高考數(shù)學(xué)分類專項(xiàng)訓(xùn)練之函數(shù)的概念與性質(zhì)

高考數(shù)學(xué)分類專項(xiàng)精講精練

函數(shù)的概念與性質(zhì)

目錄

明晰學(xué)考要求...................................................................................1

基礎(chǔ)知識(shí)梳理...................................................................................1

考點(diǎn)精講講練...................................................................................4

考點(diǎn)一：函數(shù)的概念........................................................................4

考點(diǎn)二：函數(shù)的表示........................................................................7

考點(diǎn)三：函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值.......................................................9

考點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性......................................................................12

考點(diǎn)五：塞函數(shù)............................................................................16

考點(diǎn)六：函數(shù)的應(yīng)用(一).................................................................18

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練..................................................................................23

明晰學(xué)考要求明晰學(xué)考要求01

1、體會(huì)集合語言和對(duì)應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)的概念；

2、了解構(gòu)成函數(shù)要素，能求簡(jiǎn)單的函數(shù)定義域；

3、會(huì)根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，理解函數(shù)圖象的作用;

4、了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用；

5、會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性，最大值，最小值；

6,了解奇偶性的概念；

7、了解周期性的概念

基礎(chǔ)知識(shí)梳理基礎(chǔ)知識(shí)梳理02

1、函數(shù)的概念

設(shè)A、5是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)%,在集

合3中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對(duì)應(yīng)，那么稱3為從集合A到集合3的一個(gè)函數(shù)，記作

y=/(x),xeA.

其中：x叫做自變量，工的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域

與x的值相對(duì)應(yīng)的/(%)值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(%)IxeA)叫做函數(shù)的值域.

2、同一(相等)函數(shù)

函數(shù)的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系.

同一(相等)函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的定義和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等

的依據(jù).

3、函數(shù)的表示

函數(shù)的三種表示法

解析法(最常用)圖象法(解題助手)列表法

就是把變量無，y之間的關(guān)系

就是把X,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成

用一個(gè)關(guān)系式y(tǒng)=/(x)來表

成圖象，圖象上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)表格，由表格直接反映出兩者

示，通過關(guān)系式可以由X的值

就是相應(yīng)的變量X,y的值.的關(guān)系.

求出y的值.

4、函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)性的定義

一般地，設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域?yàn)?,如果對(duì)于定義域/內(nèi)某個(gè)區(qū)間。上的任意兩個(gè)自變量的值七，%；

①當(dāng)藥</時(shí)，都有/(%)</(%)，那么就說函數(shù)/(同在區(qū)間。上是增函數(shù)

②當(dāng)石<々時(shí)，都有/(%)>/(%2)，那么就說函數(shù)“X)在區(qū)間。上是減函數(shù)

(2)單調(diào)性簡(jiǎn)圖：

若函數(shù)y=/(%)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y=/(%)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,

區(qū)間。叫做函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

5、函數(shù)的最值

(1)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)M滿足

①對(duì)于任意的xe/,都有

②存在使得/(%)=/

則M為最大值

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)加滿足

①對(duì)于任意的xe/,都有/(力2加；

②存在/e/,使得/(%)="

則m為最小值

6、函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

如果對(duì)于函數(shù)/(尤)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有

圖象關(guān)于y軸

偶函數(shù)

/(—x)=/(x),那么函數(shù)/(%)是偶函數(shù)對(duì)稱

如果對(duì)于函數(shù)/(九)的定義域內(nèi)任意一個(gè)X,都有圖象關(guān)于原點(diǎn)

奇函數(shù)

/(-X)=-/(%),那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)對(duì)稱

7、函數(shù)對(duì)稱性

(1)軸對(duì)稱：若函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=。對(duì)稱，則

①f(a+x)=f(a-x)；

②/(x)=/(2a—x)；

@f(-x)^f(2a+x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(%)關(guān)于直線(。,0)對(duì)稱，則

①/(a+x)=-/(a-x)

②/(%)=-/(2a-%)

③/(r)=-/(2a+x)

(2)點(diǎn)對(duì)稱：若函數(shù)/(%)關(guān)于直線(。力)對(duì)稱，則

①于(a+%)=—于(a-x)+2b

②/(%)=-/(2a—%)+28

@f{-x)=-f(2a+x)+2b

8、塞函數(shù)定義

一般地，形如/(x)=x°的函數(shù)稱為塞函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

9、五種常見幕函數(shù)

y=xy=x2y=x3-1

函數(shù)y=爐y=x

V[1

圖象V

7T

定義域RRR{x|x>0}{x|xw0}

值域R{yly>0)R{yly>0){y|yw0}

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)

性在(-8,0］上

在(—00,0)和

質(zhì)在R上單單調(diào)遞減；在在H上單調(diào)在［0,+8)上單

單調(diào)性(0,+8)上單

調(diào)遞增(0,+8)上單遞增調(diào)遞增

調(diào)遞減

調(diào)遞增

公共點(diǎn)(1,1)

10、常見幾類函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型于(x)=kx+b(k,b為常數(shù),左W0)

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c,b,。為常數(shù)，awO)

XGD\

力(x),x&D,

分段函數(shù)模型y(x)=<

力(x),x&Dn

事函數(shù)模型/+b(k,b,a為常數(shù)，k/0)

考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)精講精練號(hào)

考點(diǎn)一：函數(shù)的概念

【典型例題】

例題1.(2024福建)函數(shù)/(x)=^/^萬的定義域?yàn)?)

A.{x|x>l}B.{X|%>-1}C.但無<1}D.{x|xV-l}

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域

【分析】求已知函數(shù)解析式的函數(shù)的定義域，只需讓函數(shù)解析式有意義即可.

【詳解】由題意可得：x-l>0,/.x>l

故選：A

例題2.(2024云南)已知函數(shù)/(x)=x,則〃2尤)=()

A.2尤B.xC.2D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】由函數(shù)解析式求解.

【詳解】因?yàn)?(x)=x,所以f(2x)=2x,

故選：A

例題3.(2024浙江)若f(x+y)=/(x)+/(y)+犯，〃1)=1,則，(一20)=()

A.55B.190C.210D.231

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】利用賦值法分析可得f(x-r)-f(x)=-x,即可得結(jié)果.

【詳解】令x=y=0,則洋解=/(0)+〃0),可得解0)=0；

令x=l,y=-l,貝！)/(0)=/⑴+/(-1)-1=可得〃_1)=0；

令>=T,貝!J/(x—l)=/(x)+/(-D—x=/(x)-x,即=

則2)-〃-1)=1,/(-3)-/(-2)=2,-,/(-20)-/(-19)=19,

―/、(1+19)x19

可得了(-20)-〃-1)=1+2+…+19=^^——士——=190,

所以/■(-20)=190.

故選：B.

【即時(shí)演練】

1.下列各組函數(shù)中為同一函數(shù)的是()

A.〃x)=,g(x)=x-l

B./(x)=x2+l,g⑺=(〃+1)

c./(%)=Jf—i,g(X)=Vx+1-A/X-1

、丫2

D?f(^)=x9=—

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否相等

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域等知識(shí)來確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，/(x)=^(x-l)2=jx-l|>O,g(x)eR,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng),/(%)=x2+i,g⑺=產(chǎn)+1,

兩個(gè)函數(shù)定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域相同，所以是同一函數(shù)，B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，對(duì)于〃尤)=//-I,x2-1>0>解得xV-1或尤21,

所以“X)的定義域是(e，T3i,y),

對(duì)于g(x)=JxT，解得xNl,

所以g(x)的定義域是[l,+s),所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，/(%)=*的定義域是口，

2

g(x)=^的定義域是{X|XH0},所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：B

2.函數(shù)/(刈:百^。一的定義域?yàn)?)

3-x

A.[l,+oo)B.[1,3).(3,+oo)C.(1,3)。(3,-boo)D.[3,+oo)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求定義域即可.

fx-l>0

【詳解】由題可得\八，解得轉(zhuǎn)1且xw3.

所以“X)的定義域?yàn)閇1，3)。(3,小).

故選：B.

3.已知函數(shù)/(尤)滿足/(x+2)=3x+4,則/(2)=()

A.-2B.1C.4D.7

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值

【分析】根據(jù)給定條件，令x+2=2,即取尤=0代入計(jì)算即得.

【詳解】函數(shù)〃尤)滿足〃X+2)=3X+4,當(dāng)X+2=2,即x=0時(shí)，/(2)=3x0+4=4.

故選：C

考點(diǎn)二：函數(shù)的表示

【典型例題】

/、—％?+2x+2,xV2,、

例題1.(2024安徽)已知函數(shù)〃x)=，則〃3)=()

J2

A.-1B.1C.2D.3

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的解析式，代入準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃尤)=；；；：I；；:貝!)〃3)=〃3—2)=〃l)=-12+2xl+2=3.

故選：D.

例題2.(2024浙江)已知函數(shù)7'(加？》-[司(國(guó)表示不超過x的最大整數(shù))，貝!!/&=.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)新定義

【分析】根據(jù)定義直接求解即可.

【詳解】由題意了ih2xl-[l]=5-2=3,

故答案為：3.

例題3.(2024江蘇)已知函數(shù)〃x)滿足了(一1一力+/(力=-7,且//(x)+1-^--+2=-4,

J+3X

貝！|〃2024)=____.

【答案】-也或202L

2024

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、已知f(g(x))求解析式

【分析】"〃尤)+了⑴+3尤J2，通過賦值法，求,出f的值，進(jìn)而得到“X),再求解即可.

【詳解】令，=〃x)+〃x)+3xJ2,則/⑺=-4,

z+2=1(2解得"-1或-;

令x=t,貝！=⑺+3t4f+,

而/(—l—力+〃力=-7,故(一；)=一：.因此f=T.

貝！H=/(小冗%--+2，

即f(x)+3+—-4;—=x+-,f(x)+3-x=-——-4;-=,

/(x)+3x尤/(x)+3%(f(x)+3)

因此/(%)+3—彳=0或%(/(尤)+3)=1

當(dāng)x(〃x)+3)=l時(shí),,時(shí)/(%)=g—3,此時(shí)/(2024)=1__3_6071

2024-2024

當(dāng)/⑺=%-3時(shí)，〃2024)=2021.

故答案為：-黑或2。21?

【即時(shí)演練】

2X2,(0<X<1)

1.函數(shù)〃x)=2,(14x<2)的值域是()

3,(x22)

A.RB.[0,+<?)C.[0,3]D.[0,2]u{3}

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段求解，取并集即可.

【詳解】當(dāng)0Vx<l時(shí)，0</(X)=2X2<2,

當(dāng)1WX<2時(shí)，〃x)=2,

當(dāng)2Vx時(shí)，/(x)=3,

所以04x時(shí)，〃尤）的值域?yàn)椋?,2］。{3},

故選:D

7

2.若函數(shù)=—：的部分圖象如圖所示，貝|〃1）=（）

axi~DX~I-c

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】求函數(shù)值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、函數(shù)圖象的應(yīng)用

【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)定義域，利用函數(shù)值可得出其解析式，代入計(jì)算即求得函數(shù)值.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知尤=2和x=4不在函數(shù)/■（"的定義域內(nèi),

因此％=2和％=4是方程辦2+次+。=0的兩根，因此可得/（%）=〃（彳_2）（工_4），

又易知"3）=1,所以可得〃=-2；

即?。?-口_2；（1），所以〃1）=T

故選：D

l,x<2

3.已知函數(shù)〃x）hx-l,24x<3,且/伉）=2,貝（］/=（）

x2-7,x>3

A.1B.2C.3D.6

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段討論得到方程（不等式）組，解得即可.

l,x<2

【詳解】因?yàn)?（x）=r-l,24x<3,且/（1）=2,

X1-l,x>3

2＜天＜3

%一1=2?。壑灰?=2,解得％=3.

故選：C

考點(diǎn)三：函數(shù)的單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

【典型例題】

例題1.（2023新疆）若函數(shù)/（力=/+2（4-1卜在區(qū)間（-8,4］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.a<-3B.a<5C.a>3D.a>-3

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

【分析】先分析/（x）的對(duì)稱軸，然后根據(jù)/'（x）在（-雙4］上的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式，由此求解出結(jié)

果.

【詳解】因?yàn)?（X）的對(duì)稱軸為x=l-a,且在（T,4］上是減函數(shù)，

所以1—a24,所以aW—3,

故選：A.

(%+2%<0

例題2.(2024北京)已知〃尤)=2\；則“—1)=________;〃x)的最大值為________.

I—X+，,X之U,

【答案】12

【知識(shí)點(diǎn)】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值

【分析】第一空直接代入即可，第二空分別計(jì)算兩段的最大值，比較即可求解.

【詳解】由解析式可知：=

當(dāng)x<0,易知〃x)<2,

當(dāng)尤20,/(X)=-X2+2<2,當(dāng)x=0時(shí)，取最大值2,

所以的最大值為2,

故答案為：1,2

例題3.(2023吉林)已知函數(shù)/(尤)=七門?1,+8)).

⑴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)〃x)在區(qū)間［L+s)上單調(diào)遞減；

(2)若/(/)>〃24+3),求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】⑴證明見詳解

(2)［1,3)

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

(、/\(x9-x-1)

【分析】(1)任取玉>々21，作差-'解+不=；］),分析每一個(gè)因式的正負(fù)，進(jìn)而得到

/(^)-/(x2)<0,可判斷單調(diào)性；

a2>1

(2)根據(jù)第一問得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式2〃+3>1,解不等式即可得到答案.

a2<2。+3

【詳解】(1)任取為>%21,

玉%;+%一/才一兄2（“2—玉）（玉工2—1）

則-言-看

（4+1）（%；+1）+1）（%；+1）

因?yàn)橛?>921,則仁+1）（考+1）>0,x2-x1<0,xix2-1>0,

則于0）-/（x2）<0,故/（X）在［1,+8）上單調(diào)遞減.

（2）由（1）得，人>）在［L4W）上單調(diào)遞減,

a2>1a<-1或。>1

所以，2〃+321,解得心-1,

a2<2a+3-l<a<3

所以"a<3,即所求范圍是[L3).

【即時(shí)演練】

1.已知函數(shù)、=/_"成-3在區(qū)間[0』上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

A.[0,2]B.(0,2)C.(-OO,0]U[2,-H?)D.(-<o,0)(2,+co)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍

【分析】根據(jù)給定條件，利用二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.

【詳解】函數(shù)>-mx-3的圖象對(duì)稱軸為％=葭,

由函數(shù)y=Y-如-3在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)函數(shù)，得5Vo或^21,解得相40或機(jī)，2,

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是").

故選：C

2.若=在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為______.

[x+5?,x>1

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.

3—2a

1<-----31

【詳解】由題意可得：2,解得一：三。4。，

1+5?>-1+(3-2G)-472

所以實(shí)數(shù)”的取值范圍為

故答案為：|a|-y<a<—j.

3.已知函數(shù)/■(無)=x"

X

(1)證明：函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+⑹上是增函數(shù)；

(2)當(dāng)xe[2,6],求函數(shù)/(x)的值域.

【答案】⑴證明見解析

(2)[-1,5]

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得；

(2)利用已證的函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.

【詳解】(1)任取X，%€(。，+8)，且王<龍2，

由/(%)一/(%)=(髭-9)一(々-9)=(髭-%)-‘a(chǎn)。&)=(尤］一尤2)(1+—)，

玉X2石％2石工2

因0<網(wǎng)<X2，故1+^^>。，Xl-X2<0>故/(不)</(尤2)，

即函數(shù)在區(qū)間(0,+刈上是增函數(shù)；

(2)由(1)已證：函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù)，故在［2,6］上也是增函數(shù)，

則f(2)4/(x)W/(6),gp-l</(x)<5,故函數(shù)/(X)的值域?yàn)椋?1,5］.

考點(diǎn)四：函數(shù)的奇偶性

【典型例題】

例題1.(2024安徽)已知函數(shù)/(x)=aex+e-，，若y="幻的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)。=

【答案】-1

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)，令/(。)=0,即可得到答案.

【詳解】；函數(shù)/("=恁'+1的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

二八龍)為奇函數(shù)，

/(0)=a+l=0,

.a=-l,經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè).

故答案為：-1

例題2.(2024福建)已知函數(shù)/(%)=丁+4%

⑴判斷函數(shù)〃兀)的奇偶性，并說明理由

(2)當(dāng)％>0時(shí)，/(%)之丘2恒成立，求人的取值范圍.

【答案】⑴奇函數(shù)，理由見解析

(2)k<4

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題

【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷；

(2)由題意可得當(dāng)1>0時(shí)，左d+E恒成立，結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得答案.

【詳解】(1)/(%)=d+4x的定義域?yàn)镽,且滿足/(-%)=(-］丫-4%=—/(%),

故”可為奇函數(shù)；

(2)當(dāng)％>0時(shí)，/(x)N區(qū)之恒成立，即%3+4%2日2,

4

即左一十―恒成立,

x

又x+±22、xx±=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=±,即尤=2時(shí)取等號(hào),

xVxx

故發(fā)44.

例題3.（2024安徽）已知函數(shù)/（耳=喜丁卜€(wěn)［-1,1］）是奇函數(shù)，且/⑴=萬

（1）求。涉的值;

（2）判斷函數(shù)在卜1』上的單調(diào)性，并加以證明;

⑶若函數(shù)滿足不等式（-2。，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

【答案】（DU

⑵單調(diào)遞增，證明見解析

⑶

【知識(shí)點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)

【分析】（1）利用/（。）=。和/⑴=;可求得。力，檢驗(yàn)可知滿足題意;

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可;

（3）利用單調(diào)性及定義域列出不等式即可

I_11

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)“到二r??是定義在上的奇函數(shù)，且〃1）=點(diǎn)

b-l

/(0)=-=0

則:I，解得6=1,。=1,

/(1)=^-4

Q+12

所以函數(shù)/⑴二六,

檢驗(yàn)：f（-x）=~^=-f{x},故函數(shù)為奇函數(shù),

所以a=l,6=1；

（2）/（x）在［-1,1］上單調(diào)遞增.

證明如下：對(duì)于任意％,赴且王＜工2,

司」（中2-1）（々-占）

則〃占）-“尤2）=

片+1xf+1+1)，

由-1?石X2?1,得％2—2>0，再入2<1，玉％2—1<°，

又看+1>0,宕+1>0,

所以『6)—〃々)<。，即/(五)<〃%),

故函數(shù)/(X)在[-1,1]上單調(diào)遞增；

(3)不等式“八l)v/(-20,

-1</-1<1

f(x)是增函數(shù)，且xe[T,l],所以一lV-2/Vl,解得0Vt<g,

t—1<—2t

所以f的取值范圍是

【即時(shí)演練】

1.已知/>(X)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=2x2+x+l-a,則a+〃l)=()

A.—2B.—1C.1D.1

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出。，再求出/(-1)即可得解.

【詳解】因?yàn)椤癤)為定義在R上的奇函數(shù)，

所以"0)=1—4=0得4=1,

所以〃-1)=2—=故〃1)=一/(一1)=一1,

則a+〃l)=0,

故選：C.

2.已知函數(shù)/'(x)=/2為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)根=_____.

x+"優(yōu),尤>0

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求參數(shù)

【分析】根據(jù)給定條件，利用偶函數(shù)的定義求解即得.

【詳解】由函數(shù)〃尤)=卜：一孔"':為偶函數(shù)，得"一尤)=f(x),

[x+mx,x>0

當(dāng)%>0時(shí)，-x<0,/(x)=/(—%)=(-*)2-3(-%)=必+3%,

22

而當(dāng)龍>0時(shí)，/(x)=x+mx,則根=3,BP/(x)=x+3x9

當(dāng)％<0時(shí)，-x>0,/(%)=/(-％)=(-K丁+3(-%)=/一3%,符合題意，

所以m=3.

故答案為：3

3.已知函數(shù)八可是R上的偶函數(shù)，當(dāng)了<0時(shí)，f(x)=x2-x.

⑴求函數(shù)“X)的解析式，并畫出具體函數(shù)圖象；

(2)若/(2相-1)</(根+1),求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

【答案】⑴/(尤)=[1*圖象見解析；

[1-x,x<0

(2)(0,2).

【知識(shí)點(diǎn)】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、畫出具體函數(shù)圖象、由函數(shù)奇偶性解不

等式

【分析】(D根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義，求出x>0時(shí)，函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合二次函數(shù)及偶函數(shù)的

性質(zhì)畫出圖象即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性和對(duì)稱性可得|2機(jī)運(yùn)算求解

即可.

【詳解】⑴當(dāng)x>0時(shí)，則-X<0,

由題意可得：f(-X)=(-^)2-(-X)=x2+x,

因?yàn)楹瘮?shù)“X)是R上的偶函數(shù)，所以f(r)=f(x),

所以〃X)=/(-X)=x2+X，

所以函數(shù)/(X)的解析式為“X)=

x—x,xW0

結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)易畫出“X)圖象如圖所示：

(2)結(jié)合該函數(shù)/(元)的圖象可知：在(-力,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增.

又因?yàn)楹瘮?shù)/（x）是R上的偶函數(shù)，且/⑵*-1）<〃加+1）,

所以|2加一,

整理可得：m2—2m<0,解得：0<m<2.

故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（0,2）.

考點(diǎn)五：塞函數(shù)

【典型例題】

例題1.（2024湖南）已知幕函數(shù)y=x”的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,4）,則。=（）

11

A.2B.-2C.-D.——

22

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】求塞函數(shù)的解析式

【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得

【詳解】將（2,4）代入y=得：4=2%解得：a=2.

故選:A

例題2.（2023江蘇）已知事函數(shù)“*）=（療+2加-2卜利在（0,+8）上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)加的值為（）

A.-3B.-1C.3D.1

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是易函數(shù)求參數(shù)值、由塞函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的定義，求得根=-3或m=1,結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃。=（布+2%-2卜山為易函數(shù)，可得療+2〃L2=1,

即+2〃z-3=0,解得根=一3或根=1,

當(dāng)他=-3時(shí)，函數(shù)〃尤）=二在（0,+。）上單調(diào)遞減，符合題意；

當(dāng)相=1時(shí)，函數(shù)/（力=8在（0,+巧上單調(diào)遞增，不符合題意.

故選：A.

例題3.（2023寧夏）已知塞函數(shù)外"=J的圖象過點(diǎn)尸（3,9）,則。=

【答案】2

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是嘉函數(shù)求參數(shù)值

【分析】將點(diǎn)網(wǎng)3,9）代入函數(shù)〃x）=x。，即可求解.

【詳解】因?yàn)榛瘮?shù)〃力=V的圖象過點(diǎn)尸（3,9）,

所以〃3）=3。=9,解得a=2.

故答案為：2.

【即時(shí)演練】

1.已知募函數(shù)/(%)=(療-3租+3*用的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則滿足(”+1)">(3-2力”成立的實(shí)數(shù)。的取值

范圍為()

A.(0,2)B.［。,|［C,1|,4］D.(4,+“)

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是募函數(shù)求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】根據(jù)塞函數(shù)的知識(shí)求得加，由此化簡(jiǎn)不等式3+1)'”>(3-2°廣并求得不等式的解，從而求得”的

取值范圍.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃司=(3m+3b'用是募函數(shù)，貝！］/一3%+3=1,解得機(jī)=1或機(jī)=2.

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，f(x)=Y是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于丫軸對(duì)稱，與已知矛盾；

當(dāng)〃?=2時(shí)，是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是得根=2,

不等式(。+l)m>(3-2a)m化為(a+1)2>(3-2a)2,

即(3a-2)(a-4)<0,解得］<a<4,所以實(shí)數(shù)“的取值范圍為(別.

故選：C

2.已知募函數(shù)〃x)=(/_3)x#g在(°，+◎上單調(diào)遞減，則。的值為.

【答案】-2

【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是募函數(shù)求參數(shù)值、由募函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

【分析】先根據(jù)幕函數(shù)定義確定。的可取值，再根據(jù)單調(diào)性確定出a的值.

【詳解】因?yàn)椤▁)為募函數(shù)，所以〃一3=1,所以。=i2,

當(dāng)a=2時(shí)，/(x)=x2,在(0,+e)上單調(diào)遞增，不符合；

當(dāng)a=-2時(shí)，〃力=/，在(0,+巧上單調(diào)遞減，符合；

故答案為：-2.

3.已知事函數(shù)〃x)=/圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),若/(a+l)>〃3-2a),則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是；若

0<%<?則"

【答案】<

【知識(shí)點(diǎn)】求塞函數(shù)的解析式、基本(均值)不等式的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【分析】由條件先求a,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式求“，根據(jù)基本不等式判斷“X）+:（電）與

2

/（土產(chǎn)）的大小.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃尤）=丁圖象經(jīng)過點(diǎn)（4,2）,

所以￥=2，

11

所以a=5，故尤）=/，

函數(shù)〃x）=￡的定義域?yàn)椋邸?，”），且函?shù)“X）在［。，田）單調(diào)遞增，

4+1>3—2〃

所以〃。+1）>〃3-2。）可化為，“+G0,

3—2〃N0

23

所以即。的取值范圍是

因?yàn)?（%）=戶，0<再<%2,

：2

所以玉+W>2“1A

=/(再)+/(%),

2

故答案為：（I^T，<.

考點(diǎn)六：函數(shù)的應(yīng)用（一）

【典型例題】

例題1.（2024浙江）有一支隊(duì)伍長(zhǎng)Lm,以V的速度前行，傳令員傳令需要從排尾跑到排頭，再立即返回

排尾，速度為匕，若傳令員回到排尾時(shí)，隊(duì)伍正好前進(jìn)了2Lm,則t=（）

C1+\/5口3+^5

A.2B.3

12,2

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用

【分析】計(jì)算隊(duì)伍前進(jìn)的總時(shí)間f,傳令兵從排頭到排尾的時(shí)間4及從排尾到排頭的時(shí)間根據(jù)傳令兵往

返總時(shí)間與隊(duì)伍前進(jìn)時(shí)間相等即可求解.

【詳解】設(shè)總時(shí)間為3傳令員從排頭到排尾所用時(shí)間為4,從排尾到排頭所用時(shí)間為「2，

LL2LLL2L

所以a===所以__"+匕+y=歹'

mv^-vy-v^o,即-^-i=o,

所以匕=口5.

V2

故選：C.

例題2.（2022浙江）某市對(duì)新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年

的隔熱層，據(jù)當(dāng)年的物價(jià)，每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元.根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建

筑物30年間每年的能源消耗費(fèi)用N（單位：萬元）與隔熱層的厚度力（單位：厘米）滿足關(guān)系：

N僅）=可尢（°-h~1°）?經(jīng)測(cè)算知道，如果不建造隔熱層，那么30年間每年的能源消耗費(fèi)用為10萬元.設(shè)

廠伍）為隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和，那么使打〃）達(dá)到最小值的隔熱層的厚度力=

厘米.

【答案】y

【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式求和的最小值

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)"/z）=30N（/7）+9/7=早2+9〃=早2+3（3/?+4）-12,利用基本不等式求解.

【詳解】由題意及=可得N（0）=：=10,即加=40,

隔熱層的建造費(fèi)用與30年間的能源消耗費(fèi)用的總和F（/z）=30N（/z）+肪=募詈+9/7=+3（3〃+4）-12

^^--3(3/7+4)-12=108(萬元)，

>2.

當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?=3（3九+4）,即（厘米）時(shí)打〃）達(dá)到最小值.

3/i+43

故答案為：y.

例題3.（2023安徽）如圖，某小區(qū)要在一個(gè)直角邊長(zhǎng)為30m的等腰直角三角形空地上修建一個(gè)矩形花園.記

空地為VA3C,花園為矩形。EfG.根據(jù)規(guī)劃需要，花園的頂點(diǎn)廠在三角形的斜邊8c上，邊DG在三角形

的直角邊AC上，頂點(diǎn)G到點(diǎn)C的距離是頂點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離的2倍.

⑴設(shè)花園的面積為S（單位：??）,AD的長(zhǎng)為x（單位：m）,寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？并求出這個(gè)最大面積.

【答案】⑴S=2x（30-3x）,（0<x<10）

（2）當(dāng)AD的長(zhǎng)為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150m'

【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題、基本（均值）不等式的應(yīng)用、基本不等式求積的最大值

【分析】（1）根據(jù)矩形面積即可求解，

（2）根據(jù)基本不等式即可求解.

【詳解】（1）=x，貝！|CG=GN=2x,GD=30-x-2x=30-3x,

所以S=GDGb=2x（30—3x）,（0<x<10）

（2）S=2x（30—3x）-g.3x（30—3x）Wg3x+（；一3x）二.

當(dāng)且僅當(dāng)3x=30-3x,即x=5時(shí)等號(hào)成立，

故當(dāng)AO的長(zhǎng)為5m時(shí)，花園的面積最大，最大面積為150m，

【即時(shí)演練】

1.近幾年來，“盲盒文化"廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國(guó)落地生根，并發(fā)展處具有中國(guó)特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，

某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購(gòu)進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒x年

（x為正整數(shù)）所用的各種費(fèi)用總計(jì)為2r+10x萬元.

⑴該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？

（2）該公司第幾年年平均利潤(rùn)最大，最大是多少？

【答案】⑴第3年

（2）第7年平均利潤(rùn)最大，為12萬元

【知識(shí)點(diǎn)】基本（均值）不等式的應(yīng)用、利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】（1）先求得利潤(rùn)的表達(dá)式，由此列不等式來求得正確答案.

（2）先求得平均利潤(rùn)的表達(dá)式，然后利用基本不等式求得正確答案.

【詳解】（1）設(shè)利潤(rùn)為V,貝！Jy=50x-（98+2x2+10x）=-2x2+40x-98（xeN*）,

由-2x?+40x-98>0整理得爐-20x+49<0,

解得10—庖<尤<10+后，由于xeN*,

所以xe{尤eN*|34尤417},所以第3年首次盈利.

(2)首先xe{xeN*|3<x<17},

由(1)得平均利潤(rùn)?=+=萬元，

49

當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)=一，彳=7萬元時(shí)等號(hào)成立，

x

綜上，第7年，平均利潤(rùn)最大，為12萬元.

2.遼陽大果榛子外形美觀、果大皮薄，深受消費(fèi)者歡迎.某遼陽大果榛子網(wǎng)店為回饋新老顧客，提供兩種

購(gòu)買大果榛子的優(yōu)惠方案：第一種方案，每斤的售價(jià)為24元，顧客買x(x>0)斤，每斤的售價(jià)降低x元；

第二種方案，顧客買”(尤>0)斤，每斤的售價(jià)為"4+21元.已知每位顧客限購(gòu)9斤大果榛子.設(shè)一名顧

客按照第一種方案購(gòu)買大果榛子的付款額為/⑺元，按照第二種方案購(gòu)買大果榛子的付款額為g(x)元.

⑴分別求函數(shù)f(x),g(x)的解析式；

⑵已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟(jì)實(shí)惠的方案購(gòu)買大果榛子，甲、乙的付款總額為135元，且

甲購(gòu)買了5斤大果榛子，試問乙購(gòu)買了多少斤大果榛子？

【答案】(1)/(》)=一一+24》，xe(0,9]；g(x)=14x+21,XG(0,9].

⑵乙購(gòu)買了2斤大果榛子

【知識(shí)點(diǎn)】利用二次函數(shù)模型解決實(shí)際問題

【分析】(1)根據(jù)題意，寫出函數(shù)f(x),g(x)的解析式；

(2)先求出/(5)>g(5),確定甲選擇方案二購(gòu)買，花費(fèi)91元，得到乙花費(fèi)44元，再分別討論按照方案

一和方案二乙可以購(gòu)買的大果榛子斤數(shù)，得到答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意，/(力=彳(24-耳=-/+2以，XG(O,9],

g(x)=+=14x+21,xe(0,9].

(2)由⑴，"5)=95,g(5)=91,所以/'(5)>g(5),則甲選擇方案二購(gòu)買，花費(fèi)91元，

則乙花費(fèi)135-91=44元，

若乙按照方案一購(gòu)買，貝11-/+2以=44,解得x=2或22,又xe(0,9],

；.x=2,即乙可以購(gòu)買2斤大果榛子，

若乙按照方案二購(gòu)買，貝！J14x+21=44,解得》=言<2,

所以乙應(yīng)該按照方案一購(gòu)買，乙購(gòu)買2