高考數(shù)學(xué)分類專項(xiàng)訓(xùn)練之指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

目錄

明晰學(xué)考要求...................................................................................1

基礎(chǔ)知識梳理...................................................................................1

考點(diǎn)精講講練...................................................................................5

考點(diǎn)一：指數(shù)...................................................................................5

考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念........................................................................7

考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).................................................................11

考點(diǎn)四：對數(shù)..................................................................................17

考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)的概念.......................................................................19

考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì).................................................................21

考點(diǎn)七：不同函數(shù)增長差異.....................................................................27

考點(diǎn)八：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解.................................................................30

考點(diǎn)九：函數(shù)模型的應(yīng)用.......................................................................34

實(shí)戰(zhàn)能力訓(xùn)練..................................................................................38

明晰學(xué)考要求

1、了解指數(shù)塞的拓展過程，掌握指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)；

2、了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念；

3、能用描點(diǎn)法畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；

4、理解對數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù);

5、了解對數(shù)函數(shù)的概念；

6、能用描點(diǎn)法畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；；

7、指導(dǎo)對數(shù)函數(shù)y=log：與指數(shù)函數(shù)＞互為反函數(shù)(。＞0且awl)

基礎(chǔ)知識梳理

1、根式的概念及性質(zhì)

(1)概念：式子而叫做根式，其中〃叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

(2)性質(zhì):

①(而丫=a(He7V*Mzz＞l)；

②當(dāng)九為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，必7=|。|=

、[-a,a<0

2、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是^^二行工〉。，皿〃^^^,且〃>1)；

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是a==〒=(a>O,根,〃eN*,且〃>1)；

N0m

③0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)事等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒有意義.

3、指數(shù)募的運(yùn)算性質(zhì)

①aras=ar+s(a>0,r,seR)；

②(")'=ar\a>0,r,5eR)；

③(ab)，=a'br{a>0,b>0,reR).

4、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)指數(shù)函數(shù)的概念

函數(shù)/(x)=a、(a>0,且awl)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)》是自變量，函數(shù)的定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)/(%)=優(yōu)的圖象和性質(zhì)

底數(shù)a>l0<tz<l

圖象

定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0,+s)

圖象過定點(diǎn)(。,1)

當(dāng)x>0時(shí)，恒有

性質(zhì)當(dāng)%>0時(shí),恒有/(無)>1；

0</(x)<l；

當(dāng)了<0時(shí)，恒有。</(x)<l

當(dāng)x<0時(shí)，恒有/(X)>1

在定義域R上為增函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

指數(shù)函數(shù)/(x)=屐(a>0,且aw1)的圖象和性質(zhì)與a的取值有關(guān),應(yīng)分a>1

注意

與0<。<1來研究

5、對數(shù)的概念

(1)對數(shù)：一般地，如果優(yōu)=N(a>。,且awl)，那么數(shù)》叫做以。為底N的對數(shù)，記作x=log〃N,

其中。叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).

(2)牢記兩個(gè)重要對數(shù)：常用對數(shù)，以10為底的對數(shù)IgN；自然對數(shù)，以無理數(shù)e=2.71828…為底數(shù)的

對數(shù)InN.

(3)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：a，=Nox=10gtzN.

6、對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算性質(zhì)與換底公式

(1)對數(shù)的性質(zhì)

根據(jù)對數(shù)的概念，知對數(shù)log。N(a〉0,且aw1)具有以下性質(zhì)：

①負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，即N>0；

②1的對數(shù)等于0,即log"=0；

③底數(shù)的對數(shù)等于1,即log〃a=1；

④對數(shù)恒等式a.'=N(N>0).

(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果。>0,且awl,〃>0,N>0,那么：

①log.(M?N)=log也+log*■

M

②10go—=log/Tog〃N；

③log“M"=nlogaM(neR).

(3)對數(shù)的換底公式

對數(shù)的換底公式：log。b=°(口>0,且。w1；c>0,且cw1;6>0).

logca

換底公式將底數(shù)不同的對數(shù)轉(zhuǎn)化為底數(shù)相同的對數(shù)，進(jìn)而進(jìn)行化簡、計(jì)算或證明.換底公式應(yīng)用時(shí)究竟換成

什么為底，由已知條件來確定，一般換成以10為底的常用對數(shù)或以e為底的自然對數(shù).

換底公式的變形及推廣：

①logbn=—logab(a>。且aR>0)；

am

②log/=--—(a>0且awl,b>0且6豐1).

一

7、對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)對數(shù)函數(shù)的定義

形如y=log；(a>0,且awl)的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0,+g).

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<a<l

對于一般函數(shù)y=/(x),xe￡>,我們把使/(x)=0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/(尤),xe。的零點(diǎn).注

意函數(shù)的零點(diǎn)不是點(diǎn)，是一個(gè)數(shù).

9、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的聯(lián)系

函數(shù)V=的零點(diǎn)就是方程/(%)=0的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

即方程/(%)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)。函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn).

10、零點(diǎn)存在性定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間團(tuán),句上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有那么，函數(shù)

y=/(x)在區(qū)間(。,刀內(nèi)有零點(diǎn)，即存在ce(a,6),使得/(c)=O,這個(gè)c也就是方程/(x)=0的根.

注：上述定理只能判斷出零點(diǎn)存在，不能確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

11、常見函數(shù)模型

(1)指數(shù)函數(shù)模型/(x)=3'+6(。>0且awl,左W0)

(2)對數(shù)函數(shù)模型/(x)=-og：+8(a>0且awl,k/0)

12、指數(shù)、對數(shù)、塞函數(shù)模型性質(zhì)比較

函數(shù)

y=優(yōu)(〃>1)y=logax(a>l)y=x〃(〃>0)

性質(zhì)

在(0,+8)上的

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

增減性

介于指數(shù)函數(shù)與

增長速度先慢后快，指數(shù)爆炸先快后慢，增長平緩對數(shù)函數(shù)之間，相

對平穩(wěn)

隨X的增大，圖象與y軸接近隨X的增大，圖象與X軸接近隨〃值變化而各有

圖象的變化

平行平行不同

值的比較存在一個(gè)毛,當(dāng)X〉/時(shí)，有l(wèi)og"x<x"（優(yōu)

考點(diǎn)精講講練考點(diǎn)精講精練03

考點(diǎn)一：指數(shù)

【典型例題】

例題1.（2022天津）已知2m=3,2"=5,則2"""的值為（）

5

A.-B.2C.8D.15

3

【答案】D

【知識點(diǎn)】指數(shù)塞的運(yùn)算

【分析】根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算求解即可.

【詳解】2"+"=2"x2"=3x5=15.

故選：D

例題2.（多選）（2024浙江）下列各式一定成立的是（）

A.而少=次B.2-1=1

C.（a2j=\a\D.仃=M〃eN*）

【答案】ABC

【知識點(diǎn)】根式的化簡求值、指數(shù)塞的運(yùn)算、分?jǐn)?shù)指數(shù)塞與根式的互化

【分析】利用根式運(yùn)算法則及根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)騫互化，選出正確答案.

_______41_

【詳解】對于A,0（_2）4=2五=2號=次，故A正確；

對于B,2T=；,故B正確；

對于C,（6）；=同，故C正確；

對于D,當(dāng)〃=2,“=-1時(shí)，Qf=l,故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

1z-x04

例題3.(2023山西)(0.064戶一一(+[(-2)7一⑹6=.

【答案】三23

16

【知識點(diǎn)】指數(shù)暴的化簡、求值

【分析】根據(jù)指數(shù)幕的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】JM^=(0.43p-l+(-2)-4-(24p5=0.4-1-l+-

v7v716821616

故答案為：三23

16

【即時(shí)演練】

73

1.已知(7>0,b>0,化簡：選=

【答案】a3b

【知識點(diǎn)】分?jǐn)?shù)指數(shù)幕與根式的互化、指數(shù)塞的化簡、求值

【分析】把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)式，再利用指數(shù)式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡.

7373

【詳解】因?yàn)檫?喏="3爪

“ba2b2

故答案為：a3b

2.若代數(shù)式衣方+萬工有意義，則五-2工+1+弧-2)4=.

【答案】1

【知識點(diǎn)】根式的化簡求值

【分析】由二次根式有意義得到x的取值范圍，化簡所求代數(shù)值，由x的取值范圍去掉絕對值符號即可得到

解.

【詳解】由題意可知：]：1<%<2

[2-x>0

*e?Jx2-2冗+1+#(%-2)4=J"-1。+.(尤-2)4=|x-l|+|x-2|=x-l+2-x=l

故答案為：1

3.計(jì)算：

_i______________

⑴;*83+(號)+(-6)°+J(2一如)；

⑵點(diǎn)力行?行?海（。＞0，＞＞0）.

【答案】⑴2+君

6

⑵加

【知識點(diǎn)】指數(shù)幕的化簡、求值

【分析】（1）根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的知識求得正確答案.

（2）根據(jù)根式、指數(shù)運(yùn)算的知識求得正確答案.

1

【詳解】⑴人+層［"6）。+#_灼2

="2+曰+1+e-2

=-+-+1+75-2=2+75.

33

(8_6\2I—7—

(2)拒為行.迎.亞

”.6xf.C43

5

=aI2).b5I2人〃5，b5

_43436

=a.?脛?點(diǎn)?后=*?

考點(diǎn)二：指數(shù)函數(shù)的概念

【典型例題】

例題1.（2024安徽）若函數(shù)y=（〃-5°+7）優(yōu)+4-2。是指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.。=2B.a=3

C.〃=2或a=3D.a＞2,且aw3

【答案】A

【知識點(diǎn)】根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求參.

【詳解】因?yàn)椋?（。2-5。+7",+4-24是指數(shù)函數(shù)，

所以a?—5a+7=La?-5a+6=0,（a-2）（?！?）=0,且4-2Q=0

所以a=2.

故選：A.

例題2.(2023新疆)設(shè)函數(shù)/("=優(yōu)—(左—1)廣(a>0且awl),滿足"0)=0.

⑴求女的值；

⑵若/(1)<0,求使不等式/(/+fx)+/(4—x)<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立的f的取值范圍.

【答案】⑴左=2

(2)—3</<5

【知識點(diǎn)】已知函數(shù)值求自變量或參數(shù)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、由函數(shù)奇偶性解不等式

【分析】(1)根據(jù)"0)=0求得a.

(2)根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、一元二次不等式恒成立等知識求得f的取值范圍.

【詳解】(1)；〃0)=0,...1—(左一1)=0,...k=2.

(2)由(1)得：f(x)=ax—a(〃>0且awl),

xx

F(x)的定義域?yàn)镽,f[-x)=a-a=-f(x)9

???〃力是奇函數(shù).

???/(1)<0,,J=￡izJ.=(a+l)("l)<0,...0<a<l

aaa

“X)在R上是減函數(shù).

不等式/(/+rx)+/(4—x)<0等價(jià)于/(f+目<〃x-4).

.x2+tx>x-4,即.一+?一1■+4>0恒成立.

A=(/-l)2-16=？-2r-15<0,解得-3<r<5.

,X1

例題3.(2022江蘇)已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足：xNO時(shí)，/(x)=-^.

⑴求的表達(dá)式；

⑵若關(guān)于x的不等式，(26+3)+/。-依2)>0恒成立，求〃的取值范圍.

【答案】⑴/'5)=叁

2+1

(2)(<0]

【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性求函數(shù)解析式、指數(shù)函數(shù)的判定與求值、由函數(shù)奇

偶性解不等式

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得當(dāng)x<0時(shí)的解析式，即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)定義證明函數(shù)/(X)在R上單調(diào)遞增，然后再結(jié)合f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，化簡不等式，求

解即可得到結(jié)果.

1

【詳解】（1）設(shè)x<0,貝！J—%>0,因?yàn)閘之0時(shí)，f（x）=-------，

2"+1

2T-11-2X

所以

1+2X

又因?yàn)椤?）是定義在R上的奇函數(shù),

I2%-1

即/")=_/(T=

2X+1

-1

所以當(dāng)x<0時(shí)，/（?=『

2+1

綜上，“X）的表達(dá)式為

2+1

2X-1?

（2）由（1）可知，/（冗）=^^=1———,

2、+12X+1

設(shè)在R上任取兩個(gè)自變量七,無2,令占<尤2

則〃網(wǎng)）-"％）=[1-亮]-[「告）

222（2--2^）

一2也+12&+1一（2*+1）（2為+1）

因?yàn)槭?lt;%，則2』-2如<0,所以/（%）-/（々）<0=/（再）</仁）

所以函數(shù)/'（元）在R上單調(diào)遞增.

即f（2ax+3'）+f（l-ax2^>0^>/（2ar+3）>-/（l-ar2^,

由是定義在R上的奇函數(shù)，可得-/（1-加）=/（加-1）

即/?（2依+3）>/（改2—1）,由函數(shù)y（x）在R上單調(diào)遞增，

可得2依+3>G？_]=以2-2辦-4<0恒成立，

當(dāng)〃=0時(shí)，即TvO,滿足；

?,[a<0乙，

當(dāng)awO時(shí)，即LA2nf解得-4vav。

[A=4a+16tz<0

綜上，，的取值范圍為（T,0]

【即時(shí)演練】

[X4尤

1.已知函數(shù)〃x）=彳*（a>0且"1）是奇函數(shù)，貝!）。=（)

B.3C.2A/3D.4

【答案】C

【知識點(diǎn)】指數(shù)幕的運(yùn)算、由奇偶性求參數(shù)

【分析】利用奇函數(shù)定義，可得，(-1)=-/(I),進(jìn)而利用奇函數(shù)定義驗(yàn)證求解即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(X)是奇函數(shù)，定義域?yàn)?-.0)d(0,+力)，

所以〃-1)=一八1)，

4T3+477l

BP----—二------，即有〃二——，解得a=26，

-aa12a

此時(shí)〃x)=

x-l2v3I

3,+4*―

則〃-)=k+4一,="MW)=_3+4..

')T.(2⑹FF(2可x.(2可

滿足/(-X)=-f(x),

所以a=2\/3.

故選：C.

2.已知指數(shù)函數(shù)〃"=(/-2°-2)優(yōu)，則/(3)的值為.

【答案】27

【知識點(diǎn)】求函數(shù)值、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義求得。=3,進(jìn)而代入求解即可.

【詳解】因?yàn)椤皩?(/一2。一2"，為指數(shù)式，貝!|6一2“一2=1,解得a=3或a=-l,

又因?yàn)閍>0且awl,可得a=3,即/(x)=3",

所以"3)=33=27.

故答案為：27.

3.已知函數(shù)/(尤)=匿^為奇函數(shù).

⑴求。的值；

(2)判斷并證明/(%)=春的單調(diào)性；

⑶若存在實(shí)數(shù)f,使得/。2-2。+/(2/2一發(fā))>0成立，求上的取值范圍.

【答案】⑴1

(2)函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減，證明見解析

⑶￡，+-

【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)、

由奇偶性求參數(shù)

【分析】（1）根據(jù)“X）定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，所以"0）=0,即可求解.

（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義法即可證明求解.

（3）由⑵中結(jié)果及奇函數(shù)性質(zhì)可得7?。2-2。＞/卜-2產(chǎn)），從而可得3『-2…左＜0,結(jié)合二次函數(shù)性

質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）由函數(shù)/（x）=t"為奇函數(shù)，其定義域?yàn)镽,所以/（。）=0,

即〃0）=m=0,解得。=1，此時(shí)〃x）=E",

滿足”—）=￡?=*=-〃x）,即〃x）為奇函數(shù)，

故”的值為1.

（2）在R上單調(diào)遞減，證明如下：

1_x7

由（1）知=e

/1+e1+e

_222（e巧一e為）

V//eR，且玉則/（占）一“無2）=用『用豆=（］+eq）（］+e,，

因?yàn)橥酢从?，所以e'R-e』〉。，l+e%,＞0,l+e*＞0,

所以即函數(shù)〃元）在R上單調(diào)遞減.

（3）由/（產(chǎn)一2（+/（2尸一左）＞0,則/（產(chǎn)-2f）＞V（2/Y）,

又因?yàn)椤癤）為奇函數(shù)，所以/（r_2。＞_/（2』_左）",_2尸），

又由（2）知函數(shù)/（X）在R上單調(diào)遞減，

所以r-2/＜"2產(chǎn)，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)/,使得3m＜0成立,

所以△=4+12左＞0,解得人＞—Q.

所以人的取值范圍為

考點(diǎn)三：指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典型例題】

例題1.（2024北京）在區(qū)間［a,5］上，〃x）=2'的最大值是其最小值的4倍，則實(shí)數(shù)。=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域

【分析】根據(jù)條件，利用/（x）=2，的單調(diào)性，得到32=4x2",即可求解.

【詳解】/（x）=2,區(qū)間,,5］上單調(diào)遞增,又“a）=2。,*5）=25=32,

所以32=4x2",即2"=8=23,解得。=3,

故選：C.

例題2.（2024云南）函數(shù)、=州的最小值為（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【知識點(diǎn)】求已知指數(shù)型函數(shù)的最值

【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析求解.

【詳解】因?yàn)閲?0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號成立，

且y=2*在R上單調(diào)遞增,可得y=/22°=l,

所以函數(shù)y=2兇的最小值為1.

故選：B.

例題3.（2024浙江）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)〃尤）=0若對任意玉<0,%>。，均有〃%）>/伍）

恒成立，則下列情形可能成立的是（）

A.n>m>0B.n>0>mC.0<n<mD.m<n<0

【答案】A

【知識點(diǎn)】判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、比較指數(shù)塞的大小

【分析】對ACD,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷，對B舉例說明不正確.

【詳解】對A：若心〃>0,所以0<?<1,所以=為單調(diào)遞減的指數(shù)函數(shù)，因此對任意辦<0,

爸>0，均有/&）>〃％）恒成立，故A正確；

對B：若〃>0>機(jī)，-<0,函數(shù)“X）無意義，故B錯(cuò)誤;

n

對C：若0<”加，所以?>1，所以為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，所以對任意不<。，3>0,均

有/（芯）<〃*2）恒成立，故C錯(cuò)誤;

對D：若祖<"0,所以?>1，所以=為單調(diào)遞增的指數(shù)函數(shù)，所以對任意冊<0,%>0,均

有恒成立，故D錯(cuò)誤;

故選:A

例題4.(2023海南)已知函數(shù)/(同=啜『是奇函數(shù).

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)判斷函數(shù)/(彳)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

⑶若對于任意x>0都有/'優(yōu)+4)+〃如"。恒成立，求實(shí)數(shù)用的取值范圍

【答案】(1)1;

(2)/(x)在R上單調(diào)遞增，證明見解析；

(3)H，+CO).

【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)不等式恒成立問題、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、由奇偶性

求參數(shù)

【分析】(1)求出函數(shù)〃x)的定義域，由，(。)=。求出a,再驗(yàn)證作答.

(2)函數(shù)/(》)單調(diào)遞增，再利用單調(diào)增函數(shù)的定義推理論證作答.

(3)利用(2)的結(jié)論，結(jié)合已知脫去法則7一轉(zhuǎn)化為恒成立的不等式作答.

【詳解】(1)〃司=喂『的定義域?yàn)镽,又〃彳)是奇函數(shù)，則/(0)=*=0,解得。=1,

此時(shí)〃尤)=汜，顯然〃一x)=二二=上2=-〃耳，因此“X)為奇函數(shù)，符合題意，

2+12~+11+2

所以a=l.

(2)/(%)在R上單調(diào)遞增,

2X-1?—

/(%)=-------=1----------，任取%￡R且再<%2，

2X+12X+1

y(x1)-/(x2)=fi―——vfi――2(2

I"I，l2'+Ul2^+1J(2%'+1)(2^+1)

因?yàn)橛?lt;3，則2為<2*,有2f一2四<0,2'，+1>0,29+1>0,于是“動一外三卜。，即"不)</(%),

所以/(X)在R上單調(diào)遞增.

(3)依題意，/(%2+4)+f(77U)>0<=>/(x2+4)>-f(mx)=f(-mx),

因?yàn)?(X)在R上單調(diào)遞增，因此f+q-mx,而X>0,有fiVx+工，

當(dāng)x>0時(shí)，x+->2.lx--=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號，

X\X

因?yàn)槿我鈞>0,/任+4)+/(%”。恒成立，即任意x>0,-W+：恒成立，則一屋4,解得根2-4,

所以加的取值范圍是［Y,+4).

例題5.(2020貴州)已知定義在R上的函數(shù)/(元)=2'+2.

(1)寫出的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知/(x)>〃2產(chǎn)-2儂+1,對所有xeR,feR恒成立，求，的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)〃尤)在[。,+◎上單調(diào)遞增，在(-亂。)上單調(diào)遞減.(2)[-1,0)

【知識點(diǎn)】一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

【分析】(1)利用函數(shù)的單調(diào)性的定義，即可證得函數(shù)的單調(diào)性，得出單調(diào)區(qū)間；

(2)由(1)知，函數(shù)/(x)的最小值為2,把不等式轉(zhuǎn)化為機(jī)產(chǎn)一2,加-1<0恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象

與性質(zhì)，即可求解.

【詳解】(1)函數(shù)/(》)在0+8)上單調(diào)遞增，在(-叫。)上單調(diào)遞減.

①當(dāng)OVXi時(shí)，

112巧—9X1+巧—1

則/(^)-f(x2)=2為+2苞+=⑵-2*)+---=⑵-2*)?——，

因?yàn)椤?lt;玉<%,可得2為-2*<0,2'E>2°=1,所以/(%)-

即/(占)</(%),即函數(shù)/(X)在[。,+◎上單調(diào)遞增；

②當(dāng)X]<%<0時(shí)，

112巧_?尤1+%2_1

貝!I/(^)-/(x2)=2^'+—-2^+—=(2$-2*)+——=(2為-2*)?一,

因?yàn)?V玉<%，可得2%一2巧<0,2甬+巧<2°=1,所以/(%)-/(尤2)>。，

即/(再)>/(%)，即函數(shù)/(%)在(f，。)上單調(diào)遞減.

綜上可得，函數(shù)/(%)在。+8)上單調(diào)遞增，在(-*0)上單調(diào)遞減.

(2)由(1)知，當(dāng)％=0,函數(shù)取得最小值，最小值為八外.二？，

因?yàn)椴坏仁?(%)>皿2-2加+1,對所有％￡氏，/eH恒成立，

即2>加/一2根1+1怛成立，即加/一2皿一1<0恒成立，

當(dāng)根=0時(shí)，-1<0恒成立，符合題意；

“fm<0

當(dāng)加。0時(shí)，則滿足12,解得-LvmvO,

[A=4m+4m<0

綜上可得，實(shí)數(shù)加取值范圍是(-1,。].

【即時(shí)演練】

1.已知。=2°/力=2°5,。=0.52,則見瓦。的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.c<a<b

【答案】D

【知識點(diǎn)】比較指數(shù)嘉的大小

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)以及中間量“1”即可比較大小.

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知即1<。<匕，

又因?yàn)?.5?=0.25,貝!|c<a<6.

故選：D.

2.函數(shù)〃x）=&的大致圖象是（）

【答案】D

【知識點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、函數(shù)圖像的識別、具體函數(shù)的定義域

【分析】由奇偶性及函數(shù)值即可判斷.

【詳解】由八尤）=/^知：中土1,

=-^="6,偶函數(shù)，AC錯(cuò)，

\73-3T3-3國'）

4

/（2）=--<0,B錯(cuò)，

故選：D

3.函數(shù)/'（x）=aA2+i（0<a<l）的圖象恒過定點(diǎn)尸，則點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

【答案】（2,2）

【知識點(diǎn)】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

【分析】根據(jù)X-2=0,即可求解x=2,代入即可得縱坐標(biāo).

【詳解】令x—2=0,則尤=2,故/（2）=?！?1=2,因此P（2,2）,

故答案為：（2,2）

4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/（》）=上一-1是奇函數(shù).

2+a2

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

（2）判斷函數(shù)/（x）的單調(diào)性，并用定義加以證明；

⑶若對任意的xe[L2],不等式一如）+/（尤2+4）＞。成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】⑴。=1;

⑵在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明見解析；

（3）m＜4＞/2■

【知識點(diǎn)】定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式、判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、由奇

偶性求參數(shù)

【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求出。，再利用定義驗(yàn)證即得.

（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷推理即得.

（3）利用奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性質(zhì)脫去法則。分離參數(shù)，借助基本不等式求解即得.

【詳解】（1）定義在R上的函數(shù)/（尤）為奇函數(shù)，得外））=」匚-!=0,解得。=1,

a+12

此時(shí)k)=5T則A-MU—=------1-\—=-------1—=—f(X)

122X+122^+12

即函數(shù)/（X）是奇函數(shù)，所以。=1.

2'+1-11^_1_1

(2)由(1)知f(x)=

2'+1--2~-2*+1—5一一-2*+1

函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下:

設(shè)玉＞々，則“百）一/（%）=亍匕一2國一2熱

（2巧+]）（2須+1），

由項(xiàng)〉馬，得2均＞2為＞0,貝！I/&）＞/（/），所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

（3）依題意，對任意的％目1,2],/（x2-mx）＞-/（x2+4）＜^＞/（x2-mx）＞f（-x2-4）

4「r.4I4r-

貝!1%2一痛＞一九2一4,即用＜2x+1在％目1,2]上恒成立，而2%+—22,2]一二4女，

當(dāng)且僅當(dāng)％=0時(shí)取等號，因此根＜4后，

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是加＜40.

zv_3*+i

5.已知函數(shù)f（x）=3—是定義在R上的奇函數(shù)（。＞0）＞0）.

⑴求了（九）的解析式；

（2）求當(dāng)工￡[0』時(shí)，函數(shù)g。）=/（%）?（3、+1）+9"-1的值域.

3(1-3X)

【答案】⑴/（%）=

1+3”

【知識點(diǎn)】求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、由奇偶性求參數(shù)

【分析】（1）利用奇函數(shù)定義及性質(zhì)，列式計(jì)算求出。，分作答.

（2）由（1）的結(jié)論，求出函數(shù)g（x）的解析式，結(jié)合二次函數(shù)求出值域..

【詳解】（1）由函數(shù):是R上的奇函數(shù)，則有/（0）=二=。，解得。=3,即/（無）=?!,

y+bb+iy+b

3—3213X+1-33-3x+1

VXGR,/(r)=

yx+bb-3x+ly+b

即DXER,Z?.3"+l=3"+6,解得）=1,經(jīng)驗(yàn)證得a=3,Z?=l時(shí)，/（九）是奇函數(shù),

所以

1+3

(2)由(1)知,^(%)=/(%)?(3X+1)+9X-1=3-3X+1+9X-1=(3X)2-3x3"+2=(3X-

3i

當(dāng)x?O,l］時(shí)，k3*43,因此當(dāng)歹=5時(shí)，g(x)^n=--,當(dāng)x=l時(shí)，g(x)max=2,

所以所求值域?yàn)椋?。2］.

4

考點(diǎn)四：對數(shù)

【典型例題】

例題1.（2024云南）已知。>0,6>0.若。6=1,貝!Jlga+lg6=（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算

【分析】利用對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】lga+lg6=lg"6=lgl=。.

故選：A

例題2.（2024福建）若ln%=6,lny=3,則一等于（）

y

11a

A.-rB.—rC.e72D.e3

ee

【答案】D

【知識點(diǎn)】指數(shù)式與對數(shù)式的互化、指數(shù)幕的運(yùn)算

【分析】將對數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)基的運(yùn)算法則計(jì)算可得.

【詳解】因?yàn)閘nx=6,lny=3,

6

所以x=e6,y=e3,所以二r=,e=e3.

ye-

故選：D

例題3.(2024湖北)已知log32'=l,則2*+4'=.

【答案】12

【知識點(diǎn)】指數(shù)幕的運(yùn)算、指數(shù)式與對數(shù)式的互化

【分析】根據(jù)指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】由1%2*=1得2工=3,則4、=(2)=9,

所以2*+4工=3+9=12,

故答案為：12.

例題4.(2021江蘇)計(jì)算log264+lg0+lgV^=

13

【答案】y

【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算

【分析】借助對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得.

6

【詳解】log264+lgy/2+lgy/5=log22+1(lg2+lg5)

「「

=6+—lgl0=6+—113.

13

故答案為：y.

【即時(shí)演練】

_______3

1.計(jì)算：logs125+W(-5?2=()

A.8B.3+A/5C.-2D.3-A/5

【答案】A

【知識點(diǎn)】根式的化簡求值、指數(shù)塞的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算

【分析】將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)募，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算

32

32

【詳解】logs125+口(一5)2；=log55+^=3+5=8.

故選：A

2

21g2183

2.計(jì)算：273+log85.logl2+10-=.

5

【答案】10

【知識點(diǎn)】指數(shù)塞的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算

【分析】根據(jù)對數(shù)、指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

2

21g2lg3

【詳解】27§+log85.logl2+10-

5

2

=03）3+bg85.bg5T2+10妒23

2lg3-

=3-log85-log52+10

4

=9-log232+-

14

=9——+-=10.

33

故答案為：10

3.計(jì)算：31og28+21og3l=.

【答案】9

【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算

【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.

3

【詳解】由題意可得：31og28+21og3l=31og22+2x0=3x3+2x0=9.

故答案為：9.

4.計(jì)算：l°+eln2-0.5-2+lg25+21g2=.

【答案】1

【知識點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用、對數(shù)的運(yùn)算、指數(shù)塞的運(yùn)算

【分析】結(jié)合指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.

ln22

【詳解】l°+e-0.5-+lg25+21g2=l+2-Q^+Ig25+lg4

=3-4+lg（25x4）=-l+lgl02=l.

故答案為：1

考點(diǎn)五：對數(shù)函數(shù)的概念

【典型例題】

例題1.（2024北京）函數(shù)/（x）=ln（x+6）的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

A.(-6,+co)B.(6,+oo)C.(-00,-6)D.(-00,6)

【答案】A

【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【分析】由x+6>。即可求解.

【詳解】由解析式可知，x+6>0,

及x>-6,

所以定義域?yàn)椋?6,田），

故選：A

例題2.（多選）（2024浙江）若函數(shù)〃x）=log.（x—l）+b（a>0,"l）,則下列選項(xiàng)正確的是（）

A.定義域?yàn)椋↙”）B.值域?yàn)镽

C.圖象過定點(diǎn)（2力）D.在定義域上單調(diào)遞增

【答案】ABC

【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域、對數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題、對數(shù)型

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】由題意，x-l>0,貝

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）,故A正確；

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的值域可得函數(shù)/（x）的值域?yàn)镽,故B正確；

令x-l=l,貝?。輝=2,f（x）=b,

所以函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（2,6）,故C正確；

當(dāng)0<。<1時(shí)，函數(shù)/（尤）在定義域上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.

故選:ABC.

例題3.（2023云南）函數(shù)/'（幻=產(chǎn)亞石石的定義域是（用區(qū)間表示）

【答案】

【知識點(diǎn)】具體函數(shù)的定義域、求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

【分析】結(jié)合塞函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.

【詳解】由題意得2—log3（2x+l）Z0,即0<2尤+"9,解得-;<x44,

即定義域?yàn)椋海?p4.

故答案為」-別

【即時(shí)演練】

1.若函數(shù)〃句=坨(后-陽+2)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)7"取值范圍是()

A.[0,8)B.(8,+oo)C.(0,8)D.(-co,0)u(8,+co)

【答案】A

【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、一元二次不等式在實(shí)數(shù)集上恒成立問題

【分析】分析可知，nix?-nzx+2>0在R上恒成立，分根=。、機(jī)兩種情況討論，在根=0時(shí)，直接驗(yàn)證

fm>0

即可；在mwo時(shí)，可得出A八，綜合可解得實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

[A<0

【詳解】由題意，函數(shù)〃X)=lg(如2T"+2)的定義域?yàn)镽,

等價(jià)于mx2—mx+2>0在R上恒成立，

若根=。，貝!|如2一7nx+2=2>0在R上恒成立，滿足條件；

,fm>0

若加H0,貝叫A2oc，解得0<m<8.

[A=nr-8"2co

綜上，實(shí)數(shù)加的取值范圍是[0,8),

故選：A.

2.若>=/(x)(無?R)是奇函數(shù)，當(dāng)x>。時(shí)，/(x)=x2-liu+l,/(0)+/(-l)=.

【答案】-2

【知識點(diǎn)】求函數(shù)值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇函數(shù)求出函數(shù)值即可.

2

【詳解】由y=/(x)(xeR)是奇函數(shù)，得/(0)=0,當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x-lttT+l,則/(1)=2,

所以/(0)+/(-1)=0-/(1)=-2.

故答案為：-2

3.函數(shù)/(x)=ln(2+x-/)的定義域?yàn)?

【答案】(一1,2)

【知識點(diǎn)】求對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域、解不含參數(shù)的一元二次不等式

【分析】利用對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,解不等式可得結(jié)果.

【詳解】易知真數(shù)2+x-尤2>0,即/_彳一2<0,解得一1<》<2.

即函數(shù)〃x)=ln(2+x-巧的定義域?yàn)?/p>

故答案為：(-1,2)

考點(diǎn)六：對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典型例題】

例題1.（2024北京）在下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞減的是（）

A."x）=3"B.〃x）=log2尤C./（%）=x2D./（*）=1。8產(chǎn)

【答案】D

【知識點(diǎn)】根據(jù)解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性

【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及幕函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】對A：/（x）=3'在R上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；

對B：/（x）=log2&在（0,+e）上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；

對C：〃力=尤2在（3,。）上單調(diào)遞減，在（0,+司上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對D：〃尤）T