2024-2025學年四川省內(nèi)江市高二上冊10月月考數(shù)學檢測試題合集2套（含解析）

2024-2025學年四川省內(nèi)江市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題（一）第Ⅰ卷（選擇題，共60分）單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B． C．0.3 D．【正確答案】A解析：由可得，由于與是互斥事件，故,2．已知直線過點，，且直線的傾斜角為，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C解析：設直線的斜率為，所以，則4.3．已知直線，，則與的距離為(

)A．1 B．2 C． D．【正確答案】D解析：由題意得，與的距離.4．設，向量，，，且，，則（

）A．?2 B． C． D．【正確答案】B解析：由，得，解得，即，由，得，解得，則，所以.故選：B5．設直線l的方程為（），則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．【正確答案】C解析：設直線的斜率為，則，故，而，故，6.概率論起源于博弈游戲17世紀，曾有一個“賭金分配”的問題：博弈水平相當?shù)募?、乙兩人進行博弈游戲每局比賽都能分出勝負，沒有平局雙方約定，各出賭金180枚金幣，先贏3局者可獲得全部贖金；但比賽中途因故終止了，此時甲贏了2局，乙贏了1局.問這360枚金幣的賭金該如何分配？數(shù)學家費馬和帕斯卡都用了現(xiàn)在稱之為“概率”的知識，合理地給出了賭金分配方案.該分配方案是（

）A．甲180枚，乙180枚B．甲270枚，乙90枚C．甲240枚，乙120枚D．甲288枚，乙72枚【正確答案】B假設兩人繼續(xù)進行比賽，甲獲取360枚金幣有：第四局甲贏，或第四局甲輸，第五局甲贏，故概率為，乙獲取360枚金幣有：第四、五局乙都贏，故概率為，則甲應該獲得枚金幣，乙應該獲得枚金幣，7．閱讀下面材料：在空間直角坐標系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為．根據(jù)上述材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩個平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D解析：因為平面的方程為，所以平面的一個法向量為，同理可得平面與的一個法向量為和，設直線的一個方向向量為，則，不妨取，則，直線與平面所成的角為，則，8．如圖，已知正方體的棱長為3，點在棱上，且，是側(cè)面內(nèi)一動點，且，則點的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【正確答案】A解析：作交于點，則由正方體性質(zhì)可知，，因為，所以，所以點P的軌跡是以G為圓心，半徑的圓弧，如圖，所以，所以，所以，點的軌跡的長度為弧長.故選：C.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多頂符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分.9．一個不透明的盒子中裝有大小和質(zhì)地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（

）A．事件與事件是互斥事件 B．事件與事件是對立事件C．事件與事件是相互獨立事件 D．事件與事件是互斥事件【正確答案】ACD解析：列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；C：因為，故C正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10．下列說法正確的是（

）A．若直線的一個方向向量為，則該直線的斜率為B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．當點到直線的距離最大時，的值為D．已知直線過定點且與以為端點的線段有交點，則直線的斜率的取值范圍是【正確答案】ACD解析：A.由2,3是直線的一個方向向量得也是直線的方向向量，因為是直線的方向向量，所以，選項A正確；B.由兩直線互相垂直得，，解得或，可知“”兩直線垂直的充分不必要條件，選項B錯誤；C.將直線方程變形為，由得，直線過定點，斜率為.當直線與垂直時，點到直線的距離最大.因為，所以，選項C正確；D.如圖，，由圖可知，當或時，直線與線段有交點.故選項D正確.故選：ACD.11．在棱長為1的正方體中，動點滿足，其中，，則（

）A．B．平面平面C．當時，點的軌跡長度為1D．存在點，使得【正確答案】AB解析：建立如圖所示的空間直角坐標系.A：，，，因為所以有，所以,正確；B:設平面的法向量為，，取，可得，所以，所以平面平面平面的法向量為，，因為所以有，C：因為，其中，，又，所以三點共線，此時點的軌跡為,長度為，錯誤；D：因為，所以點在平面上，設到平面的距離為,由可得：，解得，因為到平面的距離為到平面上點距離的最小值，又，故D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共計15分.12.某同學進行投籃訓練，在甲?乙?丙三個不同的位置投中的概率分別為，該同學站在三個不同的位置各投籃一次，至少投中一次的概率為，則的值是.【正確答案】解析：由題意，，解得.故13.在三棱錐中，，，，則.【正確答案】/解析：如圖，因，，，則故答案為.14．關于直線?，有下列說法:①對任意?，直線?不過定點；②平面內(nèi)任給一點，總存在?，使得直線?經(jīng)過該點；③對任意?，且有?，則直線?與?的交點軌跡為一直線；④當?時，點?到直線?的距離最小值為?.其中正確的是.【正確答案】①④解析：①對任意，隨著的變化，也隨之變化，故直線不過定點，①正確；平面內(nèi)取點，則，即，無解，故②錯誤；聯(lián)立直線與，得到，故交點坐標為，又因為，所以交點坐標滿足方程，但當時，，不合題意，所以交點取不到，所以交點軌跡為一直線的一部分，③錯誤.點到直線的距離，令，則，因此，當且僅當，即時，等號成立，④正確；故①④.四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知頂點、、．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)若直線過點，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．【正確答案】(1)(2)或解析：（1）由、，可知中點為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；（2）當直線過坐標原點時，，此時直線，符合題意；當直線不過坐標原點時，由題意設直線方程為，由過點，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16．—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.【正確答案】(1)；解析：（1）將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，則任意摸出2個球的樣本空間有：紅1紅2，紅1紅3，紅1白1，紅1白2，紅2紅3，紅2白1，紅2白2，紅3白1，紅3白2，白1白2共10個樣本點，其中2球均為白球事件的樣本點只有1個，因此2個球都是白球概率為；（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，將3個紅球記為紅1，紅2，紅3，2個白球記為白1，白2，列表如圖所示：第2次摸球第1次摸球紅1紅2紅3白1白2紅1（紅1，紅1）（紅1，紅2）（紅1，紅3）（紅1，白1）（紅1，白2）紅2（紅2，紅1）（紅2，紅2）（紅2，紅3）（紅2，白1）（紅2，白2）紅3（紅3，紅1）（紅3，紅2）（紅3，紅3）（紅3，白1）（紅3，白2）白1（白1，紅1）（白1，紅2）（白1，紅3）（白1,白1）（白1,白2）白2（白2，紅1）（白2，紅2）（白2，紅3）（白2,白1）（白2,白2）所以攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球事件的樣本空間共有25個樣本點，它們出現(xiàn)的可能性相同，其中滿足事件“2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球”的樣本點有12個，所以.17．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，是邊長為2的等邊三角形，.

(1)證明：平面平面.(2)若為的中點，求平面與平面的夾角的余弦值【正確答案】(1)證明見解析(2)解析：（1）取的中點，連接，.

因為，，所以為等邊三角形.因為為的中點，所以，.因為是邊長為2的等邊三角形，所以，則，所以.又，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）因為，，兩兩垂直，所以以為坐標原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，所以，.設為平面的法向量，則取，得.易知是平面的一個法向量.設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18．如圖，在四棱錐中，，，，，底面為正方形，，，分別為，，的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求三棱錐的體積．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)1解析：（1）∵，分別為，的中點，∴，又平面，平面，故平面；（2）由題可知DA、DC、DP兩兩垂直，故可以點為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示：則，∴，設平面的法向量為，則，令，則，，故，∴，故直線與平面所成角的正弦值為；（3），，則點到平面的距離，又，，，則，故.19．已知點和非零實數(shù)，若兩條不同的直線、均過點，且斜率之積為，則稱直線、是一組“共軛線對”，如直線和是一組“共軛線對”，其中是坐標原點.（1）已知、是一組“共軛線對”，且知直線，求直線的方程；（2）如圖，已知點、點和點分別是三條傾斜角為銳角的直線、、上的點（、、與、、均不重合），且直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，直線、是“共軛線對”，求點的坐標；（3）已知點，直線、是“共軛線對”，當?shù)男甭首兓瘯r，求原點到直線、的距離之積的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）；（3）.解析：解：（1）由已知得，又，直線的方程；（2）設直線的斜率分別為，則，得（負值舍去），當時，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立得；故所求為；（3）設，其中，故．由于（等號成立的條件是），故．2024-2025學年四川省內(nèi)江市高二上學期10月月考數(shù)學檢測試題（二）一、單選題（每題5分，共40分）1.已知事件A，B互斥，，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】D解析：因為事件A，B互斥，所以，又，所以，故，故選：D2.已知某運動員每次投籃命中的概率都為，現(xiàn)采用隨機模擬的方式估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算機產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定表示命中，表示不命中；再以三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下12組隨機數(shù)：，據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】A解析：依題意在12組隨機數(shù)中三次投籃恰有兩次命中的有：，，共個，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率.故選：A.3.為保證中小學生享有充足睡眠時間，促進學生身心健康發(fā)展，教育部辦公廳發(fā)布《關于進一步加強中小學睡眠管理工作的通知》，明確學生睡眠時間要求．已知某地區(qū)有小學生1200人，初中生900人，高中生900人，教育部門為了了解該地區(qū)中小學生每天睡眠時間，現(xiàn)用樣本量比例分配的分層抽樣從該地區(qū)抽取樣本，經(jīng)計算樣本中小學生、初中生、高中生每天的平均睡眠時間分別為9.5小時、8小時、7小時，則估計該地區(qū)中小學生每天的平均睡眠時間為（）小時．A.7.5 B.8 C.8.3 D.8.5【正確答案】C解析：由題意可設小學生、初中生、高中生中分別抽取4a人，3a人，3a人，則.故選：C.4.設甲、乙兩人每次投進籃球的概率分別為與，兩人約定如下投籃：每次由一人投籃，若投進，下一次由另一人投籃；若沒有投進，則繼續(xù)投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D解析：若第一次甲先投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為：，若第一次乙先投籃，則前4次中甲恰好投籃3次的概率為：故前4次中甲恰好投籃3次的概率為.故選：D5.裝有紅球、白球和黑球各2個口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（）A.① B.①② C.②③ D.①②③【正確答案】B解析：解：設事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.故選：B6.某同學在一次數(shù)學測試中的成績是班級第十名（假設測試的成績兩兩不同），且該同學的成績恰好是該班級成績的第80百分位數(shù)，則該班級的人數(shù)可能為（）A.36 B.41 C.46 D.51【正確答案】C解析：設班級的人數(shù)為，由題意，解得，又.故選：C.7.如圖所示，在棱長為2的正方體中，E為的中點，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C解析：如圖，以D為原點，分別以所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，因為正方體的棱長為2，則.所以，又所以.故選：C.8.已知，若不能構(gòu)成空間的一個基底，則（）A.3 B.1 C.5 D.7【正確答案】B解析：若不能構(gòu)成空間的一個基底，共面，存在，使，即，解得，故選.二、多選題（每題6分，共18分）9.設為兩個隨機事件，以下命題正確的是（）A.若與對立，則B.若與互斥，，則C.若，且，則與相互獨立D.若與相互獨立，，則【正確答案】BD解析：對于A，若與對立，則，故A錯誤；對于B，與互斥，則，故B正確；對于C，因為，故，故，故與不相互獨立，故C錯誤；對于D，因為，所以，而與相互獨立，故與相互獨立，故，故D正確.故選：BD.10.已知一組數(shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為5，則（）A.B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)均為4C.這組數(shù)據(jù)方差為3.8D.若將這組數(shù)據(jù)每一個都加上0.3，則所有新數(shù)據(jù)的方差不變【正確答案】ACD解析：對于A中，因為數(shù)據(jù)：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均數(shù)為5，可得，解得，所以A正確；對于B中，將數(shù)據(jù)從小到大排列，可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，可得數(shù)據(jù)的眾數(shù)為4，中位數(shù)為，所以B不正確；對于C中，由，所以C正確；對于D中，若將這組數(shù)據(jù)每一個都加上0.3，此時平均數(shù)變?yōu)?，，則所有新數(shù)據(jù)方差不變，所以D正確.故選：ACD.11.已知空間中三點，，，則（）A.向量與互相垂直B.與方向相反的單位向量的坐標是C.與夾角的余弦值是D.在上的投影向量的模為【正確答案】ABC解析：由已知可得，，.因為，所以與互相垂直，故A正確；，所以與方向相反的單位向量的坐標是，故B正確；，，，所以，故C正確；在上的投影向量的模為，故D錯誤.故選：ABC三、填空題（每題5分，共15分）12.拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的概率為______．【正確答案】解析：拋擲兩個質(zhì)地均勻的骰子出現(xiàn)的所有情況有：1234561╳╳╳╳√╳2╳╳╳√╳╳3╳╳√╳╳╳4╳√╳╳╳╳5√╳╳╳╳╳6╳╳╳╳╳╳共36種情況，其中“拋擲的兩個骰子的點數(shù)之和是6”的有5種，所以所求概率為.故13.某學校高一年級在校人數(shù)為600人，其中男生320人，女生280人，為了解學生身高發(fā)展情況，按分層隨機抽樣的方法抽取50名男生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為，抽取50名女生身高為一個樣本，其樣本平均數(shù)為，則該校高一學生的平均身高的估計值為______．【正確答案】解析：由題意可知，，且所以樣本平均數(shù)，故該校高一學生的平均身高的估計值為．故答案為.14.如圖，二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，則長度為___________.【正確答案】解析：因為.所以所以.故答案為.四、解答題15.一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間分成5組，得到圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值；并估計該水果店過去200天蘋果日銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；（2）若一次進貨太多，水果不新鮮，進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求）.請問，每天應該進多少水果?（3）在日銷售量為蘋果中用分層抽樣方式隨機抽6個蘋果，再從這6蘋果中隨機抽取2個蘋果，求抽取2個蘋果都來自日銷售量在的概率.【正確答案】（1）kg（2）（3）【小問1詳解】由直方圖可得，樣本落在50,60，60,70，…，90,100的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，由，解得．則樣本落在50,60，60,70，…，90,100頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，該蘋果日銷售量的平均值為:.【小問2詳解】為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數(shù)．依題意，日銷售量不超過的頻率為，則該店蘋果日銷售量的分位數(shù)在90,100，所以日銷售量的分位數(shù)為．所以，每天應該進蘋果．【小問3詳解】由日銷售量為的頻率分別為0.2，0.4知，抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，任意抽取2個蘋果，有，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，由古典概型可得.16.在正四棱柱中，，是棱上的中點．（1）求證：；（2）異面直線與所成角的余弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）小問1詳解】證明：以為原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，，，所以；【小問2詳解】，設異面直線與所成角的大小為，則，故異面直線AM與BC所成角的余弦值為．17.為了選拔培養(yǎng)有志于服務國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎學科拔尖的學生，教育部啟動了“強基計劃”的招生改革工作.某校強基招生面試有兩道題，兩道題都答對