二元一次方程組 章節(jié)復(fù)習(xí)卷（12個(gè)知識(shí)點(diǎn)+50題練習(xí)）（解析版）

第08章二元一次方程組章節(jié)復(fù)習(xí)卷（12個(gè)知識(shí)點(diǎn)

+50題練習(xí)）

知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1.二元一次方程的定義

（1）二元一次方程的定義

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

（2）二元一次方程需滿足三個(gè)條件①首先是整式方程.②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù).③

所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是'次.不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程.

知識(shí)點(diǎn)2.二元一次方程的解

（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程

的解.

（2）在二元一次方程中，任意給出一個(gè)未知數(shù)的值，總能求出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)唯一確

定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解.

（3）在求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出

其中一個(gè)未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對(duì)值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對(duì)應(yīng)值.

知識(shí)點(diǎn)3.解二元一次方程

二元一次方程有無數(shù)解.求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的

方法，即先給出其中一個(gè)未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對(duì)值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對(duì)

應(yīng)值.

知識(shí)點(diǎn)4.由實(shí)際問題抽象出二元一次方程

（1）由實(shí)際問題列方程是把“未知”轉(zhuǎn)化為“己知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和

未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.

（2）一般來說，有2個(gè)未知量就必須列出2個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符.

（3）找等量關(guān)系是列方程的關(guān)鍵和難點(diǎn).常見的一些公式要牢記，如利潤(rùn)問題，路程問題,

比例問題等中的有關(guān)公式.

知識(shí)點(diǎn)5.二元一次方程的應(yīng)用

二元一次方程的應(yīng)用

（1）找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）挖掘題目中的關(guān)系，找出等量關(guān)系，列出二元一次方程.

（4）根據(jù)未知數(shù)的實(shí)際意義求其整數(shù)解.

知識(shí)點(diǎn)6.二元一次方程組的定義

（1）二元一次方程組的定義：

由兩個(gè)一次方程組成，并含有兩個(gè)未知數(shù)的方程組叫做二元一次方程組.

（2）二元一次方程組也滿足三個(gè)條件：

①方程組中的兩個(gè)方程都是整式方程.

②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù).

③每個(gè)方程都是一次方程.

知識(shí)點(diǎn)7.二元一次方程組的解

（1）定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

（2）一般情況下二元一次方程組的解是唯一的.數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)與出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)遇到

有關(guān)二元一次方程組的解的問題時(shí)，要回到定義中去，通常采用代入法，即將解代入原方程

組，這種方法主要用在求方程中的字母系數(shù).

知識(shí)點(diǎn)8.解二元一次方程組

（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程,

將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來.②將變形后的關(guān)系式

代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求

出x（或y）的值.④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的

值.⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解.

（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)

的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相

等或互為相反數(shù).②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元

一次方程.③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值.④將求出的未知數(shù)的值代入原方程

組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值.⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，

就得到原方程組的解，用|,力的形式表示.

ly=b

知識(shí)點(diǎn)9.由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組

（1）由實(shí)際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把己知量

和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系.

（2）一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示

的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符.

（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：

①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系.②將問題中給出的條件按意思分割

成兩個(gè)方面，有“；”時(shí)一般“；”前后各一層，分別找出兩個(gè)等量關(guān)系.③借助表格提供

信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系.④圖形問題，分析圖形的長(zhǎng)、寬，從中找等量

關(guān)系.

知識(shí)點(diǎn)10.二元一次方程組的應(yīng)用

（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：

（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系.

（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來.

（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組.

（4）求解.

（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答.

（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元.

當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元.無論怎

樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程.

知識(shí)點(diǎn)11.解三元一次方程組

（1）三元一次方程組的定義：方程組含有三個(gè)未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都

是1,并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.

（2）解三元一次方程組的一般步驟：

①首先利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組

中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組.②然后解這個(gè)二元一次

方程組，求出這兩個(gè)未知數(shù)的值.③再把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系

數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)關(guān)于第三個(gè)未知數(shù)的一元一次方程.④解這個(gè)一元一次方程,

求出第三個(gè)未知數(shù)的值.⑤最后將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫在一起即可.

知識(shí)點(diǎn)12.三元一次方程組的應(yīng)用

在解決實(shí)際問題時(shí)，若未知量較多，要考慮設(shè)三個(gè)未知數(shù)，但同時(shí)應(yīng)注意，設(shè)幾個(gè)未知數(shù),

就要找到幾個(gè)等量關(guān)系列幾個(gè)方程.

（1）把求等式中常數(shù)的問題可轉(zhuǎn)化為解三元一次方程組，為以后待定系數(shù)法求二次函數(shù)解

析式奠定基礎(chǔ).

（2）通過設(shè)二元與三元的對(duì)比，體驗(yàn)三元一次方程組在解決多個(gè)未知數(shù)問題中的優(yōu)越性.

練習(xí)卷

一.二元一次方程的定義（共4小題）

1.（2023春?正定縣期末）下列是二元一次方程的是（）

,1

A.x+2y=3B.x+y=lC.y+—=2D.2x-1=5

x

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義判斷即可.

【解答】解：4選項(xiàng)，含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,符合題意；

8選項(xiàng)，x的次數(shù)是2,不符合題意；

C選項(xiàng)，不是整式方程，不符合題意；

。選項(xiàng)，不含兩個(gè)未知數(shù)，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的定義，掌握二元一次方程的定義是解題的關(guān)鍵，含有兩

個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,像這樣的方程叫做二元一次方程.

2.（2023春?鄰水縣期末）已知關(guān)于x,y的方程（2r-6）”網(wǎng)+7y=0是二元一次方程,則

m=1

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義可得阿-21=1,且2〃L6W0,然后求解即可解答.

【解答】解：由題意得：|a-2|=l,且2m—6*0,解得"?=1.

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的定義，含有兩個(gè)未知數(shù)，且兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都為

1,這樣的整式方程叫二元一次方程.

3.（2023春?闔中市校級(jí)期末）若/鵬―2/T=5是二元一次方程，則加=-,

一§一

n=.

【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)方面考慮，求常

數(shù)“7、〃的值.

【解答】解：因?yàn)?y1=5是二元一次方程,

則3加一3=1,且〃—1=1,

4。

m=-,n=2.

3

故答案為：--2.

3

【點(diǎn)評(píng)】二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：

（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；

（2）含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；

（3）方程是整式方程.

4.（2023春?寧津縣期中）如果（加-3）x+2嚴(yán)/+8=0是關(guān)于x,y的二元一次方程，試求

m的值.

【分析】根據(jù)二元一次方程滿足的條件，即只含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整

式方程，即可求得機(jī)的值.

【解答】解：根據(jù)題意，得

|加-2|=1且加-3R0,

解得"7=1.

【點(diǎn)評(píng)】考查了二元一次方程的定義和絕對(duì)值，二元一次方程必須符合以下三個(gè)條件：

（1）方程中只含有2個(gè)未知數(shù)；

（2）含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)為一次；

（3）方程是整式方程.

二.二元一次方程的解（共4小題）

fx=1_

5.2023春?南通期末）若1，是關(guān)于x和y的二元一次方程根x+即=3的解，則2加-4〃

U=-2

的值等于（）

A.3B.6C.-1D.-2

【分析】把x與y的值代入方程計(jì)算即可求出機(jī)-2〃=3,把所求式子因式分解后代入計(jì)算

即可.

【解答】解：將《代入方程加工+即=3得：m-2n=3,

〔y=一2

/.2m-4〃=2（m-2n）=2x3=6.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

6.（2023春?義烏市校級(jí)期中）若尸=2是某個(gè)二元一次方程的解，則這個(gè)方程可以是

卜=1

x+y=3（答案不唯一）.（只要求寫出一個(gè)）

【分析】將x,y的值代入x+y,即可得出結(jié)論.

【解答】解：F=2,

b=1

:.x+y=3.

故答案為：X+7=3（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

7.（2023春?鎮(zhèn)平縣期中）若廠=1和卜”=3都是關(guān)于-y的二元一次方程

b=-2[j=-5

V"----1-

辦+勿+2=0的解，試求。與b的值，并通過計(jì)算驗(yàn)證2不是這個(gè)方程的解.

J=T

【分析】把x與〉的兩對(duì)值代入方程得到關(guān)于。與人的方程組，求出方程組的解得到。與b

的值，檢驗(yàn)即可.

【解答】解：把I"1和I”用代入方程得:a—2b+2=0(J)

b=-2b=-53"56+2=0②

①x3-②得：-6+4=0,

解得：b=4,

把6=4代入①得：〃一8+2=0,

解得：a=6

方程為6x+4y+2=0，

把,2代入方程得：左邊=6x（―'）+4x（-1）+2=—3—4+2=—5,右邊=0,

J=T2

?.?左邊H右邊，

，「二一5不是這個(gè)方程的解.

J=T

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的

值.

8.（2024春?淮安期中）已知關(guān)于無、y的二元一次方程辦+3y+b=0（a,b均為常數(shù)，且

QW0）.

（1）當(dāng)。=1,8=-2時(shí)，用x的代數(shù)式表示y為：

（2）若尸=2是該二元一次方程的一個(gè)解；

[y=-b

①探索0與b的關(guān)系，并說明理由；

②無論*%取何值，這些方程都有一個(gè)公共的解，請(qǐng)求出這個(gè)解.

【分析】（1）把。=1，6=-2代入關(guān)于尤、y的二元一次方程ax+3y+6=0得關(guān)于x,y的

方程，把y用x表示出來即可；

（2）①把卜=2代入關(guān)于x、＞的二元一次方程辦+3y+b=0得關(guān)于。，b的方程，進(jìn)行

[y=-b

整理即可得到答案；

②把。=6代入原方程變形，根據(jù)無論a,6取何值，這些方程都有一個(gè)公共的解，求出所

求結(jié)果即可.

【解答】解：（1）把a(bǔ)=1,b=-2代入關(guān)于x、y的二元一次方程ax+3y+6=0得：

x+3y—2=0,

3y=2-x，

故答案為：y=三

(2)@a=b,理由如下：

把(代入關(guān)于工、歹的二元一次方程辦+3y+6=0得：

[y=-b

2?！?b+b=0,

2a-2b=0,

2a=2b,

a=b；

②由①可知：a=b,

二.原方程化為：ax+3y+a=0,

a(x+1)+3>=0，

?.?無論a,6取何值，這些方程都有一個(gè)公共的解，

x+l=0,3y=0,解得：x=—1f>=0,

.?.這個(gè)公共解為：「=T.

)=0

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解是使方

程左右兩邊相等的未知數(shù)的值.

三.解二元一次方程(共4小題)

9.(2023春?新泰市期中)已知2x-y=4,用含y的代數(shù)式表示x=()

A.與—B.他心C.y+4D.2(y+4)

【分析】移項(xiàng)后得出2x=y+4,再方程兩邊都除以2即可.

【解答】解：2x-y=4,

2x=y+4,

4

r_y+

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程，能正確根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵.

10.(2023春?岱岳區(qū)期中)二元一次方程x+3y=7的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】從系數(shù)*1的未知數(shù)下手，把y看作已知數(shù)求出x,即可確定出方程的正整數(shù)解.

【解答】解：方程x+3y=7,

解得：x=—3y+7,

當(dāng)y=0時(shí)，x=7,

y=1時(shí)，x=4,

y=2時(shí)，x=l,

則方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)是3.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的解，掌握解二元一次方程的步驟是關(guān)鍵.

7

11.2024春?東坡區(qū)期中）如果2x-7y=8,那么用含有y的代數(shù)式表示x得_x=4+；九

【分析】把y看作已知數(shù)求出x即可.

【解答】解：由題意可得，x=犯攵=4+工夕.

22

7

故答案為：x=4+jy.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解二元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

12.（2023春?蕪湖期末）己知3x-y=6.

（1）用含x的代數(shù)式表示y的形式為_y=3x-6_；

（2）若-1<%3,求x的取值范圍.

【分析】（1）把無看作已知數(shù)求出y即可；

（2）根據(jù)y的范圍確定出x的范圍即可.

【解答】解：（1）方程3x-y=6,

解得：y=3x-6；

故答案為：y=3x-6；

（2）—1<y?3,—1<3x—6?3,

5「

一<x”3.

3

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將X看作已知數(shù)求出

四.由實(shí)際問題抽象出二元一次方程（共4小題）

13.（2023春?曲陽縣期中）若甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,則“甲數(shù)的3倍比乙數(shù)的一半少2”列

成方程是（）

A.3x+-j/—2B.3x-5）=2C.-3x+——2D.3x——jv+2

【分析】因?yàn)椤凹讛?shù)的3倍比乙數(shù)的一半少2”，則可列成方程gy-3x=2.

【解答】解：若甲數(shù)為x,乙數(shù)為y,可歹U方程為:y-3x=2.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程，比較容易，根據(jù)“甲數(shù)的3倍比乙數(shù)

的一半少2”可以直接列方程.

14.（2023春?興文縣期中）《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題，大意是：甲、乙兩人各帶了若

干錢，如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50；如果乙得到甲所有錢的4,那么乙

3

也共有錢50.問：甲、乙兩人各帶了多少錢？小明用二元一次方程組解決此問題，若他已

經(jīng)列出一個(gè)方程x+；y=50,則符合題意的另一個(gè)方程是（）

2222

A.x+—y=50B.y+—x=50C.x——y=50D.y——x=50

3333

【分析】由給出的方程，可找出X,V的含義，再根據(jù)“如果乙得到甲所有錢的4,那么乙

3

也共有錢50”，即可列出符合題意的另一個(gè)方程.

【解答】解?.?如果甲得到乙所有錢的一半，那么甲共有錢50,且所列方程為x+gy=50,

.??X表示甲帶的錢數(shù)，y表示乙?guī)У腻X數(shù).

又?.?如果乙得到甲所有錢的4,那么乙也共有錢50,

3

符合題意的另一個(gè)方程是y+jx=50.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方

程是解題的關(guān)鍵.

15.（2023春?廈門期末）六一兒童節(jié)，某班級(jí)家委用650元購買了一些水筆和筆記本作為

兒童節(jié)的禮物，這兩種文具的單價(jià)分別為7元/支、5元/本.設(shè)購買了x支水筆和y本筆記

本，根據(jù)以上信息，可列出方程：—7尤+5y=650—.

【分析】利用總價(jià)=水筆的單價(jià)x購買水筆的數(shù)量+筆記本的單價(jià)x購進(jìn)筆記本的數(shù)量，即

可列出關(guān)于x,y的二元一次方程，此題得解.

【解答】解：根據(jù)題意得：7x+5y=650.

故答案為：7x+5j=650.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方

程是解題的關(guān)鍵.

16.根據(jù)題意列出方程：

（1）買5千克蘋果和3千克梨共需23.6元，分別求蘋果和梨的單價(jià)，設(shè)蘋果的單價(jià)為x元

/千克，梨的單價(jià)為y元/千克；

（2）七年級(jí)一班男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)的工多7人，求男生、女生的人數(shù)，設(shè)男生人

3

數(shù)為x,女生人數(shù)為y.

【分析】（1）根據(jù)買5千克蘋果和3千克梨共需23.6元，即可得出關(guān)于x,y的

二元一次方程；

（2）根據(jù)七年級(jí)一班男生人數(shù)的2倍比女生人數(shù)的」多7人，即可得出關(guān)于x,

3

y的二元一次方程.

【解答】解：（1）依題意，得：5x+3y=23.6;

（2）依題意，得：2x」y=7.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出

二元一次方程是解題的關(guān)鍵.

五.二元一次方程的應(yīng)用（共4小題）

17.Q022?黃島區(qū)校級(jí)期末）將一根長(zhǎng)的鐵絲截成2"和加兩種長(zhǎng)度的鐵絲（兩種都有）

如果沒有剩余，那么截法有4種.

【分析】先設(shè)出未知數(shù)，然后根據(jù)題意列出方程：2x+y=9,然后利用y=9-2x,找出方

程的正整數(shù)解即可求出.

【解答】解：設(shè)截成2匹的有x段，加的有y段，且xwO,y#0,

根據(jù)題意可列方程得：2x+y=9,

則y=9-2x,

???x、y均為正整數(shù)，

二當(dāng)尤=1時(shí)，y=7；當(dāng)x=2時(shí)，y=5；當(dāng)x=3時(shí)，7=3；當(dāng)尤=4時(shí)，y=\■.

方程的正整數(shù)解有4組，即截法有4種，

故答案為:4.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的主要是二元一次方程的整數(shù)解，解題關(guān)鍵列出方程并找出方程的正整

數(shù)解.

18.（2023春??？谄谥校┦罴俚搅耍?9名男同學(xué)去外地參加研學(xué)，住宿時(shí)有2人間和3人

間可供住宿，每個(gè)房間都要住滿，共有幾種住宿方案（）

A.5種B.4種C.3種D.2種

【分析】設(shè)住了x間兩人間，y間3人間，列出方程2x+3y=19,根據(jù)2x為偶數(shù)，19為奇

數(shù)，推出y為奇數(shù)，找出所有符合條件的正整數(shù)解即可.

【解答】解：設(shè)住了x間兩人間，y間3人間，

根據(jù)題意可列方程：2x+3y=19,

???2元為偶數(shù)，19為奇數(shù),

；.3夕為奇數(shù)，則y為奇數(shù)，

當(dāng)y=l時(shí)，x=8；

當(dāng)y=3時(shí)，x=5；

當(dāng)y=5時(shí)，x=2；

，共有3種住宿方案，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，根據(jù)題意

找出等量關(guān)系，列出方程，找出符合條件的正整數(shù)解.

19.（2024?肇東市模擬）學(xué)校計(jì)劃用200元錢購買2兩種獎(jiǎng)品，/獎(jiǎng)品每個(gè)15元，B

獎(jiǎng)品每個(gè)25元，兩種都要買且錢全部用完，則購買方案有2種.

【分析】設(shè)購買了N種獎(jiǎng)品x個(gè)，8種獎(jiǎng)品y個(gè)，根據(jù)學(xué)校計(jì)劃用200元錢購買/、B兩

種獎(jiǎng)品，工種每個(gè)15元，3種每個(gè)25元，兩種都要買且錢全部用完，列出二元一次方程,

再根據(jù)x,y為正整數(shù)可求出解.

【解答】解：設(shè)購買了N種獎(jiǎng)品x個(gè)，2種獎(jiǎng)品y個(gè)，

根據(jù)題意得：15尤+25〉=200,

整理得：3x+5y=40,

???X,y為正整數(shù)，

尸或尸°,

[y=5l.v=2

購買方案有2種，

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程是解題的

關(guān)鍵.

20.（2024?寧波模擬）根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

如何設(shè)計(jì)采購方案？

素材1為了迎接今年9月末至10月初在杭州舉行的第19屆亞運(yùn)會(huì)，某旅

游商店購進(jìn)若干明信片和吉祥物鑰匙扣.已知一個(gè)吉祥物鑰匙扣的

售價(jià)比一套明信片的售價(jià)高20元.

素材2小明在本店購買了1套明信片與4個(gè)吉祥物鑰匙扣與共花費(fèi)130

元.

素材3已知明信片的進(jìn)價(jià)為5元/套，吉祥物鑰匙扣的進(jìn)價(jià)為18元/

個(gè).為了促銷，商店對(duì)吉祥物鑰匙扣進(jìn)行8折銷售.臨近期中考試，

某老師打算提前給學(xué)生準(zhǔn)備獎(jiǎng)品，在本店同時(shí)購買吉祥物鑰匙扣和

明信片兩種商品若干件，本次交易商家一共獲得600元的銷售

額.

問題解決

任務(wù)1假設(shè)明信片的售價(jià)為X元/問：y=_x+20_(用含x的代數(shù)式

套，鑰匙扣的售價(jià)為y元/表示)

個(gè)，請(qǐng)協(xié)助解決右邊問題.

任務(wù)2基于任務(wù)1的假設(shè)和素材2

的條件，請(qǐng)嘗試求出吉祥物

鑰匙扣和明信片的售價(jià).

任務(wù)3【擬定設(shè)計(jì)方案】

請(qǐng)結(jié)合素材3中的信息，幫

助該老師完成此次促銷活動(dòng)

中可行的購買方案.在這些

購買方案中，哪種方案商家

獲利最高.

?

【分析】任務(wù)1：根據(jù)一個(gè)吉祥物鑰匙扣的售價(jià)比一套明信片的售價(jià)高20元，得

y=x+20；

任務(wù)2：根據(jù)小明在本店購買了1套明信片與4個(gè)吉祥物鑰匙扣與共花費(fèi)130元，得

x+4(x+20)=130,可解得答案；

任務(wù)3：設(shè)購買吉祥物鑰匙扣機(jī)個(gè)，明信片"張，得：30x0.8m+10?=600,由加，〃是非

負(fù)整數(shù)，可求出7","的值，再計(jì)算每種方案商家的利潤(rùn)，比較可得答案.

【解答】解：任務(wù)1:

?.?一個(gè)吉祥物鑰匙扣的售價(jià)比一套明信片的售價(jià)高20元，

y=x+20；

故答案為：工+20；

任務(wù)2:

v小明在本店購買了1套明信片與4個(gè)吉祥物鑰匙扣與共花費(fèi)130元,

?.x+4(%+20)=130,

解得x=10，

x+20=10+20=30,

答：吉祥物鑰匙扣的售價(jià)為30元，明信片的售價(jià)為10元;

任務(wù)3:

設(shè)購買吉祥物鑰匙扣機(jī)個(gè)，明信片〃張，

根據(jù)題意得：30x0.8次+10〃=600,

300-12m

n=--------,

5

,/m,〃是非負(fù)整數(shù)，

m=0_p.Im=5Im=10Im=15m=2Q或常

"6。或”=48或"=36或〃=24或

n=l2

:吉祥物鑰匙扣每件利潤(rùn)為30x0.8-18=6（元），明信片每張利潤(rùn)為10-5=5（元），

，購買吉祥物鑰匙扣0個(gè)，明信片60張，商家獲利300元；

購買吉祥物鑰匙扣5個(gè)，明信片48張，商家獲利270元；

購買吉祥物鑰匙扣10個(gè)，明信片36張，商家獲利240元；

購買吉祥物鑰匙扣15個(gè)，明信片24張，商家獲利210元；

購買吉祥物鑰匙扣20個(gè)，明信片12張，商家獲利180元；

購買吉祥物鑰匙扣25個(gè)，明信片0張，商家獲利150元；

答：可行的購買方案有：購買吉祥物鑰匙扣。個(gè)，明信片60張或購買吉祥物鑰匙扣5個(gè)，

明信片48張，或購買吉祥物鑰匙扣10個(gè)，明信片36張或購買吉祥物鑰匙扣15個(gè)，明信片

24張或購買吉祥物鑰匙扣20個(gè)，明信片12張或購買吉祥物鑰匙扣25個(gè)，明信片0張；其

中購買吉祥物鑰匙扣0個(gè)，明信片60張商家獲利最高.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程，二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出方程

解決問題.

六.二元一次方程組的定義（共4小題）

21.（2022春?新化縣校級(jí)期中）請(qǐng)任寫一個(gè)方程與方程x-2y=10組成一個(gè)二元一次方程組

x+y=20（答案不唯一）.

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義，寫出一個(gè)含有字母為x,y的二元次一次方程即可求

解.

【解答】解：根據(jù)題意，與x-2y=10組成一個(gè)二元一次方程組的方程可以是：

x+y=20.

故答案為：x+y=20（答案不唯一）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的定義，掌握二元一次方程組的定義是解題的關(guān)鍵.方

程組中含有兩個(gè)未知數(shù)，含有每個(gè)未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1,并且一共有兩個(gè)這樣的整式方

程.像這樣的方程組叫做二元一次方程組.

22.（2021春?河北區(qū)期末）若方程組「]（，+?了=3是關(guān)于x,＞的二元一次方程組，則

[xa-2-yb+3=4

代數(shù)式a+6+c的值是_-2或-3_.

【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：

（1）含有兩個(gè)未知數(shù)；

（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1.

【解答】解：由二元一次方程組的概念，得

c+3=0,a—2=1b+3=1

解得

c=—3fa=3fb=—2

所以Q+6+C=-2.

或c+3=0,。-2=0,6+3=1,

解得

c=—3,a=29b=—2,

以Q+b+c=—3.

故答案為：-2或-3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組的定義，利用它的定義即可求出代數(shù)式的解.

23.（2023春?仁壽縣校級(jí)期中）下列方程組中是二元一次方程組的是（）

3x-y=2

A.h31f3x-2y=2

—+—=l[孫=1

dy

r[2x-y=5J4x-3y=2

'[-3+2y=4'[3x+2z=5

【分析】分別根據(jù)二元一次方程組的定義對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【解答】解：A,是分式方程組，故4錯(cuò)誤，不符合題意；

第二個(gè)方程最高次數(shù)為2,不符合二元一次方程組的定義，故2錯(cuò)誤，不符合題意；

C、符合二元一次方程組的定義，故C正確，符合題意；

。、是三元一次方程組，故。錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的定義，二元一次方程組也滿足三個(gè)條件①方程組

中的兩個(gè)方程都是整式方程.②方程組中共含有兩個(gè)未知數(shù).③每個(gè)方程都是一次方程，熟

練掌握其定義是解題的關(guān)鍵.

24.如果兩個(gè)二元一次方程只有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)不同，那么由這兩個(gè)方程構(gòu)成的二元一次

方程組叫做和諧方程組.如：「一："二’，就是和諧方程組.

[y-3x=6

（1）下列方程組是和諧方程組的是（）

{-X+y=4f2x-2y=5fm-4n=5

<；B.〈；C,*<

[x+y=-l[x-2y=6[m-3n=5

（2）請(qǐng)你補(bǔ)全和諧方程組=并求解.

【分析】（1）根據(jù)“和諧方程組”的概念進(jìn)行判斷；

（2）根據(jù)“和諧方程組”的概念進(jìn)行填空.

【解答】解：（1）A.1一'+了=4中的常數(shù)項(xiàng)不同，不是和諧方程組，故不符合題意；

1%+y=-1

B.產(chǎn)-2y=5中另一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)均不同，不是和諧方程組，故不符合題意

[x-2y=6

C.1加一:"二5符合和諧方程組的概念，故符合題意.

[m-3n=5

故答案為：C.

（2）根據(jù)題意知，2+3》=3符合題意，（答案不唯一）.

[2y+3x=3

解這個(gè)方程組可得：卜=1.

U=o

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組的定義，解題的關(guān)鍵是弄清楚“和諧方程組”的概

念.

七.二元一次方程組的解（共5小題）

25.（2023春?江岸區(qū)期末）關(guān)于x、y的方程組[s一尸3的解為尸=2則加_"的平

方根是（）

A.9B.±3C.V7D.±V7

【分析】把尸=2分別代入方程組中的每一個(gè)方程，即可求出機(jī)，"的值，從而求出加-力

b=-i

的平方根.

【解答】解：把[”=2代入加x-y=3中得，2〃，+1=3,

b=-i

解得m=\,

fx=2

把4代入3x+町=14中得，6-〃=14,

U=T

解得〃=-8,

:.m-n=l-（-8）=9,

???9的平方根是±3,

加-〃的平方根是±3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二元一次方程組的解和平方根，解題時(shí)將方程組的解代入原方程組中,

求出機(jī)，〃的值是解題的關(guān)鍵.

26.（2023春?安慶期末）若關(guān)于x,y的方程組[2"+>=1-3瓦的一個(gè)解為工=_2,求人的

[x+2y=1

值.

【分析】把x=-2代入②求出y的值，再把x、y的值代入①即可求出后的值.

2x+y=1-3人①

【解答】解:

龍+2y=2②

把x=-2代入②可得,

—2+2y=2,

解得：y=2,

把％=_2,y=2代入①可得,

2x（—2）+2=l—3左，

—4+2=1—3左,

解得：k=1,

:.k的值為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二元一次方程組的解，掌握解二元一次方程組解的定義是解題關(guān)鍵.

27.（2024春?武昌區(qū)校級(jí)期中）關(guān)于x,y的二元一次方程組[2'+?=4的解是=

[ax-by=5=2

則4+b的值為（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】首先根據(jù)題意，可得[2"+2=4飛，解二元一次方程組，求出。、方的值，然后把

[a-2b=5@

求出的a、6的值代入a+b計(jì)算即可.

【解答】解：???關(guān)于x,y的二元一次方程組產(chǎn)7"的解是尸二，

[ax-by=5[>=2

]2a+2=4①

"\a-2b=5?，

由①，可得a=l,

把a(bǔ)=1代入②，可得1-26=5,

解得b=-2，

遍:黃的解是tz—1

關(guān)于a、b的二元一次方程組

b=-2

Q+b=1+(—2)=—1.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組的解，解答此題的關(guān)鍵是求出a、6的值.

28.（2024?耶城區(qū)一模）若關(guān)于x,y的二元一次方程組["一切=5的解為5=-2,則

[2ax+by=91歹=1

a+b的值為--.

—3—

【分析】根據(jù)題意，可得尸"一應(yīng)用加減消元法，求出方程組的解，再把求出的

[-4a+b=9?

a、6的值代入a+6計(jì)算即可.

-2a-b=5①

【解答】解:

-4a+b=9?

①+②，可得-6a=14,

7

解得a=—，

3

把（代入①，可得：-2x（-1）-6=5,

解得b=-->

3

7

a=——

.?.原方程組的解是3,

b=--

[3

7718

a+b=--------=——.

333

故答案為：-與.

3

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組的方法，注意代入消

元法和加減消元法的應(yīng)用是關(guān)鍵.

29.（2023春?偃師市校級(jí)期中）二元一次方程組"的解也是方程3x+2y=U的解,

[x-y=/k

求人的值.

【分析】先用含左的代數(shù)式表示方程組的解，再代入3x+2y=ll得到關(guān)于左的方程，求出解

即可.

x+y=34①

【解答】解:

x-y=7k?

①+②，得x=5左，

將x=5后代入①，得y=-2左，

-：x=5k,y=-2k,也是方程3x+2y=ll的解,

.,.將x=5無，y=-2k,代入方程3x+2y=11,

得：3x5左+2x(-2左)=11,

解得：k=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二元一次方程組的解，解一元一次方程等，掌握解方程組的步驟是

解題的關(guān)鍵.

八.解二元一次方程組(共5小題)

廠-41=°可化為四個(gè)二元一次

30.(2024春?楊浦區(qū)期中)二元二次方程組

(x-y)-5(X-7)-6=0

(x+2y=0[x+2y=0fx—2y=0

方程組,這四個(gè)二元一次方程組分別是[、->+1=0—[x-y-6=02-[x-j^+l=0

x-2y=0

%一〉一6=0

【分析】將原二元二次方程組各方程分解因式并組合即可.

(x+2y)(x-2y)=0

【解答】解：將原二元二次方程組各方程分解因式，得

(x-y+l)(x-y-6)=0

x+2y=0x+2y=0x-2y=0

.?.原方程可化為四個(gè)二元一次方程組，即

x—y+1=0x-y-6=0x—y+1=0

x-2y=0

x-y-6=0

x+2y=0\x+2y=0\x-2y=0x-2y=0

故答案為:

x-y-\-l=01x-y-6=01x-y+l=0x-y-6=0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解二元一次方程組，掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.

31.(2023春?鯉城區(qū)校級(jí)期中)對(duì)于有理數(shù)x,y定義新運(yùn)算：x^y=ax+by-5,其中a,

人為常數(shù)已知1*2=-9,(-3)*3=-2,貝=

【分析】利用題中的新定義列出方程組，求出方程組的解得到。與6的值，即可確定出a-b

的值.

【解答】解：根據(jù)題意得：l*2=a+26-5=-9,(-3)*3=-3a+36-5=-2,

整理得：[Zb

[-a+b=1(2)

①+②得：3b=—3,即6=-1,

把6=-1代入②得：a=-2,

則a—8=—2+1=—1,

故答案為：-1

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法存代入消元法與

加減消元法.

32.(2024春??？谄谥?用加減法解方程組下列解法正確的是()

A.①x3-②x2,消去xB.①x2-②x3,消去y

C.①x(-3)+②x2,消去xD.①x2-②x(-3),消去y

【分析】根據(jù)等式的可加性直接求解即可得到答案.

【解答】解：由題意可得，

①x3+②x2,消去x,故/選項(xiàng)不符合題意，

①x2+②x3,消去y,故8選項(xiàng)不符合題意，

①x(-3)-②x2,消去x,故C選項(xiàng)不符合題意，

①x2-②x(-3),消去y,故。選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是關(guān)鍵.

33.(2023春?溫州月考)解下列方程組：

y=2x

(1)

3x+2y=14

2x+3y=-1

(2)

3x-y=4

【分析】（1）方程組利用代入消元法求解即可;

（2）方程組利用加減消元法求解即可.

y=①

【解答】解:

3x+2y=14②

把①代入②得，7x=14,解的x=2,

把尤=2代入①得y=4,

原方程組的解是；

[y=4

GJ2x+3y=-l①

[3x-y=4②

解：②x3+①得，11%=11,解得：x=l,

把％=1代入①得，y=—1

.?.原方程組的解是.

[^=-1

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解二元一次方程組，掌握解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)

鍵.

34.（2023春?恩施市期末）（1）計(jì)算：V16-（-l）2023-V27+|l-V2|;

3x+2〉=4

（2）解方程組:

6x-2y=-1

【分析】（1）原式利用乘方、算術(shù)平方根、立方根定義，以及絕對(duì)值的代數(shù)意義計(jì)算即可求

出值；

（2）方程組利用加減消元法求出解即可.

【解答】解：（1）V16-（-l）2023-V27+|l-V2|

=V2+1；

(2)儼+2y①

[6x-2y=-l@

由①+②得，9x=3,

解得x=—,

3

把x代入①中得，3x；+2y=4,

解得y=2,

一1

x=—

則方程組的解為3.

3

尸5

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解二元一次方程組以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則及方程組的解法

是解本題的關(guān)鍵.

九.由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組（共4小題）

35.（2023?晉中模擬）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：“今有木，不知長(zhǎng)短.引繩度之,

余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長(zhǎng)幾何？”意思是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)木，繩

子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，問木長(zhǎng)多少尺.設(shè)木長(zhǎng)為x尺,

y-x=4.5

繩子長(zhǎng)為y尺，則符合題意的方程組是一11一

x—y=I

2

【分析】本題的等量關(guān)系是：繩長(zhǎng)-木長(zhǎng)=3木長(zhǎng)j繩長(zhǎng)=1,據(jù)此可列方程組，此

題得解.

y-x=4.5

【解答】解：依題意得I

x—=I

I2，y

y-x=4.5

故答案為：,I

x—y=I

I2,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的

二元一次方程組.

36.（2023春?珠暉區(qū)校級(jí)期中）若冽的2倍與九的3倍的和等于6,列為方程是

2m+3〃=6

【分析】加的2倍是2S，〃的3倍是3”，然后根據(jù)和等于6即可列出方程.

【解答】解：由題意，得

2m+3"=6.

故答案為：2m+3?=6.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列二元一次方程，找到等量關(guān)系是關(guān)鍵.

37.（2023春?武漢期末）《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩

四尺五寸，屈繩量之，不足一尺，木長(zhǎng)幾何？”意思是用繩子去量一根長(zhǎng)木，繩子還剩余

4.5尺，將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1尺，問長(zhǎng)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)繩子長(zhǎng)x尺，長(zhǎng)木長(zhǎng)〉

尺，則所列方程組正確的是（）

【分析】根據(jù)“用繩子去量長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1

尺”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題得解.

【解答】解：?.?用繩子去量長(zhǎng)木，繩子還剩余4.5尺