高考數(shù)學(xué)壓軸題專項訓(xùn)練：一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點（方程的根）問題全題型壓軸題）含答案及解析

專題08一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點（方程的根）問題）

（全題型壓軸題）

目錄

①判斷零點（根）的個數(shù)..............................................1

②已知零點（根）的個數(shù)求參數(shù).......................................3

③已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值.................................5

①判斷零點（根）的個數(shù)

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程e，sinx=;c-l在（。,兀）上解的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知〃同=（尤

（1）當(dāng)。=1時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)。=0時，證明：函數(shù)g（x）=/（x）+lnx-gx2有且僅有一個零點.

3.（2023春?江西贛州?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（尤）='*.

⑴求函數(shù)Ax）的最值；

（2）討論函數(shù)g（x）=aev-lnx-l的零點個數(shù).

4.（2023春?重慶?高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/（x）=ax-lnx-2.

⑴當(dāng)4=1時，求函數(shù)“X）的極值；

（2）討論函數(shù)〃力的零點個數(shù).

5.（2023春?福建寧德?高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=ox-叱+。-2,?eR.

⑴當(dāng)。=2時，求曲線y=在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積;

⑵討論函數(shù)“力的零點個數(shù).

6.(2023春?四川眉山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=ei-x-cosx,"(-兀,2其中e=2.71828為自然

對數(shù)的底數(shù).

⑴當(dāng)3=0時,證明:/W>0；

⑵當(dāng)。=1時，求函數(shù)y=/(x)零點個數(shù).

7.(2023?湖南?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(無)=111，一2111^.

⑴求的最小值;

(2)證明：方程e?佝-e"")=2/(x)有三個不等實根.

②已知零點(根)的個數(shù)求參數(shù)

(x+l)ex,x<0

1.(2023春?江西吉安?高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)〃力=In%，函數(shù)

----,x>0

、%

g(x)=(/(x)-2)(/(x)-?),若函數(shù)g(x)恰有三個零點，貝"的取值范圍是.

2.(2023春?安徽合肥,高二統(tǒng)考期末)若關(guān)于x的方程：=-/+無+i有三個不等實數(shù)根，則實數(shù)機的取值

e

范圍是?

3.(2023春?上海黃浦?高二格致中學(xué)校考期末)設(shè)meR,若關(guān)于x的方程/-必一工=根有3個不同的實根，

則機的取值范圍是.

ex,x>0

4.(2023春?吉林長春?高二長春市解放大路學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)/(尤)=11，若方程7?(尤)=26

一尤—，尤W0

122

有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是.

5.(2023春?山西忻州?高二統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=(d+l)e'-%-l.

⑴若曲線y=〃x)在點(L〃1))處的切線方程為x-y+〃=o,求n；

⑵若/(尤)在［T，W)上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍.

3

6.(2023春?江西九江?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃尤)=V-5x2+3-a,aeR.

⑴求〃尤)的極大值與極小值之差；

(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,3］上恰有2個零點，求。的取值范圍.

7.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模)已知函數(shù)/(x)=e￡-加，aeR,f(x)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論函數(shù)/⑺的單調(diào)性；

⑵若方程/(x)+/'(x)=2-加在(0,1)上有實根，求”的取值范圍.

8.（2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測）設(shè)〃x）=#Tx+3inx,g（x）=1,且a、b為函數(shù)〃尤）的極值點

（1）判斷函數(shù)g⑺在區(qū)間（-b「a）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

⑵若曲線g（無）在x=l處的切線斜率為T,且方程g（尤）-加=0。40）有兩個不等的實根，求實數(shù)相的取值范

圍.

③已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值

1.（2023?四川成都?三模）已知函數(shù)/（x）=x-L-wiln元有三個零點占，龍2，%，其中貝卜叫吃三的取

X

值范圍是（）

A.（1,+＜?）B.（2,+oo）C.（e,+oo）D.（3,+oo）

2.（2023春?四川成都?高二四川省成都市新都一中校聯(lián)考期末）已知不和巧是函數(shù)/（x）=x-21nx+，〃的兩

個不相等的零點，則T二的范圍是____.

芭+x2

3.（2023春?湖南懷化?高二統(tǒng)考期末）已知％是方程e3,-lnx+2x=0的一個根，則用=.

4.（2023春?遼寧大連?高三瓦房店市高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/'（x）=（lnx）2+（4+a）疝比+（2a+8）V

存在三個零點4、/、％，且滿足芭＜%＜為，貝.她+2］］她+2小她+2］的值為.

I百JyX2八＞

5.（2023春?浙江?高二期中）已知函數(shù)/（X）=（元-l）e”-gox3一依2,〃wR.

⑴若x=0不是函數(shù)的極值點，求〃的值；

1/、/、5—3eXR+X）+2

（2）當(dāng)。＜彳，若〃尤）有三個極值點巧，巧，毛（占＜/＜七），且不+尤2+W€31n2-4,----,求：，

2e—I七十玉十，

的取值范圍.

6.(2023?北京?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=e',曲線>=〃尤)在點(-1，/(-1))處的切線方程為1區(qū)+氏

(1)求％,6的值；

(2)設(shè)函數(shù)g(x)={,'、:，若8(工)=：有兩個實數(shù)根芭,馬(玉<々),將馬-為表示為1的函數(shù)，并求馬-王

[In%,x>l.

的最小值.

Inx,x>l,

7.(2023春?福建廈門?高二廈門市湖濱中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(%)=1c1若方程/(%)="有兩

j(x+5),x<1,

個實數(shù)解，則。的取值范圍是;若兩解分別為為且馬>無1,則占-%的最大值是

；3In3-8.

專題08一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

（利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點（方程的根）問題）

（全題型壓軸題）

目錄

①判斷零點（根）的個數(shù)..............................................1

②已知零點（根）的個數(shù)求參數(shù).......................................3

③已知零點（根）的個數(shù)求代數(shù)式的值.................................5

①判斷零點（根）的個數(shù)

1.（2023?全國?高二專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程e，sinx=;c-l在（。,兀）上解的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【詳解】關(guān)于x的方程e，sinx=尤-1在（0,n）上解的個數(shù)，

即為關(guān)于x的方程sinx=在（0,兀）上解的個數(shù)，

Y—12—x

令=----,XG（O,7l）,貝----,XG（O,7l）

exex

Y—1

則當(dāng)xe（0,2）時〃（x）>0,h{x}=一單調(diào)遞增；

e

當(dāng)無￡（2,7i）時h\x）<0,/?（%）=——單調(diào)遞減.

1JT—1

又/1）=0,h（2）「，/兀）=丁>0

ee

在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出〃（x）=W與產(chǎn)sinx在（0,兀）上的圖像，兩圖像有1個交點

則關(guān)于x的方程e，sinx=尤-1在（0,7i）上解的個數(shù)為1.

2.(2023?云南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知"x)=(x-l)2e'-5x3+ax,oeR.

⑴當(dāng)a=l時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)。=0時，證明：函數(shù)g(x)=/(x)+lnx-gx2有且僅有一個零點.

【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(T，0),(1，內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間為(f,T),(0,1)

⑵證明見解析

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，/(x)=(x-l)2ex-1x3+x,

=2(x-l)ex+(x-l)2ex-x2+l=(x2-l)(ex-1),

由/刎>。得卜」或1x解得-1(尤<0或x〉l

')[e-l>0[e-l<0

由八%)<0得或[[<，，解得%<一1或Ovxvl,

[e-l<0[e-l>0

故函數(shù)人元)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),(1,+^),單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,-1),(0,1).

(2)當(dāng)〃=0時，^(x)=lnx-^x2+(x-l)2e%,定義域為(。,+司，

g，(%)——x+2(x—l)eA+(x—l)2ex=—x+(x1-=(x+l)(x-l)(e"—|,

XX\xJ

設(shè)%(%)=?”一10>0),

/.磯%)=e"+5>0,所以網(wǎng)%)在區(qū)間(0,+e)上是增函數(shù)，

=Ve—2<0,/z(l)=e—1>0,

「?存在唯一不使"(％)=0,即e/_l_=O,eXo=-k—Xo=lnXo,

12/玉)/

當(dāng)0<%<不時，/z(x)<0,即g，⑺>0；

當(dāng)％o<x<l時，/z(x)>0,即g'(%)<0；

當(dāng)x>l時，即g'(x)>0,

???g(x)在區(qū)間(0,5)上是增函數(shù)，在區(qū)間(無0,1)上是減函數(shù)，在區(qū)間。,內(nèi))上是增函數(shù),

.?.當(dāng)X=%時，g(尤)取極大值為g5)=llUo-；X；+(尤0-1)21。

2

=_/_彳尤；+(x0-I)?一

2%

設(shè)歹，1,

(x)=_gd+_2一<X<1,F\x)=-x--^-<0,

2

所以方(x)在區(qū)間］』)上是減函數(shù).

g(%o)<=-77*：+2-2=-三<0,/.g(%)在(0,1)內(nèi)無零點，

\Zy24o

g(l)=-1<0,g(2)=e2-2+ln2>0,

，g(x)在(l,"o)內(nèi)有且只有一個零點，

綜上所述，g(x)有且只有一個零點.

3.(2023春?江西贛州?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(司=電手.

(1)求函數(shù)“X)的最值；

(2)討論函數(shù)g(x)=oel-ln^-l的零點個數(shù).

【答案】(工)最大值工，無最小值

e

(2)當(dāng)。>工時，函數(shù)g(x)沒有零點，當(dāng)a=L或aWO時，函數(shù)g(x)只有1個零點，當(dāng)0<。<!時，函數(shù)g(x)

eee

有兩個零點.

%x

【詳解】(由函數(shù)〃到=里生--e-(lnx+l)-e--(lnx+1)

1)%e(0,+oo),得尸⑴=---------------=——-----

11y

令h(x)=——(lnx+1),則/(X)=-----廣<0恒成立，

xx

所以〃(%)在(0,+紇)上單調(diào)遞減，且以1)=0,

所以工￡(0,1)時，/^x)>0,X￡(l,y)時，r(x)<0,所以在(0,1)上單調(diào)遞增，在。,口)上單調(diào)遞

減，即當(dāng)x=l時，/(X)取得最大值〃1)=L無最小值；

(2)函數(shù)g(x)=ae*-lnx-l的零點個數(shù)就是方程=0的解的個數(shù),

整理得。=風(fēng)里，令〃耳=嗎口xe(O,—),由(1)可知，〃力在(0,1)上單調(diào)遞增,

ce

在。,內(nèi))上單調(diào)遞減，當(dāng)x=l時，〃x)取得最大值"1)=(,

當(dāng)x趨近于0時，趨近于-8,當(dāng)x趨近于+8時，/(X)恒大于0且趨近于0,

e

當(dāng)。=」或。40時，函數(shù)g(x)只有1個零點，

e

當(dāng)0<a<，時，函數(shù)g(x)有兩個零點.

e

4.(2023春?重慶?高二校聯(lián)考期末)已知函數(shù)依-lnx-2.

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)討論函數(shù)〃尤)的零點個數(shù).

【答案】⑴極小值-1,無極大值.

(2)當(dāng)a>e時，函數(shù)Ax)沒有零點；

當(dāng)。=6或。40時，函數(shù)Ax)有1個零點；

當(dāng)0<a<e時，函數(shù)Ax)有2個零點.

1V-1

【詳解】(1)當(dāng)。=1時，f(x)=x-\nx-2(x>0),f(x)=1一一=----(x>0),

XX

令ra)>o,則工>1；令r(x)<。，則o<x<i；

故函數(shù)fM的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,內(nèi))，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)；

當(dāng)x=l時，函數(shù)取極小值/(D=l-lnl_2=-l,無極大值.

InV-I-

(2)令/(%)=口—Inx—2=0,因為％>0,所以—,

x

、」.、lnx+2+，/、-1-lnx

I己g(%)=------,有g(shù)(%)=---2-，

XX

令g'(x)>。，則0<x<1；令g，(x)<0,貝l|x>L,

ee

故g(x)在(0,3上單調(diào)遞增，在d,+8)上單調(diào)遞減，從而g(x)M=gd)=e,

eee

因此當(dāng)a>e時，直線丫=。與〉=8。)的圖像沒有交點；

當(dāng)。=e或。<0時，直線y=a與y=g(x)的圖像有1個交點；

當(dāng)0<a<e時，直線丫=。與丫=8(尤)的圖像有2個交點.

綜上：當(dāng)a>e時，函數(shù)/*)沒有零點；當(dāng)。=6或。<0時，函數(shù)/(x)有1個零點；當(dāng)0<q<e時，函數(shù)/(x)

有2個零點.

1nx

5.(2023春?福建寧德?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)=———+<7-2,aeR.

⑴當(dāng)。=2時，求曲線y=/(x)在點(1"(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；

⑵討論函數(shù)“X)的零點個數(shù).

【答案】⑴1

(2)答案見解析

【詳解】(1)???〃x)=2x-叱，二尸(司=2-^^,.?.左=尸⑴=1.

XX

■-41)=2,.?.切點坐標(biāo)為(1,2),

函數(shù)〃x)在點處的切線方程為尸2=>1,即丫=無+1,

???切線與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)分別為(。,1),(-1,0),

所求三角形面積為g.

(2)解法一：

設(shè)函數(shù)九(尤)=V(x)=ax。+(a-2)x-lnx,=(2x+”辦1)

當(dāng)a40時，〃(x)<0,%(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

2fl3

而h(l)=2a-2<0f"(e2a-)〉2a—2—Ine_=1,

所以存在唯一X。€.里1),使得〃(%)=0；即/(X)只有一個零點.

當(dāng)a>0時，令//(x)=0,解得％=—,x2=——(舍),

當(dāng)0<x<工時，h'(x)<0,函數(shù)在上單調(diào)遞減，

a<a)

當(dāng)x>/時，〃(x)>0,函數(shù)〃x)在［,+s)上單調(diào)遞增，

=,設(shè)g(/)=l-7-ln/,g(。在(0,+8)單調(diào)遞減，且g(l)=0,

\ci)ad

當(dāng)〃(￡|>0,解得所以/z(x)沒有零點，即〃尤)沒有零點；

當(dāng)?￡|=0,解得。=1,所以人⑴只有一個零點，即“力只有一個零點；

當(dāng)解得0<a<l,/2(e2a-3)>2a-2-lne2fl-3=1,

所以力⑺在卜片,￡|只有一個零點，

因為y=%_lnx,y=1--,

X

當(dāng)x〉l時，y>0,y=x-lnx在(1,+00)單調(diào)遞增，所以x—lnx>l>0,

所以/j』］=3+3-ln3>3>0,所以/z(x)在［3］只有一個零點，

\a)aa7\aa)

所以/(無)有兩個零點.

綜上：當(dāng)aVO或。=1時，f(x)只有一個零點；當(dāng)0<。<1,f(x)有兩個零點；當(dāng)外“沒有零點.

解法二:

,￡(、Inx。八"ln1+2尤

由J(X)—CLX-----F6Z—2=0,倚Q=-------,

XX+X

lnx+2x(2x+l)(l-x-ln%)

設(shè)g(x)=g'(x)=

x2+x(x2+x)2

設(shè)/z(x)=l-x-lnx,/z(x)在(0,+oo)單調(diào)遞減，/z(l)=0,

當(dāng)g'(x)<0,解得x>l；當(dāng)g'(x)>0,解得0<x<l,

g(x)在(0,1)單調(diào)遞增,在(Ly)單調(diào)遞減，所以g(x)w=g(i)=i,

又因為當(dāng)X趨向于0時，g(x)趨向于-co,X趨向于+00,g(x)趨向于0,

根據(jù)圖象知:

當(dāng)“40或。=1時，只有一個零點；當(dāng)a>l,“X)沒有零點；當(dāng)0<。<1,有兩個零點.

解法三：

令/?(x)=a(x+l)-2,g(x)=F，則g'(x)=l[a尤.

設(shè)函數(shù)/z(x)與g(尤)相切于點尸(無o,%),

%=a(x()+l)-2,

則，%=，解得<?=1尤0=1.

X。

由g'(x)>0,可解得0<x<e,所以g(x)在(O,e)上單調(diào)遞增,

由g<x)<0可解得x>e,所以g⑺在(e,+oo)上單調(diào)遞減.

如圖所示，

當(dāng)aWO或0=1時，與g(x)只有一個交點，所以/■紅)有一個零點;

當(dāng)。<“<1時，與g(x)只有兩個交點，所以有兩個零點;

當(dāng)。>1時,與g(x)沒有交點，所以“X)無零點.

6.(2023春,四川眉山?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/。)=/一"一》一cosx,天口-兀,兀)其中e=2.71828為自然

對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)。=0時，證明：/W^o；

(2)當(dāng)。=1時，求函數(shù)y=/(x)零點個數(shù).

【答案】(1)證明見解析；

(2)2.

【詳解】(1)當(dāng)。=0時，f(x)=ex-X-cosx,xe(-7t,7t),求導(dǎo)得尸(%)=e*-1+sinx,

顯然/(0)=。，當(dāng)一兀<x<0時，eA-l<0,sinx<0,則:(功<0,

當(dāng)0<x<兀時,ex-l>0,smx>0,則廣㈤>0,因此函數(shù)在(-兀,0)上單調(diào)遞減，在(0,兀)上單調(diào)遞增,

則當(dāng)兀)時，/(x)>/(0)=0,

所以〃x)20.

(2)當(dāng)/=]時,f(x)=e^1-x-cosx,xe(-7t,it),求導(dǎo)得f'(x)=e--l+sinx,

當(dāng)一7i<x<0時，e%-1-1<0,sinx<0,則/'(x)<0,當(dāng)1<%<兀時，ex-1-1>0,sinx>0,貝!J/'(無)>。，

當(dāng)OVxWl時，函數(shù)y=e*r-l,y=sinx都遞增，即函數(shù)/'(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

M/\0)=e^1-1<0,/XI)=sin1>0,因此存在毛e(0,1),使得尸(%)=0,

當(dāng)。時，f'(x)<0,當(dāng)x(,<xWl時，f'(x)>0,

從而當(dāng)F<X<Xo時，/'(無)<0,當(dāng)尤0cx<71時，f'(x)>0,

-1

即有函數(shù)/(X)在(-n,尤0)上單調(diào)遞減，在(用,兀)上單調(diào)遞增，/(x0)</(0)=e-l<0,

而/(-3=e5'+->0,/(-)=6i'-->^-^>0,于是函數(shù)/*)在(-兀,x0),(跖,it)各存在一個零點，

22222

所以函數(shù)y=/(x)零點個數(shù)是2.

7.(2023,湖南,校聯(lián)考二模)已知函數(shù)/(力=111卜2一2向).

⑴求外力的最小值;

⑵證明：方程e2/("-e/("=2/("有三個不等實根.

【答案】(1)0

(2)證明見解析

【詳解】(1)設(shè)/Z(X)=X2-21IU,X>0,則〃(X)=2(1)(X+1),

.,.當(dāng)xw(O,l)時，〃⑺<0,刀⑺單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+oo)時,//(x)>0,/?(x)單調(diào)遞增，

故網(wǎng)力的最小值為w1)=1,

因為y=hl無在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以的最小值為lnl=0；

(2)由e2/W-e/(x)=2/(x)可得e2k-2時一冽/-2時=21n(尤2_)時,整理可得

(兀2_21nx)_(%2_21n%)=21n(%2_21nx),

設(shè)根=/-21nxe[l,+OO),

g(m)=/z(m)—m=m2—m—21nm,me[l,-l-oo),

22.1112—tn—2,?j_?M1+A/17

貝!Jg，(m)=2m-1----=----------,由2m2—m—2=0^m—

mm----------------------------------------4

因此，當(dāng)根e1，上乎、

時，g,(m)<0,g(〃?)單調(diào)遞減；當(dāng)me,+00時，g'(m)>0,g(m)單調(diào)

7

遞增.

由于g(l)=。，故g<g(l)=0,又由g(2)=2(l-ln2)>0,由零點存在定理，存在飛€EJ

使得g(%)=。，

當(dāng)咬,2和叫=1,

.g(〃?)有兩個零點1和%,方程力(租)=7"有兩個根"be

\7

1A=i,故方程M”=i有一個根％=i,

下面考慮刈力=必解的個數(shù)，其中，”()€IJ'

設(shè)s(x)=/z(x)-21nx-%,結(jié)合從力的單調(diào)性可得:

s(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,+8)上為增函數(shù)，

'的、

2

而s⑴=/2(1)-%<0,se=片/>0,0<e-T<p

I7

故s(x)在(0,1)上有且只有一個零點，

s(eW)=e2m6-3%,設(shè)“(x)=e2x-3%3>1,

故"'(x)=2e2*—3>0,故〃(x)>0即

而3%>1,故〃(力-%在(1,+s)上有且只有一個零點，

故網(wǎng)丹一人,=0有兩個不同的根芯,當(dāng)且0<%<1<F，

綜上所述，方程e2/(')-e/3=2〃x)共有三個不等實根

②已知零點(根)的個數(shù)求參數(shù)

(x+l)ex,x<0

1.(2023春?江西吉安?高三江西省泰和中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)=mx，函數(shù)

---,x>0

g(x)=(/(x)-2)(/(x)-a),若函數(shù)g(無)恰有三個零點，貝！I。的取值范圍是.

【答案】討qM

【詳解】解：當(dāng)無40時，/(x)=(x+l)e\所以r(x)=(x+2)e)

當(dāng)x<-2時，/(力<0,函數(shù)〃尤)在(3,-2)上單調(diào)遞減，

當(dāng)2<x<0時，f\x)>0,函數(shù)/(X)在(一2,0)上單調(diào)遞增，

且/(0)=1，/(-2)=-^,"-1)=0，

當(dāng)％<—1時，/(%)<0,當(dāng)一IvxWO時，/(%)>0,

當(dāng)Xf-8時，與一次函數(shù)y=x+l相比，函數(shù)y=e-x增長更快，

從而=0,

當(dāng)x>0時，/(%)=—,所以((力=上坐，

XJC

當(dāng)0<x<e時，f\x)>0,函數(shù)/(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，

當(dāng)e<x<”時，/,(x)<0,函數(shù)〃尤)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

且〃e)=3，/(1)=0,

當(dāng)x>l時，/(x)>0,當(dāng)0<x<l時，/(x)<0,

當(dāng)x—Yo時，與對數(shù)函數(shù)y=inx相比，一次函數(shù)y=x增長更快，

從而〃力=叱->0

X

InY

當(dāng)兀>0,且X—>0時，/(x)=----->-oo,

根據(jù)以上信息，可作出函數(shù)/(弓的大致圖象：

得〃》)=々或〃力=2,由圖象可得〃x)=2沒有解，

所以方程(〃尤)-2)(〃*)_“)=。的解的個數(shù)與方程〃力=。解的個數(shù)相等，

而方程/(力=。的解的個數(shù)與函數(shù)>=/(%)的圖象與函數(shù),的圖象的交點個數(shù)相等，

由圖可知：當(dāng)故卜?,。1[。,1時，函數(shù)y=/(x)的圖象與函數(shù)y=°的圖象有3個交點.

故答案為：

2.(2023春?安徽合肥?高二統(tǒng)考期末)若關(guān)于x的方程々=-/+無+i有三個不等實數(shù)根，則實數(shù)機的取值

e

范圍是.

【答案】，o]

【詳解】由己知可知關(guān)于X的方程m=(-無2+》+1卜工有三個不等實數(shù)根，

即函數(shù)>=(-尤2+x+l)e'的圖象與直線丫=加有三個公共點，

構(gòu)造函數(shù)g(%)=(-%之+%+1)e*,求導(dǎo)g'(x)=-(x-1)0+2)ex,

令g'O)=。，解得玉=1,/=-2

當(dāng)％￡(—2,1)時，，(%)>0,故g(幻在區(qū)間(—2,1)上單調(diào)遞增，

當(dāng)工￡(—8,—2)1(1,+s)時，g'(x)vO,故g(%)在區(qū)間(―8,—2)和(1,內(nèi))上單調(diào)遞減，

且g(-2)=-與，g(l)=e,當(dāng)無<上9或了>1±或時，g(x)<0,

e222

且當(dāng)Xf-8時，g(尤)-0,當(dāng)X-+8時，g(尤)-30,

畫出g(x)=(f2+x+l)e*的大致圖象如圖，要使g(x)的圖象與直線y=〃z有三個交點，需g(-2)<m<0,即

—<m<0,即機的取值范圍是1一5可.

故答案為：[一,，°]

3.(2023春?上海黃浦?高二格致中學(xué)?？计谀?設(shè)meR,若關(guān)于x的方程/-好一》=根有3個不同的實根，

則〃?的取值范圍是.

【答案】“曰

【詳解】iBg(x)=x3-x2-x-m,

令@(%)=3彳2-2x-1=0,

得X=1或x=-1,

由g1x)>0得X>1或x<-g,此時g(x)為增函數(shù)，

由g<x)<0得,此時g(x)為減函數(shù)，

即當(dāng)尤=-；時，函數(shù)g(x)取得極大值=F+2，當(dāng)X=1時，g(x)取得極小值，即g(l)=TM-l,

因為關(guān)于X的方程V一Y-x-加=0有三個不同的實根，

所以函數(shù)g(尤)有三個不同零點，

gI—|>0—m+-^―>05

因此，只需｛I3)，即|27,解得一1<根<二，

97

g(l)<0-

即關(guān)于犬的方程三―尤="有三個不同的實根機的范圍是，1,焉).

故答案為：

ex,x>0

4.(2023春?吉林長春?高二長春市解放大路學(xué)校?？计谀?已知函數(shù)/(尤)=11，若方程f(x)=2依

一x—,xW0

122

有三個不同的實數(shù)根，則a的取值范圍是.

【答案】停+8)

【詳解】當(dāng)x=0時，〃0)=-：，此時〃0)=-gw2ax0,

所以x=0不是方程/(x)=2依的根.

當(dāng)xwO時，方程/(%)=歐可化為：2。=/且，

—-，龍>0

設(shè)x

————,x<0

122x

方程〃k=2必有三個不同的實數(shù)根，即直線y=2a與函數(shù)的圖象有3個交點.

當(dāng)/<0時,h［x}=---,此時從力單調(diào)遞增,且

22x2

當(dāng)尤>0時，〃")=《，則〃(X)=(無二”，,

XX

當(dāng)0<x<l時，無)<0,當(dāng)x〉l時，/z,(x)>0,

所以函數(shù)力(可在(0,1)上單調(diào)遞減，在(L+S)上單調(diào)遞減，且//(力晶=飄1)=6,

作出〃(x)的圖象如圖,

由圖可知，當(dāng)2a>e,即時，直線y=2“與函數(shù)〃(x)的圖象有3個交點,

所以方程/(x)=2酸有三個不同的實數(shù)根時，實數(shù)。的取值范圍為［呈+8).

故答案為：.

5.(2023春?山西忻州?高二統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=(尤2+1卜，-2-1.

(1)若曲線y=/(x)在點(1,7。))處的切線方程為x—y+7z=0,求加，n；

⑵若/(元)在［-L內(nèi))上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍.

m=4e—1

【答案】⑴

n=-2e-l

(2)(1,+⑹

【詳解】(1)因為/?(尤)=(尤2+1卜，一如一1,所以〃l)=2e—〃L1,

因為/，(x)=(x+l)2e1-m,所以『'⑴=4e-7”，

f2e—m—1=n+lfm=4e—1

由、］，得｛C1?

|^4e—\［n=-2e-l

(2)因為.⑺=任+小"-mx-1,/(o)=o,所以JT(X)=(X+1)2e*-""

(1)若機＜0,則廣(x)N0,/(x)在［T,E)上為增函數(shù)，

所以/(x)在［T,y)上只有一個零點，不合題意；

(2)當(dāng)加＞0,?g(x)=/,(x)=(x+l)2ex-m,

g<x)=2(x+l)ex+(x+l)~el=(x+l)(x+3)eA,

當(dāng)xN-1時,g'(x)>0,即尸(x)在［-1,+?)上單調(diào)遞增,f'(O)=l-m,

①若〃?=1,因為/'(0)=。，所以，當(dāng)元>0時，當(dāng)-l<x<0時，/'(x)<0,

所以“X)在［-1,0)上單調(diào)遞減，在［0,+8)上單調(diào)遞增，〃"*=/(0)=。，

所以/(無)在［-1，內(nèi))上有且只有一個零點，不合題意;

②若R>1,貝！易知尸(〃?)=O+lfe"-〃z>0,玉。€(0,⑼，/'(立人。，

且/(X)在［-1,周)上單調(diào)遞減，在(％,—)上單調(diào)遞增，

所以〃玉))<40)=0,又/㈣=(—+1產(chǎn)-/-1>(蘇+1)-*-1=0,

所以根據(jù)零點存在性定理，f(x)在小,M上有且只有一個零點，

又/(元)在［T,X°)上有且只有一個零點0,

所以，當(dāng)勿>1時，〃尤)在［-1,內(nèi))上有兩個零點；

③當(dāng)0<機<1時，f'(-V)=-m<0,f'(0)>0,3%j6(-1,0),/(jq)=O,

且/(x)在［-1,為)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

因為『(尤)在a，+oo)上有且只有一個零點o,

所以，若/■(%)在［-!,+?>)上有兩個零點，則/(X)在［-1,不)上有且只有一個零點，

2?

又〃％)<〃。)=。，所以/(—1)>0,即/(—1)=—+m—1之0,所以加21——,

ee

2

即當(dāng)1—-〈根<1時，在［-1,也)上恰有兩個零點，

e

綜上所述，機的取值范圍為1-（1,+-?）.

3

6.(2023春?江西九江?高二統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃尤)=/-3尤2+3一名。€1<.

(1)求〃x)的極大值與極小值之差；

⑵若函數(shù)外力在區(qū)間(。,3］上恰有2個零點，求。的取值范圍.

【答案】①g

(2)［加

【詳解】(1)-(x)=3x?—3x=3x(x—1),令尸(x)=0,解得x=0或x=l.

當(dāng)x>l或無<0時，/⑺>0J(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)0<x<l時，r(x)<0,/(x)單調(diào)遞減.

所以〃尤)的極大值為/'⑼=3-“，極小值為了⑴

所以外”的極大值與極小值之差為/(O)-/(l)=1.

(2)由(1)知：〃尤)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,3］上單調(diào)遞增,

所以〃尤濡="1)=］-。，又〃0)=3-4,〃3)=5一°,

因為函數(shù)在(0,3］上恰有2個不同的零點，

3—〃>0

/(0)>0

所以/⑴<。，即，——fl<0,解得—<a<3,

22

“3)2。

33

——a>0

I2

即實數(shù)。的取值范圍為r3-

7.(2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模)己知函數(shù)f(x)=e，-涼，aeR,尸⑺為函數(shù)〃x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論函數(shù)尸(x)的單調(diào)性；

(2)若方程〃x)+/'(x)=2-加在(0,1)上有實根，求。的取值范圍.

【答案】①函數(shù)尸(x)在(Y,ln2a)上單調(diào)遞減，在(In2a,3)上單調(diào)遞增

⑵1)

【詳解】(1)f\x)=Qx-2ax,令g(x)=e*-2ax,則g<x)=e*-2a

當(dāng)aWO時，g'(x)>0,函數(shù)/(無)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時，g'(x)>0,得x>ln2a,g'(x)<0,得x<ln2a.

所以函數(shù)((x)在(3,In2a)上單調(diào)遞減，在(In2a,a)上單調(diào)遞增.

(2)由(1)知，/■'(x)=e*-2ox,方程〃x)+/'(x)=2-/在(0」)上有實根等價于方程e-6_i=o在(0/)

上有實根.

令姒尤)=e*-依一l(xe(0,1)),則”(x)=e"-a

當(dāng)aVI時,4(工)20,函數(shù)Q(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,0(力>姒0)=0,不合題意；

當(dāng)a?e時，"(x)<0在(0,1)上恒成立，所以函數(shù)無)在(0,1)上單調(diào)遞減，0(力<°(0)=0,不合題意；

當(dāng)l<a<e時，0'(x)<0,得0<x<lna,°'(x)>0,得lna<x<l,

所以函數(shù)。⑺在(0,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,1)上單調(diào)遞增.

因為0(。)=。，所以0(l)=e-a-l>O,所以a<e-l

綜上所述，”的取值范圍為(Le-l)

8.(2023?江西宜春?校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)〃X)=#TX+31nx,g(x)=|^|,且a、b為函數(shù)的極值點(。<a<b)

⑴判斷函數(shù)g(x)在區(qū)間上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(2)若曲線g(x)在尤=1處的切線斜率為-4,且方程g(x)-m=0(x<0)有兩個不等的實根，求實數(shù)m的取值范

圍.

【答案】(l)g(M在區(qū)間(F-歷，上單調(diào)遞增，證明見解析.

41

(2)we[--,-l)(--,0)

【詳解】(1)依題設(shè)方程/'(X)=XT+3=j±^=0,即方程￡*+3=0

XX

[t=a+b

的兩根分別為a、。,

[3=ab

，,、2(x2+tx+3)-2(x2+(a+b)x+ab)—2(x+a)(x+b)武、

.,.g(%)=------a------；—=------------z------z---------=---------：------z-----(z%w±。3)

(x2-3)2(%-3)2(%-3)2

因為Ovavb,且而=3,則0<〃<石<b,

：一6〈-若<-a<0,...當(dāng)xe(-",-a)且工4-若時，g\x)>0,

80)在區(qū)間(-瓦-坦)，(-6-。)上單調(diào)遞增.

/、、…，小2。+4)”用”.、2X+4.,,、_-2(x+l)(x+3)

(2)由g(l)=-----=—4,倚/=4,..g(x)=工2_3，..g(X)-(/_3)2,

g'(x)=O時x=-3或-I,當(dāng)X在(-8,0)上變化時，g'M,g(x)的變化情況如下:

(-oo,-3)-3(-3,-A/3)(-73,-1)-1(TO)0

g'(x)—0++0—

極小值-g_4

*極大值-1

g(尤)、一§

y=g⑺(xwo)的大致圖象如圖，

方程g。)-加=o(x<0)有兩個不等根時,轉(zhuǎn)化為直線，=根與函數(shù)y=g⑺(xW0)的圖象有兩交點,

③已知零點(根)的個數(shù)求代數(shù)式的值

1.(2023?四川成都三模)已知函數(shù)/(x)=x-L-相Inx有三個零點占,無2，退，其中相wR，則7gx2三的取

X

值范圍是()

A.(1,+℃)B.(2,+co)C.(e,+8)D.(3,+oo)

【答案】B

【詳解】定義域為(0,+8),顯然“1)=1-初nl=o,

若/是零點，則/⑺=，一;一根ln，=。，

/(-)=--Z-mln-=-ft---mkit\=O,

tttt)

所以-也是零點，函數(shù)/(%)=%-'-加111%有三個零點％1,冗2，入3，

tx

不妨設(shè)玉</<%3，貝!］再，￡=1，工2=1，

bi、i0，/、r1根x2-mx+1

所以IWCiX2X^-1TI,于(X)=1-\-------=---------9

XXX

當(dāng)加工2時，結(jié)合定義域和判別式易知f(x)>0恒成立，

即函數(shù)“X)在(。,+8)上單調(diào)遞增，不符合題意；

當(dāng)m>2時，設(shè)尤2-77ZY+1=0