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文檔簡介
高考數(shù)學(xué)分類專項精講精練
函數(shù)的概念與性質(zhì)
目錄
明晰學(xué)考要求...................................................................................1
基礎(chǔ)知識梳理...................................................................................1
考點精講講練...................................................................................4
考點一:函數(shù)的概念........................................................................4
考點二:函數(shù)的表示........................................................................7
考點三:函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值.......................................................9
考點四:函數(shù)的奇偶性......................................................................12
考點五:塞函數(shù)............................................................................16
考點六:函數(shù)的應(yīng)用(一).................................................................18
實戰(zhàn)能力訓(xùn)練..................................................................................23
明晰學(xué)考要求明晰學(xué)考要求01
1、體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù)的概念;
2、了解構(gòu)成函數(shù)要素,能求簡單的函數(shù)定義域;
3、會根據(jù)不同的需求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù),理解函數(shù)圖象的作用;
4、了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應(yīng)用;
5、會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性,最大值,最小值;
6,了解奇偶性的概念;
7、了解周期性的概念
基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理02
1、函數(shù)的概念
設(shè)A、5是兩個非空數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系/,使對于集合A中的任意一個數(shù)%,在集
合3中都有唯一確定的數(shù)/(x)和它對應(yīng),那么稱3為從集合A到集合3的一個函數(shù),記作
y=/(x),xeA.
其中:x叫做自變量,工的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域
與x的值相對應(yīng)的/(%)值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{/(%)IxeA)叫做函數(shù)的值域.
2、同一(相等)函數(shù)
函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系.
同一(相等)函數(shù):如果兩個函數(shù)的定義和對應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個函數(shù)相等,這是判斷兩函數(shù)相等
的依據(jù).
3、函數(shù)的表示
函數(shù)的三種表示法
解析法(最常用)圖象法(解題助手)列表法
就是把變量無,y之間的關(guān)系
就是把X,y之間的關(guān)系繪制就是將變量x,y的取值列成
用一個關(guān)系式y(tǒng)=/(x)來表
成圖象,圖象上每個點的坐標(biāo)表格,由表格直接反映出兩者
示,通過關(guān)系式可以由X的值
就是相應(yīng)的變量X,y的值.的關(guān)系.
求出y的值.
4、函數(shù)的單調(diào)性
(1)單調(diào)性的定義
一般地,設(shè)函數(shù)/(尤)的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間。上的任意兩個自變量的值七,%;
①當(dāng)藥</時,都有/(%)</(%),那么就說函數(shù)/(同在區(qū)間。上是增函數(shù)
②當(dāng)石<々時,都有/(%)>/(%2),那么就說函數(shù)“X)在區(qū)間。上是減函數(shù)
(2)單調(diào)性簡圖:
若函數(shù)y=/(%)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),則稱函數(shù)y=/(%)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,
區(qū)間。叫做函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.
5、函數(shù)的最值
(1)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)M滿足
①對于任意的xe/,都有
②存在使得/(%)=/
則M為最大值
(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)的定義域為/,如果存在實數(shù)加滿足
①對于任意的xe/,都有/(力2加;
②存在/e/,使得/(%)="
則m為最小值
6、函數(shù)的奇偶性
奇偶性定義圖象特點
如果對于函數(shù)/(尤)的定義域內(nèi)任意一個X,都有
圖象關(guān)于y軸
偶函數(shù)
/(—x)=/(x),那么函數(shù)/(%)是偶函數(shù)對稱
如果對于函數(shù)/(九)的定義域內(nèi)任意一個X,都有圖象關(guān)于原點
奇函數(shù)
/(-X)=-/(%),那么函數(shù)/(X)是奇函數(shù)對稱
7、函數(shù)對稱性
(1)軸對稱:若函數(shù)/(x)關(guān)于直線x=。對稱,則
①f(a+x)=f(a-x);
②/(x)=/(2a—x);
@f(-x)^f(2a+x)
(2)點對稱:若函數(shù)/(%)關(guān)于直線(。,0)對稱,則
①/(a+x)=-/(a-x)
②/(%)=-/(2a-%)
③/(r)=-/(2a+x)
(2)點對稱:若函數(shù)/(%)關(guān)于直線(。力)對稱,則
①于(a+%)=—于(a-x)+2b
②/(%)=-/(2a—%)+28
@f{-x)=-f(2a+x)+2b
8、塞函數(shù)定義
一般地,形如/(x)=x°的函數(shù)稱為塞函數(shù),其中x是自變量,a是常數(shù).
9、五種常見幕函數(shù)
y=xy=x2y=x3-1
函數(shù)y=爐y=x
V[1
圖象V
7T
定義域RRR{x|x>0}{x|xw0}
值域R{yly>0)R{yly>0){y|yw0}
奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)
性在(-8,0]上
在(—00,0)和
質(zhì)在R上單單調(diào)遞減;在在H上單調(diào)在[0,+8)上單
單調(diào)性(0,+8)上單
調(diào)遞增(0,+8)上單遞增調(diào)遞增
調(diào)遞減
調(diào)遞增
公共點(1,1)
10、常見幾類函數(shù)模型
函數(shù)模型函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型于(x)=kx+b(k,b為常數(shù),左W0)
二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c,b,。為常數(shù),awO)
XGD\
力(x),x&D,
分段函數(shù)模型y(x)=<
力(x),x&Dn
事函數(shù)模型/+b(k,b,a為常數(shù),k/0)
考點精講講練考點精講精練號
考點一:函數(shù)的概念
【典型例題】
例題1.(2024福建)函數(shù)/(x)=^/^萬的定義域為()
A.{x|x>l}B.{X|%>-1}C.但無<1}D.{x|xV-l}
【答案】A
【知識點】具體函數(shù)的定義域
【分析】求已知函數(shù)解析式的函數(shù)的定義域,只需讓函數(shù)解析式有意義即可.
【詳解】由題意可得:x-l>0,/.x>l
故選:A
例題2.(2024云南)已知函數(shù)/(x)=x,則〃2尤)=()
A.2尤B.xC.2D.1
【答案】A
【知識點】求函數(shù)值
【分析】由函數(shù)解析式求解.
【詳解】因為/(x)=x,所以f(2x)=2x,
故選:A
例題3.(2024浙江)若f(x+y)=/(x)+/(y)+犯,〃1)=1,則,(一20)=()
A.55B.190C.210D.231
【答案】B
【知識點】求函數(shù)值
【分析】利用賦值法分析可得f(x-r)-f(x)=-x,即可得結(jié)果.
【詳解】令x=y=0,則洋解=/(0)+〃0),可得解0)=0;
令x=l,y=-l,貝!)/(0)=/⑴+/(-1)-1=可得〃_1)=0;
令>=T,貝!J/(x—l)=/(x)+/(-D—x=/(x)-x,即=
則2)-〃-1)=1,/(-3)-/(-2)=2,-,/(-20)-/(-19)=19,
―/、(1+19)x19
可得了(-20)-〃-1)=1+2+…+19=^^——士——=190,
所以/■(-20)=190.
故選:B.
【即時演練】
1.下列各組函數(shù)中為同一函數(shù)的是()
A.〃x)=,g(x)=x-l
B./(x)=x2+l,g⑺=(〃+1)
c./(%)=Jf—i,g(X)=Vx+1-A/X-1
、丫2
D?f(^)=x9=—
【答案】B
【知識點】判斷兩個函數(shù)是否相等
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域等知識來確定正確答案.
【詳解】A選項,/(x)=^(x-l)2=jx-l|>O,g(x)eR,所以A選項錯誤.
B選項,/(%)=x2+i,g⑺=產(chǎn)+1,
兩個函數(shù)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域相同,所以是同一函數(shù),B選項正確.
C選項,對于〃尤)=//-I,x2-1>0>解得xV-1或尤21,
所以“X)的定義域是(e,T3i,y),
對于g(x)=JxT,解得xNl,
所以g(x)的定義域是[l,+s),所以C選項錯誤.
D選項,/(%)=*的定義域是口,
2
g(x)=^的定義域是{X|XH0},所以D選項錯誤.
故選:B
2.函數(shù)/(刈:百^。一的定義域為()
3-x
A.[l,+oo)B.[1,3).(3,+oo)C.(1,3)。(3,-boo)D.[3,+oo)
【答案】B
【知識點】具體函數(shù)的定義域
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求定義域即可.
fx-l>0
【詳解】由題可得\八,解得轉(zhuǎn)1且xw3.
所以“X)的定義域為[1,3)。(3,小).
故選:B.
3.已知函數(shù)/(尤)滿足/(x+2)=3x+4,則/(2)=()
A.-2B.1C.4D.7
【答案】C
【知識點】求函數(shù)值
【分析】根據(jù)給定條件,令x+2=2,即取尤=0代入計算即得.
【詳解】函數(shù)〃尤)滿足〃X+2)=3X+4,當(dāng)X+2=2,即x=0時,/(2)=3x0+4=4.
故選:C
考點二:函數(shù)的表示
【典型例題】
/、—%?+2x+2,xV2,、
例題1.(2024安徽)已知函數(shù)〃x)=,則〃3)=()
J2
A.-1B.1C.2D.3
【答案】D
【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值
【分析】根據(jù)題意,結(jié)合分段函數(shù)的解析式,代入準(zhǔn)確運算,即可求解.
【詳解】由函數(shù)〃尤)=;;;:I;;:貝!)〃3)=〃3—2)=〃l)=-12+2xl+2=3.
故選:D.
例題2.(2024浙江)已知函數(shù)7'(加?》-[司(國表示不超過x的最大整數(shù)),貝!!/&=.
【答案】3
【知識點】函數(shù)新定義
【分析】根據(jù)定義直接求解即可.
【詳解】由題意了ih2xl-[l]=5-2=3,
故答案為:3.
例題3.(2024江蘇)已知函數(shù)〃x)滿足了(一1一力+/(力=-7,且//(x)+1-^--+2=-4,
J+3X
貝!|〃2024)=____.
【答案】-也或202L
2024
【知識點】求函數(shù)值、已知f(g(x))求解析式
【分析】"〃尤)+了⑴+3尤J2,通過賦值法,求,出f的值,進(jìn)而得到“X),再求解即可.
【詳解】令,=〃x)+〃x)+3xJ2,則/⑺=-4,
z+2=1(2解得"-1或-;
令x=t,貝!=⑺+3t4f+,
而/(—l—力+〃力=-7,故(一;)=一:.因此f=T.
貝!H=/(小冗%--+2,
即f(x)+3+—-4;—=x+-,f(x)+3-x=-——-4;-=,
/(x)+3x尤/(x)+3%(f(x)+3)
因此/(%)+3—彳=0或%(/(尤)+3)=1
當(dāng)x(〃x)+3)=l時,,時/(%)=g—3,此時/(2024)=1__3_6071
2024-2024
當(dāng)/⑺=%-3時,〃2024)=2021.
故答案為:-黑或2。21?
【即時演練】
2X2,(0<X<1)
1.函數(shù)〃x)=2,(14x<2)的值域是()
3,(x22)
A.RB.[0,+<?)C.[0,3]D.[0,2]u{3}
【答案】D
【知識點】求二次函數(shù)的值域或最值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段求解,取并集即可.
【詳解】當(dāng)0Vx<l時,0</(X)=2X2<2,
當(dāng)1WX<2時,〃x)=2,
當(dāng)2Vx時,/(x)=3,
所以04x時,〃尤)的值域為[0,2]。{3},
故選:D
7
2.若函數(shù)=—:的部分圖象如圖所示,貝|〃1)=()
axi~DX~I-c
【答案】D
【知識點】求函數(shù)值、二次函數(shù)的圖象分析與判斷、函數(shù)圖象的應(yīng)用
【分析】利用函數(shù)圖象求得函數(shù)定義域,利用函數(shù)值可得出其解析式,代入計算即求得函數(shù)值.
【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知尤=2和x=4不在函數(shù)/■("的定義域內(nèi),
因此%=2和%=4是方程辦2+次+。=0的兩根,因此可得/(%)=〃(彳_2)(工_4),
又易知"3)=1,所以可得〃=-2;
即?。?-口_2;(1),所以〃1)=T
故選:D
l,x<2
3.已知函數(shù)〃x)hx-l,24x<3,且/伉)=2,貝(]/=()
x2-7,x>3
A.1B.2C.3D.6
【答案】C
【知識點】已知分段函數(shù)的值求參數(shù)或自變量
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式分段討論得到方程(不等式)組,解得即可.
l,x<2
【詳解】因為/(x)=r-l,24x<3,且/(1)=2,
X1-l,x>3
2<天<3
%一1=2取[只一7=2,解得%=3.
故選:C
考點三:函數(shù)的單調(diào)性與最大(?。┲?/p>
【典型例題】
例題1.(2023新疆)若函數(shù)/(力=/+2(4-1卜在區(qū)間(-8,4]上是減函數(shù),則實數(shù)”的取值范圍是()
A.a<-3B.a<5C.a>3D.a>-3
【答案】A
【知識點】已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】先分析/(x)的對稱軸,然后根據(jù)/'(x)在(-雙4]上的單調(diào)性得到關(guān)于a的不等式,由此求解出結(jié)
果.
【詳解】因為/(X)的對稱軸為x=l-a,且在(T,4]上是減函數(shù),
所以1—a24,所以aW—3,
故選:A.
(%+2%<0
例題2.(2024北京)已知〃尤)=2\;則“—1)=________;〃x)的最大值為________.
I—X+,,X之U,
【答案】12
【知識點】求分段函數(shù)解析式或求函數(shù)的值、分段函數(shù)的值域或最值
【分析】第一空直接代入即可,第二空分別計算兩段的最大值,比較即可求解.
【詳解】由解析式可知:=
當(dāng)x<0,易知〃x)<2,
當(dāng)尤20,/(X)=-X2+2<2,當(dāng)x=0時,取最大值2,
所以的最大值為2,
故答案為:1,2
例題3.(2023吉林)已知函數(shù)/(尤)=七門?1,+8)).
⑴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)〃x)在區(qū)間[L+s)上單調(diào)遞減;
(2)若/(/)>〃24+3),求實數(shù)。的取值范圍.
【答案】⑴證明見詳解
(2)[1,3)
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
(、/\(x9-x-1)
【分析】(1)任取玉>々21,作差-'解+不=;]),分析每一個因式的正負(fù),進(jìn)而得到
/(^)-/(x2)<0,可判斷單調(diào)性;
a2>1
(2)根據(jù)第一問得到的函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)定義域可列式2〃+3>1,解不等式即可得到答案.
a2<2。+3
【詳解】(1)任取為>%21,
玉%;+%一/才一兄2(“2—玉)(玉工2—1)
則-言-看
(4+1)(%;+1)+1)(%;+1)
因為尤1>921,則仁+1)(考+1)>0,x2-x1<0,xix2-1>0,
則于0)-/(x2)<0,故/(X)在[1,+8)上單調(diào)遞減.
(2)由(1)得,人>)在[L4W)上單調(diào)遞減,
a2>1a<-1或。>1
所以,2〃+321,解得心-1,
a2<2a+3-l<a<3
所以"a<3,即所求范圍是[L3).
【即時演練】
1.已知函數(shù)、=/_"成-3在區(qū)間[0』上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是()
A.[0,2]B.(0,2)C.(-OO,0]U[2,-H?)D.(-<o,0)(2,+co)
【答案】C
【知識點】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值、已知二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)值或范圍
【分析】根據(jù)給定條件,利用二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.
【詳解】函數(shù)>-mx-3的圖象對稱軸為%=葭,
由函數(shù)y=Y-如-3在區(qū)間[0,1]上是單調(diào)函數(shù),得5Vo或^21,解得相40或機(jī),2,
所以實數(shù)m的取值范圍是").
故選:C
2.若=在R上單調(diào)遞增,則實數(shù)。的取值范圍為______.
[x+5?,x>1
【答案】
【知識點】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性結(jié)合一次函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)列式求解即可.
3—2a
1<-----31
【詳解】由題意可得:2,解得一:三。4。,
1+5?>-1+(3-2G)-472
所以實數(shù)”的取值范圍為
故答案為:|a|-y<a<—j.
3.已知函數(shù)/■(無)=x"
X
(1)證明:函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+⑹上是增函數(shù);
(2)當(dāng)xe[2,6],求函數(shù)/(x)的值域.
【答案】⑴證明見解析
(2)[-1,5]
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域
【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即得;
(2)利用已證的函數(shù)單調(diào)性,即可求得函數(shù)在給定區(qū)間上的值域.
【詳解】(1)任取X,%€(。,+8),且王<龍2,
由/(%)一/(%)=(髭-9)一(々-9)=(髭-%)-‘a(chǎn)。&)=(尤]一尤2)(1+—),
玉X2石%2石工2
因0<網(wǎng)<X2,故1+^^>。,Xl-X2<0>故/(不)</(尤2),
即函數(shù)在區(qū)間(0,+刈上是增函數(shù);
(2)由(1)已證:函數(shù)/(X)在區(qū)間(0,+8)上是增函數(shù),故在[2,6]上也是增函數(shù),
則f(2)4/(x)W/(6),gp-l</(x)<5,故函數(shù)/(X)的值域為[-1,5].
考點四:函數(shù)的奇偶性
【典型例題】
例題1.(2024安徽)已知函數(shù)/(x)=aex+e-,,若y="幻的圖象關(guān)于原點對稱,則實數(shù)。=
【答案】-1
【知識點】函數(shù)對稱性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì),令/(。)=0,即可得到答案.
【詳解】;函數(shù)/("=恁'+1的圖象關(guān)于原點對稱,
二八龍)為奇函數(shù),
/(0)=a+l=0,
.a=-l,經(jīng)驗證滿足題設(shè).
故答案為:-1
例題2.(2024福建)已知函數(shù)/(%)=丁+4%
⑴判斷函數(shù)〃兀)的奇偶性,并說明理由
(2)當(dāng)%>0時,/(%)之丘2恒成立,求人的取值范圍.
【答案】⑴奇函數(shù),理由見解析
(2)k<4
【知識點】函數(shù)奇偶性的定義與判斷、基本不等式求和的最小值、函數(shù)不等式恒成立問題
【分析】(1)利用函數(shù)奇偶性的定義,即可判斷;
(2)由題意可得當(dāng)1>0時,左d+E恒成立,結(jié)合基本不等式求出的最小值,即可得答案.
【詳解】(1)/(%)=d+4x的定義域為R,且滿足/(-%)=(-]丫-4%=—/(%),
故”可為奇函數(shù);
(2)當(dāng)%>0時,/(x)N區(qū)之恒成立,即%3+4%2日2,
4
即左一十―恒成立,
x
又x+±22、xx±=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=±,即尤=2時取等號,
xVxx
故發(fā)44.
例題3.(2024安徽)已知函數(shù)/(耳=喜丁卜€(wěn)[-1,1])是奇函數(shù),且/⑴=萬
(1)求。涉的值;
(2)判斷函數(shù)在卜1』上的單調(diào)性,并加以證明;
⑶若函數(shù)滿足不等式(-2。,求實數(shù)t的取值范圍.
【答案】(DU
⑵單調(diào)遞增,證明見解析
⑶
【知識點】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由奇偶性求參數(shù)
【分析】(1)利用/(。)=。和/⑴=;可求得。力,檢驗可知滿足題意;
(2)利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可;
(3)利用單調(diào)性及定義域列出不等式即可
I_11
【詳解】(1)因為函數(shù)“到二r??是定義在上的奇函數(shù),且〃1)=點
b-l
/(0)=-=0
則:I,解得6=1,。=1,
/(1)=^-4
Q+12
所以函數(shù)/⑴二六,
檢驗:f(-x)=~^=-f{x},故函數(shù)為奇函數(shù),
所以a=l,6=1;
(2)/(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增.
證明如下:對于任意%,赴且王<工2,
司」(中2-1)(々-占)
則〃占)-“尤2)=
片+1xf+1+1),
由-1?石X2?1,得%2—2>0,再入2<1,玉%2—1<°,
又看+1>0,宕+1>0,
所以『6)—〃々)<。,即/(五)<〃%),
故函數(shù)/(X)在[-1,1]上單調(diào)遞增;
(3)不等式“八l)v/(-20,
-1</-1<1
f(x)是增函數(shù),且xe[T,l],所以一lV-2/Vl,解得0Vt<g,
t—1<—2t
所以f的取值范圍是
【即時演練】
1.已知/>(X)為定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=2x2+x+l-a,則a+〃l)=()
A.—2B.—1C.1D.1
【答案】C
【知識點】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出。,再求出/(-1)即可得解.
【詳解】因為“X)為定義在R上的奇函數(shù),
所以"0)=1—4=0得4=1,
所以〃-1)=2—=故〃1)=一/(一1)=一1,
則a+〃l)=0,
故選:C.
2.已知函數(shù)/'(x)=/2為偶函數(shù),則實數(shù)根=_____.
x+"優(yōu),尤>0
【答案】3
【知識點】由奇偶性求參數(shù)
【分析】根據(jù)給定條件,利用偶函數(shù)的定義求解即得.
【詳解】由函數(shù)〃尤)=卜:一孔"':為偶函數(shù),得"一尤)=f(x),
[x+mx,x>0
當(dāng)%>0時,-x<0,/(x)=/(—%)=(-*)2-3(-%)=必+3%,
22
而當(dāng)龍>0時,/(x)=x+mx,則根=3,BP/(x)=x+3x9
當(dāng)%<0時,-x>0,/(%)=/(-%)=(-K丁+3(-%)=/一3%,符合題意,
所以m=3.
故答案為:3
3.已知函數(shù)八可是R上的偶函數(shù),當(dāng)了<0時,f(x)=x2-x.
⑴求函數(shù)“X)的解析式,并畫出具體函數(shù)圖象;
(2)若/(2相-1)</(根+1),求實數(shù),"的取值范圍.
【答案】⑴/(尤)=[1*圖象見解析;
[1-x,x<0
(2)(0,2).
【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、畫出具體函數(shù)圖象、由函數(shù)奇偶性解不
等式
【分析】(D根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的定義,求出x>0時,函數(shù)f(x)的解析式,結(jié)合二次函數(shù)及偶函數(shù)的
性質(zhì)畫出圖象即可;
(2)根據(jù)函數(shù)的圖象以及奇偶性分析函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合單調(diào)性和對稱性可得|2機(jī)運算求解
即可.
【詳解】⑴當(dāng)x>0時,則-X<0,
由題意可得:f(-X)=(-^)2-(-X)=x2+x,
因為函數(shù)“X)是R上的偶函數(shù),所以f(r)=f(x),
所以〃X)=/(-X)=x2+X,
所以函數(shù)/(X)的解析式為“X)=
x—x,xW0
結(jié)合二次函數(shù)知識易畫出“X)圖象如圖所示:
(2)結(jié)合該函數(shù)/(元)的圖象可知:在(-力,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增.
又因為函數(shù)/(x)是R上的偶函數(shù),且/⑵*-1)<〃加+1),
所以|2加一,
整理可得:m2—2m<0,解得:0<m<2.
故實數(shù)m的取值范圍為(0,2).
考點五:塞函數(shù)
【典型例題】
例題1.(2024湖南)已知幕函數(shù)y=x”的圖象經(jīng)過點(2,4),則。=()
11
A.2B.-2C.-D.——
22
【答案】A
【知識點】求塞函數(shù)的解析式
【分析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得
【詳解】將(2,4)代入y=得:4=2%解得:a=2.
故選:A
例題2.(2023江蘇)已知事函數(shù)“*)=(療+2加-2卜利在(0,+8)上單調(diào)遞減,則實數(shù)加的值為()
A.-3B.-1C.3D.1
【答案】A
【知識點】根據(jù)函數(shù)是易函數(shù)求參數(shù)值、由塞函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】根據(jù)塞函數(shù)的定義,求得根=-3或m=1,結(jié)合幕函數(shù)的單調(diào)性,即可求解.
【詳解】由函數(shù)〃。=(布+2%-2卜山為易函數(shù),可得療+2〃L2=1,
即+2〃z-3=0,解得根=一3或根=1,
當(dāng)他=-3時,函數(shù)〃尤)=二在(0,+。)上單調(diào)遞減,符合題意;
當(dāng)相=1時,函數(shù)/(力=8在(0,+巧上單調(diào)遞增,不符合題意.
故選:A.
例題3.(2023寧夏)已知塞函數(shù)外"=J的圖象過點尸(3,9),則。=
【答案】2
【知識點】根據(jù)函數(shù)是嘉函數(shù)求參數(shù)值
【分析】將點網(wǎng)3,9)代入函數(shù)〃x)=x。,即可求解.
【詳解】因為基函數(shù)〃力=V的圖象過點尸(3,9),
所以〃3)=3。=9,解得a=2.
故答案為:2.
【即時演練】
1.已知募函數(shù)/(%)=(療-3租+3*用的圖象關(guān)于原點對稱,則滿足(”+1)">(3-2力”成立的實數(shù)。的取值
范圍為()
A.(0,2)B.[。,|[C,1|,4]D.(4,+“)
【答案】C
【知識點】根據(jù)函數(shù)是募函數(shù)求參數(shù)值、解不含參數(shù)的一元二次不等式
【分析】根據(jù)塞函數(shù)的知識求得加,由此化簡不等式3+1)'”>(3-2°廣并求得不等式的解,從而求得”的
取值范圍.
【詳解】因為函數(shù)〃司=(3m+3b'用是募函數(shù),貝?。?一3%+3=1,解得機(jī)=1或機(jī)=2.
當(dāng)機(jī)=1時,f(x)=Y是偶函數(shù),其圖象關(guān)于丫軸對稱,與已知矛盾;
當(dāng)〃?=2時,是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點對稱,于是得根=2,
不等式(。+l)m>(3-2a)m化為(a+1)2>(3-2a)2,
即(3a-2)(a-4)<0,解得]<a<4,所以實數(shù)“的取值范圍為(別.
故選:C
2.已知募函數(shù)〃x)=(/_3)x#g在(°,+◎上單調(diào)遞減,則。的值為.
【答案】-2
【知識點】根據(jù)函數(shù)是募函數(shù)求參數(shù)值、由募函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)
【分析】先根據(jù)幕函數(shù)定義確定。的可取值,再根據(jù)單調(diào)性確定出a的值.
【詳解】因為〃x)為募函數(shù),所以〃一3=1,所以。=i2,
當(dāng)a=2時,/(x)=x2,在(0,+e)上單調(diào)遞增,不符合;
當(dāng)a=-2時,〃力=/,在(0,+巧上單調(diào)遞減,符合;
故答案為:-2.
3.已知事函數(shù)〃x)=/圖象經(jīng)過點(4,2),若/(a+l)>〃3-2a),則實數(shù)〃的取值范圍是;若
0<%<?則"
【答案】<
【知識點】求塞函數(shù)的解析式、基本(均值)不等式的應(yīng)用、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式
【分析】由條件先求a,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及定義域解不等式求“,根據(jù)基本不等式判斷“X)+:(電)與
2
/(土產(chǎn))的大小.
【詳解】因為函數(shù)〃尤)=丁圖象經(jīng)過點(4,2),
所以¥=2,
11
所以a=5,故尤)=/,
函數(shù)〃x)=£的定義域為[°,”),且函數(shù)“X)在[。,田)單調(diào)遞增,
4+1>3—2〃
所以〃。+1)>〃3-2。)可化為,“+G0,
3—2〃N0
23
所以即。的取值范圍是
因為/(%)=戶,0<再<%2,
:2
所以玉+W>2“1A
=/(再)+/(%),
2
故答案為:(I^T,<.
考點六:函數(shù)的應(yīng)用(一)
【典型例題】
例題1.(2024浙江)有一支隊伍長Lm,以V的速度前行,傳令員傳令需要從排尾跑到排頭,再立即返回
排尾,速度為匕,若傳令員回到排尾時,隊伍正好前進(jìn)了2Lm,則t=()
C1+\/5口3+^5
A.2B.3
12,2
【答案】C
【知識點】分式型函數(shù)模型的應(yīng)用
【分析】計算隊伍前進(jìn)的總時間f,傳令兵從排頭到排尾的時間4及從排尾到排頭的時間根據(jù)傳令兵往
返總時間與隊伍前進(jìn)時間相等即可求解.
【詳解】設(shè)總時間為3傳令員從排頭到排尾所用時間為4,從排尾到排頭所用時間為「2,
LL2LLL2L
所以a===所以__"+匕+y=歹'
mv^-vy-v^o,即-^-i=o,
所以匕=口5.
V2
故選:C.
例題2.(2022浙江)某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準(zhǔn)備建造可以使用30年
的隔熱層,據(jù)當(dāng)年的物價,每厘米厚的隔熱層的建造成本是9萬元.根據(jù)建筑公司的前期研究得到,該建
筑物30年間每年的能源消耗費用N(單位:萬元)與隔熱層的厚度力(單位:厘米)滿足關(guān)系:
N僅)=可尢(°-h~1°)?經(jīng)測算知道,如果不建造隔熱層,那么30年間每年的能源消耗費用為10萬元.設(shè)
廠伍)為隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和,那么使打〃)達(dá)到最小值的隔熱層的厚度力=
厘米.
【答案】y
【知識點】基本不等式求和的最小值
【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)"/z)=30N(/7)+9/7=早2+9〃=早2+3(3/?+4)-12,利用基本不等式求解.
【詳解】由題意及=可得N(0)=:=10,即加=40,
隔熱層的建造費用與30年間的能源消耗費用的總和F(/z)=30N(/z)+肪=募詈+9/7=+3(3〃+4)-12
^^--3(3/7+4)-12=108(萬元),
>2.
當(dāng)且僅當(dāng)?shù)?=3(3九+4),即(厘米)時打〃)達(dá)到最小值.
3/i+43
故答案為:y.
例題3.(2023安徽)如圖,某小區(qū)要在一個直角邊長為30m的等腰直角三角形空地上修建一個矩形花園.記
空地為VA3C,花園為矩形。EfG.根據(jù)規(guī)劃需要,花園的頂點廠在三角形的斜邊8c上,邊DG在三角形
的直角邊AC上,頂點G到點C的距離是頂點D到點A的距離的2倍.
⑴設(shè)花園的面積為S(單位:??),AD的長為x(單位:m),寫出S關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)AD的長為多少時,花園的面積最大?并求出這個最大面積.
【答案】⑴S=2x(30-3x),(0<x<10)
(2)當(dāng)AD的長為5m時,花園的面積最大,最大面積為150m'
【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題、基本(均值)不等式的應(yīng)用、基本不等式求積的最大值
【分析】(1)根據(jù)矩形面積即可求解,
(2)根據(jù)基本不等式即可求解.
【詳解】(1)=x,貝!|CG=GN=2x,GD=30-x-2x=30-3x,
所以S=GDGb=2x(30—3x),(0<x<10)
(2)S=2x(30—3x)-g.3x(30—3x)Wg3x+(;一3x)二.
當(dāng)且僅當(dāng)3x=30-3x,即x=5時等號成立,
故當(dāng)AO的長為5m時,花園的面積最大,最大面積為150m,
【即時演練】
1.近幾年來,“盲盒文化"廣為流行,這種文化已經(jīng)在中國落地生根,并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟(jì),
某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線,每年可有50萬的總收入,已知生產(chǎn)此盲盒x年
(x為正整數(shù))所用的各種費用總計為2r+10x萬元.
⑴該公司第幾年首次盈利(總收入超過總支出,今年為第一年)?
(2)該公司第幾年年平均利潤最大,最大是多少?
【答案】⑴第3年
(2)第7年平均利潤最大,為12萬元
【知識點】基本(均值)不等式的應(yīng)用、利用二次函數(shù)模型解決實際問題
【分析】(1)先求得利潤的表達(dá)式,由此列不等式來求得正確答案.
(2)先求得平均利潤的表達(dá)式,然后利用基本不等式求得正確答案.
【詳解】(1)設(shè)利潤為V,貝!Jy=50x-(98+2x2+10x)=-2x2+40x-98(xeN*),
由-2x?+40x-98>0整理得爐-20x+49<0,
解得10—庖<尤<10+后,由于xeN*,
所以xe{尤eN*|34尤417},所以第3年首次盈利.
(2)首先xe{xeN*|3<x<17},
由(1)得平均利潤?=+=萬元,
49
當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)=一,彳=7萬元時等號成立,
x
綜上,第7年,平均利潤最大,為12萬元.
2.遼陽大果榛子外形美觀、果大皮薄,深受消費者歡迎.某遼陽大果榛子網(wǎng)店為回饋新老顧客,提供兩種
購買大果榛子的優(yōu)惠方案:第一種方案,每斤的售價為24元,顧客買x(x>0)斤,每斤的售價降低x元;
第二種方案,顧客買”(尤>0)斤,每斤的售價為"4+21元.已知每位顧客限購9斤大果榛子.設(shè)一名顧
客按照第一種方案購買大果榛子的付款額為/⑺元,按照第二種方案購買大果榛子的付款額為g(x)元.
⑴分別求函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
⑵已知顧客甲、乙在這家網(wǎng)店均選擇了更經(jīng)濟(jì)實惠的方案購買大果榛子,甲、乙的付款總額為135元,且
甲購買了5斤大果榛子,試問乙購買了多少斤大果榛子?
【答案】(1)/(》)=一一+24》,xe(0,9];g(x)=14x+21,XG(0,9].
⑵乙購買了2斤大果榛子
【知識點】利用二次函數(shù)模型解決實際問題
【分析】(1)根據(jù)題意,寫出函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
(2)先求出/(5)>g(5),確定甲選擇方案二購買,花費91元,得到乙花費44元,再分別討論按照方案
一和方案二乙可以購買的大果榛子斤數(shù),得到答案.
【詳解】(1)根據(jù)題意,/(力=彳(24-耳=-/+2以,XG(O,9],
g(x)=+=14x+21,xe(0,9].
(2)由⑴,"5)=95,g(5)=91,所以/'(5)>g(5),則甲選擇方案二購買,花費91元,
則乙花費135-91=44元,
若乙按照方案一購買,貝11-/+2以=44,解得x=2或22,又xe(0,9],
;.x=2,即乙可以購買2斤大果榛子,
若乙按照方案二購買,貝!J14x+21=44,解得》=言<2,
所以乙應(yīng)該按照方案一購買,乙購買2
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