第五章 三角函數(shù)（14類題型清單）-2024-2025學(xué)年人教版高一數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

第五章三角函數(shù)知識(shí)歸納與題型突破（題型清單）

01思維導(dǎo)圖

三角函數(shù)（一）

02知識(shí)速記

1、象限角的常用表示:

第一象限角{a1360k<a<360k+90eZ]

第二象限角{a1360^+90<a<360k+180,左wZ}

第三象限角{a1360Z:+180<a<360k+270,左￡Z}或

{a1360^-180<a<360k-9G,Z:GZ}

第四象限角{a1360左+270<夕<360k+360,kwZ}或

[a1360k-90<a<360k.k^Z}

2、軸線角的表示:

①終邊落在X軸非負(fù)半軸{⑶夕=360k,keZ}

②終邊落在y軸非負(fù)半軸{〃|〃=360左+90,k^Z}

③終邊落在X軸非正半軸{0\/3=360左+180，keZ}或{尸|〃=360180，4eZ}

④終邊落在y軸非正半軸{四分=360k+270，左eZ}或{￡|￡=360左一90/eZ}

⑤終邊落在x軸{⑶6=180k,keZ)

⑥終邊落在y軸{/?|〃=180上+90，左eZ}或{,|〃=180左一90,keZ]

⑦終邊落在坐標(biāo)軸{⑶尸=90k,k^Z}

3、角度與弧度的換算

弧度與角度互換公式：180°=兀rad

(1on\°兀

Irad=—=57.30=5718'，1=——rad

I7TJ180

4、扇形中的弧長(zhǎng)公式和面積公式

弧長(zhǎng)公式：/=|cdr(a是圓心角的弧度數(shù))，

11,

扇形面積公式：S=-lr=—\a\r".

22

5、任意角的三角函數(shù)定義

如圖,設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊OP與單位圓相交于點(diǎn)尸(x,y)

①正弦函數(shù)：把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)V叫做a的正弦函數(shù)，記作sina,即y=sina

②余弦函數(shù)：把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x叫做a的余弦函數(shù)，記作cosa,即x=cosa

③正切函數(shù)：把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值上叫做a的正切，記作tanc,即工=tana(xwO)

XX

我們將正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)

6、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

1、平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1

sina/,冗、「、

2、商數(shù)關(guān)系:-----=tana(ak7i+—,eZ)

cosa2

7、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性

函數(shù)奇偶性

/(x)=sinx奇函數(shù)

/(x)=COSX偶函數(shù)

/(x)=Asin(s+(p)當(dāng)左萬時(shí)，/（x）=AsinQor+e）為奇函數(shù)；

JI

當(dāng)。x+9=%乃+,時(shí)，/（x）=Asin（s+0）為偶函數(shù)；

/(x)=Acos(0x+(p)JI

當(dāng)。￥+夕=%乃+萬時(shí)，/（%）=AcOS（S+0）為奇函數(shù)；

當(dāng)。￥+0=左》時(shí)，/（x）=Acos（s+0）為偶函數(shù)；

8、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)/(%)=sinxg(x)=cosx

y

圖象A/,

定義域ft.XlX2nx

定義域RR

值域[-1,1][-1,1]

周期性T=2乃T=2乃

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)

單調(diào)性7F4在每一個(gè)閉區(qū)間［2左萬一萬,2左1］

在每一個(gè)閉區(qū)間［2左乃一,,2左萬+萬］（左eZ）上都

（kGZ）上都單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)

rr37r

單調(diào)遞增;在每一個(gè)閉區(qū)間［2左乃+—,2左乃+—］間\2k7T,2k兀+萬］（左GZ）上都單調(diào)遞

22

減

（%eZ上都單調(diào)遞減

最值JI當(dāng)X=2k7l(%￡Z)時(shí)，Vmax=1；

當(dāng)％=2k兀+5(左￡Z)時(shí)，'max=1；

當(dāng)x=2k兀+兀(左EZ)時(shí)，

JT

當(dāng)X=2k兀-5(左￡Z)時(shí)，Vmin=T；Klin=T；

對(duì)稱中心為■，。）（-eZ）,

圖象的對(duì)稱71

對(duì)稱中心為（左乃+耳,0）（左eZ）,

性7T

對(duì)稱軸為直線x=Qr+—（左eZ）

2對(duì)稱軸為直線x=左左（左eZ）

9、正切（型）函數(shù)的性質(zhì)

正切函數(shù)/(x)=tanx正切型函數(shù)/(%)=Atan((yx+°)

定義域71171

{x\x^k7T+—,k^Z}由。x+0w左〃+工=>%力"+2°

CD

值域RR

周期性T=71

T=—

㈤

奇偶性奇函數(shù)k兀

當(dāng)°=5-時(shí)/(%)=Atan((yx+0)是奇函

數(shù)

單調(diào)性兀冗當(dāng)4>0,口>0時(shí)，由

在（k?！?，左"+―）,左eZ上單調(diào)

227C7C

k7l----<（OX+（p<k7l+—,解出單調(diào)增區(qū)

遞增22

間

對(duì)稱性k冗jkn

對(duì)稱中心：（5-,0）左eZ；無對(duì)稱

令：cox+（p=——n_2+，對(duì)稱中

2%—

CD

軸

kn

心為：（20°、，無對(duì)稱軸

CD

10、兩角和與差的余弦公式

兩角和與差的余弦公式

(1)cos(of-J3)=cosacos+sinorsin/?

(2)cos(6Z+/?)=cosacos/3-sinasin)3

11、兩角和與差的正弦公式

(1)sin(cir+/?)=sincrcosP+cosorsin/?

(2)sin(6Z-/?)=sinorcos(3-cosasin(3

12、兩角和與差的正切公式

兩角和與差的正切公式

tana-tan0

(1)tan(a-/?)=

1+tanatan/?

c、tandf+tan/?

(2)tan(z<z+/?)=-------------三

1-tan6/tanp

13、二倍角的正弦、余弦正切公式

①sin2。=2sinacosa

@cos2a=cos2a-sin2a;cos2a=Zcos?a-l；cos2a=1-2sin2a

2tana

（§）tanla----------

1-tana

03題型歸納

題型一〃倍（分）角所在象限

例題1.（23-24高一下?遼寧遼陽?期中）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)4（-3,4）,則券是（）

A.第一或第三象限角B.第二或第四象限角

C.第一或第二象限角D.第三或第四象限角

【答案】A

【分析】根據(jù)角a所在的象限，表示￡所在的象限.

TT

【詳解】由題意可知a是第二象限角，-+2lat<a<Tt+2kn.,k&Z,

TTotitn

則:+航/<；+伍此Z,則上是第一或第三象限角.

故選：A

例題2.（23-24高一下?上海黃浦?期中）已知。是第一象限角，那么（）

/3H

A.1■是第一、二象限角B.|■是第一、三象限角

C.；是第三、四象限角D.，是第二、四象限角

【答案】B

【分析】由。是第一象限角，可得6360°<6><90°+入360°,AeZ,進(jìn)而得至IJhl80°<—<45°+hl80°,keZ,

2

進(jìn)而求解.

【詳解】因?yàn)?。是第一象限角?/p>

所以左?360°<，<90°+左-360°,keZ,

所以左」80?！匆?lt;45。+人180。,kwZ,

2

°

當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，I■是第一象限角，

n

當(dāng)人為奇數(shù)時(shí)，羨是第三象限角,

°

綜上所述，I■第一、三象限角.

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

1.（多選）（23-24高一上?廣東深圳?期末）已知角a是第一象限角，則角］可能在以下哪個(gè)象限（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】ABC

【分析】由a所在的象限求出。的范圍，再求出|?的范圍，最后對(duì)上分類討論，即可判斷；

【詳解】解：因?yàn)榻莂是第一象限角，所以2丘<a<g+2gkwZ,所以當(dāng)吟弊，kwZ,當(dāng)k=3t,

23363

CfTTzyDTTCiSTT

feZ時(shí)，2t兀v—v—+2t兀，teZ,一位于第一象限，當(dāng)左=3f+l,teZ時(shí)，25+—<-<—+2^,

363336

or47r（737rn

t&Z,1■位于第二象限，當(dāng)上=3f+2,teZ時(shí)，25+望<?<彳+25,teZ,1■位于第三象限，綜

上可得/位于第一、二、三象限；

故選：ABC

2.（23-24高一.全國?課后作業(yè)）若角a是第二象限角，試確定2a,1的終邊所在位置.

【答案】角2a的終邊落在第三象限、第四象限或'軸的負(fù)半軸；角合的終邊落在第一象限、第三象限

【分析】根據(jù)象限角的知識(shí)確定正確答案.

【詳解】由于角a是第二象限角，

71

所以2kli+—<a<2kn+兀,

2

兀a7i

所以4E+7i<2a<4E+27i,kn+—<—<kn+—,

422

所以角2a的終邊落在第三象限、第四象限或V軸的負(fù)半軸，

角5的終邊落在第一象限、第三象限.

題型二扇形弧長(zhǎng)和面積

例題1.（23-24高一?上海?課堂例題）已知扇形的弧所對(duì)的圓心角為54。，且半徑為10cm.求該扇形的弧長(zhǎng)

和面積.

【答案】弧長(zhǎng)：37t（cm）；面積：15兀（cn?）

【分析】先將角度轉(zhuǎn)化成弧度，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式面積公式求解.

【詳解】54=養(yǎng),根據(jù)弧長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)為：^xlO=3n(cm),面積為y3畛10=匕兀即)

例題2.(23-24高一下?陜西渭南?階段練習(xí))已知扇形的圓心角是a,半徑為「，弧長(zhǎng)為/；

⑴若a=105,r=8cm,求扇形的弧長(zhǎng)/；

⑵若扇形的周長(zhǎng)為10cm,當(dāng)扇形的圓心角a為多少弧度時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大，最大值是多少？并求出

此時(shí)的半徑r.

147r

【答案】⑴不-(cm)

255

(2)a=2,—cm2,r=—cm

42

【分析】(1)利用弧長(zhǎng)公式可得答案；

(2)利用周長(zhǎng)和面積公式，結(jié)合二次函數(shù)可得答案.

7兀

【詳解】(1)a=105=—,

12

I==-x8=^^(cm).

123v7

(2)由已知得，Z+2r=10,

所以S=%=g(10—2+=—r+5/=_1—目+總，rG(0,5),

所以當(dāng)r=；5cm時(shí)，面積S取得最大值m25cm、

此時(shí)/=5cm,r=gcm,所以a='=2.

2r

鞏固訓(xùn)練

1.(23-24高三下.四川德陽?階段練習(xí))扇形。4B的半徑為2,圓心角所對(duì)的A8長(zhǎng)為4,則該扇形的面積

是.

【答案】4

【分析】根據(jù)已知條件結(jié)合扇形的面積公式直接求解即可.

【詳解】因?yàn)樯刃蜲AB的半徑為2,圓心角所對(duì)的AB長(zhǎng)為4,

所以該扇形的面積是gx4x2=4.

故答案為：4

2.(23-24高一下.北京.階段練習(xí))(1)一條弦的長(zhǎng)等于它所在圓的半徑R,求弦A3和劣弧所組

成的弓形的面積；

(2)一扇形的周長(zhǎng)為10cm,那么扇形的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大?并求出最大

值？

【答案】（1）2兀-3-心；（2）扇形半徑［cm,扇形圓心角為2,扇形面積最大值與cm。

1224

【分析】（1）要怕給定條件，求出劣弧48所對(duì)的圓心角，再求出扇形面積及三角形面積即得.

（2）設(shè)出扇形的半徑，結(jié)合已知建立函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)求解即得.

【詳解】（1）如圖，在圓。中，弦AB=R,則VA03是正三角形，ZAOB=-,AB邊上的高為立R,

32

因此SABC=L-R?立R=而扇形面積為g

ABC224236

所以弦43和劣弧43所組成的弓形的面積是殳心-立心=生0叵R2.

6412

（2）設(shè)扇形的半徑為「，則扇形弧長(zhǎng)/=10-2-，

1s?5?S5

扇形面積3==/r=—/+5-=—r―了《一，當(dāng)且僅當(dāng)廠=彳時(shí)取等號(hào)，

22442

5/75

所以扇形半徑r=：cm,扇形的圓心角為上=2時(shí)，扇形面積取得最大值mcm-

2r4

題型三三角函數(shù)的定義

（J52也、

例題1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知角a的終邊上一點(diǎn),貝！Jsina的值為（）

A百n26「逐n2新

A?--------15?----------L?LI?---------

5555

【答案】B

【分析】利用三角函數(shù)定義，求出廠，即可求出sin。的值.

【詳解】解：：角a的終邊上有一點(diǎn)-三，一號(hào)，

5

故選：B.

例題2.（23-24高一?上海?課堂例題）已知角a的終邊過點(diǎn)P（2a,-3a）（a<0）,求角a的正弦、余弦、正切

及余切值.

【答案】答案見解析

【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求解.

【詳解】設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|0P|=J（2aO+（_3a『

根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，

2

cota=

3

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一下.北京懷柔?期末）已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3,T）,貝qtane=；8stz=.

43

【答案】—/0.6

【分析】利用三角函數(shù)的定義易得正切值和余弦值.

【詳解】依題意，x=3,y=T,r="|=西+（-4）2=5,

V43

則tan6T=—=——,coscr=—.

x35

、43

故答案為：一§；—.

2.（23-24高一?上海?課堂例題）已知a為第二象限的角，其終邊上有一點(diǎn)尸人君），且cosa=也尤.求tan。.

【答案】一半

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義先算出無，然后由正切函數(shù)值的定義求解.

【詳解】由于。為第二象限的角，則x<0,

根據(jù)三角函數(shù)的定義，cosa=gx=〒4,解得x=-6,

44+5

題型四已知tanc求其他分式或多項(xiàng)式

例題1.（23-24高一?上海?課堂例題）已知tana=3,求「———.......的值.

a+2sinacoscr

2

【答案】

【分析】根據(jù)給定條件，利用齊次式法計(jì)算即得.

sina+cosatana+12

【詳解】tana=3,所以

sin267+2sinacosasin2+2sinacosatan2a+2tana32+2x33

例題2.（23-24高一?上海?課堂例題）已知tana=3,求一----------的值.

sina-cosa

7

【答案】I

【分析】分子分母同時(shí)除以cosa即可.

【詳解】由于tana=3有意義，則cosawO,

土、，2sina+cosa八十八e人7

對(duì)表達(dá)式-----------分子分母同時(shí)除以cosa,

sina—cosa

r?2sina+cosa2tana+16+17

貝ij----------------------=----------------=——=-

sina—cositana-l22

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）若tana=2,則2sinacosa等于（）

3334

A.±-B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【分析】先根據(jù)l=sin2q+cos2a將所求式子分子化為齊次式，再利用同角三角函數(shù)關(guān)系化弦為切，最后代

入切的值得結(jié)果.

2sinacosa2tancif_2x2_4

［詳解］2sinacosa=

sin1263r+cos2?tan2?+l22+15

故選：D

2

2.（24-25高一上?全國?課后作業(yè)）已知tano=],求下列各式的值.

“、cosa-sinacosa+sina

⑴-------:---+-------:---

cosa+smacosa-sma

1

(2)-

smacosa

【答案】（1）/

【分析】（1）將式子齊次化即可求解;

(2)將1看做sin?2+cos?。,再進(jìn)行齊次化即可求解.

【詳解】(1)因?yàn)閠ana=1,所以cosawO,將式子c°sa-sina+C°sa+sina的分子分母同時(shí)除以

3cos+smcrcosa-sma

口1-tana1+tana

導(dǎo):------1------

1+tan6/1-tana

“…cosa-sinacosa+sina1-tan<7l+tancr_33_26

所以------:—+-------:—------1------=TI—

cosa+smacosa-sma1+tana1-tana］+2\__5

3-3

1sin2cr+cos2atan2cr+113

(2)

sinacosasinacosatana6

題型五sina±cose與sinacosa的關(guān)系

例題1.（23-24高一下?遼寧沈陽?階段練習(xí)）已知。?（0,兀），sinO+cosO=-;，則下列結(jié)論不正確的是（）

兀八3

A.，JtB.cos6=——

25

37

C.tan6=——D.sin6-cose=一

45

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，求得sinecosdsin夕-cos6,再逐項(xiàng)分析判斷得解.

由夕￡(兀)，。=一(,得。=圭,解得。=一微<°，

【詳解】0,sinO+cosl+2sin6cos2sin6cos

TT

對(duì)于A,sin>0,貝iJcosdvO,G(—,K),A正確;

i7

對(duì)于D,sin0-cos0=y1(sin0-cos0)2=Jl-2sinecos夕=《,D正確;

.17.34

對(duì)于B,由sin0+cos0——"fsin。一cos。=~,-fg1sin3=cos3———,B至昔；

八sin。3

對(duì)于C,tan0=------“c正確.

COS。

故選：B

（多選）（23-24高一下?山東濰坊?階段練習(xí)）設(shè)ae（O,兀），sina+cos?=|,則下列等式正確的

例題2.

是（)

.8B.sin?-cos?=^

smacosa=——

93

7

tana=——D.=

139

【答案】BD

【分析】將sina+cosa=；兩邊平方，結(jié)合平方關(guān)系求出A,即可判斷ae71

2,71，則

sina-cosa-sina+cosa）--4sinacosa,即可判斷B、C,利用平方差公式判斷D.

【詳解】因?yàn)閟ina+cosa=g,所以(sina+cosa21

I二-,

9

即sin2+2sincrcosa+cos2a=*,艮［H+2sinacosa=",

所以sinacosa=-§,故A錯(cuò)誤;

又1￡（0,兀），sincr>0,所以cosa<0,則二￡仁,兀卜貝Utana<0,

故B正確、C錯(cuò)誤;

2-2(?cosa-sina)=；x

cosa-sina=(cosa+sina故D正確;

故選：BD

鞏固訓(xùn)練

SIT371I

1.（23-24高一下?山東威海?階段練習(xí)）已知且sin6cos6=—,貝（JcosJ—sim9=

428

【答案】g

2

【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求得cos。-sin。的值.

【詳解】

5兀八3兀

—<6<—,/.cos^>sin^,

42

則cos。一sin。=J（cos6-sine）2=Jl-2sin6cose=,

故答案為：B.

2

八sina—cosa+

2.（23-24高一?上海?課堂例題）（1）已知tana=2求^---------的值;

sina+cosa

(2)若sina—cosa=—,求sinacosa的值.

13

【答案】（1）I；（2）（

Jo

【分析】（1）利用商數(shù)關(guān)系，得至丹"°sa=旦"，再由條件13na=2,即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)

sma+cosatancr+1

3

條件及平方關(guān)系，得到2sinacosa==,即可求出結(jié)果.

4

-/一、e、rsina-cosatanor-l^「廣…sina-cosa2-11

【詳解】(1)因?yàn)?--------------=----------又tana=2,所以［------------=

sina+cosatancr+lsma+cosi2+13

(2)因?yàn)閟ina-cosa=—,兩邊同時(shí)平方得到sin2cr-2sinc^coscr+cos2cr=—,

24

133

整理得到2sinacosa=1——=—,所以sin。cosa=—.

448

題型六利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)

例題1.（23-24高一下?陜西渭南?期中）已知。是第三象限角，且cosa=-5.

⑴求tana的值；

sin（a+7i）+2cos（a-兀）

（2）求.（無、一（37tA的值，

sina+—+cosa-\---

I2；I2J

【答案】（1）今12

22

(2)——

17

【分析】（1）由已知直接利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值;

（2）利用誘導(dǎo)公式求解.

【詳解】（1）因?yàn)閍是第三象限角，且cosa=q,

所以sina=-Vl—cos2a=---,所以tana=sma=一

13cosa5

sin(a+兀)+2cos(a—兀)_sina-2cosa-tana-2522

(2)

.(\3兀、cosa+sina1+tana]+U17

sina+—+cosa-\---

I2；I2Jy

例題2.（23-24高一上?新疆阿克蘇?階段練習(xí)）化簡(jiǎn):

?、九27r37147r

(l)COSy+COS—+COS—+COS—;

tan[-a—乃)sin(f—a)

【答案】（DO

(2)-cos?

【分析】（1）由誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可;

（2）由誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.

JI

—cos—,

5

貝!J原式=cos——Fcos-----cos-----cos—=0;

5555

/八h—-COS6Z-sina-f-tanar)

(2)原式:-----------'-----^-=-cosa.

一tansin。

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高一下?安徽亳州?階段練習(xí)）已知tan（兀-0=-2.

cos（a-71]-sinf—+a]

⑴求I2）（2J的值；

2sin（a+兀）+cos（2兀一a）

（2）求2sin*2cr+sinacosa的值.

【答案】（1）—1

（2）2

（兀）.「3兀1

coscc——sin-----Fcc

【分析】（1）先根據(jù)條件求出tana=2,然后把（2）（2J轉(zhuǎn)換成tana的形式代入即可.

2sin（a+兀）+cos（2兀-a）

（2）把Zsi/a+sinacosa轉(zhuǎn)化成tana的形式代入即可.

【詳解】（1）因?yàn)閠an（?！猘）=—2,

所以tana=2,

cosa——-sm-----\-a

所以I2)\2)_sina+cosa_tana+1

2sin+7i)+COS(2TC-cr)-2sina+cosa-2tan<7+1

八.2.2sin26r+sincrcoscr2tan2a+tana8+23

(2)2sina+sinacosa=---------------?-----=------------------=-------=2.

sincr+cos6/tan6Z+14+1

2.（23-24高一下?北京?期中）已知角。為第二象限角，且sin6=拽.

5

⑴求cos。的值；

sin（兀-6）—sin[夕一巴]

（2）求------------A~V的值.

COS（一夕）+COS[T一夕）

【答案】⑴-g;

【分析】（1）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；

（2）法1,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，直接代入計(jì)算可得；法2,由（1）的結(jié)論求出tand=-2,利用誘導(dǎo)公式化

簡(jiǎn)，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切，最后代入tan6=-2計(jì)算可得；

【詳解】（1）sin20+cos26>=1,sin6>=~~'?'cos2==H

;角e為第二象限角，，以九夕二-75

5,

sin(71-^)-sin(n兀'2A/5y/5非

I2>1_sin8+cos0_55_5_1

(2)法1：

cos(-6)+cos(TTcos-sin<9y/52百3A/53

-1s--"F

sin0+cos0tan6+1-2+1]_

法2：易得tan。=—2,則

cos。一sin。1—tan01+23

題型七求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例題1.(2024高一下?上海?專題練習(xí))函數(shù)y=-2tan[3x+：j的單調(diào)遞減區(qū)間是

【答案】傳-消+之上).

【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性，整體代入法求解即可.

【詳解】令E—四<3x+=<M+',kwZ,

242

if-r-izt—?k)iTTkrc7c

角|得----<%<——+—,

34312

故函數(shù)y=-2tan(3x+￡|的單調(diào)遞減區(qū)間是+

故答案為:[至_“了+石堆eZ).

例題2.(23-24高二上?云南文山?期末)已知函數(shù)/Q)=sin"x

(1)求函數(shù)的最小正周期及;

⑵求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

【答案】⑴7=兀，=(

7171J7r

2)-----bEr,_+EkeZ

63J

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)周期公式即可求函數(shù)/(%)的最小正周期；

(2)根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性即可求函數(shù)/(%)的單調(diào)增區(qū)間；

【詳解】⑴對(duì)于函數(shù)/(x)=sin(2x-]它的最小正周期為T=]=n；佃=}

,JI

(2)令——+2fai<2x——V—+2E,keZ,

262

-----F2A1142%<----卜2kn,kJZ,SP-----—Fkit,kGZ.

3363

jrTT

所以，函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是-工+反,彳+阮keZ.

63

例題3.（23-24高一?上海?課堂例題）求函數(shù)y=2cos|jqj的最小正周期及單調(diào)區(qū)間.

【答案】答案見詳解

【分析】根據(jù)周期公式求最小正周期，若蘭為整體，結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性運(yùn)算求解.

T_2?！?/p>

X71的最小正周期一1一今兀

【詳解】由題意可知：y=2cos2~6

2

vjrSjyjr

令2kji-7i<-------<2far,kwZ,角星得4fal------<x<4fal+—,keZ,

2633

XTTTT7冗

令2kitW-------<2kn,+7i,,解得4E+—-----,keZ,

2633

X71STT冗

所以y=2cos的單調(diào)遞增區(qū)間為4E——,4^71+—，左wZ,單調(diào)遞減區(qū)間為

2~6

.,?！?7兀,”

4knH—,4左兀H-----，女￡Z.

33

鞏固訓(xùn)練

1.（23-24高二上.甘肅武威.階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）=sin（2x-：：,則在（0,最上的單調(diào)遞增區(qū)間

2

為（）

A.B.吟

5兀71兀71

C.D.

12923,2

【答案】B

【分析】由正弦函數(shù)的單調(diào)性以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.

71兀2兀

【詳解】當(dāng)時(shí)，2x-—G

33'T

71

所以當(dāng)，SPxe（0書時(shí),函數(shù)〃尤）單調(diào)遞增.

故選：B.

2.（24-25高一上?全國?單元測(cè)試）已知函數(shù)/（力=2儂（今-2x）+1,則函數(shù)〃力的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

A.攵兀+工，％兀+—（左￡Z）B.kji--,k7r+—(ZEZ)

63v736

,57i.1IK/7r7\

C.fol--,^71+-(kGZ)D.KJlH----,K71H------WZ)

1212v71212v7

【答案】A

【分析】先化簡(jiǎn)函數(shù)，再應(yīng)用整體代換計(jì)算余弦函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.

【詳解】/（x）=2cos^-2^+l=2cos^2x-^+l,

令￡[2伍2版+兀]（左￡Z）,貝E++g（ZEZ）,

所以函數(shù)/（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為kn+2E+g（keZ）.

故選:A.

3.（24-25高二?上海?假期作業(yè)）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

（1）y=3tangx+T；

⑵y=tan（_3x+：.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為+keZ,無單調(diào)遞減區(qū)間

⑵單調(diào)遞減區(qū)間為（-§+與■，至+可），keZ,無單調(diào)遞增區(qū)間

【分析】（1）直接根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

（2）首先利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.

TT17r7T

【詳解】（1）由題意得---\-kjt<-x-\—<—I-kit,keZ,

2242

解得2析-+

22

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為+keZ,無單調(diào)遞減區(qū)間;

（2）y=tanf-3x+^=-tanf3x--^'j,

冗