高考數(shù)學壓軸題專項訓練：解三角形（選填壓軸題）含答案及解析

專題14解三角形（選填壓軸題）

目錄

①三角形邊長相關問題................................................1

②三角形周長問題....................................................2

③三角形面積問題....................................................3

④三角形與向量、數(shù)列等綜合問題......................................4

①三角形邊長相關問題

1.（2023春?遼寧沈陽?高一沈陽市翔宇中學?？茧A段練習）已知“BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,

什11=3,則2+：的最大值為（

若----+-----)

tanAtan2ab

A.4B.V13C.VlOD.3

2.（2023春?貴州安順?高一統(tǒng)考期末）銳角“IBC中，內角A、B、C的對邊分別為6、c,S為/BC

的面積，且。=3,AB-AC=^S,則6的取值范圍是（）

3

A.（0,273）B.（A/3,2A/3）C.（0,6）D.96,6）

3.（2023春?四川成都?高一校聯(lián)考期末）已知AABC中，角A,B,C對應的邊分別為"c,。是A3上的三

等分點（靠近點A）且05=1,（a-V）sinA=（c+Z?）（sinC-sinB）,則a+2Z>的最大值是（）

A.2石B.2A/2C.2D.4

4.（2023春?江西撫州?高一統(tǒng)考期末）若AABC的內角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,已知asin2B=bsinA,

h

且。=2。，貝!）2=（）

a

A.1B.—C.V3D.2

2

5.（2023春?陜西西安?高一長安一中?？计谀┰谥?，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,ZABC=120°,

/ABC的平分線交AC于點，且瓦>=2,則a+2c的最小值為（）

A.6+4應B.12C.3+2夜D.9

6.（2023?全國?高一專題練習）在鈍角AABC中，角A,3,C的對邊分別為a,Z?,c,a=4,sinA=2siiiB-sinC,

則邊心的取值范圍是.

7.（2023春?重慶江津?高一校聯(lián)考期末）已知AABC的內角A,3,C所對的邊分別a,6,c,角若AM

是—0LB的平分線，交2C于M,且AM=3,則AB+24c的最小值為.

7T

8.（2023春?黑龍江?高一黑龍江實驗中學?？计谀┰贏ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,ZBAC=j,

—54C的平分線交BC于點。，AD<,貝U6+c的最小值為.

9.（2023春?湖南長沙?高二長郡中學?？计谀┰贏ABC中，內角A,B,C所對的邊分別。，b,c,B=p

b=2石，若AABC有且僅有一個解，則a-C的取值范圍是.

10.（2023春?貴州黔東南?高二統(tǒng)考期末）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=60。，且

b1sinAcosC+bcsinBcosA=2\/3，則a+4c的最大值為.

②三角形周長問題

1.（2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預測）在銳角三角形ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知3=2A,

。=2,則AABC的周長的取值范圍是（）

A.（4+20,6+26）B.[4+20,6+2

C.（4+272,6+273]D.14+20,6+24]

2.（2023春?福建龍巖.高一統(tǒng)考期末）在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若

cos25+cosScos（A-C）=sinAsinC,a=2右，則“WC周長的取值范圍是（）

A.（6?6+6/）B,（3+3A/3,6+6A/3）

C.（3+3后9@D.（6后9@

3.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學?？茧A段練習）在AABC中，AC=1,AD1BC,垂足為。,

且瓦5=3①，則當NBAC取最大值時，AABC的周長為（）

A.2+百B.2+2抬

C.3+括D.4+2百

4.（2023春?山東棗莊?高一?？茧A段練習）在AABC中，內角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,若

2csin|B+—\=a+b,且a+Z?=4,則AABC周長的取值范圍為.

5.（2023春?山東煙臺?高一?？茧A段練習）在AASC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,角3的

平分線交AC于點。，BD=lS.b=2,則AABC周長的最小值為.

27r

6.（2023?江蘇?高一專題練習）在AABC中，角ARC的對邊分別為”,6,G人=石,4=4,0為2（7的中點，

AD=y/2,則AABC的周長為.

7.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第十一中學?？茧A段練習）設銳角AABC的三個內角A,B,C的對邊

分別為。，b,c,且c=l,A=2C,則AASC周長的取值范圍為—

③三角形面積問題

1.（2023?山東濟南?統(tǒng)考三模）在AABC中，若叵+園=2,回+網(wǎng)=3,則面積的最大值為（）

A.-B.-C.1D.如

842

IT

2.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在41BC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,ZBAC=~,

D為BC上一點,BD=2DC,AD=BD=—,則AABC的面積為（）

2

A3石口9括9y/3n9右

A.---D.------rC.-----D.---

3281632

3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）在"IBC中，角A,B,C所對邊分別記為a,b,c,若6=2a,c=2,則“IBC

面積的最大值是（）

49

A.J2B.2C.-D.-

33

2jr

4.（2023?河南開封?統(tǒng)考三模）在AABC中，AB=7,BC=3,C=y,則AABC的面積為（）

A."叵B.組?C.4^/3D.6A/3

44

5.（2023.寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考一模）AABC的內角AB,C的對邊分別為a,b,c,滿足

（sin2-sinC）2=sir?A-sin2sinC.若為銳角三角形，且a=3,貝面積最大為（）

A.2B.2C.空D.唯

2444

6.（2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學?？寄M預測）在AABC中，角A,B,C對應的邊分別為“，b,

c,次?sinC=6sinA,-—―,則AABC的面積為______.

a+cb+sj6

7.（2023?四川?校聯(lián)考模擬預測）在疑。中，角A氏。的對邊分別為〃，"c,若

5COS2A+4COSBCOSC=4sinBsinC-sin2A,且〃=b+c=2,則AABC的面積為.

8.（2023?四川成者B?石室中學校考模擬預測）已知AABC的內角A,B,C的對邊分別為。，6,c,若

b+2cosB+bcosA=6,a=2,則AABC面積的最大值為.

9.（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考三模）已知三角形ABC的三個內角A、B、C所對的邊分別是。、b、c,若

acosC+ccosA=3,且儲+c?=9+ac＞則AABC面積的最大值為.

10.（2023?上海靜安?統(tǒng)考二模）已知中，sinA=3sinCcosB,且AB=2,則AABC面積的最大值

為.

④三角形與向量、數(shù)列等綜合問題

1.（2023?安徽安慶?安慶市第二中學校考二模）已知點D為銳角AABC的外接圓0上任意一點，=2,AC=4,

貝I]（衣-面）?麗的取值范圍為（）

A.[0,16）B.[-2,8）C.[0,8）D.[-2,16）

2.（2023?四川內江?校考模擬預測）在AASC中，^AC-（AB-BC）=2CB-（CA-AB）,貝"tan。的最大值是

（）

A

A72RV2r714N/14

7372

3.（2023?河南新鄉(xiāng)?新鄉(xiāng)市第一中學?？寄M預測）在融。中，BC=4,AB=3AC,則配?麗的取值范

圍為（）

A.[-3,12]B.（-3,12）C.[12,24]D.（12,24）

4.（2023?陜西安康?統(tǒng)考一模）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若（左+屈）?麗=^|通F,

acosB

則

bcosA

5.（2023?遼寧沈陽?沈陽市第一二。中學?？寄M預測）在AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

若a=2c,且sinA,sin8,sinC成等比數(shù)列，貝l]cosA=.

6.（2023?全國?高三專題練習）設AASC的內角4B,C的對邊長a,b,c成等比數(shù)歹！J,cos（A-C）-cos3=；,

延長BC至。，若BD=2,則AACD面積的最大值為.

專題14解三角形（選填壓軸題）

目錄

①三角形邊長相關問題................................................

②三角形周長問題...................................................2

③三角形面積問題...................................................3

④三角形與向量、數(shù)列等綜合問題......................................4

①三角形邊長相關問題

1.（2023春?遼寧沈陽?高一沈陽市翔宇中學校考階段練習）已知“BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,

什11=3,則2+3的最大值為（）

c,右I

tanAtanBab

A.4B.V13C.VwD.3

【答案】B

【詳解】依題意，；+」一=3,

tanAtanB

cosAcosB_sinAcosB4-cosAsinB_sin(A+B)_sinC

I————3,

sinAsinBsinAsinBsinAsinBsinAsinB

則—sinC=sinAsinB,

baa2+b2c1+2abcosC

—十—二---------=-------------------

ababab

sin2C+2sinAsinBcosCsin2C_—

二+2cosC

sinAsinB--sinAsinB

?2

------F2cosC=3sinC+2cosC=^/13sin(C+°)

-sinC

3

2

其中tan0=]￡

所以當C+9=J時，9取得最大值為加.

2ab

故選：B

2.(2023春.貴州安順.高一統(tǒng)考期末)銳角AABC中，內角A、B、C的對邊分別為。、6、c,S為“IBC

的面積，且。=3,AB-AC=^S,則6的取值范圍是()

3

A.(0,2⑹B.(A/3,2A/3)C.(0,6)D.96,6)

【答案】B

【詳解】因為A8?苑cbcosA=x-besinA,即sinA=J^cosA,

332

因為44BC為銳角三角形，貝l]cosA>0,所以，tanA=V3?則A=],

b=a32百

因為Q=3,由正弦定理可得sin5sinA,

~2

0<B<-

9TT7T1

由已知可得,解得?<5<t，則7〈sinBvl,

71n71622

[23

因此，Z?=273sinBe(73,273).

故選：B.

3.(2023春?四川成者B?高一校聯(lián)考期末)已知AABC中，角A,3,C對應的邊分別為“,0,c,。是A3上的三

等分點(靠近點A)且05=1,(?-b)sinA=(c+Z?)(sinC-sinB),貝!|a+2方的最大值是()

A.2A/3B.2A/2C.2D.4

【答案】A

【詳解】因為(a-b)sinA=(c+6)(sinC-sin3),

由正弦定理得a(a-6)=(c+6)(c-6),貝ij片一仍=/一〃，gp^+^_^=ab,

所以cosNAC8=""+"-c-=J_,ZACBe(0,7t),則44C2=色，

lab23

在△ACD中，----=8,貝ljAD?sinA=sin。，

sin0sinA

BDCD

--------------=------71

在△BCD中，./兀小sinB,貝！J3Z>sinJ5=sin(——。)，

-U)----------3

cjr

又BD=2AD=—,BP-(sinA+2sin5)=sin6+sin(--6),

又由正弦定理知c=2HsinZAC3=GH(R為AABC的外接圓半徑)，

所以"R(sinA+2sinB)=sin0+^-cos-—sin^=—sin0+^-cos^=sin(^+—),

32223

貝！J(2RsinA+4RsinB)=sin(6+—),即〃+26=2^3sin(8+g),

633

乂^<夕+^〈年,故當，+g=T,。=/寸,—？"“？"

33332o

故選：A

4.(2023春?江西撫州?高一統(tǒng)考期末)若"IBC的內角A,B,C所對的邊分別為。,b,。，已知asin23=bsinA,

b

且。=2。，貝產(chǎn)=()

a

A.1B.—C.6D.2

2

【答案】C

【詳解】因為asin23="sinA,所以2Qsinficos5=OsinA,

利用正弦定理可得：2abcosB=ab,所以cosB=：,又c=2a,

所以cosB’+c—?=/+41-62=」,解得：上=不

2ac4a2a

故選：C.

5.(2023春?陜西西安?高一長安一中?？计谀?在^ABC中，角A,3,C所對的邊分別為〃,b,c,ZABC=120°,

/ABC的平分線交AC于點。，且&)=2,則a+2c的最小值為()

A.6+4后B.12C.3+2行D.9

【答案】A

【詳解】由^AASC=^AABD+SWBC可得，

—tzcsinl20°=—x2asin60°+—x2csin60°,

222

22

即ac=2a+2c,則一+—=1,

ac

則a+2c=(4+2c)[2+2]=生+幺+622、匡巨+6=40+6

\acJac\ac

（當且僅當a=2+V2,C=A/2+1時等號成立）

故選：A

6.（2023?全國?高一專題練習）在鈍角AABC中，角A,5,C的對邊分別為a,Z?,c,a=4,sinA=2sinB-sinC,

則邊6的取值范圍是.

816。件8

【答案】

3?T

【詳解】由sinA=2sin^-sinC,得a=2b-c,即2Z?=〃+c,c=2b-a=2b-4,

故3不可能為鈍角.

/+C2</+儂-4><16,

①當A為鈍角，則，

b+c>a,b+2b-4>4,

立刀/口8716

解得

a2+b2<c2,16+/<(26-4)2,

②當。為鈍角，貝I」

a+b>c,4+b>2b-4,

解得了<“<8.

綜上，b的取值范圍是［1（卜］?，8

小故小答心案且為：小「8二16、卜（日16用。）

7T

7.（2023春?重慶江津?高一校聯(lián)考期末）已知AABC的內角A,民C所對的邊分別a,b,c,角4=］.若AM

是—C鉆的平分線，交BC于M,且AM=3,則AB+2AC的最小值為.

【答案】35/3+25/6

7T

【詳解】AABC的內角A,B,C所對的邊分別.,瓦C,角A=g.

由等面積法可得：^^ABM+^ACM=S4ABe，

.,.-ABAMsin-+-AMACsin-=-ABACsin-

262623

xxZ,xcxw

：.-x3xcx-+-x3xbrlf'H=f'

222

AB+2AC=c+2b=瓜c+

當且僅當°=回且2+1=也，即b=26+6,c=n+石時,等號成立,

bc32

則AB+2AC的最小值為36+2遙.

故答案為：3-73+2^/6.

TT

8.(2023春?黑龍江?高一黑龍江實驗中學?？计谀?在AABC中,角A,8,C所對的邊分別為a,b,c,ABAC=§,

/BAC的平分線交BC于點Q,AD=y[3,貝D+c的最小值為.

【答案】4

【詳解】依題意，由S.C=S.ABD+S?ACD，得〈兒?sing9?6?sin?+②?百?sin?,整理得Z?c=6+c,

Z52o2o

b_i_c

因止匕6+C=6CV(2122,b+c>4,當且僅當方=c=2時取等號

所以6+c的最小值為4.

故答案為：4

9.(2023春?湖南長沙?高二長郡中學?？计谀?在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別。，b,c,B=^,

b=2y[3,若AABC有且僅有一個解，貝壯-c的取值范圍是.

【答案】卜2石,26)

h

[詳解】由正弦定理可得a-c=2RsinA-2RsinC二—(sinA-sinC)

sin5

=4sinA-sin(A+1)=4(gsinA-cosA)=4sin(A-])

因此AABC有且僅有一個解，

故直線-〃A)=4sin(A-至在，叱上的圖象有且僅有一個交點，

當Ae[°'gb''A-，而'=$也/在1/三]為增函數(shù)，

故/(A)=4sin(A-$在(0,g)上為增函數(shù)，

因〃0)=-2技/^=2^3,故〃一辿一262月,

故答案為：卜2；.

10.（2023春?貴州黔東南?高二統(tǒng)考期末）在AABC中，角A氏C的對邊分別為若5=60。，且

b1sinAcosC+bcsinBcosA=2A/3,則〃+4c的最大值為.

【答案】4幣

【詳解】因為〃sinAcosC+/?csinBcosA=2百，B=60°,BPsinB=,

2

所以加sinAcosC+bcsinBcosA=4sinB,

由正弦定理可得ab2cosC+Z?2ccosA=4b,即abcosC+bccosA=4,

又由余弦定理一+“-L+bcx”+廠—4一=4,所以6=2(負值舍去)，

2ab2bc

a_c_b_2_4

根據(jù)正弦定理sinAsinCsinB73百，

~2

44

可得a=-^=sinA,c=--i=sinC,

44

所以。+4c=—j=(sinA+4sinC)="=sinA+4sinfA

V3V3

4.AA-2兀..2兀..

sinA+4sin——cosA-4cos——sinA

33

-^=(3sinA+cosA)=xV21sin(A+(p),其中tan(p=~~~

因為。<A<T，當A+O=_|時，4+4o的最大值為4a.

故答案為：4近

②三角形周長問題

1.(2023?江西贛州?統(tǒng)考模擬預測)在銳角三角形ABC中，角A,B,。所對的邊分別為a",c,已知5=2A,

〃=2,則AABC的周長的取值范圍是()

A.(4+20,6+2百)B.[4+20,6+26)

C.(4+2后,6+24]D.[4+2后,6+26]

【答案】A

【詳解】sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+(^2cos2A—l)sinA,

abc2bc

由正弦定理得sinAsinBsinC9sinAsin2Asin(A+B)

2_b_c

——,

sinA2sinAcosAsin3A

由于sinA>0,

s、?2「2sinAcos2A+(2cos2A-l)sinA~\、

所以6=4COSAC=^----------------------------------——=8cos2A-2，

sinA

所以〃+b+c=8cos2A+4cosA，

?.71

0<A<-0<A<—

22

71

由于＜0<B<-,所以?0<2A<-,所以烏<A(色，

264

—<A+B<TI二<34<兀

[2[2

所以*cosA<*

則4<8cos2A<6,20<4cosA<,

函數(shù)y=8尤?+4x的開口向上，對稱軸為》=-；,

所以a+6+c=8cos2A+4cosAe(4+2C,6+2&).

故選：A

2.(2023春?福建龍巖?高一統(tǒng)考期末)在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為“，b,c,若

cos2B+cosBcos(A-C)=sinAsinC,a=2若，則AABC周長的取值范圍是()

A.(6瓜6+6酬B.(3+373,6+673)

C.(3+3百,96)D.(6幣,9塔

【答案】B

【詳解】Scos2B+cosBcos(A-C)=sinAsinC

所以cosB[cosB+cos(A-C)]=sinAsinC,

VA+B+C=7t,cosB[-cos(A+Q+cos(A-C)]=sinAsinC,

cos3[(sinAsinC-cosAcosC)+(sinAsinC+cosAcosC)]=sinAsinC

71

2cosBsinAsinC=sinAsinC,*.*0<A,C<—,sinA>0,sinC>0,

冗ab

cosB=—,：.B=由正弦定理得

2sinAsin5sinC

.2君x由&

RasmC

,asmB73c=--------

b=--------=-----------=------sinA

sinAsinAsinA

所以AABC的周長為

,32^3sinC_/r

a+b+c=--------1---------------F2"\/3

sinAsinA

2A/3sin

3Z±]

+------+2A/3

sinAsinA

3(1+cosA)+6sinA

+2A/3=-----42+34

sinA2sin—cos—

22

；+3若

tan—

2

0<A<-

271,71兀A71chA.

=一<A<—=>——<—<—=>2-V3<tan—<1,

c2714Tl6212242

0<------A<—

32

/.AABC的周長為〃+Z?+C￡(3+36,6+6^3)，

故選：B.

3.（2023春?江蘇鹽城?高一江蘇省射陽中學?？茧A段練習）在AABC中，AC=1,AD1BC,垂足為O,

且麗=3①，則當/BAC取最大值時，AABC的周長為（）

A.2+73B.2+2A/3

C.3+6D.4+2出

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意，設CD=a,

若麗=3①，則。在線段BC之外，且8D=3CD=3a,如圖:

又由AC=1,貝I」AQ2=1—Q2,

貝ljAB2=Br>2+AD2=i+8a2,則鉆=Jl+8/

■+AC2一BC21+8/+1-4a22a?+l

則cosZBAC=

2ABAC2J8a?+lV8fl2+1

又由k+高*2^7^771^=25當且僅當—，即“三時等號成立,

此時cosABAC取得最小值旦,則NBAC取得最大值,

2

此時8c=2。=1,AB=V1+8O2=73-所以AABC的周長為2+6；

故選：A.

4.（2023春?山東棗莊?高一?？茧A段練習）在AABC中，內角A民。所對的邊分別為若

2csinf5+—1=a+b,且。+人=4,則AABC周長的取值范圍為.

【答案】［6,8）

【詳解】利用正弦定理由2csin[5+巳[=4+匕可得2sinCsin[5+S71)=sinA+sinB,

6

又因為在AABC中A+8+C=7i,所以sinA=sin(?i-3—C)=sin(3+C)；

?兀.71

所以可得2sinCsinBcos—+cosBsin—=sin(B+C)+sinB,

I66

即6sinCsinB+sinCcosB=sinBcosC+sinCcos3+sin8,

整理可得由sinCsinB=sinBcosC+sinB,又因為5￡（0,兀），所以sinBwO；

即J5sinC=cosC+1,所以J5sinC-cosC=l；

、

sinC-^cosC=1,即sin〔C—E71)二;1,

可得2

62

口71（71571）-—71兀71

易知c一片亮'不，可得C-/k,所以C=1

666

2

由〃+/?=4可知2csin(5+()=4,所以sm.+力，

因為c=］,所以半2兀｝因此5兀715兀1

，si+1

366T'T?rr2'

2

q2,4)

所以,.Tt

sinB+—

I6

所以△ABC周長/=a+b+cw[6,8),

即△46。周長的取值范圍為［6,8）.

故答案為：［6,8）.

5.（2023春?山東煙臺.高一?？茧A段練習）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,角5的

平分線交AC于點。，BD=l^b=2f則周長的最小值為

【答案】2+20

【詳解】因為NABC的平分線交AC于Z),BD=1,

所以S”BC=^AABD+S^BCD，即^acsinZABC=gBD-c?sin+g8〃,a,sin

因為sin筆C#0,所以由二倍角公式可得2accos4^=a+c,

ZABCa+c二匚?c2NA3c,Ja+cy\,

即nncos---------=-------，所以cosZABC=2cos2------------1=2-------1,

2lac2Ilac)

H_4

由余弦定理有cosZABC=-------------，

lac

所以2仁]〔1=/+入4,

Ilac)lac

整理得(a+c『=ac[(a+c『一可,

所以(a+。丫=oc「(a+。丫-4"|V'+"-F(?+c)2-4"|>

整理得(a+c)&8,所以a+cN20，

當且僅當a=c=0時等號成立，

所以三角形ABC周長的最小值為2+20.

故答案為：2+2夜

6.(2023?江蘇?高一專題練習)在AABC中，角A,B,C的對邊分別為°,6,孰4=5,4=4,￡＞為8。的中點,

AD=s/2,則AABC的周長為.

【答案】4+2近

222

【詳解】在AABC中，A=y,fl=4,由余弦定理得6=〃+C2-26CCOSA,§P4=&+c-2Z7Ccosy,

整理得(6+c)2-bc=16,在AABRAACD中，BD=CD=2,AD=五,

ft2=2+4-2x^x2cosZADC

由余弦定理得＜相加整理得b2+c2=12,即(6+c)2-26c=12,

c2=2+4-2xA/2x2COS(K-AADC)

因此(6+C)2=20,解得6+c=2石，所以AABC的周長為4+2班.

故答案為：4+2行

A

BDC

7.（2023春?湖北武漢?高一武漢市第H"一中學?？茧A段練習）設銳角”BC的三個內角A,B,C的對邊

分別為。，b,c,且c=l,A=2C,則AABC周長的取值范圍為—

【答案】（2+72,3+73）

【詳解】??,AABC為銳角三角形，且A+3+C=TI,

0<A<-[o<2C<-[o<C<-

224

兀兀兀兀

??.!0<5<—〈?！狢—2C<—n/—<。<一，

2263

JC7t7C

0<C<-0<C<-0<C<-

[2[2[2

.7171夜「G

??一<Cv-f—vcosC<—,

6422

又,:A=2C,

sinA=sin2C=2sinCcosC,

又?.?c=1a=_c_

sinAsinC'

,?a=2cosCf

,,bc

由=，

sinBsinC

口日，c-sinBsin3CsinC-cos2C+cosC-sin2C

即）=------=------=------------------------==4cos2

sinCsinCsinC

??a+Z?+c=2cosC+4cos2C—1+1=4cos?C+2cosC9

令"cosC,貝Ufe（李,菖），

又?.?函數(shù)y=4〃+2f在（4，g1）上單調遞增，

二函數(shù)值域為（2+V2,3+V3）.

故答案為：（2+0,3+g）

③三角形面積問題

1.（2023?山東濟南?統(tǒng)考三模）在AABC中，若博+祠=2,回+網(wǎng)=3,則^ABC面積的最大值為（）

A.-B.-C.1D.好

842

【答案】C

【詳解】如圖，延長54至。點，使得詼=而，延長至E點，使得題=礪,

若回+相=2,回+網(wǎng)=3,貝I］向+雨=府+就-麗卜匹一2網(wǎng)=1明=2,

|BC+BA|=|AC-AB+BA|=|AC-2A^=|EC|=3,

所以LBc=、s=g叫可|碎也初虛g叫回國=1,

則“1BC面積的最大值為1

7T

2.（2023?河南?襄城高中校聯(lián)考三模）在AABC中，內角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,ZBAC=-,

D為BC上一點,BD=2DC,AD=BD=^,則AABC的面積為（）

2

A至B晅c巫D值

'~32'~8~'1T'~32

【答案】D

如圖所示，在44BC中，由BD=2C￡>,AD=1AB+|AC.

又AD=BD,即由卜即=京,

所以AD=[—AB+—Ac\=^>—tz2=—c2+—b2+~bc,

（33J9999

化簡得4a2=c2+4b2+2bc.①

在AABC中，由余弦定理得，b2+c2-bc=a2,②

由①②式，解得。=2A.由瓦）=立，得〃=逋,

24

9

將其代入②式，得=b2+c1-be=3/?2,解得。之=一

16

故AABC的面積S=—be-sinABAC=^-b1=^-x—=

2221632

故選：D

3.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）在"IBC中，角A,B,C所對邊分別記為a,b,c,若b=2a,c=2,則“IBC

面積的最大值是（）

A.72B.2D-t

【答案】C

^272_2a1+4a2-45a2-4

【詳解】由余弦定理可得cosC=

2ab4a24/

所以sinC=

a+b>c3a>2

因為Z?=2〃，C=2,所以ic,即,解得°elB，

a<22]