江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三上冊模擬演練性聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期模擬演練性聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.2 C. D.42.已知，則（）A. B. C. D.3.設(shè)為實數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.27 B.24 C.12 D.324.銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若的值為（）A.2 B.4 C.6 D.85.在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.則直線MN必過一定點的坐標為（）A.1,0 B.C. D.0,16.在平面直角坐標系中，已知是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在點處的切線交軸于點，過點作的垂線交軸于點.設(shè)線段的中點的縱坐標為，則的最大值為（）A. B. C. D.7.由m×n個數(shù)排成一個m行n列的數(shù)表A=稱為一個m×n矩陣，也可簡記為A=.定義矩陣的乘法如下：設(shè)A=，B=，則稱C=為矩陣A與B的乘積，記為C=AB.其中.現(xiàn)有矩陣A=，B=，則AB=（）A. B. C. D.8.定義：已知數(shù)列的首項，前項和為.設(shè)與是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項公式（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是減函數(shù)10.在棱長為1正方體中，點在棱上運動，點在正方體表面上運動，則（）A.存在點，使B.當時，經(jīng)過點平面將正方體分成體積比為的大小兩部分C.當時，點的軌跡長度為4D.當時，點軌跡長度為11.記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”.則下列說法正確的是（）A.函數(shù)與不存在“S點”B.若函數(shù)與存在“S點”，則C.對于函數(shù)與.對于任意的，均不存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”D.對于函數(shù)與.對于任意的，存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為__________．13.定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對任意正整數(shù)，當時，都有成立，則的最大值為______.14.設(shè)數(shù)列，…，即當時，記為數(shù)列前項和.對于，定義集合是的整數(shù)倍，，且.則集合中元素的個數(shù)為______；集合中元素的個數(shù)為______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，的中點．（1）證明：平面；（2）若，，，求點E到平面的距離．16.已知O為坐標原點，拋物線的方程為，F(xiàn)是拋物線的焦點，橢圓的方程為，過F的直線l與拋物線交于M，N兩點，反向延長，分別與橢圓交于P，Q兩點．（1）求的值；（2）若恒成立，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，若的最小值為1，求拋物線的方程（其中，分別是和的面積）．17.已知函數(shù)，其中為正實數(shù)．（1）若，討論在的單調(diào)性．（2）若，且方程在至少有一個根，求實數(shù)m取值范圍．18.“三角換元”是代數(shù)中重要且常見的運算技巧，有些代數(shù)式看似復(fù)雜，用三角代替后，實則會呈現(xiàn)出非常直觀的幾何意義，甚至可以與復(fù)雜的二次曲線產(chǎn)生直觀聯(lián)系.（1）利用恒等式和，求函數(shù)和的最小值.（2）在中，角對應(yīng)的邊為.（i）求證.（ii）已知實數(shù)滿足求二元函數(shù)的最大值.19.解二元一次方程組是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必備技能.設(shè)有滿足條件的二元一次方程組.（1）用消元法解此方程組，直接寫出該方程組的兩個解；（2）通過求解，不難發(fā)現(xiàn)兩個解的分母是由方程組中的系數(shù)所唯一確定的一個數(shù)，按照它們在方程組中的位置，把它們排成一個數(shù)表，由此可以看出是這個數(shù)表中左上到右下對角線上兩個數(shù)的乘積減去右上到左下對角線上兩個數(shù)的乘積的差，稱為該數(shù)表的二階行列式，記為.當≠0時，二元一次方程組有唯一一組解.同樣的，行列式稱為三階行列式，且=.（i）用二階行列式表示方程組兩個解；（ii）對于三元一次方程組，類比二階行列式，用三階行列式推導(dǎo)使得該三元一次方程組有唯一一組解的條件（結(jié)論不得使用行列式表達），并用三階行列式表示該方程組的解.（3）若存在，使得sinx?mcosxm江蘇省南通市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期模擬演練性聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測試卷注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)z滿足，則（）A.1 B.2 C. D.4【正確答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算求得，進而求得.【詳解】由得，兩邊乘以得，所以.故選：C2.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先將弦化切求得，再根據(jù)兩角和的正切公式即可求解.【詳解】因為，所以，，所以，故選：B.3.設(shè)為實數(shù)，滿足，則的最大值為（）A.27 B.24 C.12 D.32【正確答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)計算即可求解.【詳解】由，得，又，所以，所以，即，所以的最大值為27.故選：A4.銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【正確答案】B【分析】首先通過余弦定理對已知條件化簡整理，得出之間的關(guān)系，然后再對化簡整理，并結(jié)合正弦定理和之間的關(guān)系即可求解.【詳解】由余弦定理可知，，從而可得，即且，又因為，由正弦定理可知.故選：B5.在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F.設(shè)過點的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M（x1，y1）、N（x2，y2），其中.則直線MN必過一定點的坐標為（）A.1,0 B.C. D.0,1【正確答案】A【分析】通過聯(lián)立方程組求得兩點的坐標，進而確定定點的坐標.【詳解】依題意得，直線的方程為，由消去并化簡得，，則，所以.直線的方程為，由消去并化簡得，，所以，所以.若，即，即，即，，則，所以，此時直線過點1,0.若，依題意，所以直線的方程為，，，所以直線過點1,0，綜上所述，直線過定點1,0.故選：A6.在平面直角坐標系中，已知是函數(shù)的圖象上的動點，該圖象在點處的切線交軸于點，過點作的垂線交軸于點.設(shè)線段的中點的縱坐標為，則的最大值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設(shè)切點，求得切線的方程進而可得，求得與切線垂直的直線方程可求得，可得中點的縱坐標為，利用導(dǎo)數(shù)可求得的最大值.【詳解】設(shè)切點，因為，所以，故切線的斜率，切線的方程為，令得，過點與切線垂直的直線方程為，令得，則中點的縱坐標為，所以，故當0<a<1時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當時，函數(shù).故選：C．7.由m×n個數(shù)排成一個m行n列的數(shù)表A=稱為一個m×n矩陣，也可簡記為A=.定義矩陣的乘法如下：設(shè)A=，B=，則稱C=為矩陣A與B的乘積，記為C=AB.其中.現(xiàn)有矩陣A=，B=，則AB=（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用矩陣A與B的乘積的定義計算可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，，，，，，所以.故選：D.8.定義：已知數(shù)列的首項，前項和為.設(shè)與是常數(shù)，若對一切正整數(shù)，均有成立，則稱此數(shù)列為“”數(shù)列.若數(shù)列是“”數(shù)列，則數(shù)列的通項公式（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由題可知，根據(jù)定義得，根據(jù)平方差公式化簡得，求得，最后根據(jù)Sn?Sn?1=ann>1【詳解】因為數(shù)列是“”數(shù)列，則，所以，而，，，，，，，，.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的定義域為，且，若，則（）A. B.C.函數(shù)是偶函數(shù) D.函數(shù)是減函數(shù)【正確答案】ABD【分析】對抽象函數(shù)采用賦值法，令、，結(jié)合題意可得，對A：令、，代入計算即可得；對B、C、D：令，可得，即可得函數(shù)及函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，代入，即可得.【詳解】令、，則有，又，故，即，令、，則有，即，由，可得，又，故，故A正確；令，則有，即，故函數(shù)是奇函數(shù)，有，即，即函數(shù)是減函數(shù)，令，有，故B正確、C錯誤、D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵在于利用賦值法解決抽象函數(shù)問題，借助賦值法，得到，再重新賦值，得到，再得到.10.在棱長為1的正方體中，點在棱上運動，點在正方體表面上運動，則（）A.存在點，使B.當時，經(jīng)過點的平面將正方體分成體積比為的大小兩部分C.當時，點軌跡長度為4D.當時，點的軌跡長度為【正確答案】BCD【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理驗證即可判斷A；如圖，由面面平行的性質(zhì)判斷幾何體是棱臺，結(jié)合棱臺的體積公式計算即可判斷B；結(jié)合圖形可知點的軌跡是以棱的中點為頂點的正方形，即可判斷C；先求出點在側(cè)面內(nèi)的軌跡，并求其長度，再求出點在底面、側(cè)面內(nèi)的軌跡的長度，即可判斷D.【詳解】對于A，如圖，在正方體中，易知，若存在點，使，由于與相交，所以平面，顯然不成立，故A錯誤．對于B，當時，如圖，記經(jīng)過點的平面與交于點，連接，則．由于平面平面，平面平面，平面平面，所以．記，則．記，則，所以點與重合．又平面平面，所以幾何體是棱臺，，其余部分體積為，所以經(jīng)過點的平面將正方體分成體積比為的大小兩部分，故B正確．對于C，當時，點的軌跡是以棱的中點為頂點的正方形，如圖所示，軌跡的長度為4，故C正確．對于D，先看點在側(cè)面內(nèi)的軌跡，以的中點為坐標原點，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖．設(shè)，由可得點的軌跡方程為，其是以為圓心，為半徑的圓，記該圓與交于點，則，點在側(cè)面內(nèi)的軌跡為一段圓?。L度為，同理點在底面內(nèi)的軌跡的長度也為．當點在側(cè)面內(nèi)時，其軌跡可視為以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線，由于，所以，點在側(cè)面內(nèi)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓的，長為．分析易知，其余面上的點均不滿足題意．所以點的軌跡長度為，故D正確．故選：BCD方法點睛：對于立體幾何中的滿足一定條件下的點的軌跡問題，往往需要建立平面或空間直角坐標系來進行求解，將幾何問題代數(shù)化可以減少思考難度，提高做題效率.11.記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點”.則下列說法正確的是（）A.函數(shù)與不存在“S點”B.若函數(shù)與存在“S點”，則C.對于函數(shù)與.對于任意的，均不存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”D.對于函數(shù)與.對于任意的，存在，使得函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點”【正確答案】ABD【分析】根據(jù)“S點”的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，由，即，解得或.由，即，所以函數(shù)與不存在“S點”，A選項正確.B選項，函數(shù)，，與，，由，消去并化簡得，則，B選項正確.CD選項，對于函數(shù)與，，由，假設(shè)，得，得.由得，得，令，設(shè)，則，得，由的圖象在0,1上不間斷，則在0,1上有零點，則?x在0,1上有零點，故存在，使函數(shù)與在區(qū)間0,+∞內(nèi)存在“S點”.故選：ABD方法點睛：解新定義題型的步驟：(1)理解“新定義”——明確“新定義”的條件、原理、方法、步驟和結(jié)論.(2)重視“舉例”,利用“舉例”檢驗是否理解和正確運用“新定義”;歸納“舉例”提供的解題方法.歸納“舉例”提供的分類情況.(3)類比新定義中的概念、原理、方法，解決題中需要解決的問題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.以表示數(shù)集中最大的數(shù)．設(shè)，已知或，則的最小值為__________．【正確答案】##0.2【分析】利用換元法可得，進而根據(jù)不等式的性質(zhì)，分情況討論求解.【詳解】令其中，所以，若，則，故，令，因此,故,則，若，則，即，，則,故,則，當且僅當且時等號成立，如取時可滿足等號成立，綜上可知的最小值為，故關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用換元法，在和前提下進行合理分類討論，根據(jù)題意得到相對應(yīng)的不等式組，注意題目的條件關(guān)鍵詞是“或”.13.定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“數(shù)列”.已知數(shù)列（）的前項和為，且滿足，.設(shè)為正整數(shù).若存在“數(shù)列”（），對任意正整數(shù)，當時，都有成立，則的最大值為______.【正確答案】5【分析】根據(jù)可得，即可判斷數(shù)列bn為等差數(shù)列，即可求出通項公式；根據(jù)題意有，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得，即可求解.【詳解】由，得，則，則，當時，由，得，整理得，所以數(shù)列bn是首項為1，公差為1所以，則，因為數(shù)列為“數(shù)列”，設(shè)公比為，所以，因為，所以，其中，當時，有；當時，有，設(shè)，則，當，f′x>0，單調(diào)遞增；當，f′x<0因為，所以，取，當時，，即，經(jīng)檢驗知也成立，因此所求的最大值不小于5，若，分別取，得，且，從而且，所以不存在，所以，綜上，所求的最大值為5.故514.設(shè)數(shù)列，…，即當時，記為數(shù)列前項和.對于，定義集合是的整數(shù)倍，，且.則集合中元素的個數(shù)為______；集合中元素的個數(shù)為______.【正確答案】①.5②.1008【分析】根據(jù)新定義求出，再求出，即可求出集合中元素的個數(shù)；利用數(shù)學(xué)歸納法證明，進而證明當時集合中元素的個數(shù)為，當時集合中元素的個數(shù)為，即可求解.【詳解】由數(shù)列的定義，得，∴，∴，∴集合中元素的個數(shù)為5.先證：，事實上，①當時，，，原等式成立；②當時成立，即，則時，，綜合①②可得，于是，由上式可知是的倍數(shù)，而，∴是的倍數(shù)，又不是的倍數(shù)，而，∴不是的倍數(shù)，故當時，集合中元素的個數(shù)為，于是，當時，集合中元素的個數(shù)為，又，故集合中元素的個數(shù)為.故5；1008關(guān)鍵點點睛：第二空證明當時集合中元素的個數(shù)為，當時集合中元素的個數(shù)為，利用數(shù)學(xué)歸納法證得即可證明.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直三棱柱中，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，的中點．（1）證明：平面；（2）若，，，求點E到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意，由線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，結(jié)合空間向量的坐標運算，代入計算，即可求解.【小問1詳解】因為為直三棱柱，所以，又D，E，分別為AB，BC中點，所以，所以，又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為為直三棱柱，且，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，且，則，則，，由可得，即，且，解得，設(shè)，則，即，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，所以平面的一個法向量為，又，即，所以點E到平面的距離.16.已知O為坐標原點，拋物線的方程為，F(xiàn)是拋物線的焦點，橢圓的方程為，過F的直線l與拋物線交于M，N兩點，反向延長，分別與橢圓交于P，Q兩點．（1）求的值；（2）若恒成立，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，若的最小值為1，求拋物線的方程（其中，分別是和的面積）．【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）設(shè)出直線，，利用韋達定理得到；（2）設(shè)出聯(lián)立橢圓方程得到，，從而得到，結(jié)合，列出方程，求出，從而得到，求出橢圓方程；（3）表達出，結(jié)合（2）中等式，結(jié)合基本不等式求出最值，得到拋物線方程.【小問1詳解】設(shè)直線OM的斜率為，直線ON的斜率為，由題可知，直線MN的斜率不為0，設(shè)，設(shè)直線，則由，可得，易知，且，則；【小問2詳解】設(shè)，由題可知，，其中，聯(lián)立方程，同理，因為：．因為為定值，所以上式與無關(guān)，所以當，即時，此時，所以，所以橢圓的方程為．【小問3詳解】因為，由（2）可知，當時，，故，當且僅當時，等號成立，此時拋物線方程為.圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．17.已知函數(shù)，其中為正實數(shù)．（1）若，討論在的單調(diào)性．（2）若，且方程在至少有一個根，求實數(shù)m的取值范圍．【正確答案】（1）在上單調(diào)遞減（2）【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算對求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)正負即可得出單調(diào)性；（2），將方程轉(zhuǎn)化為在至少有一個根，設(shè)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求得值域，即可求解的范圍．【小問1詳解】，，因為，，所以，所以，，所以，所以在單調(diào)遞減．【小問2詳解】當時，，設(shè)，則，設(shè)，，則，設(shè)，則，因為，所以，即，所以在單調(diào)遞增，又，，所以當時，，即，所以在上單調(diào)遞減，，當時，，所以至少有一個根時，．關(guān)鍵點點睛：第（2）問中，設(shè)可以簡化運算；同時對于正負的判斷，不能去括號化簡，將括號中的多項式視為整體，構(gòu)造函數(shù)二次求導(dǎo)即可簡化運算．18.“三角換元”是代數(shù)中重要且常見的運算技巧，有些代數(shù)式看似復(fù)雜，用三角代替后，實則會呈現(xiàn)出非常直觀的幾何意義，甚至可以與復(fù)雜的二次曲線產(chǎn)生直觀聯(lián)系.（1）利用恒等式和，求函數(shù)和的最小值.（2）在中，角對應(yīng)的邊為.（i）求證.（ii）已知實數(shù)滿足求二元函數(shù)的最大值.【正確答案】（1）的最小值為；的最小值為.（2）（i）證明見解析；（ii）【分析】（1）分和討論，轉(zhuǎn)化為動點到兩定點距離之和和之差最值問題即可；（2）（i）利用三角形內(nèi)角關(guān)系和三角恒等變換證明即可；（ii）設(shè)，，變形得，則轉(zhuǎn)化為表示點到點和的距離之差再加上，利用三點共線即可得到答案.【小問1詳解】設(shè)，，則，因為，所以，所以，所以，即的最小值為：，當時，，表示點到點和的距離之和，所以.當時，，表示點到點和的距離之差，所以，綜上，的最小值為.【小問2詳解】（i）因為，所以，證畢.（ii）在（i）中，令，則且，因為，設(shè)，，所以可得（），則其表示點到點和的距離之差再加上，所以，當且僅當，即時等號取得，此時滿足.關(guān)鍵點點睛：本題第二問第二小問的關(guān)鍵是利用換元法再進行合理變形，將