中考數(shù)學三輪沖刺培優(yōu)訓練專題22開放探究型壓軸大題（原卷版）

專題22開放探究型壓軸大題（最新模擬50道）一、解答題1．（2023春·陜西延安·九年級專題練習）如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，點D、E分別是邊BC、AC的中點，連接DE．將△CDE繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α(1)問題發(fā)現(xiàn)①當α=0°時，AEBD=______；②當α=180°時，(2)拓展探究試判斷：當0°≤α<360°時，AEBD(3)問題解決△CDE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)至A、B、E三點在同一條直線上時，請直接寫出線段BD的長______．2．（2023春·河南駐馬店·九年級駐馬店市第二初級中學?？奸_學考試）點E是矩形ABCD邊AB延長線上一動點（不與點B重合），在矩形ABCD外作Rt△ECF其中∠ECF＝90°，過點F作FG⊥BC交BC的延長線于點G，連接DF交CG于點H．(1)發(fā)現(xiàn)如圖1，若AB＝AD，CE＝CF，猜想線段DH與HF的數(shù)量關(guān)系是______(2)探究如圖2，若AB＝nAD，CF＝nCE，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由．(3)拓展在（2）的基礎(chǔ)上，若FC的延長線經(jīng)過AD的三等分點，且AD＝3，AB＝4，請直接寫出線段EF的值3．（2023·河北·模擬預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，⊙O的半徑是10，A，B為⊙O外兩點，AB＝22．給出如下定義：平移線段AB，使平移后的線段A′B′成為⊙O的弦（點A′，B′分別為點A，B的對應(yīng)點），線段AA′長度的最小值成為線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”．(1)如圖1，⊙O中的弦P1P2、P3P4是由線段AB平移而得，這兩條弦的位置關(guān)系是______；在點P1，P2，P3，P4中，連接點A與點______的線段長度等于線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”；(2)若點A（0，7），B（2，5），線段AA′的長度是線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”，則點A′的坐標為_____；(3)如圖2，若A，B是直線y＝﹣x+6上兩個動點，記線段AB到⊙O的“優(yōu)距離”為d，則d的最小值是_____；請你在圖2中畫出d取得最小值時的示意圖，并標記相應(yīng)的字母．4．（2023春·全國·八年級期中）如圖1，在矩形ABCD中，AB=a，BC=6，動點P從B出發(fā)沿射線BC方向移動，作△PAB關(guān)于直線PA的對稱△PAB′．（1）如圖2，當點P在線段BC上運動時，直線PB′與CD相交于點M，連接AM，若∠PAM=45°，請直接寫出∠B′AM和∠DAM的數(shù)量關(guān)系；（2）在（1）的條件下，請求出此時a的值：（3）當a=8時，①如圖3，當點B′落在AC上時，請求出此時PB的長；②當點P在BC的延長線上時，請直接寫出△PCB′是直角三角形時PB的長度．5．（2023春·廣東深圳·八年級統(tǒng)考階段練習）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是射線BC上的動點，將AD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到AE，連接DE．(1)如圖1，猜想△ADE是什么三角形？______________；（直接寫出結(jié)果）(2)如圖2，點D在射線CB上（點C的右邊）移動時，證明∠BCE+∠BAC=180°．(3)點D在運動過程中，△DEC的周長是否存在最小值？若存在．請求出△DEC周長的最小值；若不存在，請說明理由．6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）如圖1，已知正方形AFEG與正方形ABCD有公共頂點A，點E在正方形ABCD的對角線AC上(AG<AD).(1)如圖2，正方形AFEG繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)，DG和BF的數(shù)量關(guān)系是_____________，位置關(guān)系是_______________；(2)如圖3，正方形AFEG繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)，求CEDG的值以及直線CE和直線DG(3)如圖4，AB=8，點N在對角線AC上，CN=22，將正方形AFEG繞A順時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°<α<360°)，點M是邊CD的中點，過點M作MH∥DG交EC于點H；在旋轉(zhuǎn)過程中，線段NH的長度是否變化？如果不變，請直接寫出NH7．（2023春·全國·八年級期中）如圖1，D、E、F是等邊三角形ABC中不共線三點，連接AD、BE、CF，三條線段兩兩分別相交于D、E、F．已知AF=BD，(1)證明：EF=DF；(2)如圖2，點M是ED上一點，連接CM，以CM為邊向右作△CMG，連接EG．若EG=EC+EM，CM=GM，∠GMC=∠GEC，證明：(3)如圖3，在（2）的條件下，當點M與點D重合時，若CD⊥AD，GD=4，請問在△ACD內(nèi)部是否存在點P使得P到8．（2023春·重慶南岸·九年級重慶市珊瑚初級中學校校聯(lián)考階段練習）已知△ABC為等邊三角形，D是邊AB上一點，連接CD，點E為CD上一點，連接BE．(1)如圖1，延長BE交AC于點F，若∠ABF=15°，BF=6，求AF(2)如圖2，將△BEC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°到△AGC，延長BC至點H，使得CH=BD，連接AH交CG于點N，猜想線段CE，GN，DE之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖3，AB=8，點H是BC上一點，且BD=2CH，連接DH，點K是AC上一點，CK=AD，連接DK，BK，將△BKD沿BK翻折到△BKQ，連接CQ，當△ADK的周長最小時，直接寫出△CKQ的面積．9．（2023·福建三明·?？家荒＃┰诰匦蜛BCD中，連接AC，線段AE是線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到，平移線段AE得到線段DF（點A與點D對應(yīng)，點E與點F對應(yīng)），連接BF，分別交AC，CE于點M，N，連接EF．(1)求證：BN=FN；(2)求∠ABF的大??；(3)若BM=x，F(xiàn)N=y，求矩形ABCD的面積（用含有x，y的式子表示）．10．（2023·湖北省直轄縣級單位·校聯(lián)考一模）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.將∠AOB繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)α0°≤α<90°得到∠EOF，OE，OF分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，連接EF交OB于點G(1)求證：①△OEF是等腰直角三角形；②△COF∽△BFG；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，探究線段AC，EF，OG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若AB=3BE，OE=5，求線段OG，BF11．（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）【問題思考】如圖1，點E是正方形ABCD內(nèi)的一點，過點E的直線AQ，以DE為邊向右側(cè)作正方形DEFG，連接GC，直線GC與直線AQ交于點P，則線段AE與GC之間的關(guān)系為______．【問題類比】如圖2，當點E是正方形ABCD外的一點時，【問題思考】中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明你的結(jié)論；若不成立，請說明理由；【拓展延伸】如圖3，點E是邊長為6的正方形ABCD所在平面內(nèi)一動點，【問題思考】中其他條件不變，則動點P到邊AD的最大距離為______（直接寫出結(jié)果）．12．（2023春·安徽合肥·八年級合肥市五十中學西校?？计谥校?）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上，現(xiàn)將△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，點B的對應(yīng)點為B'，點C的對應(yīng)點為C'，連接BB（2）如圖2，在等邊△ABC內(nèi)有一點P，且PA=2，PB=3，PC=1，如果將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得出△BP'A，求（3）如圖3，將（2）題中“在等邊△ABC內(nèi)有一點P”改為“在等腰直角三角形ABC內(nèi)有一點P”，且BA=BC，PA=6，BP=4，PC=2，求∠BPC的度數(shù)．13．（2023春·重慶合川·九年級重慶市合川中學?？茧A段練習）如圖1，△ABC與△EDC為等腰直角三角形，AC=BC=6，DE=DC=2，∠ACB=∠CDE=90°，將△EDC繞著點C旋轉(zhuǎn)．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當A、C、E三點共線(E在AC延長線上)時，連接BE，過D點作AE的垂線交AE于點G，交BE于點F，求BF的長；(2)如圖3，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接AE、BE，過點D作DF⊥AE于點G，交BE于點F，請寫出EF與BF的數(shù)量關(guān)系并證明．(3)如圖4，在（2）的條件下，連接CF、AF，當AF最小時，請直接寫出△ACF的面積．14．（2023春·湖北十堰·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，過點A作AD⊥BC于點D，點M為線段AD上一點（不與A，D重合），在線段BD上取點N，使DM=DN，連接AN，CM．(1)觀察猜想：線段AN與CM的數(shù)量關(guān)系是______，AN與CM的位置關(guān)系是______；(2)類比探究：將△DMN繞點D旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，請寫出AN與CM的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，并就圖2的情形說明理由；(3)問題解決：已知AD=32，DM=3，將△DMN繞點D旋轉(zhuǎn)，當以A、D、M、N四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出BN15．（2023·河南商丘·?？家荒＃┚C合與實踐二輪復(fù)習中，劉老師以“最值問題”為專題引導同學們進行復(fù)習探究．問題模型：等腰三角形ABC，∠BAC=120°，AB=AC=2，(1)探究1：如圖1，點D為等腰三角形ABC底邊BC上一個動點，連接AD，則AD的最小值為______，判斷依據(jù)為______；(2)探究2：在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，作∠BAD的平分線AE交BC于點E，點F，G分別為AE，AD上一個動點，求DF+FG的最小值；(3)探究3：在探究1的結(jié)論下，繼續(xù)探究，點M為線段CD上一個動點，連接AM，將AM順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AN，連接ND，求線段DN的最小值．16．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校校考模擬預(yù)測）如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．點D是BC邊上任意一點（不與B，C重合），連接AD，過點D作DE⊥AB于點E，連接CE，點F為(1)當BD=2CD時，判斷四邊形CDEF的形狀，并證明．(2)點D在線段BC上的什么位置時，△DEF的面積最大？請說明理由．(3)如圖（1）中的△BDE繞點B旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示位置，得到△BD'E'，使得點A在直線D'E'上，連接CE'，點F'17．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，點E在邊AD上，點A關(guān)于直線BE的對稱點為點F，連接AF，CF．設(shè)(1)試用含α的代數(shù)式表示∠DCF；(2)作CG⊥AF，垂足為G，點G在AF的延長線上，連接DG，試判斷DG與CF的位置關(guān)系，并加以證明；(3)把△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點E的對應(yīng)點為點H，連接BF，HF，若△HBF是等腰三角形，求18．（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測）在平面直角坐標系xOy中，對于線段AB，點P和圖形G定義如下：線段AB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段A'B'（A'和B'分別是A和B的對應(yīng)點），若線段AB和A'B'均在圖形(1)如圖，點C1,0，D①已知圖形G1：半徑為3的⊙O；G2：以O(shè)為中心且邊長為6的正方形；G3：以線段OD為邊的等邊三角形．在G1，G2，G②若半徑為5的⊙O是線段CD關(guān)于點Tt,0的旋垂閉圖，求t(2)已知長度為4的線段AB在x軸負半軸和原點組成的射線上，若存在點Q2+a,2?a，使得對半徑為2的⊙Q上任意一點P，都有線段AB滿足半徑為r的⊙O是該線段關(guān)于點P的旋垂閉圖，直接寫出r19．（2023春·四川成都·九年級四川省成都市第七中學初中學校?？茧A段練習）如圖，拋物線y=ax2+2ax+c經(jīng)過B1，0，(1)求拋物線的解析式及點D的坐標；(2)如圖1，連接AC，點E在直線AC上方的拋物線上，連接EA，EC，當△EAC面積最大時，求點(3)如圖2，連接AC、BC，在拋物線上是否存在點M，使∠ACM=∠BCO，若存在，求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．20．（2023春·浙江寧波·九年級浙江省余姚市實驗學校?？茧A段練習）如圖，直線y=?2x+10與x軸交于點A，與y軸交于點B，以O(shè)B為直徑的⊙M交AB于另一點C，點D在⊙M上．分別過點O，B作直線CD的垂線段，垂足為E，F(xiàn)，連接OC．(1)求點A，B，C的坐標．(2)當點D在直線BC右側(cè)時，①求證：EC?CF=OE?BF；②求證：EC=DF．(3)CD與EF的距離和是否為定值？若是，請直接寫出定值；若不是，請直接寫出取到最小值時直線CD的解析式．21．（2023春·江蘇無錫·九年級校考階段練習）如圖，平面直角坐標系中，已知A(?2，0)，B(4，0)，點C是在y軸的負半軸上，且△ABC的面積為9．(1)點C的坐標為_______；(2)P是第四象限內(nèi)一點且橫坐標為m，tan∠PBA=3①連接AP，交線段BC于點D．根據(jù)題意畫出示意圖并求PDDA的值（用含m②連接CP，是否存在點P，使得∠BCO＋2∠PCB=90°22．（2023·北京海淀·中關(guān)村中學校考模擬預(yù)測）如圖，矩形AOBC的頂點B，A分別在x軸，y軸上，點C坐標是5，4，D為BC邊上一點，將矩形沿AD折疊，點C落在x軸上的點E(1)如圖1，求點D的坐標；(2)如圖2，若P是AF上一動點，PM⊥AC交AC于M，PN⊥CF交CF于N，設(shè)AP=t，F(xiàn)N=s，求(3)在（2）的條件下，是否存在點P，使△PMN為等腰三角形？若存在，請直接寫出點23．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶八中?？茧A段練習）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=?x2+bx+c經(jīng)過A0,1，B4,?1．直線AB交x軸于點C，P是直線AB上方且在對稱軸右側(cè)的一個動點，過P作PD⊥AB，垂足為D(1)求拋物線的函數(shù)表達式；(2)當5PD+PE的最大值時，求此時點P的坐標和5(3)將拋物線y關(guān)于直線x=3作對稱后得新拋物線y'，新拋物線與原拋物線相交于點F，M是新拋物線對稱軸上一點，N是平面中任意一點，是否存在點N，使得以C，F(xiàn)，M，N為頂點的四邊形是菱形，寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N24．（2023·吉林長春·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=20，點D從點A出發(fā)，以每秒5個單位長度的速度沿AB方向運動，到點B停止．當點D與A、B兩點不重合時，作DP⊥AC交AC于點P，作DQ⊥BC交BC于點Q．E為射線CA上一點，且∠CQE=∠BAC．設(shè)點D的運動時間為t（秒）．(1)AB的長為______．(2)求CQ的長．（用含有t的代數(shù)式表示）(3)線段QE將矩形PDQC分成兩部分圖形的面積比為1:3時，求t的值．(4)當t為某個值時，沿PD將以D、E、Q、A為頂點的四邊形剪開，得到兩個圖形，用這兩個圖形拼成不重疊且無縫隙的圖形恰好是三角形．請直接寫出所有符合上述條件的t值．25．（2023·廣東云浮·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC的其中兩邊分別在坐標軸上，它的兩條對角線交于點E，其中OA=6cm，OB=8cm，動點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度在CB上向點B運動，動點N同時從點B出發(fā)，以2cm/(1)請直接寫出BM，(2)當t為何值時，△MNB與△OBC相似；(3)記△MNE的面積為S，求出S與t的函數(shù)表達式，并求出S的最小值及此時t的值．26．（2023春·福建廈門·九年級廈門市松柏中學?？茧A段練習）如圖，以AB為直徑的⊙O與AH相切于點A，點C在AB左側(cè)圓弧上，弦CD⊥AB交⊙O于點D，連接AC，AD，點A關(guān)于CD的對稱點為E，直線CE交⊙O于點F，交AH于點G．(1)求證：∠CAG=∠AGC；(2)當點E在AB上，連接AF交CD于點P，若EFCE=2(3)當點E在射線AB上，AB=2，四邊形ACOF中有一組對邊平行時，求AE的長．27．（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習）在△ABC中，AB=AC=10，△ABC的面積為30，點D為AC的中點，動點P由點A以每秒5個單位的速度向點B運動，連接PD，以PD、DC為鄰邊作?PDCQ，設(shè)?PDCQ與△ABC的重疊部分面積為S，設(shè)點P的運動時間為(1)tanA=(2)求點Q落在BC上時t的值．(3)在點P運動的過程中，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．(4)若點A關(guān)于PD所在直線的對稱點為A'，當點A'落在△ABC一邊上的高上時，直接寫出28．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）問題情境：在綜合實踐課上，同學們以“正方形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展活動．如圖①，四邊形ABCD和四邊形EFGH都是正方形，邊長分別是12和13，將頂點A與頂點E重合，正方形EFGH繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，連接BF，初步探究：(1)試猜想線段BF與DH的關(guān)系，并加以證明；(2)如圖②，在正方形EFGH的旋轉(zhuǎn)過程中，當點F恰好落在BC邊上時，連接CG，求線段CG的長；(3)在圖②中，若FG與DC交于點M，請直接寫出線段MG的長．29．（2023·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）拋物線y=ax2+bx+3過點A?1，(1)直接寫出拋物線的表達式及點C的坐標；(2)如圖1，點P在拋物線上，連接CP并延長交x軸于點D，連接AC，若△DAC是以AC為底的等腰三角形，求點P的坐標；(3)如圖2，在（2）的條件下，點E是線段AC上（與點A，C不重合）的動點，連接PE，作∠PEF=∠CAB，邊EF交x軸于點F，設(shè)點F的橫坐標為m，求m的最大值．30．（2022春·上海徐匯·九年級統(tǒng)考期中）已知⊙O的直徑AB=4，點P為弧AB上一點，連接PA、PO，點C為劣弧AP上一點（點C不與點A、P重合），連接BC交PA、PO于點D、E．(1)如圖，當AD=DP時，求DEEB(2)當點C為劣弧AP的中點，且△EDP與△AOP相似時，求∠ABC的度數(shù)；(3)當AD=2DP，且△BEO為直角三角形時，求BC的長．31．（2022·廣東東莞·一模）如圖，△ADE由ΔABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到，且點B的對應(yīng)點D恰好落在BC的延長線上，AD，EC相交于點P(1)求∠BDE的度數(shù)；(2)F是EC延長線上的點，且∠CDF=∠DAC．①判斷DF和PF的數(shù)量關(guān)系，并證明；②求證：EPPF32．（2023春·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學校考階段練習）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點A,D,E在同一直線上，連接BD,CE①線段BD,CE之間的數(shù)量關(guān)系為___________；②∠BEC（2）拓展探究：如圖②，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，點B,D,E在同一直線上，連接BD,CE，求BDCE的值及（3）解決問題：如圖③，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠B=∠ADE=30°，AC與DE相交于點F，點D在BC上，AD=3BD，求33．（2023春·遼寧本溪·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，點E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE相交于點F．小明和小軍想要探究線段AF，(1)問題探究：他們先將問題特殊化如圖（2），當點D，F(xiàn)重合時，直接寫出一個等式，表示AF，(2)再探究一般情形如圖（1），當點D，F(xiàn)不重合時，（1）中的結(jié)論是否成立．若成立請證明，若不成立請寫出正確結(jié)論并說明理由．(3)問題拓展：如圖（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常數(shù)），點E在△ABC內(nèi)部，直線AD與BE交于點F．直接寫出一個等式，表示線段AF，34．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考一模）綜合與實踐綜合與實踐課上，老師讓同學們以“正方形的折疊”為主題開展數(shù)學活動．(1)操作判斷操作一：折疊正方形紙片ABCD，使頂點A落在邊DC上點P處，得到折痕EF，把紙片展平；（如圖1）操作二：折疊正方形紙片ABCD，使頂點B也落在邊DC上點P處，得到折痕GH，GH與EF交于點O．連接OA，OB，OP．根據(jù)以上操作，直接寫出圖2中與OP相等的兩條線段______和______．(2)探究發(fā)現(xiàn)把圖2中的紙片展平，得到圖3，小亮通過觀察發(fā)現(xiàn)無論點P在線段DC上任何位置，線段OE和線段OF始終相等，請你直接用第一問發(fā)現(xiàn)的結(jié)論幫小亮寫出完整的證明過程．(3)拓展應(yīng)用已知正方形紙片ABCD的邊長為6cm，在以上的探究過程中，當點O到AB距離是73cm時，請直接寫出35．（2023春·江蘇南京·八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC紙片沿中位線EH折疊，使點A的對稱點D落在BC邊上，再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF，(1)將?ABCD紙片按圖①的方式折疊成一個疊合矩形AEFG，則操作形成的折痕分別是線段________，________；S矩形(2)?ABCD紙片還可以按圖②的方式折疊成一個疊合矩形EFGH，若EF=5，EH=12，求(3)如圖③，四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC，AD<BC，AB⊥BC，AB=8，CD=10.小明把該紙片折疊，得到疊合正方形．請你幫助畫出疊合正方形的示意圖，并求出36．（2023·吉林長春·校聯(lián)考一模）如圖，BD是?ABCD的對角線，AB⊥BD，BD=8cm，AD=10cm．動點P從點D出發(fā)，以5cm/s的速度沿DA運動到終點A，同時動點Q從點B出發(fā)，沿折線BD?DC運動到終點C，在BD、DC上分別以8cm/s、6cm/s的速度運動，過點Q作QM⊥AB，交射線AB于點M，連結(jié)PQ；以PQ與QM為邊作?PQMN，設(shè)點P的運動時間為tst>0，?PQMN與(1)AP=______cm（用含t的代數(shù)式表示）．(2)當點N落在邊AB上時，求t的值．(3)當點Q在線段DC上運動時，t為何值時，S有最大值？最大值是多少？(4)連結(jié)NQ，當NQ與△ABD的一邊平行時，直接寫出t的值．37．（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）【基礎(chǔ)模型】：如圖1，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD=∠B，求證：AC【嘗試應(yīng)用】：如圖2，在平行四邊形ABCD中，E為BC上一點，F(xiàn)為CD延長線上一點，∠BFE=∠A，若BF=6，BE=4，求AD的長．【更上層樓】：如圖，在菱形ABCD中，E是直線AB上一點，F(xiàn)是菱形ABCD內(nèi)一點，EF//AC，AC=2EF，∠EDF=12∠BAD，AE=2，DF=538．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考一模）將正方形ABCD的邊AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BE，過點B作BF⊥直線DE，垂足為點F，連接CF．(1)如圖1，當α=30°時，△BEF的形狀為______，DECF(2)當90°<α<180°時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請根據(jù)圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②如圖3，正方形ABCD邊長為4，DN⊥BE，CM⊥BE，在AE旋轉(zhuǎn)的過程中，是否存在△AMN與△BEF相似？若存在，則CF的值為______，若不存在，請說明理由．39．（2023年浙江省寧波市初中學業(yè)水平考試數(shù)學模擬試卷（探花卷））（1）【問題初探】如圖1，E是正方形ABCD的邊BC上一點，延長BA至點F，使AF=CE，連接DE，DF．求證：△DCE≌（2）【問題再探】如圖2，E，M分別是正方形ABCD的邊BC，AB上一點，分別過點M，E作MP⊥CD于點P，EQ⊥AD于點Q，線段QE，MP相交于點N．連接DM，DE，ME，PQ，若∠MDE=45①求證：AM+CE=ME．②探究△NME和△NPQ的面積關(guān)系，并說明理由．（3）【問題延伸】如圖3，在正方形ABCD中，E，M分別是射線CB，BA上一點，【問題再探】中的其余條件不變，請直接判斷△NME和△NPQ的面積關(guān)系是否仍成立．40．（2023·湖南·校聯(lián)考一模）定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形稱為“等補四邊形”．(1)下列選項中一定是“等補四邊形”的是________；A．平行四邊形；B．矩形；C．正方形；D．菱形(2)如圖1，在邊長為a的正方形ABCD中，E為CD邊上一動點（E不與C、D重合），AE交BD于點F，過F作FH⊥AE交BC于點H．①試判斷四邊形AFHB是否為“等補四邊形”并說明理由；②如圖2，連接EH，求△CEH的周長；③若四邊形ECHF是“等補四邊形”，求CE的長．41．（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D為邊AB的中點．動點P從點B出發(fā)以每秒1個單位的速度沿BA運動到終點A．連結(jié)CP，作點D關(guān)于CP的對稱點D'，連結(jié)PD'，設(shè)點P(1)點C、D之間的距離為______．(2)用含t的代數(shù)式表示PD(3)當PD'⊥AB(4)當點D'在△ABC內(nèi)部時，直接寫出t42．（2023春·四川成都·九年級四川省成都市第七中學初中學校?？茧A段練習）模型建立：(1)如圖1，在△ABC中，D是AB上一點，∠ACD=∠B，求證：AC(2)類比探究：如圖2，在菱形ABCD中，E、F分別為邊BC、DC上的點，且∠EAF=12∠BAD，射線AE交DC的延長線于點M，射線AF交BC①求證：FA②若AF=4，CF=2，AM=10，求FN的長．43．（2023春·河南商丘·九年級?？茧A段練習）如圖，AB是半圓O的直徑，點C是半圓上一點（不與點A，B重合），連接AC，BC．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作出∠ABC的平分線，交半圓O于點D．（保留作圖痕跡，不寫做法）(2)如圖2，在（1）的條件下，過點D作半圓的切線，交BC的延長線于點F，作DE⊥AB于點E，連接BD．①求證：△BED≌△BFD．②若AB=8，BC=2CF，請直接寫出DE的長．44．（2023春·廣東廣州·九年級華南師大附中校考階段練習）四邊形ABCD是正方形，E是直線BC上一點，連接AE，在AE右側(cè)，過點E作射線EP⊥AE，F(xiàn)為EP上一點．(1)如圖1，若點E是BC邊的中點，且EF=AE，連接CF，則∠DCF=________°；(2)如圖2，若點E是BC邊上一點（不與B，C重合），∠DCF=45°，判斷線段EF與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)若正方形邊長為1，且EF=AE，當AF+BF取最小值時，求△BCF的面積．45．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考一模）問題提出：如圖（1），在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC內(nèi)一點，AD⊥CD，∠ACD=30°，若AD=1，連接(1)問題探究：請你在圖（1）中，用尺規(guī)作圖，在AB左側(cè)作△ABE，使△ABE∽△ACD．（用直尺、圓規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法，不說明理由）(2)根據(jù)（1）中作圖，你可以得到CD與BE的位置關(guān)系是_______；你求得BD的長為_______；(3)問題拓展：如圖（2），在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，D是△ABC內(nèi)一點，若AD=746．（2023春·河北保定·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，已知直線l1：y=x+3，點B0,b在直線l1上．y=mx+n是過定點P1,0的一簇直線．嘉淇用繪圖軟件觀察m與n的關(guān)系．記y=mx+n過點(1)求b的值及l(fā)2(2)探究m與n的數(shù)量關(guān)系；當y=mx+n與y軸的交點為0,1時，記此時的直線為l3，l3與l1的交點記為A(3)當y=mx+n與直線l1的交點為整點（橫、縱坐標均為整數(shù)），且m的值也為整數(shù)時，稱y=mx+n①在如圖2所示的視窗下（?2.5≤x≤2.5，?2.5≤y≤2.5），求y=mx+n為“美好直線”時m的值；②視窗的大小不變，改變其可視范圍，且變化前后原點O始終在視窗中心．現(xiàn)將圖2中坐標系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?k，使得在視窗內(nèi)能