數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課件：微積分實(shí)驗(yàn)

微積分實(shí)驗(yàn)牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學(xué)是很多科學(xué)分支的基礎(chǔ).微分和積分是微積分中最核心的兩個(gè)數(shù)學(xué)概念.函數(shù)極限、導(dǎo)數(shù)、微分和積分等問(wèn)題是微積分學(xué)的重要內(nèi)容.MATLAB的符號(hào)運(yùn)算工具箱可以直接求解這些問(wèn)題的解析解.

在實(shí)際科學(xué)和工程研究中，微積分問(wèn)題可能會(huì)得不到解析解.若函數(shù)本身未知，只有科學(xué)實(shí)驗(yàn)測(cè)出的一些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，則無(wú)法對(duì)函數(shù)進(jìn)行求微分和積分，這時(shí)就需要進(jìn)行數(shù)值微分和數(shù)值積分運(yùn)算.本章利用MATLAB求解微分和積分的解析解和數(shù)值解.CONTENTS7.1微分7.2數(shù)值微分7.3積分7.4數(shù)值積分7.1微分

微分學(xué)主要包括極限、導(dǎo)數(shù)與微分.

極限是微積分的基礎(chǔ)概念，極限思想方法是數(shù)學(xué)分析乃至全部高等數(shù)學(xué)必不可少的一種重要方法.

數(shù)學(xué)分析之所以能解決許多初等數(shù)學(xué)無(wú)法解決的問(wèn)題（例如求瞬時(shí)速度、曲線弧長(zhǎng)、曲邊形面積、曲面體的體積等問(wèn)題），正是由于其采用了極限的無(wú)限逼近的思想方法，才能夠得到無(wú)比精確的計(jì)算結(jié)果.

定義：如果當(dāng)

x無(wú)限接近

x0時(shí)，函數(shù)

f(x)無(wú)限接近常數(shù)

A.

則稱函數(shù)

f(x)在

x0處的極限為A，記為

．

MATLAB中主要用

limit

求函數(shù)的極限與導(dǎo)數(shù)；diff

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分.

①

limit(f,var,a)

返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng)var趨于a時(shí)表達(dá)式f的極限；

②

limit(f,var,a,'left')

返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng)var趨于a-0時(shí)表達(dá)式f的左極限；

③

limit(f,var,a,'right')

返回符號(hào)表達(dá)式當(dāng)var趨于a+0時(shí)表達(dá)式f的右極限；

④

diff(f,var,n)

返回符號(hào)表達(dá)式f對(duì)自變量var的n階導(dǎo)數(shù).例7.1求下列極限解（1）>>symsn

>>f=(3*n^3-1)/(4*n^3+n+1);

>>limit(f,n,inf)

ans=

3/4可知.

（2）>>symsn

>>f=(1+n)^(1/n);

>>limit(f,n,0)

ans=

exp(1)可知

（3）>>clear;

>>symsx;

>>limit(sin(x)/x,x,0)

ans=

1可知.（4）>>symsx

>>limit(atan(1/x),x,0,'right')

ans=

pi/2可知.

（5）>>symsx

>>limit(atan(1/x),x,0,'left')

ans=

-pi/2

可知.

例7.2求極限.解>>clear;

>>symsx;

%說(shuō)明x為符號(hào)變量

>>limit(cos(1/x),x,0)

ans=

NaN極限值NaN是個(gè)不定值，可知

不存在.

下面作出函數(shù)

在[-1,-0.01]區(qū)間上的圖形，觀察圖形在x=0附近的形狀.在[-1,-0.01]區(qū)間上繪圖的MATLAB命令為：>>x=-1:0.0001:-0.01;

y=cos(1./x);

plot(x,y)

圖7-1函數(shù)

圖形所得圖形如圖7-1所示.觀察出x趨于0時(shí)，函數(shù)值在-1、1這兩個(gè)數(shù)之間交替震蕩取值，而極限如果存在則必唯一，判斷出極限

不存在.例7.3求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù).解>>symsx

>>y=log(sin(x)-x);%在MATLAB中用log(x)表示lnx.

>>diff(y)

ans=

-(cos(x)-1)/(x-sin(x))可知.例7.4已知函數(shù)

，求函數(shù)關(guān)于x變量的一階微分dy和二階導(dǎo)數(shù)y''.解>>symsabcx

>>y=a*x^2+b*x+c;

%定義函數(shù)表達(dá)式

>>diff(y)

%對(duì)默認(rèn)變量求x一階導(dǎo)數(shù)

ans=2*a*x+b

>>diff(y,'x',2)

%對(duì)符號(hào)變量求x二階導(dǎo)數(shù)

ans=2*a可知

,

.例7.5求參數(shù)方程

確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解>>symst

>>x=cos(t)^3;

>>y=sin(t)^3;

>>dy=diff(y);

>>dx=diff(x);

>>dy/dx

ans=

-sin(t)/cos(t)可知導(dǎo)數(shù).例7.6

先求函數(shù)

的導(dǎo)數(shù)，然后在同一坐標(biāo)系里作出函數(shù)

及其導(dǎo)函數(shù)

的圖形.解函數(shù)求導(dǎo)相應(yīng)的MATLAB代碼為：>>clear;>>symsx;>>diff(x^3-6*x+3,x,1)結(jié)果為ans=3*x^2-6.函數(shù)繪圖相應(yīng)的MATLAB代碼為：>>x=-4:0.1:4;

y1=x.^3-6*x+3;

y2=3*x.^2-6;>>plot(x,y1,x,y2,':')結(jié)果如圖7-2所示，其中實(shí)線是

的圖形，點(diǎn)線是

的圖形.圖7-2

函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)例7.7求函數(shù)

在點(diǎn)（1,2）處的偏導(dǎo)數(shù).解>>symsxy>>z=x^2+3*x*y+y^2;>>zx=diff(z,x)%求z對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)>>zx=2*x+3*y>>subs(zx,[xy],[12])%計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)在（1，2）點(diǎn)處的值ans=8>>zy=diff(z,y)%求z對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)zy=3*x+2*y>>subs(zy,[xy],[12])%計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)在（1，2）點(diǎn)處的值ans=7可知.7.2數(shù)值微分

若所給函數(shù)

f(x)由表格形式給出，那么要直接求解

就不那么容易了.

要求解這樣的問(wèn)題，需要引入數(shù)值算法求解所需問(wèn)題的數(shù)值解.

這種對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)求導(dǎo)數(shù)通常稱為數(shù)值微分.

最簡(jiǎn)單直接的數(shù)值微分方法就是用差商代替微商.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，在點(diǎn)x處，當(dāng)h充分小時(shí)，可用差商來(lái)逼近導(dǎo)數(shù).

向前差商公式：向后差商公式：由向前差商公式和向后差商公式可以得到中心差商公式：由Taylor公式，可以給出差商求導(dǎo)公式的截?cái)嗾`差：

即向前和向后差商公式都是一階算法，中心差商公式是二階算法.例7.8分別利用向前差商、向后差商和中心差商方法求

在x=1處的近似一階導(dǎo)數(shù).解x=1;

h=[0.10.010.001];

x1=x+h;

x2=x-h;

y=exp(x);

y1=exp(x1);

y2=exp(x2);

fq=(y1-y)./h%向前差商

fh=(y-y2)./h%向后差商

fz=(y1-y2)./(2*h)%中心差商

運(yùn)行結(jié)果：fq=2.85882.73192.7196fh=2.58682.70472.7169fz=2.72282.71832.7183實(shí)際上，可以先求導(dǎo)函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)值的方法：>>symsx>>subs(diff(exp(x)),x,1)ans=exp(1)>>vpa(ans)ans=2.7182818284590452353602874713527從差商方法與導(dǎo)函數(shù)方法的結(jié)果對(duì)比可以看出，不同的h得到不同的近似導(dǎo)數(shù)值，h越小，近似導(dǎo)數(shù)的誤差越小.而且，中心差商要比向前差商和向后差商的精度更高.例7.9測(cè)得一個(gè)運(yùn)動(dòng)物體的距離D(t)數(shù)據(jù)如表7-1.用數(shù)值微分求速率v(10)，v(11).解cleart=[8 9 10 11 12];D=[17.45 21.46 25.75 30.30 35.08];fori=2:4Dt(i)=(D(i+1)-D(i-1))/2;endDtt89101112D(t)17.4521.4625.7530.3035.08表7-1物體運(yùn)動(dòng)數(shù)據(jù)運(yùn)行程序，得到結(jié)果：Dt=04.15004.42004.6650可知v(10)=4.42，v(11)=4.665.7.3積分

實(shí)際問(wèn)題中，許多問(wèn)題可以歸結(jié)為定積分的求解.一元函數(shù)定積分的數(shù)學(xué)表示為：

其中f(x)稱為被積函數(shù)，a和b分別稱為積分下限和積分上限.

根據(jù)微積分基本定理（Newton-Leibniz公式）：若被積函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且

，則有

這個(gè)公式表明導(dǎo)數(shù)與積分是一對(duì)互逆運(yùn)算，它也提供了求積分的解析方法：為了求f(x)的定積分，需要找到一個(gè)函數(shù)F(x)，使F(x)的導(dǎo)數(shù)正好是f(x)，我們稱F(x)是f(x)的原函數(shù)或不定積分.

不定積分的求法有學(xué)多數(shù)學(xué)技巧，常用的有換元積分和分部積分法.在MATLAB中，利用int函數(shù)求解析解，調(diào)用格式如下：R=int(s,v)

%對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中指定的符號(hào)變量v計(jì)算不定積分.表達(dá)式R只是表達(dá)式函數(shù)s的一個(gè)原函數(shù),后面沒(méi)有帶任意常數(shù)C；

R=int(s)

%對(duì)符號(hào)表達(dá)式s中確定的符號(hào)變量計(jì)算計(jì)算不定積分；

R=int(s,a,b)

%符號(hào)表達(dá)式s的定積分，a,b分別為積分的下、上限；

R=int(s,x,a,b)%符號(hào)表達(dá)式s關(guān)于變量x的定積分，a,b分別為積分的下、上限.

利用int函數(shù)求解不定積分時(shí)，不會(huì)自動(dòng)添加任意常數(shù)C，需要手動(dòng)添加.例7.10計(jì)算不定積分.解>>clear;symsx;>>int(x^2*sin(x))ans=-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x)可知

，其中C為任意常數(shù).如果用微分命令diff驗(yàn)證積分正確性，MATLAB代碼為：>>clear;symsx;>>diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))ans=x^2*sin(x)例7.11計(jì)算定積分.解>>symsx>>y=exp(x);>>int(y,0,1)ans=exp(1)-1可知.例7.12現(xiàn)通過(guò)測(cè)試者記住西班牙語(yǔ)單詞數(shù)目，來(lái)進(jìn)行一場(chǎng)記憶實(shí)驗(yàn).M(t)表示在t分鐘內(nèi)記住的西班牙語(yǔ)單詞數(shù)目.在這場(chǎng)實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)者的記憶速率為

.如果已知M(0)=0，求M(t)及測(cè)試者在8分鐘內(nèi)記住多少單詞？解由

可知利用MATLAB求解不定積分：>>symst>>y=0.2*t-0.003*t^3;>>M=int(y)M=-(t^2*(3*t^2-400))/4000可知

=

，其中C是任意常數(shù).>>t0=0;>>M0=0;>>C=M0-subs(M,t,t0)C=0>>M8=subs(M,t,8)M8=416/125>>vpa(M8)ans=3.328所以當(dāng)M(0)=0時(shí)，C=0，可得當(dāng)時(shí)，測(cè)試者在8分鐘內(nèi)記住3個(gè)單詞.7.4數(shù)值積分

根據(jù)微積分基本定理（Newton-Leibniz公式），只需尋找到函數(shù)f(x)的原函數(shù)，即可求出定積分的值.但在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到一些困難.比如有些函數(shù)的原函數(shù)雖然存在，但卻無(wú)法用初等函數(shù)表示；或者有些函數(shù)是用圖表表示的，這樣Newton-Leibniz公式就不能直接運(yùn)用.為解決這些問(wèn)題，下面研究積分的數(shù)值計(jì)算方法.

積分是微分的無(wú)限和，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分定義為

（7-3）

將[a,b]進(jìn)行等分，則

，

則

（7-4）左矩形法：在式(7-4)中，取

，可得右矩形法：在式(7-4)中，取

，可得中矩形法：在式(7-4)中，若取

，可得梯形法：在式(7-4)中，若取

，可得在MATLAB中，trapz函數(shù)表示使用梯形法計(jì)算數(shù)值積分，特點(diǎn)是速度快，但精度低.integral函數(shù)采用自適應(yīng)Simpson方法計(jì)算積分，特點(diǎn)是精度較高，較為常用.調(diào)用格式如下：①Q(mào)=trapz(X,Y)梯形積分法，X表示積分區(qū)間的離散化向量，Y是與X同維數(shù)的向量，表示被積函數(shù)，Q返回積分值.②q=integral(fun,xmin,xmax)使用全局自適應(yīng)積分和默認(rèn)誤差容限在xmin至xmax間以數(shù)值形式為函數(shù)fun求積分.例7.13利用矩形法計(jì)算定積分.解定積分

的幾何意義是由

圍成的曲邊梯形的面積.矩形法計(jì)算定積分：首先對(duì)區(qū)間[a,b]進(jìn)行分割，再以小矩形面積近似小曲邊梯形的面積，然后求和得到定積分的近似值．>>a=0;b=1;n=1000;

>>h=(b-a)/n;%求步長(zhǎng)h

>>x=a:h:b-h;%對(duì)區(qū)間[a,b]進(jìn)行n等分

>>y=log(1+x);

>>I=sum(y)*h%利用左矩形法計(jì)算矩形面積，并求和

I=

0.3859若n=10000，則I=0.3863，精確值為

可見(jiàn)，區(qū)間等分?jǐn)?shù)越大，近似值越準(zhǔn)確．例7.14

計(jì)算積分.解先用梯形積分法命令trapz計(jì)算積分,>>clear;x=-2:0.1:2;y=x.^4;

%積分步長(zhǎng)為0.1>>trapz(x,y)ans=12.8533如果取積分步長(zhǎng)為0.01,>>clear;x=-2:0.01:2;y=x.^4;

%積分步長(zhǎng)為0.01>>trapz(x,y)ans=12.8005如果用符號(hào)積分法命令int計(jì)算積分>>clear;symsx;>>int(x^4,x,-2,2)ans=64/5可以看出，當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)的時(shí)候，數(shù)值積分越接近精確值．例7.15求.解創(chuàng)建函數(shù)，fun=@(x)exp(-x.^2).*log(x).^2;計(jì)算x=0至x=Inf的積分，>>q=integral(fun,0,Inf)q=1.9475例7.16求曲線