福建省福州市【知識精研】高二上學期期末質(zhì)量檢測預測數(shù)學試題【含答案解析】

2024~2025學年度第一學期福州市高二年級期末質(zhì)量檢測預測試題數(shù)學本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5mm碳素黑中性筆將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的.1.已知直線，設(shè)甲：；乙：，則甲是乙的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用兩條直線平行的條件得到得到或再判斷即可得到結(jié)果【詳解】由直線，，當兩條直線平行時，解得或，當時，，當時，所以甲是乙的必要不充分條件.故選：B2.已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.2 C.3 D.【答案】A【解析】【分析】利用遞推公式可驗證出數(shù)列為周期為的周期數(shù)列，進而可得結(jié)果.【詳解】因為，，令，則；令，則；令，則；可知數(shù)列為周期為的周期數(shù)列，所以.故選：A.3.直線（其中）被圓所截得的最短弦長等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求出直線過定點，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)當定點與圓心連線垂直直線時，直線截得弦最短即可得解.【詳解】因為可化為，所以直線恒過定點，由圓知圓心，半徑，由圓的幾何性質(zhì)知，當與直線垂直時，直線被圓所截得弦最短，此時弦長為,故選：B4.若向量是空間中的一個基底，那么對任意一個空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得：，我們把有序?qū)崝?shù)組叫做基底下向量的斜坐標.設(shè)向量在基底下的斜坐標為，則向量在基底下的斜坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】待定系數(shù)法設(shè)，結(jié)合所給定義及其在基底下的斜坐標計算即可得.【詳解】設(shè)，又，，解得，即.所以向量在基底下的斜坐標為.故選：D.5.直線l：（參數(shù)，）的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的取值范圍，結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】直線，因為，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則直線的斜率，因為，所以，或.故選：B.6.已知是等差數(shù)列的前項和，，且，則下列說法不正確的是（）A.公差B.C.D.時，最大【答案】D【解析】【分析】由題設(shè)求出即可判斷A；由和等差數(shù)列通項公式和前n項和公式即可判斷BC；由和前n項和公式結(jié)合一元二次函數(shù)性質(zhì)即可判斷D.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d，對于A，因為，，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，因為，所以時，最大，故D錯誤.故選：D.7.如圖，正方體的棱長為，的中點為，則下列說法不正確的是（）A.直線和所成的角為 B.四面體的體積是C.點到平面的距離為 D.到直線的距離為【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間角和空間距離的向量法計算ACD，利用割補法求出四面體的體積，即可判斷B．【詳解】建立如圖所示空間直角坐標系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，,2,，對于A，，故，故，即直線和所成的角為，故A正確；對于B，易得四面體為正四面體，則，故B正確；對于C，，設(shè)平面的法向量為，則，有，令，則，故點到平面的距離，故C錯誤；對于D，則到直線的距離為，故D正確．故選：C8.已知是平面向量，且是單位向量，若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，以為原點，的方向為軸正方向，建立坐標系，由得點在以為圓心，以1為半徑的圓上，由已知得的終點在不含端點的兩條射線上，設(shè)，將所求的最小值轉(zhuǎn)化為點到和的距離之和的最小值的倍減去1.【詳解】由，設(shè)，以為原點，的方向為軸正方向，建立如圖所示的坐標系，由，得點在以為圓心，以1為半徑的圓上，又非零向量與的夾角為，設(shè)的起點為原點，則的終點在不含端點的兩條射線上，設(shè)，則的最小值為，表示點到和的距離之和的最小值的倍，則最小值為，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)，以為原點，方向為軸正方向，建立坐標系，由得點在以為圓心，以1為半徑的圓上，由已知得的終點在不含端點的兩條射線上，設(shè)，本題關(guān)鍵點是將所求的最小值轉(zhuǎn)化為點到和的距離之和的最小值的倍減去1.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.如圖，在棱長為3的正四面體中，O為的中心，D為的中點，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對于A：根據(jù)向量的線性運算求解；對于B：根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)運算求解；對于CD：根據(jù)向量的數(shù)量積運算求解即可.【詳解】連接，，，對于選項A：因為，，故A正確；對于選項B：因為，所以，故B正確；對于選項CD：，故C錯誤，D正確；故選：ABD10.點在圓上，點在上，則（）A.兩個圓的公切線有4條B.兩個圓上任意一點關(guān)于直線的對稱點仍在該圓上C.的取值范圍為D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為【答案】ABC【解析】【分析】求出兩圓圓心坐標和半徑確定兩圓位置判斷AD；求出過兩個圓心的直線判斷B；利用圓上點最值關(guān)系判斷C.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，C1C2=5>r1+對于B，直線的方程為，因此直線為兩圓的公共對稱軸，B正確；對于C，，，則的取值范圍為，C正確；對于D，由圓外離，得圓不存在公共弦，D錯誤；故選：ABC11.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點分別為，．過的直線交雙曲線的右支于兩點，其中點在第一象限．的內(nèi)心為，與軸的交點為，記的內(nèi)切圓的半徑為，的內(nèi)切圓的半徑為，則下列說法正確的有（）A.若雙曲線漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為B.若，且，則雙曲線的離心率為C.若，，則的取值范圍是D.若直線的斜率為，，則雙曲線的離心率為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)漸近線斜率與夾角的關(guān)系可判斷A錯誤；根據(jù)雙曲線定義以及勾股定理計算可判斷B正確；由內(nèi)切圓性質(zhì)可得所在直線方程為，根據(jù)直線的傾斜角范圍與漸近線關(guān)系可得，即C錯誤；利用三角形相似以及余弦定理計算可得D正確.【詳解】對于A，若雙曲線漸近線的夾角為，則或，故可得或，即A錯誤；對于B，設(shè)，則由以及雙曲線定義可得，故，則又，即可得，因此，解得，又AF22可得，即，故雙曲線的離心率為，即B正確；對于C，如下圖所示：令的內(nèi)切圓切分別為，則，所以，令點，而，因此，解得；又，則點的橫坐標為，同理可得橫坐標也為，即所在直線方程為；設(shè)直線的傾斜角為，則，在中，，在中，，又，可得漸近線斜率為，且，因為均在右支上，故，即，因此，可知C錯誤；對于D，由可得,故，而，可得，又直線的斜率為，所以，由余弦定理可得，解得，即則雙曲線的離心率為，可得D正確.故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：在求解焦點三角形內(nèi)切圓問題時，要利用雙曲線定義以及切線長性質(zhì)得出內(nèi)切圓圓心的橫坐標為雙曲線的頂點坐標，再利用內(nèi)心性質(zhì)可求出半徑.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若方程表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線方程的特點，可得，解不等式，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，即或，解得或，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.13.一個動圓與定圓相外切，且與直線相切，則動圓圓心的軌跡方程為_______．【答案】【解析】【分析】分析可知，動圓圓心的軌跡是以點為圓心，以直線為準線的拋物線，由此可得出動圓圓心的軌跡方程.【詳解】由題意可知，圓的圓心為，半徑為，由于動圓與定圓相外切，且與直線相切，動圓圓心到點的距離比它到直線的距離大，所以，動圓圓心到點的距離等于它到直線的距離，所以，動圓圓心的軌跡是以點為圓心，以直線為準線的拋物線，設(shè)動圓圓心的軌跡方程為，則，可得，所以，動圓圓心的軌跡方程為.故答案為：.【點睛】方法點睛：求動點的軌跡方程有如下幾種方法：（1）直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程；（2）定義法：如果能確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程；（3）相關(guān)點法：用動點的坐標、表示相關(guān)點的坐標、，然后代入點的坐標所滿足的曲線方程，整理化簡可得出動點的軌跡方程；（4）參數(shù)法：當動點坐標、之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找、與某一參數(shù)得到方程，即為動點的軌跡方程；（5）交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程.14.如圖①是直角梯形，，，是邊長為2的菱形，且，以為折痕將折起，當點到達的位置時，四棱錐的體積最大，是線段上的動點，則面積的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】由題意得面面，結(jié)合菱形性質(zhì)，得兩兩互相垂直，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，只需點到直線的距離最小即可，由空間向量法求點到直線的距離即可得解.【詳解】折起前，連接菱形的對角線，交于點，所以，所以折起后有，因為菱形的邊長為2，所以，又因為，，且所以在中，有，所以，所以折起前后四邊形的面積固定，若以為折痕將折起，當點到達的位置時，四棱錐的體積最大，則此時點到平面的距離最大，則此時有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以為原點，所在直線分別為所在直線建立如圖所示的空間直角坐標系：若要面積最小，則只需點到直線的距離最小即可，由題意，過點作于點，則，又因為，所以，即，所以，因為三點共線，所以不妨設(shè)，所以點到直線的距離為，所以當時，，又，所以面積的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：解題關(guān)鍵是得到面面，結(jié)合菱形性質(zhì)，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，由此即可順利得解.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知拋物線的焦點為，位于第一象限的點在拋物線上，且.（1）求焦點的坐標；（2）若過點的直線與只有一個交點，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線焦半徑公式計算得出，再得出拋物線方程進而得出焦點即可；（2）先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程組，再分和兩種情況應用直線與只有一個交點求參即可得出直線方程.【小問1詳解】因為拋物線，，所以，所以，可得所以焦點的坐標.【小問2詳解】因為點在拋物線上，所以，又位于第一象限，所以，所以，過點的直線與只有一個交點，直線斜率不存在不合題意；設(shè)直線與有且只有一個交點，由，得，當時，，即，即，當時，，只有一個根符合題意；所以的方程為或，即或.16已知數(shù)列滿足．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項公式分析運算；（2）利用裂項相消法求和.【小問1詳解】證明：∵，則，即故數(shù)列是首項和公差都為2的等差數(shù)列，∴，即【小問2詳解】∵，∴．17.如圖，在三棱柱中，平面，是等邊三角形，且D為棱AB的中點．（1）證明：平面．（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【小問1詳解】證明：由三棱柱的性質(zhì)可知．因為平面，所以平面．因為平面，所以．因為為的中點，且是等邊三角形，所以．因為平面，且，所以平面．【小問2詳解】取的中點，連接．由題意可得兩兩垂直，故以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．設(shè)，則，故．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面的法向量為，則令，得．設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為．18.已知橢圓的左焦點為，左、右頂點分別為，離心率為，點P在橢圓C上，直線（點P在點的右上方）被圓截得的線段的長為c，且．（1）求橢圓C的方程；（2）過點的直線l交橢圓C于點M，N（異于），設(shè)直線的斜率分別為，證明為定值，并求出該定值；（3）設(shè)G為直線和的交點，記，的面積分別為，求的最小值．【答案】（1）（2）證明見解析，（3）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的斜率為k（），則直線的方程為，由直線被圓截得的線段的長為c，可求出，聯(lián)立方程，結(jié)合題意可得P的坐標為，結(jié)合，即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程，由韋達定理及斜率公式即可求解；（3）由（2）得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩直線方程可得，由三角形的面積公式，結(jié)合（2）的結(jié)論可得，繼而即可求解.【小問1詳解】由已知有，又由，可得．設(shè)直線的斜率為k（），則直線的方程為，由已知得，解得，聯(lián)立，消去y整理得，解得或．又點P在點的右上方，所以P的坐標為，所以，解得，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】顯然直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為．聯(lián)立，消去x整理得，．所以.【小問3詳解】由（2）得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立兩條直線方程，解得，所以．又，所以，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關(guān)系式，該關(guān)系中含有，或，最后利用韋達定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.19.已知項數(shù)為m（，）的數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，若，且，則稱為的“伴隨數(shù)列”.（1）數(shù)列4，10，16，19是否存在“伴隨數(shù)列”，若存在，寫出其“伴隨數(shù)列”，若不存在，說明理由；（