高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）14空間向量的應(yīng)用（七大題型）

1.4空間向量的應(yīng)用目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 3【知識點(diǎn)梳理】 3【典型例題】 7題型一：求平面的法向量 7題型二：利用向量研究平行問題 10題型三：利用向量研究垂直問題 16題型四：異面直線所成的角 22題型五：線面角 26題型六：二面角 35題型七：距離問題 45

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式.知識點(diǎn)詮釋：（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點(diǎn)A和一個向量，那么過點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.知識點(diǎn)詮釋：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3、平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x、y、z的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點(diǎn)二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點(diǎn)三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點(diǎn)四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．知識點(diǎn)詮釋：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。诋?dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大小．知識點(diǎn)五、用向量方法求空間距離1、求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)A到平面的距離，其中，是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3、點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離.【典型例題】題型一：求平面的法向量【典例11】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知是平面內(nèi)的兩個不共線的向量，，求平面的一個法向量．【解析】設(shè)是平面的一個法向量，由直線與平面垂直的判定定理知即不妨設(shè)，得解得∴平面的一個法向量．【典例12】（2024·高二·江蘇·課后作業(yè)）在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，平面的一個法向量為，是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，求滿足的關(guān)系式.【解析】由題得，因?yàn)槭瞧矫娴囊粋€法向量，所以，從而，即，所以，整理可得，即為所求.【方法技巧與總結(jié)】求平面向量的法向量的基本方法是待定系數(shù)法，即先設(shè)出一個法向量的坐標(biāo)（x，y，z），再在平面上取兩個向量（可取特殊向量，如在某個坐標(biāo)平面上的向量，或與某坐標(biāo)軸平行的向量），則它們與法向量均垂直，因此它們的數(shù)量積均為0，從而得到x、y、。所滿足的兩個方程，再令x為某個特殊值，便可得出y、z的值，從而確定一個法向量．要注意一個平面的法向量有無數(shù)個，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊條件下便可求出．【變式11】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個法向量．

【解析】∵⊥底面，底面是直角梯形且，∴兩兩垂直．以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，易知向量是平面的一個法向量．設(shè)為平面的法向量，則即，取，則，所以平面的一個法向量為.【變式12】（2024·高二·廣東廣州·期中）如圖，在棱長為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求平面的一個法向量.

【解析】因?yàn)檎襟w的棱長為3，，所以，，，則，，設(shè)是平面的法向量，則，，所以，取，則，，故，于是是平面的一個法向量（答案不唯一）．【變式13】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）四邊形是直角梯形，，，平面，，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并求平面和平面的法向量．

【解析】因?yàn)?，平面，平面，所以又，，所以所以以為原點(diǎn)，以，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以是平面的一個法向量．因?yàn)?，設(shè)平面的一個法向量，則

，取，得，所以是平面的一個法向量．題型二：利用向量研究平行問題【典例21】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知多面體是由正四棱錐PABCD與正方體組合而成的，且.求證：平面；【解析】如圖,以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，過P作平面，垂足為點(diǎn),則點(diǎn)是正方形的中心，則于是，則設(shè)平面法向量為n=x,y,z又，則，因，故可取由，可得，又平面，故平面.【典例22】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在長方體中，，，.求證：平面平面.【解析】以D為原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個法向量為.因?yàn)?，即，所以平面平?【方法技巧與總結(jié)】（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．【變式21】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，側(cè)棱平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，底面是直角梯形，.求證：平面；【解析】平面，以為原點(diǎn)，分別以、、的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.，點(diǎn)是的中點(diǎn)，,，則平面，平面的一個法向量為.，平面，平面.【變式22】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．求證：平面；【解析】以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，因?yàn)椋刹辉谝粭l直線上，所以，又平面，平面，所以平面．【變式23】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，四邊形為矩形，平面，，，，分別是，，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面.【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，.則，因?yàn)?，，分別是，，的中點(diǎn)，所以，，，所以.因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為，所以，即.又因?yàn)槠矫妫云矫?（2）因?yàn)?，所以，所以，又平面，所以平?又因?yàn)椋矫?，所以平面平?【變式24】（2024·高二·天津薊州·階段練習(xí)）如圖，在長方體中，，，.(1)求證：平面平面.(2)線段上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）證明：以D為原點(diǎn)，DA，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，則，，，.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為，則.取，則，，所以平面的一個法向量為.因?yàn)?，即，所以平面平?（2）設(shè)線段上存在點(diǎn)P使得平面，.由（1）得，，平面的一個法向量為，所以.所以，解得.所以當(dāng)P為線段的中點(diǎn)時，平面.題型三：利用向量研究垂直問題【典例31】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面，，，為的中點(diǎn)．求證：平面平面.【解析】以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則A0,0,0，，，，，，.設(shè)平面PCD的一個法向量為n1則，即，不妨令，則，，所以，設(shè)平面PAC的一個法向量為，則，即，不妨令，則，，所以，因?yàn)椋?，所以平面平面．【典?2】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱中，平面分別是的中點(diǎn)．求證：．【解析】選取作為空間的一個基底，設(shè)．由已知條件和三棱柱的性質(zhì)，得，，，．所以，所以，即．【方法技巧與總結(jié)】（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．【變式31】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，分別是的中點(diǎn)．在線段上是否存在一點(diǎn)Q，使平面？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，也請說明理由．【解析】假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)，使平面．取的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，．顯然，平面，面，則，，解得，滿足要求，在線段上存在一點(diǎn)，使平面，此時點(diǎn)為點(diǎn)．【變式32】（2024·高二·安徽阜陽·階段練習(xí)）如圖，已知平面ABCD，底面ABCD為正方形，PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn).求證：平面PCD．【解析】如圖，因平面ABCD，底面ABCD為正方形，故可以分別為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.又PA＝AD＝AB＝2，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)，則,,于是，不妨設(shè)平面PCD的法向量為，則有令，故可取，因，則平面PCD.【變式33】（2024·高二·四川成都·期中）已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)M為PD中點(diǎn)，.求證：平面平面.（注：必須用向量法做，否則不得分）【解析】證明：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，故,設(shè)平面的法向量為，則,令，則，，設(shè)平面的法向量為，則,令，則，則，故平面平面.【變式34】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）斜三棱柱的各棱長都為2，，點(diǎn)在下底面ABC的投影為AB的中點(diǎn)O．在棱（含端點(diǎn)）上是否存在一點(diǎn)D使？若存在，求出BD的長；若不存在，請說明理由；【解析】連接，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，由題意知平面ABC，，又，，所以，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，由得，同理得，設(shè)，得，又，，由，則，可得，得，又，即，所以存在點(diǎn)D且滿足條件.【變式35】（2024·高二·福建福州·階段練習(xí)）如圖1，在邊長為4的菱形中，，于點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2.

(1)求證：平面；(2)判斷在線段上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1），，，，，平面，平面，平面，，，，平面，平面；（2）由題意，以，，分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，平面平面，，解得，，在線段上不存在一點(diǎn)，使平面平面．題型四：異面直線所成的角【典例41】（2024·高二·內(nèi)蒙古呼和浩特·階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為．

【答案】/【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面ABC內(nèi)作垂直于AC的直線Ax為x軸，AC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，，，所以，，所以，則直線與所成角的余弦值為，故答案為：.【典例42】（2024·廣東·一模）在正方體中，點(diǎn)P、Q分別在、上，且，，則異面直線與所成角的余弦值為【答案】45/【解析】設(shè)正方體中棱長為3，以D為原點(diǎn)，為x軸，為y軸，為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，則.即異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.【方法技巧與總結(jié)】已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點(diǎn)，a，b所成的角為，則．【變式41】（2024·高二·上海·隨堂練習(xí)）已知，，則異面直線AB和CD所成角的大小為.【答案】【解析】，因?yàn)楫惷嬷本€所成角的范圍為，所以異面直線AB和CD所成角的大小為.故答案為：.【變式42】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，G在棱CD上，且，H是的中點(diǎn)．求直線與直線夾角的余弦值.【解析】如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則E0,0,1，，，，可得，，則，，，設(shè)直線與直線夾角為，則，所以直線與直線夾角余弦值為.【變式43】（2024·高三·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，BA＝BC＝BB1＝1，BA⊥BC(1)記平面平面，證明：平面；(2)點(diǎn)Q是直線上的點(diǎn)，若直線與所成角的余弦值為，求線段長.【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則平面和平面交線為，即因?yàn)闉橹比庵?，所以為平行四邊形，所以為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，即平面.（2）直三棱柱中，，所以兩兩垂直.以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)，則，所以解得，所以線段長為.題型五：線面角【典例51】（2024·高三·山東濰坊·開學(xué)考試）如圖，中，，過點(diǎn)作，垂足為，將沿翻折至，使得.(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）由題意可知，在中，，在中，，所以，所以所以，所以，因?yàn)?，所以，又，且平面，平面，所以平面，?）由（1）知，以為原點(diǎn)，分別為軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，所以，所以，設(shè)平面的一個法向量，所以，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【典例52】（浙江省名校協(xié)作體20232024學(xué)年高三開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題）已知三棱錐滿足，且．

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值，【解析】（1）,,,即：,取中點(diǎn)，連接，則，且平面,平面,

平面（2）解法一：由（1）知，平面平面平面作，垂足為平面平面，且平面平面中記點(diǎn)到平面的距離為與平面所成角為，則由得：因此，解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系由（1）可知中，設(shè)的法向量由得：取記與平面所成角為．則.【方法技巧與總結(jié)】設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．【變式51】（2024·高三·廣東·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面.(1)證明：平面；(2)若，求直線與平面所成角的余弦值.【解析】（1）如圖1，取為內(nèi)一點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫嫫矫妫云矫?，因?yàn)槠矫妫?，同理，因?yàn)?，且平面，所以平?（2）因?yàn)閮蓛纱怪保詾樵c(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.依題意.則.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，令，則，所以.設(shè)直線與平面所成的角為，則.因，故，故直線與平面所成角的余弦值為.【變式52】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，四棱錐中，底面，，分別為線段上一點(diǎn)，.(1)若為的中點(diǎn)，證明：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值的最大值.【解析】（1）證明：由已知得，取的中點(diǎn)T，連接，由N為的中點(diǎn)知，．又，故，且，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面．（2）取的中點(diǎn)，連接，建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．，不妨設(shè)，則，設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z，取，則.設(shè)直線與平面所成角為.故直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【變式53】（2024·高三·江蘇南京·開學(xué)考試）如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點(diǎn)，，.(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.【解析】（1）證明：作的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭钦切危?，又平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)椤危?，又平面，所以平面；?）以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為為軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，所以，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，取，則，設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.【變式54】（2024·高三·陜西·開學(xué)考試）如圖，四棱錐中，底面，四邊形是正方形，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的大?。窘馕觥浚?）分別為的中點(diǎn)，，四邊形為正方形，，則，平面不在平面內(nèi)，平面；（2）四邊形為正方形，，平面平面，兩兩垂直，故以A為原點(diǎn)，所在的直線為x軸，所在的直線為y軸，所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則即得令，則，則，設(shè)直線與平面所成角為，，由，故直線與平面所成角的大小為．【變式55】（2024·安徽·一模）如圖，四棱錐中，底面是矩形，，，，M是的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)P是棱上的動點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，與交于Q點(diǎn)，在底面矩形中，易知，所以，因?yàn)槠矫妫云矫?，因?yàn)槠矫?，所以，易知，所以，由題意可知,所以，而相交，且平面，所以平面；（2）由上可知，，，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0、、、、，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則，，則，取，則，設(shè)，其中，則，因?yàn)橹本€與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.題型六：二面角【典例61】（2024·高三·山東德州·開學(xué)考試）如圖，在以為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形與四邊形均為等腰梯形，，.(1)證明：平面平面；(2)若為線段上一點(diǎn)，且，求二面角的余弦值.【解析】（1）證明：在平面內(nèi)，過做垂直于交于點(diǎn)，由為等腰梯形，且，則又，所以，連接，由，可知且，所以在三角形中，，從而，又平面，，所以平面，平面，所以平面平面（2）由（1）知，平面平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，即，取，則，設(shè)平面的法向量為m=x則，即，取，則，所以，由圖可以看出二面角為銳角，故二面角的余弦值為.【典例62】（2024·廣東珠?！ひ荒＃┤鐖D，三棱柱中，側(cè)面底面，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求面與面夾角的正切值．【解析】（1）因?yàn)槿庵校仕倪呅螢榱庑?，又因，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，故，又側(cè)面底面，側(cè)面底面，側(cè)面，所以底面，又底面，故.（2）因，，故為直角三角形，故，如圖分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A0,0,0，，，由（1）可知，，，故，，則，由題意平面的一個法向量為設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則即，令，則，，則，設(shè)面與面夾角為，則，故，面與面夾角的正切值為.【方法技巧與總結(jié)】如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，則二面角的平面角或，【變式61】（2024·高三·河北保定·開學(xué)考試）如圖所示，在四面體中，平面是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上，且.(1)求證：平面.(2)若，求二面角的正弦值.【解析】（1）方法一：如圖，取中點(diǎn)，因是中點(diǎn)，且，取的四等分點(diǎn)，使，又，則，且，四邊形為平行四邊形，,又平面，且平面，平面.方法二：如圖，連接并延長交于，連接，在中，過點(diǎn)作交于點(diǎn),因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則，又是的中點(diǎn)，則，得在中，因，故，又平面平面，平面.（2）由，知.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，分別以所在直線為軸和軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.又，得，則.設(shè)平面的一個法向量為n=x,y,z則，即，取，則，即；設(shè)平面BCM的一個法向量為，則，即，取，得因?yàn)?，設(shè)二面角的平面角為，則,所以二面角的正弦值為.【變式62】（2024·高三·河北邢臺·開學(xué)考試）如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點(diǎn).

(1)證明：平面.(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)槠矫?，所以是平面的一個法向量，又因?yàn)椋云矫媾c平面夾角的余弦值為.【變式63】（2024·高三·山東菏澤·開學(xué)考試）如圖，在三棱柱中，平面.(1)求證：平面平面；(2)設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）證明平面平面，.又，且平面，平面.平面.又，且平面，平面.平面，平面平面.（2）由（1）知，所以四邊形為正方形，即，且有.以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，以過點(diǎn)和垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個法向量n=x,y,z則即取，同理可得平面的一個法向量，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為.【變式64】（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，為正三角形，底面為矩形，且平面平面分別為棱的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，且二面角的大小為120°，求的值．【解析】（1）如圖，取棱的中點(diǎn)，連接．因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以且．又因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，是棱的中點(diǎn)，故且，所以四邊形是平行四邊形，所以．又平面平面，故平面．（2）取棱的中點(diǎn)，則在正三角形中，，所以平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則．所以．設(shè)平面的法向量為，則即可取．設(shè)平面的法向量為，則即可?。深}設(shè)知，故，即．【變式65】（2024·高三·河南·期中）如圖，在三棱錐中，，,，，于點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)滿足，求二面角的余弦值．【解析】（1）因?yàn)槭枪策?，所以，因?yàn)椋?，且，設(shè)，則，所以，解得，故，在中，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以平?（2）如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在直線分別為軸、軸、軸，建