2024-2025學年河北省高三上冊省級聯(lián)測考試數(shù)學模擬試題（含解析）

2024-2025學年河北省高三上學期省級聯(lián)測考試數(shù)學模擬試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自已的學校?班級?姓名及考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A B.C. D.2.已知復數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A.1或2 B.1 C.2 D.33.已知向量滿足，且，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.4已知，則（）A. B. C.2 D.65.某中學開展勞動實習，學習制作模具，有一個模具的毛壞直觀圖如圖所示，它是由一個圓柱體與一個半球?qū)佣傻慕M合體，已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上?下底面圓的圓心連線的平面）是面積為16的正方形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.6.設為正項等比數(shù)列的前項和，，則數(shù)列的前5項和為（）A.55 B.57 C.87 D.897.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C D.8.已知定義域為的函數(shù)不是常函數(shù)，且滿足，，則（）A. B.2 C. D.2026二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.D.10.已知函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)的極大值點為1C.若，則值域為D.若，都有成立，則的取值范圍為11.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.點在曲線上B.直線與曲線無交點C.設直線，當時，直線與曲線恰有三個公共點D.直線與曲線所圍成的圖形的面積為三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則__________.13.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為______14.某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識答題競賽.已知某同學答對每道題的概率均為，且每次答題相互獨立，若該同學連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學答對道試題的概率為，則當__________時，取得最大值.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.16.已知橢圓的左焦點為，上?下頂點分別為，且，點在上.（1）求橢圓的方程；（2）過左焦點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，設，，證明：為定值.17.如圖，在四棱錐中，平面平面為鈍角三角形且，是中點.（1）證明：；（2）若直線與底面所成的角為，求平面與平面夾角的正弦值.18.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)的極大值大于1；（2）若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知是圖象上四個不重合的點，直線為曲線y=fx在點處的切線，若三點共線，證明.19.已知有限集，若中的元素滿足，則稱為“元重生集”.（1）集合是否為“2元重生集”，請說明理由；（2）是否存在集合中元素均為正整數(shù)的“3元重生集”？如果有，請求出有幾個，如果沒有，請說明理由；（3）若，證明：“元重生集”有且只有一個，且.2024-2025學年河北省高三上學期省級聯(lián)測考試數(shù)學模擬試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自已的學校?班級?姓名及考號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】結(jié)合對數(shù)型復合函數(shù)的定義域化簡集合B，再由交集的定義求.【詳解】集合，而，所以.故選：B.2.已知復數(shù)，若為純虛數(shù)，則（）A.1或2 B.1 C.2 D.3【正確答案】C【分析】計算出，根據(jù)純虛數(shù)的概念得到方程和不等式，求出答案.【詳解】由可知，，因為為純虛數(shù)，所以，解得.故選：C.3.已知向量滿足，且，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)已知條件求得，結(jié)合投影向量的坐標公式即可求解.【詳解】已知，所以，可得，所以，故選：A.4.已知，則（）A. B. C.2 D.6【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件得，然后將目標式子用表示，由此即可得解.【詳解】由，得，則，所以，故選：D.5.某中學開展勞動實習，學習制作模具，有一個模具的毛壞直觀圖如圖所示，它是由一個圓柱體與一個半球?qū)佣傻慕M合體，已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面（過圓柱上?下底面圓的圓心連線的平面）是面積為16的正方形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】得到，確定球的半徑和圓柱的底面圓半徑和高，利用球和圓柱體積公式進行求解.【詳解】因為四邊形是面積為16的正方形，則，由題意可知半球的半徑，圓柱的底面圓半徑，高，由球的體積公式可得半球的體積，由圓柱的體積公式可得圓柱的體積，故該幾何體的體積.故選：C.6.設為正項等比數(shù)列的前項和，，則數(shù)列的前5項和為（）A.55 B.57 C.87 D.89【正確答案】C【分析】先由已知條件算出公比，然后得表達式，結(jié)合分組求和、等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式即可求解.【詳解】因為an是正項等比數(shù)列，所以，公比.因為，所以，則，即，則，解得或（舍），又因為，所以，所以數(shù)列an通項公式為，所以，設數(shù)列的前項和為，則，所以，故選：C.7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)計算即可得表達式，先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定m的取值范圍.【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知，，因為，所以，又，所以，解得，由可得，所以，將的圖象向右平移個單位長度，再將所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象，令，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，因為關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，即與的圖像在上有兩個交點，即與在上有兩個交點，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：B.8.已知定義域為的函數(shù)不是常函數(shù)，且滿足，，則（）A. B.2 C. D.2026【正確答案】A【分析】依次算得，的周期為4，進一步結(jié)合已知得，由此得f1+f2+f3+f【詳解】由題意，令，得，又y=fx不是常函數(shù)，所以，再令，得，即，則fx+2=?fx，即，故所以函數(shù)y=fx的周期為4，由fx+2=?f得，所以f1所以.故選：A.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.D.【正確答案】BD【分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷各個選項即可求解.【詳解】對于選項A，因為，所以0.8，故A錯誤；對于選項B，因為，且，則，即1.8，則，故B正確；對于選項C，，故C錯誤；對于選項D，因為隨機變量，所以，因為，又，所以，故D正確，故選：BD.10.已知函數(shù)，若，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B.函數(shù)的極大值點為1C.若，則的值域為D.若，都有成立，則的取值范圍為【正確答案】BCD【分析】A選項，求導，解不等式求出函數(shù)單調(diào)性；B選項，在A選項基礎(chǔ)上得到函數(shù)的極大值點；C選項，在上單調(diào)遞減，從而求出值域；D選項，參變分離，得到，構(gòu)造函數(shù)，求導得到其單調(diào)性，求出的最小值為，故.【詳解】對于選項A，因為，所以，所以當時，；當時，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，故A錯誤；對于選項B，如下表：1-0+0-單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以1為函數(shù)的極大值點.故B正確；對于選項C，在上單調(diào)遞減，所以的最小值為，最大值為，所以當時，的值域為，故C正確；對于選項D，.因為.即，令，則，因為，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時取到極小值，所以的最小值為，所以，故D正確.故選：BCD.11.已知曲線，則下列說法正確的是（）A.點在曲線上B.直線與曲線無交點C設直線，當時，直線與曲線恰有三個公共點D.直線與曲線所圍成的圖形的面積為【正確答案】BCD【分析】直接將點代入曲線方程即可判斷A；分的正負四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，當斜率為時結(jié)合漸近線可得B正確；由四分之一圓面積減去三角形面積可得D正確；由圖形可得C正確.【詳解】，因當時，無意義，無此曲線，故舍去，所以曲線表示為，作出曲線圖象如圖所示，對于選項A，將點代入，得到，顯然不成立，故A錯誤；對于選項B，將代入曲線得，，無解，故B正確；對于選項C，由于直線恒過點0,2，當時，直線與軸平行，與曲線有一個交點；當時，直線與曲線的漸近線平行，此時與曲線有兩個交點.當時.結(jié)合斜率的范圍可得直線與曲線有三個交點（如圖），故C正確；對于選項D，設直線與軸的交點分別為.因為圓的半徑為2.且點，所以直線與曲線圍成的圖形的面積為，故D正確.故選：BCD.關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是能根據(jù)的正負去掉絕對值符號得到曲線方程，作出圖象，數(shù)形結(jié)合分析.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則__________.【正確答案】3【分析】由切線方程可知切點坐標和切線斜率，利用導數(shù)幾何意義，建立方程，可求的值，進而得到所求和.【詳解】由函數(shù)，有，由，可得，因為曲線y=fx在處的切線方程為，所以解得，則.故3.13.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左?右焦點分別為，過坐標原點的直線與雙曲線交于兩點，且點在第一象限，滿足.若點在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為______【正確答案】##【分析】作出輔助線，根據(jù)數(shù)量積為0得到垂直關(guān)系，設，則，由雙曲線定義可得，由勾股定理得到方程，求出，進而求出.【詳解】如圖，連接，因為，所以，由對稱性可得，由，可設，則，由雙曲線的定義可知，，，則，由得，，即，解得，又由得，，即，解得，所以雙曲線的離心率.故14.某市為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，組織該市中學生進行了一次文化知識答題競賽.已知某同學答對每道題的概率均為，且每次答題相互獨立，若該同學連續(xù)作答20道試題后結(jié)束比賽，記該同學答對道試題的概率為，則當__________時，取得最大值.【正確答案】13或14【分析】先得到，利用解不等式即可.【詳解】由題意得，且，則，即故又，所以或，故當或時，取得最大值.故13或14.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角所對的邊分別為，且滿足.（1）求角；（2）若的面積為，求的周長.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理、三角恒等變換得，進一步即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式得，進一步結(jié)合余弦定理可得，由此即可得解.【小問1詳解】由題意，因為，所以，由正弦定理可得，即，因為，所以，所以，又，所以.【小問2詳解】由（1）可知，，則，因為的面積，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周長為.16.已知橢圓的左焦點為，上?下頂點分別為，且，點在上.（1）求橢圓的方程；（2）過左焦點的直線交橢圓于兩點，交直線于點，設，，證明：為定值.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由，得，再把點代入橢圓方程求出即可；（2）設出直線的方程，代入橢圓方程，設，由，，表示出，利用韋達定理化簡得定值.【小問1詳解】由題意可知，，所以，因為點在上，所以，解得，故，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】由已知得直線的斜率必存在，可設直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，，設，則，又，由得.所以，因為，所以為定值.17.如圖，在四棱錐中，平面平面為鈍角三角形且，是的中點.（1）證明：；（2）若直線與底面所成的角為，求平面與平面夾角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證.（2）根據(jù)已知條件建立適當?shù)目臻g直角坐標系，表示出的坐標，求出兩個平面的法向量，再結(jié)合向量夾角的坐標公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可求解.【小問1詳解】由，得，則，所以，即，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，又平面，所以.【小問2詳解】如圖，過點作的垂線，交的延長線于點，連接，因為平面平面，平面平面平面，所以平面，則為在底面內(nèi)的射影，所以為直線與底面所成的角，即.設，得，在中，，在中，，由余弦定理得，所以，所以，如圖，過點作，則底面，以所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設平面和平面的法向量分別為，則，，令，則，所以，則，設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面夾角的正弦值為.18.已知函數(shù).（1）證明：函數(shù)的極大值大于1；（2）若函數(shù)有3個零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知是圖象上四個不重合的點，直線為曲線y=fx在點處的切線，若三點共線，證明.【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【分析】（1）求導，得到函數(shù)單調(diào)性，確定當時，取得極大值，由單調(diào)性得到；（2）在（1）的基礎(chǔ)上，得到函數(shù)有3個零點，應滿足，即，解得；（3）表達出直線的斜率，同理可得，根據(jù)三點共線得到方程，得到，又，所以，求出，故.【小問1詳解】證明：由題，，令，解得，當或時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，所以當時，取得極大值，由單調(diào)性可知，所以函數(shù)的極大值大于1.【小問2詳解】由（1）可知，當時，有極大值，且極大值為，因為，且當時，有極小值，所以要使得函數(shù)有3個零點，應滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【小問3詳解】直線的斜率，因為，所以，同理可得，因為三點共線，則有，整理得，因為，所以，即，又，所以，整理得，因為，所以，即，所以.方法點睛：導函數(shù)處理零點個數(shù)問題，由于涉及多類問題特征（包括單調(diào)性，特殊位置的函數(shù)值符號，隱零點的探索、參數(shù)的分類討論等），需要學生對多種基本方法，基本思想，注意思路是通過極值的正負和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的走勢，從而判斷零點個數(shù)19.已知有限集，若中的元