結(jié)】

1、在點(diǎn)的切線方程

r

切線方程p-/(%0)=/(x0)(x-x0)的計(jì)算：函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)A(x0,/(x0))處的切線方

程為＞-/(%)=尸(無。)食一餐)，抓住關(guān)鍵=(產(chǎn)°、).

[左=/(%)

2、過點(diǎn)的切線方程

設(shè)切點(diǎn)為P(x0,%),則斜率左=八%),過切點(diǎn)的切線方程為：y-%=/'(尤o)(x-%),

f

又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)A(m,n),所以〃-%=/(x0)(m-x0)然后解出/的值.(尤()有幾個(gè)

值，就有幾條切線)

注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外.

必考題型全歸納

題型一：導(dǎo)數(shù)的定義

【例1】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，函數(shù)y=/（x）

的導(dǎo)數(shù)為>=/'"）,則（）

A.r(2)<r(3)</(3)-/(2)B./,(3)<r(2)</(3)-/(2)

C.r(2)</(3)-/(2)<r(3)D.八3)<汽3)-八2)<八2)

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11（2024?云南楚雄?高三統(tǒng)考期末）已知某容器的高度為20cm,現(xiàn)在向容

器內(nèi)注入液體，且容器內(nèi)液體的高度〃（單位：cm）與時(shí)間/（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式為

h^+t2,當(dāng)/=辦時(shí)，液體上升高度的瞬時(shí)變化率為3cm/s,則當(dāng)f=f0+l時(shí)，液體上升

高度的瞬時(shí)變化率為（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.lOcm/s

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2024?河北衡水?高三衡水市第二中學(xué)期末）已知函數(shù)/（無）的導(dǎo)函數(shù)是

（⑴，若尸（%）=2,則Um""（）

—。Ax

A.%B.1C.2D.4

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）在與處可導(dǎo)，且

iim/（x0+2Ax）-/（x0）=i>則尸伍）=（）

—。2Ax

A.1B.-1C.2D.g

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】(2024?高三課時(shí)練習(xí))若“X)在可處可導(dǎo)，則/'(1)可以等于().

〃不)--Ar)〃七+祠-〃龍0—-)

A.limB.lim

Ax

/(Xo+2Ax)-〃Xo-Ax)“Xo+Ax)--(%-2Ax)

C.limD.lim

【解題方法總結(jié)】

對(duì)所給函數(shù)式經(jīng)過添項(xiàng)、拆項(xiàng)等恒等變形與導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義直接

寫出.

題型二：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

【例2】(2024?全國(guó)?高三專題練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

(1)/(x)=(-2x+l)2；

⑵1/(x)=ln(4x—l)；

(3)〃X)=23A2

(4)〃x)=j5x+4；

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】(2024?高三課時(shí)練習(xí))求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

⑴y=(3尤2+2x+l)cosx；

-、3x2+x\/x-5\[x+l

(2)y=----------『----------；

(3)y=x18+sinx-lnx；

x

(4)y=2cosx-3xlog3x；

x

(5)y=3sinx-3log3x；

(6)y=excosx+tanx.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2024?海南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在等比數(shù)列｛%｝中，%=2,函數(shù)

尤）=；x（無一4）（尤-%）L（x-%）,則/（0）=.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2024?遼寧大連?育明高中校考一模）已知可導(dǎo)函數(shù)〃x）,g（x）定義域

均為R,對(duì)任意x滿足/（力+2備'.=犬-1,且"1）=1,求:（l）+g]￡|=

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】（2024?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為廣（x）,且

〃x）=d-⑴+x+2,貝ij〃l）=.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=/'（0）e2，-eT,則/（0）=

【解題方法總結(jié)】

對(duì)所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本

函數(shù)求導(dǎo)問題.

題型三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義

方向1、在點(diǎn)尸處切線

[例3]（2024?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）曲線y=（2x-iy在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為

3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練101（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）曲線〃尤）=ln（x+2）+]在點(diǎn)（0,/（0））處的

切線方程為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1。（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知函數(shù)/（X）=；V+6X2+COS15X

/（無）為/（x）的導(dǎo)函數(shù).若/（元）的圖象關(guān)于直線X=I對(duì)稱，則曲線y=〃x）在點(diǎn)

（2,/（2））處的切線方程為

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】（2024?湖南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/（力=〃3+0一2W（xwR）是

奇函數(shù)，則曲線y=/（%）在點(diǎn)（尢/（九））處的切線方程為.

方向2、過點(diǎn)P的切線

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練131（2024?江西?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知過原點(diǎn)的直線與曲線＞=1型相切，

則該直線的方程是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】（2024?浙江金華?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（力=/-依+1,過點(diǎn)

P（2,0）存在3條直線與曲線＞=/（尤）相切，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】（2024?浙江紹興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過點(diǎn)，go）作曲線y=V的切線，寫

出一條切線方程：.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】（2024?海南海口?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）過x軸上一點(diǎn)尸（f,0）作曲線

C:y=（x+3）e，的切線，若這樣的切線不存在，則整數(shù)，的一個(gè)可能值為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線y=（x+2）e*的切線，則切點(diǎn)

的橫坐標(biāo)為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】（2024?廣西南寧?南寧三中?？寄M預(yù)測(cè)）若過點(diǎn)P（l,a）（aeR）有九條

直線與函數(shù)〃x）=（x-2）e，的圖象相切，則當(dāng)"取最大值時(shí)，〃的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=；V+_f⑴f+l,其導(dǎo)函數(shù)為

尸（力，則曲線過點(diǎn)尸（3,1）的切線方程為.

方向3、公切線

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練20】（2024?云南保山?統(tǒng)考二模）若函數(shù)〃x）=41nx+l與函數(shù)

8（力=!》2-2.4>0）的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練21】（2024?寧夏銀川?銀川一中?？级＃┤糁本€>=仁（尤+1）-1與曲線y=e、

相切，直線y=《（x+D-i與曲線y=inx相切，則左芯的值為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練22］（2024?河北邯鄲?統(tǒng)考三模）若曲線y=e'與圓（x-a）2+y2=2有三條公

切線，貝I。的取值范圍是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練23］（2024?湖南長(zhǎng)沙?湖南師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）若曲線=/

和曲線C2：g（x）=2Inx恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練24】（2024-江蘇南京?南京師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）已知曲線G：/（x）=d與

曲線G：g（力=枇用（a>0）有且只有一條公切線，則〃=.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練25】（2024?福建南平?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線y=alnx和曲線y=V有唯

一公共點(diǎn)，且這兩條曲線在該公共點(diǎn)處有相同的切線/，貝心的方程為.

方向4、已知切線求參數(shù)問題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練26］（2024?江蘇?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若曲線y=有兩條過（e,a）的切線,

則a的范圍是.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練27］（2024?山東聊城?統(tǒng)考三模）若直線y=x與曲線y=eA-辦相切,

則人的最大值為（）

A.0B.1C.2D.e

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練28］（2024?重慶?統(tǒng)考三模）已知直線>=辦一。與曲線y=x+相切，則實(shí)

X

數(shù)。=（）

143

A.0B.—C.—D.一

252

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練29】（2024?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知偶函數(shù)

/（x）=（。-1）/一3法+c—d—1在點(diǎn)（1,7。））處的切線方程為x+y+l=0,貝（）

C-u

A.-1B.0C.1D.2

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練30】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知M是曲線y=lnx+；x2+ar上的任一

點(diǎn)，若曲線在M點(diǎn)處的切線的傾斜角均是不小于;的銳角，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

4

A.［2,+oo）B.C.（-co,2］D.（-oo,-l］

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練31］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知機(jī)〉0,〃>0,直線y=L+m+l與

e

曲線y=lnx-〃+2相切，則工+工的最小值是（）

mn

A.16B.12C.8D.4

方向5、切線的條數(shù)問題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練32］（2024?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若過點(diǎn)（九"）可以作曲線y=log2X

的兩條切線，則（）

A.m>log2nB.n>log2mC.m<log^nD.n<log^m

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練33］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若過點(diǎn)（。,切可以作曲線，=ln元的兩條切

線，貝U（）

A.a<lnbB.&<InaC.lnbvaD.lna<b

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練34］（2024?湖南?校聯(lián)考二模）若經(jīng)過點(diǎn)（。力）可以且僅可以作曲線y=lnx的

一條切線，則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.a<0B.b=\naC.a=\nbD.Q?0或力=ln〃

方向6、切線平行、垂直、重合問題

QX-m

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練35］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)FS）=lnx+尤與g（x）=」（的圖

x-1

象有一條公共切線，且該公共切線與直線y=2%+i平行，則實(shí)數(shù)加=（）

、17-17-17-17

A.—B.—C.—D.—

8642

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練36］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直線x-9y-8=0與曲線

。:l=尤3-/2+31相交于48,且曲線C在處的切線平行，則實(shí)數(shù)。的值為（）

A.4B.4或-3C.-3或-1D.-3

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練37】（2024?江西撫州?高三金溪一中?？奸_學(xué)考試）己知曲線

在點(diǎn)4（和/（占））,3（形,〃七》（不<々）處的切線4，/2互相垂直，且切

線4,4與丁軸分別交于點(diǎn)。E，記點(diǎn)E的縱坐標(biāo)與點(diǎn)。的縱坐標(biāo)之差為f,則（）

2

A.—2</<0B.2—2e<%<0

e

2

C./<—2D.1〉2e—2

e

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練38】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若函數(shù)/（x）=ta+sinx的圖象上存在兩條

相互垂直的切線，則實(shí)數(shù)。的值是（）

A.2B.1C.0D.-1

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練39］（2024?上海閔行?高三上海市七寶中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)>=〃尤）的圖

像上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)RQ,使得在這兩點(diǎn)處的切線重合，則稱/（x）為“切線重合函數(shù)”,

下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)''的為（）

A.y=x4-x2+lB.v=sinx

C.y-x+cosxD.y=x1+sinx

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練40］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知A,8是函數(shù)

X+X+a，X

f（X）=\'-0,圖象上不同的兩點(diǎn)，若函數(shù)y=在點(diǎn)A、8處的切線重合,

［xlwc-a,x>0

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.［w,JB.C.（0,-HX））D.g,+m）

方向7、最值問題

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練41］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)尸在曲線>=6小上，點(diǎn)。在曲線

y=-l+lnx上，則|尸。|最小值為（）

A.0B.272

C.亞1+勿2）D.A/2（1-//12）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練42】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)尸在曲線y=e"上，點(diǎn)。在曲線

y=glnx上，貝”PQI的最小值為（）

A.^（l-ln2）B.72（1-In2）

C.5/2（1+In2）D.二（l+ln2）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練43］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)點(diǎn)P在曲線y=2e'上，點(diǎn)。在曲線

y=lnx-ln2±,貝的最小值為（）

A.l-ln2B.72（1-In2）

C.2（1+In2）D.72（1+In2）

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練44】（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）己知實(shí)數(shù)。，b,c,d滿足

|ln（a-l）-"|+|c-"+2|=。，貝（。―c）2+（6—I）?的最小值為（）

A.2A/2B.8C.4D.16

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練45］（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，（x）=（x-a）2+4（lnx-a）2,其中

4

x>0,?GR.若存在正數(shù)與，使得/（毛）〈《成立，則實(shí)數(shù)〃的值是（）

A.—B.—C.—D.1

552

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練461（2024?寧夏銀川?銀川二中?？家荒＃┮阎獙?shí)數(shù)羽,滿足

2x2-51nx-y=0,meR,貝！J）f+丁2一2如+2根丁+2祖2的最小值為（）

A.-B.述C.—D.1

2222

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練47］（2024?四川成都?川大附中?？级＃┤酎c(diǎn)尸是曲線y=lnx-f上任意

一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到直線-4=。距離的最小值為（）

A.2B.V?C.2收D.4夜

方向8、牛頓迭代法

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練48】（2024?湖北咸寧??？寄M預(yù)測(cè)）英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求

方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)廠是

"x）=0的根，選取X。作為r的初始近似值，過點(diǎn)（飛,〃1））做曲線y=〃x）的切線/:

y-fM^fr（xo）（x-xo），則/與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為玉=飛_少。尸（%）9。）,稱玉是

J）

廠的一次近似值；重復(fù)以上過程，得廠的近似值序列，其中無向=尤“-04（尸（七）力。）,

JI*"

稱X向是『的〃+1次近似值.運(yùn)用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點(diǎn)大小，則函數(shù)

/'（x）=lnx+x-3的零點(diǎn)一次近似值為（）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù)：

M2=0.693）

A.2.207B.2.208C.2.205D.2.204

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練49】（多選題）（2024?安徽蕪湖?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，

給出了高次代數(shù)方程根的一種解法.具體步驟如下：設(shè)廠是函數(shù)丁=/（力的一個(gè)零點(diǎn)，任意

選取七作為『的初始近似值，過點(diǎn)（%f（x。））作曲線y=/（x）的切線公設(shè)《與x軸交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為七,并稱凡為廠的1次近似值；過點(diǎn)（xj（%））作曲線y=的切線L設(shè)4與工

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為巧，稱巧為廠的2次近似值.一般地，過點(diǎn)（〃eN*）作曲線

y=/⑺的切線I向，記1?+1與無軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x用，并稱1為廠的〃+1次近似值.對(duì)于

方程V—龍+1=0,記方程的根為,，取初始近似值為升=-1,下列說法正確的是（）

A.re(-2,-1)B.切線，2：23%-4'+31=0

2尤：-1

D.%

3"

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練50】（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）牛頓在《流數(shù)法》一書中，給出了高

次代數(shù)方程的一種數(shù)值解法一牛頓法.首先，設(shè)定一個(gè)起始點(diǎn)飛,如圖，在x=x°處作了（可

圖象的切線，切線與x