廣東省佛山市石門中學(xué)2024屆高三下學(xué)期階段性檢測試題考試(二)數(shù)學(xué)試題試卷_第1頁
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文檔簡介

廣東省佛山市石門中學(xué)2023屆高三下學(xué)期階段性檢測試題考試(二)數(shù)學(xué)試題試卷請(qǐng)考生注意:1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上,請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2.答題前,認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》,按規(guī)定答題。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則下列結(jié)論正確的是()A. B.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C. D.3.()A. B. C. D.4.已知向量,則是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充要條件5.雙曲線:(),左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,則雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.6.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)z=2i1-i,則A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長度得到9.已知的部分圖象如圖所示,則的表達(dá)式是()A. B.C. D.10.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.11.已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.12.已知盒中有3個(gè)紅球,3個(gè)黃球,3個(gè)白球,且每種顏色的三個(gè)球均按,,編號(hào),現(xiàn)從中摸出3個(gè)球(除顏色與編號(hào)外球沒有區(qū)別),則恰好不同時(shí)包含字母,,的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)在拋物線上,則實(shí)數(shù)的值為________.14.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足,則不等式的解集為__________.15.若展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開式各項(xiàng)系數(shù)和為__________.16.已知,若的展開式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30,則______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱柱中,平面,底面ABCD滿足∥BC,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)函數(shù),且恒成立.(1)求實(shí)數(shù)的集合;(2)當(dāng)時(shí),判斷圖象與圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.(參考數(shù)據(jù):)19.(12分)已知橢圓()經(jīng)過點(diǎn),離心率為,、、為橢圓上不同的三點(diǎn),且滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若直線、的斜率都存在,求證:為定值;(2)求的取值范圍.20.(12分)已知在等比數(shù)列中,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,求數(shù)列前項(xiàng)的和.21.(12分)設(shè)函數(shù)()的最小值為.(1)求的值;(2)若,,為正實(shí)數(shù),且,證明:.22.(10分)已知函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn),,如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問:函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢,利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.2.D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析,由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù),則,所以A選項(xiàng)不正確;復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是,所以B選項(xiàng)不正確;,所以C選項(xiàng)不正確;,所以D選項(xiàng)正確.故選:D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結(jié)合思想.3.D【解析】

利用,根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡,可得,然后利用兩角差的正弦定理,可得結(jié)果.【詳解】由所以,所以原式所以原式故故選:D【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式,關(guān)鍵在于掌握公式,屬基礎(chǔ)題.4.A【解析】

向量,,,則,即,或者-1,判斷出即可.【詳解】解:向量,,,則,即,或者-1,所以是或者的充分不必要條件,故選:A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查充分、必要條件的判斷,考查向量平行的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

首先求得雙曲線的一條漸近線方程,再利用左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,列方程即可求出,進(jìn)而求出漸近線的方程.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為,一條漸近線的方程為,由左焦點(diǎn)到漸近線的距離為2,可得,所以漸近線方程為,即為,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線的方程,考查了點(diǎn)到直線的距離公式,屬于中檔題.6.B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點(diǎn)睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.7.C【解析】分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,求得復(fù)數(shù)z,再利用復(fù)數(shù)的表示,即可得到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn),得到答案.詳解:由題意,復(fù)數(shù)z=2i1-i所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,-1),位于復(fù)平面內(nèi)的第三象限,故選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及復(fù)數(shù)的表示,其中根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解復(fù)數(shù)z是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力.8.D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A;當(dāng)時(shí),可判斷選項(xiàng)B;利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C;可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知,最小正周期,所以A正確;當(dāng)時(shí),,所以B正確;當(dāng)時(shí),,所以C正確;由的圖象向左平移個(gè)單位,得,所以D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí),是一道中檔題.9.D【解析】

由圖象求出以及函數(shù)的最小正周期的值,利用周期公式可求得的值,然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式,結(jié)合的取值范圍求出的值,由此可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,.將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得,得,,,則,,因此,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)解析式,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.10.A【解析】

基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個(gè),由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個(gè),其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.11.A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點(diǎn):等差數(shù)列及其性質(zhì).12.B【解析】

首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得;【詳解】解:從9個(gè)球中摸出3個(gè)球,則基本事件總數(shù)為(個(gè)),則事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母,,”記事件“恰好不同時(shí)包含字母,,”為,則.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式,考查了排列組合的知識(shí),解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出雙曲線的右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)坐標(biāo),并將該交點(diǎn)代入拋物線的方程,即可求出實(shí)數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準(zhǔn)線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn)為.由題意得,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用拋物線上的點(diǎn)求參數(shù),涉及到雙曲線的準(zhǔn)線與漸近線方程的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.14.【解析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)F(x),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)F(x),則F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函數(shù)F(x)在定義域上單調(diào)遞增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解為故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.15.1【解析】

由題意得展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出的值,然后再計(jì)算展開式各項(xiàng)系數(shù)的和.【詳解】由題意展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為,即,故,令,則展開式各項(xiàng)系數(shù)的和為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)和問題,需要運(yùn)用定義加以區(qū)分,并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果,需要掌握解題方法.16.2【解析】

利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),求得的值.【詳解】展開式通項(xiàng)為:且的展開式中的系數(shù)比的系數(shù)大,即:解得:(舍去)或本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)證明,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅱ)如圖所示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量,,計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如圖所示:分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,取得到,,設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.18.(1);(2)2個(gè),證明見解析【解析】

(1)要恒成立,只要的最小值大于或等于零即可,所以只要討論求解看是否有最小值;(2)將圖像與圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為方程實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題,然后構(gòu)造函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】(1)的定義域?yàn)?,因?yàn)椋?°當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,時(shí),使得,與條件矛盾;2°當(dāng)時(shí),由,得;由,得,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,即有,由恒成立,所以恒成立,令,若;若;而時(shí),,要使恒成立,故.(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程實(shí)根個(gè)數(shù)問題,當(dāng)時(shí),圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn),理由如下:由,即,令,因?yàn)?,所以是的一根;?°當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,,即在上無實(shí)根;2°當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞遞增,又,所以在上有唯一實(shí)根,且滿足,①當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,此時(shí)在上無實(shí)根;②當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,,故在上有唯一實(shí)根.3°當(dāng)時(shí),由(1)知,在上單調(diào)遞增,所以,故,所以在上無實(shí)根.綜合1°,2°,3°,故有兩個(gè)實(shí)根,即圖象與圖象有且僅有2個(gè)交點(diǎn).【點(diǎn)睛】此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用,屬于較難題.19.(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)首先根據(jù)題中條件求出橢圓方程,設(shè)、、點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)利用坐標(biāo)表示出即可得證;(2)設(shè)直線方程,再與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理表示出,即可求出范圍.【詳解】(1)依題有,所以橢圓方程為.設(shè),,,由為的重心,;又因?yàn)椋?,,,?)當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí):,,,代入橢圓得,,,當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí):設(shè)直線為,這里,由,,根據(jù)韋達(dá)定理有,,,故,代入橢圓方程有,又因?yàn)椋C上,的范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓方程的求解,三角形重心的坐標(biāo)關(guān)系,直線與橢圓所交弦長,屬于一般題.20.(1)(2)【解析】

(1)由基本量法,求出公比后可得通項(xiàng)公式;(2)求出,用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解:(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為又因?yàn)?,所以解得(舍)或所以,即?)據(jù)(1)求解知,,所以所以【點(diǎn)睛】本題考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查裂項(xiàng)相消法求和.解題方法是基本量法.基本量法是解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本方法,務(wù)必掌握.21.(1)(2)證明見解析【解析】

(1)分類討論,去絕對(duì)值求出函數(shù)的解析式,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì),得出的單調(diào)性,得出取最小值,即可求的值;(2)由(1)得出,利用“乘1法”,令,化簡后利用基本不等式求出的最小值,即可證出.【詳解】(1)解:當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí),取最小值.(2)證明:由(1)可知.要證明:,即證,因?yàn)?,,為正?shí)數(shù),所以.當(dāng)且僅當(dāng),即,,時(shí)取等號(hào),所以.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式和基本不等式的應(yīng)用,還運(yùn)用“乘1法”和分類討論思想,屬于中檔題.22.(1),單調(diào)性見解析;(2)不存在,理由見解析【解析】

(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍?,由,整理?.(?。┊?dāng)時(shí),易知,,時(shí).故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)

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