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文檔簡介
2025二輪復習專項訓練21
計數(shù)原理與概率
[考情分析]1.高考中主要考查兩個計數(shù)原理、排列與組合的應用,對二項式定理的考查以
求二項展開式的特定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為主,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),
難度中等偏下2高考中對此概率內(nèi)容多以實際材料為背景,主要考查隨機事件的概率及古典
概型、條件概率的計算,也考查概率與統(tǒng)計的綜合應用,選擇題、填空題或解答題中均有出
現(xiàn),難度中等偏下.
【練前疑難講解】
一、排列與組合問題
1.兩個計數(shù)原理
(1)在應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時,一般先分類再分步,每一步當中又可能
用到分類加法計數(shù)原理.
(2)對于復雜的兩個計數(shù)原理綜合應用的問題,可恰當列出示意圖或表格,使問題形象化、直
觀化.
2.解排列組合問題要遵循兩個原則:
一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列
組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).
二、二項式定理
1.二項式定理的常用結(jié)論
(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1
(2)(1+無)”=c9+chH-----PCwH------l-c;^.
2.求解二項式有關(guān)問題時,一定要注意“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系.
三、概率
1.古典概型的概率公式
叫m事件A中所含的樣本點
尸(A)一〃一試驗的樣本點總數(shù).
2.條件概率
在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率:%8以)=與黑.
3.相互獨立事件同時發(fā)生的概率:若A,8相互獨立,則尸(AB)=P(A)P(8).
4.若事件A,B互斥,則尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).
5.全概率公式
一般地,設4,42,…,4是一組兩兩互斥的事件,A,UA2U-UA?=f2,且尸(A)>0,,=
1,2,n,則對任意的事件BCQ,有P(B)=£P(guān)(A>P(B|4).
)=I
一、單選題
1.(22-23高三下?湖北?階段練習)甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活
動,現(xiàn)有A3,C三個小區(qū)可供選擇,每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一
名志愿者,且甲不在A小區(qū)的概率為()
19310025
A.---B.C.—D.一
24324339
2.(23-24高三上?河北?期末)第19屆亞運會在杭州舉行,為了弘揚"奉獻,友愛,互助,
進步”的志愿服務精神,5名大學生將前往3個場館開展志愿服務工作.若要求每個
場館都要有志愿者,則當甲不去場館A時,場館8僅有2名志愿者的概率為()
32163
A.-B.—C.—D.一
550114
3.(2024?遼寧丹東?一模)的展開式中常數(shù)項為()
x
A.24B.25C.48D.49
4.(2024?北京?三模)已知彳-X的二項式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項為
()
A.-240B.240C.60D.-60
二、多選題
5.(2024?廣東廣州?一模)甲箱中有3個紅球和2個白球,乙箱中有2個紅球和2個白球
(兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別),先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱,分別用事件
A和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機取出兩球,用事件8表示從
乙箱中取出的兩球都是紅球,則()
3
A.P(4)=-B.P(B)=—
50
C爪).D.尸(右忸)=:
6.(23-24高三上?湖北?階段練習)投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,己知出現(xiàn)正面向上的概率
為P,記4表示事件"在〃次投擲中,硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”,則下列結(jié)論正確的是
()
A.4與人是互斥事件B.尸(4)=廣
C.P(A?)=(i-2p)p⑷+pD.P(4”)>P(4“+2)
三、填空題
7.(21-22高三上?山東?開學考試)設"C9+C;97+C*72++C;;7%則。除以9所得的
余數(shù)為.
8.(2024?廣東江蘇?高考真題)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標有一個數(shù)字,甲的
卡片上分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8,兩人進行四輪
比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張,并比較所選卡片上數(shù)字
的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的
卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.
【基礎保分訓練】
一、單選題
1.(2023?全國?高考真題)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4
名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為()
.1112
A.-B.-C.-D.一
6323
2.(23-24高二下,重慶?階段練習)從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復的
三位偶數(shù),這樣的數(shù)有()個.
A.24B.30C.36D.60
3.(2024?山東日照?一模)今年賀歲片,《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了
電影市場,小明和他的同學一行四人決定去看這三部電影,則恰有兩人看同一部影片的選
擇共有()
A.9種B.36種C.38種D.45種
4.(2024?遼寧大連?一模)將MCDER六位教師分配到3所學校,若每所學校分配2人,
其中A3分配到同一所學校,則不同的分配方法共有()
A.12種B.18種C.36種D.54種
5.(2024?廣東?模擬預測)若f=%+4](*-6)+%(%-6)~++%(x-6)6,則氏=
()
A.6B.16C.26D.36
6.(2024?貴州黔南,二模)我國農(nóng)歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、
豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號,今年2024年是龍年.那么從今年起的
(13M+1)年后是()
A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年
7.(2024?海南???模擬預測)在黨的二十大報告中,習近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教
育",促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應黨中央號召,近期將安排甲、乙
、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導教育教學工作,則每個地區(qū)至
少安排1名專家的概率為()
1418
A.-B.—C.-D.—
99327
8.(2024?北京石景山?一模)一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球.若從中不放回地
取球2次,每次任取1個球,記"第一次取到紅球”為事件A,“第二次取到紅球”為事件
B,則P(同A)=()
4234
A.—B.—C.—D.一
15555
9.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)有3臺車床加工同一型號的零件,第1,2,3臺加工的次品率
分別為5%,2%,4%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)的比為
4:5:11,現(xiàn)任取一個零件,記事件4="零件為第z?臺車床加工"(i=L2,3),事件3="零
件為次品",則尸(4忸)=()
510
A.0.2B.0.05C.—D.——
3737
10.(2024?遼寧?二模)某公司的員工中,有15%是行政人員,有35%是技術(shù)人員,有50%
是研發(fā)人員,其中60%的行政人員具有博士學歷,40%的技術(shù)人員具有博士學歷,80%的
研發(fā)人員具有博士學歷,從具有博士學歷的員工中任選一人,則選出的員工是技術(shù)人員的
概率為()
2124
A.—B.—C.-D.一
5599
二、多選題
11.(2024?江蘇?模擬預測)若“3〃為正整數(shù)且則()
A.C;=C;B.&號
1
C.mCXn-DC:;D.A:+mAr=A:+1
12.(23-24高二上?遼寧遼陽?期末)某班星期一上午要安排語文、數(shù)學、英語、物理4節(jié)
課,且該天上午總共4節(jié)課,下列結(jié)論正確的是()
A.若數(shù)學課不安排在第一節(jié),則有18種不同的安排方法
B.若語文課和數(shù)學課必須相鄰,且語文課排在數(shù)學課前面,則有6種不同的安排方法
C.若語文課和數(shù)學課不能相鄰,則有12種不同的安排方法
D.若語文課、數(shù)學課、英語課按從前到后的順序安排,則有3種不同的安排方法
13.(2024?江西,二模)在(2尤一”的展開式中()
A.二項式系數(shù)之和為32B.第3項的系數(shù)最大
C.所有項系數(shù)之和為-1D.不含常數(shù)項
14.(2024?山東青島?三模)某新能源車廠家2015-2023年新能源電車的產(chǎn)量和銷量數(shù)據(jù)
如下表所示
年份201520162017201820192020202120222023
產(chǎn)量(萬臺)3.37.213.114.818.723.736.644.343.0
銷量(萬臺)2.35.713.614.915.015.627.129.731.6
記"產(chǎn)銷率”=宜言x100%,2015-2023年新能源電車產(chǎn)量的中位數(shù)為機,則()
產(chǎn)量
A.機=18.7
B.2015-2023年該廠新能源電車的產(chǎn)銷率與年份正相關(guān)
2
C.從2015-2023年中隨機取1年,新能源電車產(chǎn)銷率大于100%的概率為§
D.從2015-2023年中隨機取2年,在這2年中新能源電車的年產(chǎn)量都大于機的條
件下,這2年中新能源電車的產(chǎn)銷率都大于70%的概率為5
15.(2024?浙江?二模)某中學的48兩個班級有相同的語文、數(shù)學、英語教師,現(xiàn)對此2個
班級某天上午的5節(jié)課進行排課,2節(jié)語文課,2節(jié)數(shù)學課,1節(jié)英語課,要求每個班級的
2節(jié)語文課連在一起,2節(jié)數(shù)學課連在一起,則共有種不同的排課方式用數(shù)字
作答)
16.(2024?浙江?三模)甲、乙、丙3人站到共有6級的臺階上,若每級臺階最多站2
人且甲、乙不站同一個臺階,同一臺階上的人不區(qū)分站的位置,則不同的站法種數(shù)是
種.(用數(shù)字作答)
17.(23-24高三上?湖南張家界?階段練習)為了做好社區(qū)新疫情防控工作,需要將5名志
愿者分配到甲、乙、丙、丁4個小區(qū)開展工作,若每個小區(qū)至少分配一名志愿者,則有
種分配方法(用數(shù)字作答);
18.(2023?全國?模擬預測)已知(ox-2)(x+—下的展開式中的常數(shù)項為240,貝1|"=.
【能力提升訓練】
一、單選題
1.(2024?浙江?模擬預測)某羽毛球俱樂部,安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽(一
場為男雙,一場為女雙,一場為男女混雙),每名選手只參加1場表演賽,則所有不同的安
排方法有()
A.2025種B.4050種C.8100種D.16200種
2.(22-23高三上?全國?階段練習)將編號為1,2,3,4,5的小球放入編號為1,2,3,
4,5的小盒中,每個小盒放一個小球.則恰有2個小球與所在盒子編號相同的概率為
()
1111
A.—B.—C.—D.—
861224
3.(23-24高三上?黑龍江牡丹江?期末)7個人站成兩排,前排3人,后排4人,其中甲乙
兩人必須挨著,甲丙必須分開站,則一共有()種站排方式.
A.672B.864C.936D.1056
4.(2023?廣東茂名?二模)從1、2、3、4、5中任選3個不同數(shù)字組成一個三位數(shù),則該
三位數(shù)能被3整除的概率為()
.1132
A.—B.—C.—D.一
105105
5.(2024?浙江嘉興,二模)6位學生在游樂場游玩A,B,C三個項目,每個人都只游玩一個項
目,每個項目都有人游玩,若A項目必須有偶數(shù)人游玩,則不同的游玩方式有()
A.180種B.210種C.240種D.360種
6.(2024?遼寧大連?一模)()
3°313233343536
646411
A.----B.---C.----D.---
729729729729
7.(2024?重慶?三模)中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中,對同余除法有較深的研究.
設〃,。,機(根>0)為整數(shù),若〃和人被加除得余數(shù)相同,則稱。和。對模加同余.記為
a三b(modm)芾a=C;4+C;4+C;4+C;4+?一+C普,a三b(modl7),則。的值可以是()
A.14B.15C.16D.17
8.(2024?遼寧撫順?一模)若[1+j(l+x)"的展開式中含x項的系數(shù)為10,貝M的值是
()
A.3B.4C.5D.6
1a
9.(22-23高二下?江蘇南通?期中)已知隨機事件A,3滿足尸(A)=§,P(A|B)=-,
P伍|A)=《,則尸①)=()
\7lo
13941
A.-B.—C.—D.—
4161648
10.(2024?湖南常德?三模)設有甲、乙兩箱數(shù)量相同的產(chǎn)品,甲箱中產(chǎn)品的合格率為
90%,乙箱中產(chǎn)品的合格率為80%.從兩箱產(chǎn)品中任取一■件,經(jīng)檢驗不合格,放回原箱后在
該箱中再隨機取一件產(chǎn)品,則該件產(chǎn)品合格的概率為()
56717
A.—B.-C.一D.—
67820
二、多選題
11.(23-24高二下?寧夏石嘴山?期中)"楊輝三角"是中國古代數(shù)學文化的瑰寶之一,最早出
現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》一書中."楊輝三角”揭示了二項式系
數(shù)在三角形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律,如圖所示.下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是
()
楊輝三角
第
0行
第
1行1
第
2行11
第
3行121
第
4行1331
第
5行14641
第
6行15101051
第
7行1615201561
第
8行172135352171
18285670562881
A.C;+C;+C;++C=165.
B.由"第〃行所有數(shù)之和為2""猜想:C:+C:+C;++C:=2".
C.第20行中,第11個數(shù)最大.
D.第15行中,第7個數(shù)與第8個數(shù)之比為7回9.
12.(2024?廣東佛山?一模)有一組樣本數(shù)據(jù)0,1,2,3,4,添加一個數(shù)X形成一組新的數(shù)據(jù),
且尸(X=)t)=備(左£{0,123,4,5}),則新的樣本數(shù)據(jù)()
3
A.第25百分位數(shù)不變的概率是二
16
31
B.極差不變的概率是至
C.平均值變大的概率是!
2
7
D.方差變大的概率是看
13.(2024?云南?模擬預測)現(xiàn)有顏色為紅、黃、藍的三個箱子,其中紅色箱子內(nèi)裝有2個
紅色球,1個黃色球和1個藍色球;黃色箱子內(nèi)裝有2個紅色球,1個藍色球;藍色箱子內(nèi)
裝有3個紅色球,2個黃色球.若第一次先從紅色箱子內(nèi)隨機抽取1個球,將取出的球放
入與球同色的箱子中,第二次再從剛才放入與球同色的這個箱子中任取一個球,則下列說
法正確的是()
A.若第一次抽到黃色球,那么第二次抽到藍色球的概率為:
4
3
B.第二次抽到藍色球的概率為7
16
C.如果第二次抽到的是藍色球,則它最有可能來自紅色箱子
D.如果還需將5個不同的小球放入這三個箱子內(nèi),每個箱子至少放1個,則不同的放
法共有150種
14.(2024?全國?模擬預測)中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中,對同余除法有較深的
研究,設a,b,m(m>0)為整數(shù),若a和6被m除得的余數(shù)相同,則稱。和6對模相同
余,記為a斗(modm).如9和21除以6所得的余數(shù)都是3,則記為9三21(mod6).若
a=C2+C02+C和2?+,+C^-222,a=b(mod10),則。的值可以是().
A.2019B.2023C.2029D.2033
15.(2024?山東煙臺?一模)先后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次,記向上的點數(shù)分別為
無,y,設事件A="log“+i)y為整數(shù)",B="x+y為偶數(shù)",C="x+2y為奇數(shù)”,則()
A.P(A)=iB.P(AB)=1
O12
7
C.事件B與事件C相互獨立D.P(A|C)=—
lo
三、填空題
16.(2024?全國?模擬預測)中國古建筑聞名于世,源遠流長.如圖1所示的五脊殿是中國傳
統(tǒng)建筑中的一種屋頂形式,該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖可近似地看作如圖2所示的五面體
EF-現(xiàn)裝修工人準備用四種不同形狀的風鈴裝飾五脊殿ER-MCD的六個頂點,
要求E,F處用同一種形狀的風鈴,其它每條棱的兩個頂點掛不同形狀的風鈴,則不同的
裝飾方案共有種.
圖1圖2
17.(23-24高二下?重慶?階段練習)近年來,重慶以獨特的地形地貌、城市景觀和豐富的
美食吸引著各地游客,成為“網(wǎng)紅城市遠道而來的小明計劃用2天的時間游覽以下五個
景點:解放碑、洪崖洞、重慶大劇院、"輕軌穿樓”打卡點、磁器口,另外還要安排一次自
由購物,因此共計6項內(nèi)容.現(xiàn)將每天分成上午、下午、晚上3個時間段,每個時段完成
1項內(nèi)容,其中大劇院與洪崖洞的時段必須安排在同一天且相鄰,洪崖洞必須安排在晚
上,"輕軌穿樓"必須安排在白天,其余項目沒有限制,那么共有種方案.
18.(2024?江西,模擬預測)唐宋八大家,又稱唐宋散文八大家,是中國唐代韓愈、柳宗
元,宋代蘇洵、蘇軾、蘇轍、王安石、曾鞏、歐陽修八位散文家的合稱,其中江西獨占三
家,分別是:王安石、曾鞏、歐陽修,他們掀起的古文革新浪潮,使詩文發(fā)展的陳舊面貌
煥然一新.為弘揚中國傳統(tǒng)文化,某校決定從唐宋八大家中挑選五位,于某周末開展他們的
散文賞析課,五位散文家的散文賞析課各安排一節(jié),連排五節(jié).若在來自江西的三位散文家
中至少選出兩人,且他們的散文賞析課互不相鄰,則不同的排課方法共有種.(用數(shù)
字作答)
19.(2024?浙江紹興?模擬預測)若一個“位數(shù),各位從高到低分別為弓,生,..4(“22),且
滿足%>%>...>〃,,我們便將其稱之為"遞減數(shù)".那么正整數(shù)之中任取"遞減數(shù)",則在其中
取到一個偶數(shù)概率是
2025二輪復習專項訓練21
計數(shù)原理與概率
[考情分析]1.高考中主要考查兩個計數(shù)原理、排列與組合的應用,對二項式定理的考查以
求二項展開式的特定項、特定項的系數(shù)及二項式系數(shù)為主,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn),
難度中等偏下2高考中對此概率內(nèi)容多以實際材料為背景,主要考查隨機事件的概率及古典
概型、條件概率的計算,也考查概率與統(tǒng)計的綜合應用,選擇題、填空題或解答題中均有出
現(xiàn),難度中等偏下.
【練前疑難講解】
一、排列與組合問題
1.兩個計數(shù)原理
(1)在應用分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理時,一般先分類再分步,每一步當中又可能
用到分類加法計數(shù)原理.
(2)對于復雜的兩個計數(shù)原理綜合應用的問題,可恰當列出示意圖或表格,使問題形象化、直
觀化.
2.解排列組合問題要遵循兩個原則:
一是按元素(或位置)的性質(zhì)進行分類;二是按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說,解排列
組合問題常以元素(或位置)為主體,即先滿足特殊元素(或位置),再考慮其他元素(或位置).
二、二項式定理
1.二項式定理的常用結(jié)論
(l)(a-b)n=C%"-_|------p(_1)仁初"-----P(—1
(2)(1+無)”=c9+chH-----PCwH------l-c;^.
2.求解二項式有關(guān)問題時,一定要注意“二項式系數(shù)”與“項的系數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系.
三、概率
1.古典概型的概率公式
叫m事件A中所含的樣本點
尸(A)一〃一試驗的樣本點總數(shù).
2.條件概率
在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率:%8以)=與黑.
3.相互獨立事件同時發(fā)生的概率:若A,8相互獨立,則尸(AB)=P(A)P(8).
4.若事件A,B互斥,則尸(AUB)=P(A)+P(3),P(T)=1一尸(A).
5.全概率公式
一般地,設4,42,…,4是一組兩兩互斥的事件,A,UA2U-UA?=f2,且尸(A)>0,,=
1,2,n,則對任意的事件BCQ,有P(B)=£P(guān)(A>P(B|4).
)=I
一、單選題
1.(22-23高三下?湖北?階段練習)甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活
動,現(xiàn)有A3,C三個小區(qū)可供選擇,每個志愿者只能選其中一個小區(qū).則每個小區(qū)至少有一
名志愿者,且甲不在A小區(qū)的概率為()
19310025
A.---B.C.—D.一
24324339
2.(23-24高三上?河北?期末)第19屆亞運會在杭州舉行,為了弘揚"奉獻,友愛,互助,
進步”的志愿服務精神,5名大學生將前往3個場館開展志愿服務工作.若要求每個
場館都要有志愿者,則當甲不去場館A時,場館8僅有2名志愿者的概率為()
32163
A.-B.—C.—D.一
550114
3.(2024?遼寧丹東?一模)的展開式中常數(shù)項為()
x
A.24B.25C.48D.49
4.(2024?北京?三模)已知彳-X的二項式系數(shù)之和為64,則其展開式的常數(shù)項為
()
A.-240B.240C.60D.-60
二、多選題
5.(2024?廣東廣州?一模)甲箱中有3個紅球和2個白球,乙箱中有2個紅球和2個白球
(兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別),先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱,分別用事件
4和4表示從甲箱中取出的球是紅球和白球;再從乙箱中隨機取出兩球,用事件3表示從
乙箱中取出的兩球都是紅球,則()
311
A.P(A)=-B.P(B)=—
92
c.P(同4)=玄D.%4忸)=1
6.(23-24高三上?湖北?階段練習)投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣,己知出現(xiàn)正面向上的概率
為P,記4表示事件"在〃次投擲中,硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”,則下列結(jié)論正確的是
()
A.4與&是互斥事件B.尸(4)=。2
C.P(A+J=(1-2p)p(A)+pD.尸(&1Ap(D
三、填空題
7.(21-22高三E山東?開學考試)設。=八+。7+或72++C豺9,則。除以9所得的
余數(shù)為.
8.(2024?廣東江蘇?高考真題)甲、乙兩人各有四張卡片,每張卡片上標有一個數(shù)字,甲的
卡片上分別標有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片上分別標有數(shù)字2,4,6,8,兩人進行四輪
比賽,在每輪比賽中,兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張,并比較所選卡片上數(shù)字
的大小,數(shù)字大的人得1分,數(shù)字小的人得0分,然后各自棄置此輪所選的卡片(棄置的
卡片在此后的輪次中不能使用).則四輪比賽后,甲的總得分不小于2的概率為.
參考答案:
題號123456
答案BBDBABDACD
1.B
【分析】根據(jù)題意,先求得所有情況數(shù),然后求得甲去A的情況數(shù),從而得到甲不去A小
區(qū)的情況數(shù),再結(jié)合概率公式,即可得到結(jié)果.
【詳解】首先求所有可能情況,5個人去3個地方,共有35=243種情況,
再計算5個人去3個地方,且每個地方至少有一個人去,
5人被分為3,1,1或2,2,1
當5人被分為3,1,1時,情況數(shù)為C;xA;=60;
當5人被分為2,2,1時,情況數(shù)為史卓&=90;
所以共有60+90=150.
由于所求甲不去A,情況數(shù)較多,反向思考,求甲去A的情況數(shù),最后用總數(shù)減即可,
當5人被分為3,1,1時,且甲去A,甲若為1,則C;xA;=8,甲若為3,則C:xA;=12
共計8+12=20種,
當5人被分為2,2,1時,且甲去A,甲若為1,則冬xA”6,甲若為2,則
C:xC;xA;=24,共計6+24=30種,
所以甲不在A小區(qū)的概率為150一(20+3。)=竺2
243243
故選:B.
2.B
2
【分析】首先得甲去場館B或C的總數(shù)為150x(=100,進一步由組合數(shù)排列數(shù)即可得所求
概率.
【詳解】不考慮甲是否去場館A,所有志愿者分配方案總數(shù)為
2
甲去場館A3,C的概率相等,所以甲去場館B或C的總數(shù)為150x§=100,
甲不去場館A,分兩種情況討論,
情形一,甲去場館8,場館B有兩名志愿者共有用=24種;
情形二,甲去場館C,場館8場館C均有兩人共有C:C:=12種,
場館8場館A均有兩人共有C:=6種,所以甲不去場館A時,
場館B僅有2名志愿者的概率為24;;:+6=急嗎.
故選:B.
3.D
【分析】利用二項式定理連續(xù)展開兩次,然后令4-/*-24=0,從而滿足題意的數(shù)組(八,女)
可以是:(0,2),(2,1),(4,0),將這些數(shù)組回代入通項公式即可運算求解.
【詳解】(X+—-1)4的展開式通項為
X
4(9、4一/44-r,、女
*=ZQx+2(-i)r=(m,LJ
r=0\XJr=0k=0
44-r
=ZQ(T)'ZC1,2。?"*^0<r<4,0<k<4-r,r,keN),
r=0k=0
令4-一2左=0,得滿足題意的數(shù)組(r㈤可以是:(0,2),(2,1),(4,0),
規(guī)定C:=l,
故所求為C:(一1)°C:2?+C:(-1)2C;21+C:(-I),2°=24+24+1=49.
故選:D.
4.B
【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可得〃=6,結(jié)合二項展開式分析求解.
【詳解】由題意可知:二項式系數(shù)之和為2"=64,可得〃=6,
r
其展開式的通項為Tr+{=C;[(-x)=(-1/-26T.q.=0,i,工…,6,
3
令(-3=0,解得廠=2,
所以其展開式的常數(shù)項為(-以?24?屋=240.
故選:B.
5.ABD
【分析】根據(jù)條件概率的概率公式及全概率的概率公式計算可得.
【詳解】依題意可得P(A)=1,尸(&)=:,叩聞爺=>呻|&)=裊,
?JJJ-A\J
oaoi11
所以P(B)=P(4)P(網(wǎng)a)+尸(A)p(3%)=+yx^=而,故A正確、B正確、c錯
誤;
12
——x—
尸⑷所制2
105故D正確.
1111
50
故選:ABD
6.ACD
【分析】對A根據(jù)對立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷;對B,直接計算尸(&)即可;對
C,利用全概率公式即可;對D,構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.
【詳解】對A,因為對立事件是互斥事件,所以A正確;
對B,尸(4)=p2+(l-p)2=2p2_2p+l,所以B錯;
對C,由全概率公式可知
尸(4+J=P(A+J4>P(4)+尸(電區(qū))?尸(4)=Q-P)尸(4)+P(I-P(4))
=(1一2。)尸(4)+p,所以C正確;
對D,由C可知尸(4+J4=(1-2°)卜(4)-』,
因為尸==g_p/o,
所以卜(4)-l是以為首項,1-20為公比的等比數(shù)列,
所以P(A.)_g=\_p](l_2P尸=g(l_2p)",
所以P(A)=%(1-2p)"+g,
所以尸(4“)=:(1一2。產(chǎn)+^,因為0<P<1且p#;,
所以l—2pe(—1,0)50」),所以(l-2p)2e(0,l),
所以P(&")=;(1-2p)2"+;=g[(l-2p)2]”+1是關(guān)于n的遞減數(shù)列,
所以P(怎)>尸(怎+2),D正確.
故選:ACD.
【點睛】關(guān)鍵點睛:本題D選項的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡得到
P(4)=1(l-2pr+1,最后得到尸(4“)=g(l-20產(chǎn)+:,利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)
性即可.
7.8
【分析】根據(jù)已知條件將。寫為(1+7)%即(9-1嚴,展開后觀察式子即可得到結(jié)果.
【詳解】因為。=黑+或7+或72++C;;7\
所以
1919191819
a=(l+7)=(9-1)=C°99+C;99(-l)++C;沙(一1)18+C^(-l)=91=9(1)+8,
ZeN*,
所以。除以9所得的余數(shù)為8.
故答案為:8
8.y/0.5
【分析】將每局的得分分別作為隨機變量,然后分析其和隨機變量即可.
【詳解】設甲在四輪游戲中的得分分別為X1,X2,X3,X”,四輪的總得分為X.
對于任意一輪,甲乙兩人在該輪出示每張牌的概率都均等,其中使得甲得分的出牌組合有
六種,從而甲在該輪得分的概率產(chǎn)區(qū)=1)=£=],所以E(XJ=|(A=1,2,3,4).
_4_4QQ
從而磯X)=E(X+X2+X3+Xj=ZE(Xj=Zd=亍
k=lk=l&乙
記2=尸(*=k)化=0,1,2,3).
如果甲得。分,則組合方式是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出2,4,6,
11
8,所以Po=Q=五;
如果甲得3分,則組合方式也是唯一的:必定是甲出1,3,5,7分別對應乙出8,2,4,
11
6,所以。3=爐=五.
3
而X的所有可能取值是0,1,2,3,故〃o+Pi+P2+P3=1,pi+2p2+3p3=E(X)=~.
所以Pl+〃2+77=1,P1+2P2+3=7,兩式相減即得P2+彳7=彳,故72+〃3=彳.
12o22422
所以甲的總得分不小于2的概率為P2+叢=(.
故答案為:工.
2
【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為隨機變量問題,利用期望的可加性得
到等量關(guān)系,從而避免繁瑣的列舉.
【基礎保分訓練】
一、單選題
1.(2023?全國?高考真題)某校文藝部有4名學生,其中高一、高二年級各2名.從這4
名學生中隨機選2名組織校文藝匯演,則這2名學生來自不同年級的概率為()
1112
A.—B.-C.-D.一
6323
2.(23-24高二下,重慶?階段練習)從0,1,2,3,4中選出3個數(shù)組成各位數(shù)字不重復的
三位偶數(shù),這樣的數(shù)有()個.
A.24B.30C.36D.60
3.(2024?山東日照?一模)今年賀歲片,《第二十條》、《熱辣滾燙》、《飛馳人生2》引爆了
電影市場,小明和他的同學一行四人決定去看這三部電影,則恰有兩人看同一部影片的選
擇共有()
A.9種B.36種C.38種D.45種
4.(2024?遼寧大連?一模)將ABCDER六位教師分配到3所學校,若每所學校分配2人,
其中48分配到同一所學校,則不同的分配方法共有()
A.12種B.18種C.36種D.54種
&
5.(2024?廣東■模擬預測)若X,=4+卬(無一6)+%(%一6)~++a6(x-6),則%=
()
A.6B.16C.26D.36
6.(2024?貴州黔南?二模)我國農(nóng)歷用"鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、
豬”這12種動物按順序輪流代表各年的生肖年號,今年2024年是龍年.那么從今年起的
(13耳+1)年后是()
A.虎年B.馬年C.龍年D.羊年
7.(2024?海南???模擬預測)在黨的二十大報告中,習近平總書記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教
育",促進城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門積極響應黨中央號召,近期將安排甲、乙
、丙、丁4名教育專家前往某省教育相對落后的三個地區(qū)指導教育教學工作,則每個地區(qū)至
少安排1名專家的概率為()
1418
A.—B.-C.—D.—
99327
8.(2024?北京石景山?一模)一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球.若從中不放回地
取球2次,每次任取1個球,記"第一次取到紅球”為事件A,"第二次取到紅球"為事件
B,則尸(叫4)=()
4234
A.—B.-C.—D.一
15555
9.(2024?黑龍江哈爾濱?一模)有3臺車床加工同一型號的零件,第1,2,3臺加工的次品率
分別為5%,2%,4%,加工出來的零件混放在一起.已知第1,2,3臺車床加工的零件數(shù)的比為
4:5:11,現(xiàn)任取一個零件,記事件4="零件為第,臺車床加工”。=1,2,3),事件3="零
件為次品",則尸(4忸)=()
510
A.0.2B.0.05C.—D.—
3737
10.(2024?遼寧?二模)某公司的員工中,有15%是行政人員,有35%是技術(shù)人員,有50%
是研發(fā)人員,其中60%的行政人員具有博士學歷,40%的技術(shù)人員具有博士學歷,80%的
研發(fā)人員具有博士學歷,從具有博士學歷的員工中任
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