2024-2025學(xué)年江西省贛州市于都縣高三上冊(cè)第一次月考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省贛州市于都縣高三上學(xué)期第一次月考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.3.若正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是（）A.6 B. C. D.4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（）A.25 B.22 C.20 D.155.在平行四邊形中，，，若，則（）A. B. C. D.16.已知，則（）A.1 B.0 C. D.7.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（）A.“”的否定是“”B.在上單調(diào)遞減C.若為的導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)D.若是奇函數(shù)，則8.若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)恒成立，則不等式的解集為（）A. B.0,+∞ C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（）A. B. C. D.10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=gx的圖象，且y=gx在上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)正確的是（）A.B.為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C.可以等于5D.的最小值為211.已知函數(shù)，的定義域均為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（）A B. C. D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12已知向量．若，則______．13.已知某扇形的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為_(kāi)_______.14.已知數(shù)列an通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸；（Ⅱ）求函數(shù)在的最值及相應(yīng)的值.16.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足.（1）證明：等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.17.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，．求二面角的大?。?8.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．19.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，則稱(chēng)為“含谷函數(shù)”，為“谷點(diǎn)”，稱(chēng)為的一個(gè)“含谷區(qū)間”．（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：（i），（ii）；（2）已知實(shí)數(shù)，是含谷函數(shù)，且是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求的取值范圍；（3）設(shè)，．設(shè)函數(shù)是含谷函數(shù)，是它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為．若，且，求的最小值．2024-2025學(xué)年江西省贛州市于都縣高三上學(xué)期第一次月考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】化簡(jiǎn)集合，由交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)椋易⒁獾?，從?故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法求的代數(shù)形式，再由模的公式求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：C.3.若正數(shù)x，y滿(mǎn)足，則的最小值是（）A.6 B. C. D.【正確答案】C【分析】對(duì)變形得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】因?yàn)檎龜?shù)x，y滿(mǎn)足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為故選：C4.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（）A.25 B.22 C.20 D.15【正確答案】C【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即,又，解得：，所以．故選：C.方法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選：C.5.在平行四邊形中，，，若，則（）A. B. C. D.1【正確答案】B【分析】利用平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算求出即可求出.【詳解】由題意如圖所示：因?yàn)?，所以，所以，故選：B.6.已知，則（）A.1 B.0 C. D.【正確答案】D【分析】把兩個(gè)已知等式兩邊平方相加，結(jié)合兩角差的余弦公式可求得結(jié)果.【詳解】已知，則有，，兩式相加得，則，所以.故選：D.7.給出下列四個(gè)命題，其中正確命題為（）A.“”的否定是“”B.在上單調(diào)遞減C.若為的導(dǎo)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則為函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)D.若奇函數(shù)，則【正確答案】B【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞命題的否定可判斷A錯(cuò)誤，由冪函數(shù)性質(zhì)可得B正確，利用極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系可判斷C錯(cuò)誤，若可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，易知“”的否定是“”，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由冪函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，可得B正確；對(duì)于C，若，則；顯然是的一個(gè)零點(diǎn)，但在上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若奇函數(shù)，不妨取，不滿(mǎn)足，即D錯(cuò)誤；故選：B8.若函數(shù)滿(mǎn)足對(duì)恒成立，則不等式的解集為（）A. B.0,+∞ C. D.【正確答案】C【分析】由可得，即可得關(guān)于對(duì)稱(chēng)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】由，則，即，故關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又，則由二次函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故對(duì)，有，即，即，即，解得或，即不等式的解集為.故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于借助結(jié)合復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得到，從而得到的對(duì)稱(chēng)軸.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)a，b，c，d為實(shí)數(shù)，且，則下列不等式正確的有（）A. B. C. D.【正確答案】AD【分析】根據(jù)不等式的相關(guān)性質(zhì)可得A,D項(xiàng)正確；通過(guò)舉反例可說(shuō)明B,C項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，由和不等式性質(zhì)可得，故A正確；對(duì)于B，因，若取，，，，則，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因，若取，，，，則，，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，則，又因則，由不等式的同向皆正可乘性得，，故，故D正確．故選：AD．10.函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)y=gx的圖象，且y=gx在上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)正確的是（）A.B.為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸C.可以等于5D.的最小值為2【正確答案】BD【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象，可得，所以，所以，解得，又由函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，可得，所以，解得，因?yàn)?，可得；?dāng)時(shí)，可得，所以，解得，因?yàn)?，不存在，舍去，綜上可得，，，所以，所以A不正確，B正確；又因?yàn)?，所以是函?shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以B正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，得到，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，則滿(mǎn)足．解得，當(dāng)時(shí)，，而，故不可能等于5，所以C錯(cuò)誤．當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，所以D正確．故選：BD.11.已知函數(shù)，的定義域均為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，，若為奇函數(shù)，則（）A. B. C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意分析可知為偶函數(shù)，，且的周期為8，利用賦值法結(jié)合題意逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】已知函數(shù)，的定義域均為，因?yàn)椋?，可得，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，可得，即為偶函數(shù)，則，即，可得，所以，可知的周期為8.對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，令，則，，可得，，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋覟榕己瘮?shù)，則，令，可得，又因?yàn)?，令，則，，可得，可得，但由題設(shè)條件無(wú)法推出，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)榈闹芷跒?，故，故D正確；故選：ABD.方法點(diǎn)睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，在解題中根據(jù)問(wèn)題的條件通過(guò)變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量．若，則______．【正確答案】2【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】由題意得，解得.故2.13.已知某扇形的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】利用弧長(zhǎng)公式求出半徑，再利用扇形面積公式求解即可【詳解】設(shè)扇形的半徑為R，∵扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，∴，解得：R=，∴扇形的面積=.故答案為.14.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為，若對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】借助裂項(xiàng)相消法可得，即可得恒成立，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性進(jìn)而即得.【詳解】由，則，故，由，可得，即，設(shè)，則恒成立，故在0,+∞單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，故.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于得到恒成立后，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，從而得到的范圍.四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．15已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸；（Ⅱ）求函數(shù)在的最值及相應(yīng)的值.【正確答案】（Ⅰ）周期為，對(duì)稱(chēng)軸方程為；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，有最大值2；當(dāng)時(shí)，有最小值【分析】（Ⅰ）化簡(jiǎn)得到，得到周期和對(duì)稱(chēng)軸.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，得到值域.【詳解】（Ⅰ），故函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程滿(mǎn)足，即.（Ⅱ），當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，有最大值2；當(dāng)時(shí)，有最小值.本題考查了三角函數(shù)的周期，對(duì)稱(chēng)軸，值域，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.16.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）根據(jù)退一相減法，結(jié)合等差數(shù)列定義可證；（2）根據(jù)等差數(shù)列可得與，再利用分組求和的方程求得.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，則，即，即又?jǐn)?shù)列an所以，故，即，所以數(shù)列an是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，則.17.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，．求二面角的大?。菊_答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）添加適當(dāng)輔助線(xiàn)，證明出四邊形為平行四邊形，再通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)平行證明線(xiàn)面平行；（2）由線(xiàn)面垂直得出線(xiàn)線(xiàn)垂直，再證明為正三角形，得出，建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個(gè)面的法向量，再利用公式求解，即可求出二面角．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，取中點(diǎn)，連接，，在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以且，在菱形中，因?yàn)榍遥?，，所以四邊形平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，且平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，，，平面，所以，，．連接，因?yàn)?，，且，（或者證所以，在菱形中，，即為正三角形，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，以為原點(diǎn)，，，所在的直線(xiàn)分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榍遥忠驗(yàn)闉檎切吻?，所以，則，，，則，，由平面，可得平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，，所以，所以，所以二面角的大小為．18.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論與兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋x域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.19.設(shè)是定義在上的函數(shù)，若存在區(qū)間和，使得在上嚴(yán)格減，在上嚴(yán)格增，則稱(chēng)為“含谷函數(shù)”，為“谷點(diǎn)”，稱(chēng)為的一個(gè)“含谷區(qū)間”．（1）判斷下列函數(shù)中，哪些是含谷函數(shù)？若是，請(qǐng)指出谷點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由：（i），（ii）；（2）已知實(shí)數(shù)，是含谷函數(shù)，且是它的一個(gè)含谷區(qū)間，求的取值范圍；（3）設(shè)，．設(shè)函數(shù)是含谷函數(shù)，是它的一個(gè)含谷區(qū)間，并記的最大值為．若，且，求的最小值．【正確答案】（1）是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；不是含谷函數(shù)，證明見(jiàn)解析.（2）（3）【分析】（1）利用含谷函數(shù)定義判斷函數(shù)的增減區(qū)間，再求谷點(diǎn)，證明函數(shù)是否為含谷函數(shù)；（2）由題意可判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有谷點(diǎn)，利用谷點(diǎn)定義求參數(shù)取值范圍；（3）分別討論函數(shù)的單調(diào)性，判斷谷點(diǎn)所在區(qū)間，得到的解析式，再利用和消元求最值.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以是含谷函數(shù)，谷點(diǎn)；函數(shù)，求導(dǎo)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，所以不是含谷函數(shù).【小問(wèn)2詳解】由題意可知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先減后增，且存在谷點(diǎn)，令，所以，設(shè)，所以，由可知恒成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，若滿(mǎn)足谷點(diǎn)，則有，解得，故m