高考數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球（二十四大題型）解析版

玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球

目錄

01方法技巧與總結(jié)..............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................7

題型一：外接球之正方體、長(zhǎng)方體模型..............................................7

題型二：外接球之正四面體模型....................................................8

題型三：外接球之對(duì)棱相等的三棱錐模型...........................................11

題型四：外接球之直棱柱模型.....................................................13

題型五：外接球之直棱錐模型.....................................................15

題型六：外接球之正棱錐、正棱臺(tái)模型.............................................18

題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型............................................22

題型八：外接球之圓錐‘圓柱'圓臺(tái)模型..........................................25

題型九：外接球之垂面模型......................................................27

題型十：外接球之二面角模型....................................................32

題型十一：外接球之側(cè)棱為球的直徑模型..........................................36

題型十二：外接球之共斜邊拼接模型..............................................39

題型十三：外接球之坐標(biāo)法模型..................................................42

題型十四：外接球之空間多面體..................................................45

題型十五：與球有關(guān)的最值問(wèn)題..................................................47

題型十六：內(nèi)切球之正方體、正棱柱模型...........................................51

題型十七：內(nèi)切球之正四面體模型.................................................53

題型十八：內(nèi)切球之梭錐模型.....................................................55

題型十九：內(nèi)切球之圓錐、圓臺(tái)模型...............................................58

題型二十：棱切球之正方體、正棱柱模型...........................................60

題型二十一：棱切球之正四面體模型...............................................63

題型二十二：棱切球之正棱錐模型.................................................65

題型二十三：棱切球之臺(tái)體、四面體模型...........................................68

題型二十四：多球相切問(wèn)題.......................................................69

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方法技巧與總經(jīng)

知識(shí)點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球

1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.

2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半.

3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體

(1)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示.

(2)若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體尸-可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)a=正如圖3所示.

(4)若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示

圖1圖2圖3圖4

知識(shí)點(diǎn)二：正四面體外接球

如圖，設(shè)正四面體?的的棱長(zhǎng)為4,將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為今，顯然正四面體

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R=*=乎”’即正四面體外接球半徑為尺=手”.

知識(shí)點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球

四面體48。中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可

以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類(lèi)問(wèn)題.

b2+c2=m2

如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為凡瓦C,貝|/+。2=”2,三式相加可得1+62+02=

a2+b2=t2

十“+'，而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球,設(shè)外接球半徑為R,則/+62+C2=4R"所以

2

_Im2+n2+t2

~V8'

知識(shí)點(diǎn)四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內(nèi)接于球(同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形)

第一步：確定球心。的位置，Q是A43C的外心，則OQ,平面N3C；

第二步：算出小圓C的半徑NG=r,OQ也是圓柱的高)；

22122222

第三步：勾股定理：OA=OrA+OflR=(1)+rR=Jr+(1),解出火

知識(shí)點(diǎn)五：直棱錐外接球

如圖，P/_L平面N3C,求外接球半徑.

第一步：將A42c畫(huà)在小圓面上，/為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑4D,連接PD,則尸。必

過(guò)球心0；

第二步：a為A4BC的外心，所以0。1，平面45C,算出小圓a的半徑三角形的外接圓直

徑算法：利用正弦定理，得，_=—吼=^=2r),OOX=-PA-,

sin/sin5sinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①(2?2=尸/2+(24。2R=[p#+(2r)2；

@7?2=r2+OQ2qR=W+00；.

知識(shí)點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型

2I2

1、正棱錐外接球半徑：R=!?.

2、側(cè)棱相等模型：

如圖，P的射影是AA8C的外心

o三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等

=三棱錐尸-N5C的底面AA8C在圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取A42c的外心則尸,。,。|三點(diǎn)共線；

第二步：先算出小圓Q的半徑再算出棱錐的高產(chǎn)&=/7(也是圓錐的高);

+小

第三步：勾股定理：OA2=O^2+OO27?2=(A-R)2+r~,解出R=---------.

12h

知識(shí)點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型

方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形.

知識(shí)點(diǎn)八：共斜邊拼接模型

如圖，在四面體48。中，ABLAD,CB±CD,此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形

拼接而形成的，2。為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設(shè)點(diǎn)。為公共斜邊班的中點(diǎn)，根據(jù)直

角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，OA=OC=OB=OD,即點(diǎn)。到4,B,C,。四點(diǎn)的距

離相等，故點(diǎn)。就是四面體/BCD外接球的球心，公共的斜邊8。就是外接球的一條直徑.

如圖1所示為四面體P-/5C,已知平面P/2,平面4BC,其外接球問(wèn)題的步驟如下：

（1）找出△尸48和△48C的外接圓圓心，分別記為已和2?

（2）分別過(guò)q和Q作平面尸48和平面4BC的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為0.

（3）過(guò)已作的垂線，垂足記為。，連接o?。，則ac/g.

（4）在四棱錐中，4D垂直于平面。qO.,如圖2所示，底面四邊形DOQa的四個(gè)頂

點(diǎn)共圓且。。為該圓的直徑.

圖1圖2

知識(shí)點(diǎn)十：最值模型

這類(lèi)問(wèn)題是綜合性問(wèn)題，方法較多，常見(jiàn)方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等

知識(shí)點(diǎn)十一：二面角模型

如圖1所示為四面體尸-N8C,已知二面角P-NB-C大小為a,其外接球問(wèn)題的步驟如下：

（1）找出△尸48和△ABC的外接圓圓心，分別記為。1和a?.

（2）分別過(guò)Q和2作平面尸48和平面48c的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為0.

（3）過(guò)C作的垂線，垂足記為。，連接.。，則。

（4）在四棱錐/-OOQQ中，ND垂直于平面。，如圖2所示，底面四邊形。。。。?的四個(gè)頂

點(diǎn)共圓且8為該圓的直徑.

o

o

。人

知識(shí)點(diǎn)十二：坐標(biāo)法

對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為。(x/,z),利用球心到各頂點(diǎn)的

距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng).坐標(biāo)的引入，使外接球問(wèn)題的求解從繁瑣的

定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度.

知識(shí)點(diǎn)十三：圓錐圓柱圓臺(tái)模型

1、球內(nèi)接圓錐

如圖1,設(shè)圓錐的高為人，底面圓半徑為r,球的半徑為R.通常在△0C3中，由勾股定理建立方程

來(lái)計(jì)算R.如圖2,當(dāng)PC>CB時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖3,當(dāng)尸C<C5時(shí)，球心在圓錐外部.和本專(zhuān)

題前面的內(nèi)接正四棱錐問(wèn)題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無(wú)需提前判斷.

卜2尸

由圖2、圖3可知，OC=h-R或R-h,故(〃一尺)2+產(chǎn)=尺2,所以R=---.

2、球內(nèi)接圓柱

如圖，圓柱的底面圓半徑為r,高為〃，其外接球的半徑為R,三者之間滿(mǎn)足§)+/=爐.

3、球內(nèi)接圓臺(tái)

滅2=1，其中小2，“分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高.

知識(shí)點(diǎn)十四：錐體內(nèi)切球

方法：等體積法，即R=?返

S表面積

知識(shí)點(diǎn)十五：棱切球

方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形

題型一：外接球之正方體、長(zhǎng)方體模型

【典例1-1】正方體的表面積為96,則正方體外接球的表面積為

【答案】48兀

【解析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，因?yàn)檎襟w的表面積為96,可得6a2=96,解得。=4,

則正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為/="+42+42=473，

設(shè)正方體的外接球的半徑為R,可得2尺=4若，解得R=2百，

所以外接球的表面積為5=4而2=4兀.(2#)2=48兀.

故答案為：48限

【典例1-2】已知正方體的頂點(diǎn)都在球面上，若正方體棱長(zhǎng)為6,則球的表面積為.

【答案】9萬(wàn)

【解析】該球?yàn)檎襟w外接球，其半徑R與正方體棱長(zhǎng)。之間的關(guān)系為2R=6a,

3

由a=VL可得火=5,所以球的表面積S=4萬(wàn)火2=9萬(wàn).

答案：9加

【變式1-1］長(zhǎng)方體446。的外接球的表面積為25/r,AB=43,AD=46,則長(zhǎng)方體

ABCD-4BGR的體積為.

【答案】1272

【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體4ss的外接球的表面積為251,

設(shè)球的半徑為R,由題意4%尺2=257，尺=2，2R=5,

2

長(zhǎng)方體ABCD-ABCB的外接球的一條直徑為AQ=JAB、AD2+AA；=5.

因?yàn)?8=6，AD=&,所以J3+6+44：=5,44]=4,

則長(zhǎng)方體他CD-44GA的體積為40x44=12A/2.

故答案為：12及

題型二：外接球之正四面體模型

【典例2-1]（2024?天津和平?二模）已知圓錐底面圓的直徑為3,圓錐的高為地，該圓錐的內(nèi)切球也是

2

棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球，則此正四面體的棱長(zhǎng)。為（）

A.yJ2B.—V2C.3D.—^A/3—V2）

【答案】A

【解析】由題意可知，該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，設(shè)球心為尸，球的半徑為「，圓錐的底面半徑為七

軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為0,圓錐的軸截面如圖所示，

由己知可得48=S/=SB=3,所以△S48為等邊三角形，故點(diǎn)P是的中心,

連接2P,則2尸平分NSA4,所以乙P2O=30。，故tan30°=°,

R

解得一坐五=鼻：=坐，故正四面體的外接球的半徑/=亙

33222

又正四面體可以從正方體中截得，如圖所示，

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為。時(shí)，截得它的正方體的棱長(zhǎng)為正4,而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在

2

正方體上，故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以2r=,解得a=,

22

故選：A

【典例2-2】已知正四面體S-4BC的外接球表面積為6兀，則正四面體S-4BC的棱長(zhǎng)為（）

A.1B.V2C.y/3D.2

【答案】D

【解析】??.正四面體S-/3C的外接球表面積為6兀，

.?.4兀店=6兀，解得R=逅（負(fù)值舍去），

2

設(shè)四面體的棱長(zhǎng)為。，取3c的中點(diǎn)E,連接/E,

設(shè)頂點(diǎn)S在底面"BC的射影為。，則。是底面△NBC的重心，連接S。，則外接球的球心在SD上，設(shè)為

0,連接/。，

1S

B

貝小E=AD=-AE=^-a,

233

所以8370=爭(zhēng)一爭(zhēng)

在直角中，AO2=AD2+OD2,即1當(dāng)］「FT

即?卷+^__24，得得a=0（舍）或。=2.

故選：D

【變式2-1］（2024?陜西咸陽(yáng)一模）已知正四面體S-/3C的外接球表面積為6萬(wàn)，則正四面體S-/BC的

體積為（）

A2夜R273「2n3V2

3334

【答案】A

【解析】設(shè)外接球半徑為R,貝云=4%爐=6%，解得尺=逅，

2

將正四面體S-43C恢復(fù)成正方體，知正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，

則正四面體S-/3C的外接球即為正方體的外接球，

則正方體的體對(duì)角線等于外接球的直徑，

故=m，解得43=2,正方體棱長(zhǎng)為2x￥=0，

故該正四面體的體積為（歷-4x；x；x及x&x艮￥，

故選：A.

【變式2-2】如圖所示，正四面體/BCD中,E是棱40的中點(diǎn)，尸是棱/C上一動(dòng)點(diǎn)，3尸+PE的最小值為

舊，則該正四面體的外接球表面積是（）

A.127rB.327rC.8萬(wàn)D.24%

【答案】A

【解析】將側(cè)面MBC和4CD沿/C邊展開(kāi)成平面圖形，如圖所示，菱形ABCD,

A

E

C

在菱形ABCD中，連接3E,交/C于點(diǎn)P,則3E的長(zhǎng)即為8尸+PE的最小值，即BE=巧,

因?yàn)檎拿骟w48CD,所以/C=AS,所以/BCD=120。，

因?yàn)镋是棱4。的中點(diǎn)，所以/DCE=30。，

所以NBCE=ZBCD-/DCE=90°,

設(shè)。E=x，則AB=BC=CD=AD=2x,

所以CE=￡x，則BE=y/BC2+CE2=缶=JiZ,所以x=JL

則正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2亞,

所以正四面體的外接球半徑為"x2及=6，

4

所以該正四面體外接球的表面積為$=4%（石『=12兀,

故選：A

題型三：外接球之對(duì)棱相等的三棱錐模型

【典例3-1】（2024?河南?開(kāi)封高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知四面體48co中，AB=CD=2#,

AC=BD=^,4D=BC=a，則四面體/BCD外接球的體積為（）

A.45兀B.”叵C.生生D.24世兀

22

【答案】C

【解析】設(shè)四面體/5CD的外接球的半徑為R,

則四面體/BCD在一個(gè)長(zhǎng)寬高為a/,c的長(zhǎng)方體中，如圖，

D

A

a2+b2^20,,

則加+c?=29,故R=J".、』2=運(yùn),

2+c2

a?c-—r4i1.22

故四面體/geo外接球的體積為曠=3位3=3兀*竺婭=竺縣，

3382

故選：C

【典例3-2】在三棱錐S-A8C中，SA=BC=5,SB=AC=屈,SC=AB=g則該三棱錐的外接球

表面積是（）

A.507rB.100無(wú)C.150TID.200兀

【答案】A

【解析】因?yàn)椤?=8C=5,SB=4C="i,SC=/8=V^,

所以可以將三棱錐S-ABC如圖放置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示：

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為。、b、c,

a2+b2=41

貝惰〃+。2=25,整理得/+/+。2=50,

b2+c2=34

則該棱錐外接球的半徑即為該長(zhǎng)方體外接球的半徑，

所以有a2+b2+c2=50=（2R）2=>R=5f,

所以所求的球體表面積為：5=4應(yīng)?2=4*兀*［半）=5071.

故選：A.

【變式3-1］（2024?四川涼山?二模）在四面體/一2。中，AB=CD=^,AD=BC=s/29,AC=BD=277,

則四面體/-BCD外接球表面積是（）

256

A.64KB.32nC.256兀D.—兀

3

【答案】B

【解析】由題意可知，此四面體4-2?？梢钥闯梢粋€(gè)長(zhǎng)方體的一部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6,

V25，2,四面體如圖所示，

c

所以此四面體4-灰刀的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，即（2R）2=（g『+（后『+22,解得尺=2亞.

所以四面體N-BCD外接球表面積是5=4成2=4x7tx（20y=32it.

故答案為：B.

題型四：外接球之直棱柱模型

【典例4-1】已知直三棱柱N8C-4AG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，若

AB=3,AC=1,ABAC=60°,AAl=2,則該三棱柱的外接球的體積為（）

.407r40V30K?320同?！?/p>

A.---D.------C.-------D.

32727

【答案】B

【解析】設(shè)△481G的外心為Q，△/BC的外心為。2,連接。。2，。28。臺(tái)，如圖所示,

由題意可得該三棱柱的外接球的球心0為的中點(diǎn).

在l\ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2ABxACcosABAC

=32+l2-2x3xlxcos60°=7,貝!|8C=療，

由正弦定理可得MBC外接圓的直徑2r=—生:=莖，則r=g,

sm60°y/3V3

而球心。到截面ABC的距離d=OO2=AA1=l,

設(shè)直三棱柱/8C-4月G的外接球半徑為R,

由球的截面性質(zhì)可得發(fā)=/+/=12+［得］=］,故尺=字，

所以該三棱柱的外接球的體積為%=:應(yīng)?3=：無(wú)義|苧J=吟|電，

故選：B.

【典例4-2】（2024?黑龍江哈爾濱?二模）已知直三棱柱/5C-44G的6個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，若

2兀

/3=/C=l,/4=4,=則球。的表面積為（）

A.16兀B.2071C.28兀D.327r

【答案】B

2兀

【解析】如圖所示，在ZUBC中，AB=AC=\,S.ZBAC=~,

由余弦定理得BC?=/g2+/c2-2/5?/CcosZ8/C=l+l—2X1X1COST=6,

設(shè)底面a/BC的外接圓的半徑為「，由正弦定理得2r=.B]=2,即。/=1

再設(shè)直三棱柱N8C-4月G外接球的球心為。，外接球的半徑為R，

在直角△00/中，可得R=Jo/+oq2=10/2+（21^=Vl2+22=Vs,

所以球。的表面積為S=4成2=4兀x（指）2=20限

故選：B.

【變式4-1】已知正六棱柱/8CDM—48G2耳片的每個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，且43=3,叫=4,

則球O的表面積為（）

A.427tB.48兀C.50冗D.52兀

【答案】D

【解析】因?yàn)?3=3,所以正六邊形N8CDE尸外接圓的半徑r=3,

所以球。的半徑R=、產(chǎn)+（9]=岳，故球。的表面積為4兀爐=52兀.

故選：D

【變式4-2］（2024?吉林長(zhǎng)春?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱柱（底面為正方形且側(cè)棱與底面垂直的棱柱）的底面邊長(zhǎng)

為3,側(cè)棱長(zhǎng)為4,則其外接球的表面積為（）

A.25〃B.34萬(wàn)C.68〃D.100萬(wàn)

【答案】B

【解析】正四棱柱即長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為d=,32+3?+4?=庖,

因此其外接球的半徑為，=”，則其表面積為S=4m2=34"，

故選:A

題型五：外接球之直棱錐模型

__JT

【典例5-1】（2024?高三?遼寧大連?期中）在三棱錐力-BCD中，4。，平面38,ZABD+ZCBD=~,

BD=BC=2,則三棱錐A-BCD外接球表面積的最小值為.

【答案】（2+26）兀

ary

【解析】設(shè)NCBD=a,在等腰△BC。中，CD=2-SCsin-=4sin-

22)

設(shè)△BCD的外心是河，外接圓半徑是「,

r=1--

a

cos—

2

設(shè)外接球球心是。，則。初，平面BCD,OMu平面8c則

同理AD_L3D,AD1DM,

又NDJ.平面8cD,所以NO//（W,OAffiU是直角梯形,

設(shè)CW=A,外接球半徑為R,即。。=CM=R,

r2+h2=R2

所以4D=2/z,

/+(/。一〃)2=4

兀

在直角中，ZABD=一一a,ABAD=a,

2

221

tana=-----,AD=--------,h=--------,

ADtanatana

22

「211cosa2cosa2.z3、

R=—-—i------------------=—--------1---------------------=-----------------—I---------------------2?。。2(—cosa)

222cos

tana2asina1+cosa1-cosa1+coscr-a+2—2cosa2

cos——--------:-------2----------一1+—；-------2-----

21-cosa1-cosa

313

令/—cosa=%,則

n212f12t12、12,21+V5

R=—1H--------------=—1H--------------=—1H---------------->—1+

1-(1-02-t2+3t-^3-《+捺)不甲一三T丁

V4t

當(dāng)且僅當(dāng)局」當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,

所以4成2的最小值是4公上乎=(2+26)兀.

故答案為：(2+2A/5)K.

將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為“鱉篇”，已知“鱉捌尸-/蛇中,

7T

P4_L平面4BC,PA=AB,AABC=-,AB+BC=6,貝U“鱉膈”尸-4BC外接球體積的最小值為.

【答案】8顯

【解析】根據(jù)題意三棱錐可以補(bǔ)成分別以8C,AB,產(chǎn)力為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，如圖所示，

P

其中PC為長(zhǎng)方體的對(duì)角線，則三棱錐尸-ABC的外接球球心即為尸C的中點(diǎn)，

要使三棱錐尸-48。的外接球的體積最小，則尸C最小.

設(shè)/3=x,則P4=x,BC=6-x,|PC|=yjAB2+PA2+BC2=^(x-2)2+24,

所以當(dāng)x=2時(shí)，|尸＜:京=2后，則有三棱錐尸-48C的外接球的球半徑最小為布，

所以噎n=)、8后.

故答案為：8瓜n.

【變式5-1](2024?高三?貴州?開(kāi)學(xué)考試)在三棱錐尸中，AB=BC=\0,ZABC=120°,D為AC

的中點(diǎn)，尸。1平面4BC,且尸。=15,則三棱錐尸-23C外接球的表面積為.

【答案】500兀

【解析】在△/3C中，4B=BC=U),ZABC=120°,

由余弦定理得4c2=4B?+BC?-2AB-BC-cosZABC^300,

所以NC=IO百，設(shè)△4BC的外接圓q的半徑為r,

則由正弦定理得2r=—二,解得r=io

sinN48csin120°

因?yàn)椤?C的中點(diǎn)，尸DJ.平面4BC,且PO=15,

在RtZWD中，AD=；AC=5拒，BD7AB2-AD?=5，

又=r=10,則圓心Q到。點(diǎn)的距離為OQ=5,

另設(shè)三棱錐尸-/BC的外接球球心。到平面/3C的距離為。。=d,設(shè)外接球的半徑為R,

則RtA002中，0尸+OO-=OB-,即1()2+儲(chǔ)=之，

22

直角梯形尸。中，OXD+[PD-OO^=OP,即5?+(15-d)2=箱，

解得d=5,上=125,所以S=4位?2=5007r.

故答案為：500K.

TT

【變式5-2](2024?河南開(kāi)封?三模)在三棱錐尸-NBC中，PA=AB,尸N1平面NBC,AABC=-,

AB+BC=6,則三棱錐尸-4BC外接球體積的最小值為()

A.8mliB.16巫itC.24&71D.32逐兀

【答案】A

【解析】根據(jù)題意三棱錐尸-NBC可以補(bǔ)成分別以為長(zhǎng)、寬、高的長(zhǎng)方體，其中PC為長(zhǎng)方體

的對(duì)角線，

則三棱錐P-ABC的外接球球心即為PC的中點(diǎn)，要使三棱錐P-ABC的外接球的體積最小,則PC最小.

設(shè)/B=x,則=BC=6-x,\PC\=AB2+PA2+BC2=^3（x-2）2+24,

所以當(dāng)x=2時(shí)，|尸C\n=2指,則有三棱錐尸-4BC的外接球的球半徑最小為逐,

所以曦,=不斤=8如.

故選：A

題型六：外接球之正棱錐、正棱臺(tái)模型

【典例6-1】（2024?安徽蕪湖?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱臺(tái)NBC-48c的上、下底面邊長(zhǎng)分別為石，273,

且側(cè)棱與底面所成角的正切值為3,則該正三棱臺(tái)的外接球表面積為（）

A.97tB.IOVITTC.10百兀D.20TI

【答案】D

【解析】分別取△/3C、瓦G的中心E，尸，連結(jié)EF,過(guò)A作尸，

AR

因?yàn)镹2=G，由正弦定理得2/E=—^左，得NE=1,同理可得4尸=2,所以4〃=1,

sin60

因?yàn)檎馀_(tái)ABC-4瓦C,所以后尸_L平面4AG,EF||AM,

所以_L平面431G,所以乙必河為側(cè)棱AXA與底面所成的角,

所以川0=4四-211乙44河=3,所以E尸=/初=3,

設(shè)正三棱臺(tái)的外接球球心。，因?yàn)镋為上底面截面圓的圓心，尸為下底面截面圓的圓心，

所以由正三棱臺(tái)的性質(zhì)可知，其外接球的球心。在直線E尸上，

22222

設(shè)外接球。的半徑為我，所以。/=。4=R，OA^AE+OE,O^=AXF+OF,

22

即尺2=12+?！?,R2=2+OF,

當(dāng)。在所的延長(zhǎng)線上時(shí)，可得JR2_12_JR2_32=3,無(wú)解；

當(dāng)。在線段環(huán)上時(shí)，軸截面中由幾何知識(shí)可得VFK+VF萬(wàn)=3,解得尺=右，

所以正三棱臺(tái)43C-44G的外接球表面積為5=4成2=20兀.

故選：D

【典例6-2】（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在正三棱錐中，BC=CD=DB=2,AB=AC=AD=y/3,

則三棱錐/-BCD的外接球表面積為（）

2771-27R27K

A.-----B.9兀C.------D.

254

【答案】c

【解析】方法一：如圖，取正三角形BCD的中心為P,連接4P,PC,

則三棱錐/-BCD的外接球球心。在/尸上，連接OC.

在正三角形3C。中，BC=2,所以PC=2xBCsin4=2^.

33

在RtZUPC中，AC=5所以△尸=JNC，—尸C?=

設(shè)外接球的半徑為五,

229

由0。2=0/2,Op^+pc=oc^>解得「二和,

277r

所以三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4成2=—

故選:C.

方法二：在正三棱錐/-BCD中，過(guò)點(diǎn)A作//，底面BCD于點(diǎn)尸，

則F為底面正三角形88的中心，

因?yàn)檎切?8的邊長(zhǎng)為2,所以3尸=gx3Csin；=￥.

因?yàn)?8=6，所以AF=d4B°-BF?=姮.

3

如圖，以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)三棱錐A-BCD的外接球球心為。（0。〃），半徑為R.

/r-\2

由002=0/,得3+/二〃—空，解得〃=4，

313J2VI5

所以尺2=[4+"=￡77,

27冗

則三棱錐A-BCD的外接球表面積S=4TIR2=—.

故選：C.

【變式6-1]（2024?山東荷澤?模擬預(yù)測(cè)）己知正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2也,4g,體積為42vL

則該正三棱臺(tái)的外接球表面積為（）

「16075

A.20兀B.—71C.80兀D.-----------71

3

【答案】c

【解析】令給定的正三棱臺(tái)為正三棱臺(tái)N3C-4用G，A\B\=25AB=4^,

令正的中心分別為。1，。2,而其小,=^x（26了=3后I?=曰X（4Q）2=126，

貝M=；（3A/3+向豆豆7T+12y5）002=4273,解得OR=6,

△48?的外接圓半徑「=26x等x|=2,△48C的外接圓半徑r=4,

顯然正三棱臺(tái)的外接球球心在直線。0,設(shè)外接球半徑為凡。O|=x,則|。。/=|6-刈，

因此斤=/+22=（6-xy+42,解得X=4,R2=20,

所以該正三棱臺(tái)的外接球表面積為S=4兀尺2=8071.

故選：C

【變式6-2］（2024?黑龍江?二模）已知正四棱錐尸-/BCD的側(cè)棱長(zhǎng)為2,且二面角的正切值為

卡，則它的外接球表面積為（）

1628

A.——兀B.6兀C.8兀D.——兀

33

【答案】A

【解析】設(shè)正方形/5CZ）中心為0,取中點(diǎn)〃，連接尸。、PH、OH,

則尸OHVAB,PO_L平面/5CZ>,

所以ZPHO為二面角P—4B-C的平面角,即tanZPHO=2=底,

OH

設(shè)正方形N3CD的邊長(zhǎng)為“。＞0）,則尸0=坐0,

y,AO=-AC=-yla2+a2=—a,PA=2,所以尸。2+/。2=尸/2,

222

解得.=行（負(fù)值已舍去）,

則FO=若，AO=1,設(shè)球心為G,則球心在直線PO上，設(shè)球的半徑為R,

所以外接球的表面積S=4位?2=44

I圖3J上3

題型七：外接球之側(cè)棱相等的棱錐模型

【典例7-1】（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-/2C中，PA=PC=AB=BC=AC=24i，

PB=36,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A.48TIB.1271C.2771D.28兀

【答案】D

【解析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，如圖所示，

分別取NC,PB的中點(diǎn)N,連接MV,PM,BM,

又PA=PC=AB=BC=AC=25

所以PM_L/C,BMLAC,PM=MB=3,

由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知：球心必在"N的延長(zhǎng)線上，

設(shè)球心為0,連接OC,OB,

設(shè)半徑為尺，ON=x,OC=OB=R,

可知AONS,AOVC為直角三角形，

OB2=ON2+NB2

所以,所以

OC2=OM2+MC1*=［泗+3

解得x=；,R2=7,

所以球的表面積為5=4兀爐=471x7=2871.

故選：D.

【典例7-2］（2024?安徽安慶?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）三棱錐尸。中，PA=PB=PC=243,AB=2AC=6,

TT

NBAC=-,則該三棱錐外接球的表面積為.

【答案】48%

【解析】因?yàn)镹3=2NC=6,NBAC三,所以由余弦定理可得cos/A4C=史至二生，解得

32x3x62

BC=3c,所以叱+叱=48,

所以。8C是以48為斜邊的直角三角形，

因?yàn)镻A=PB=PC=2^,

所以點(diǎn)尸在平面ABC內(nèi)的射影是AABC的外心，

即斜邊的中點(diǎn)，且平面平面A8C,

于是的外心即為三棱錐尸-ZBC的外接球的球心，

因此的外接圓半徑等于三棱錐尸-/BC的外接球半徑.

因?yàn)槭?=尸8=26，AB=6,

于是sinZAPB=2,

2

2R==6_4百

根據(jù)正弦定理知的外接圓半徑R滿(mǎn)足sinN4PB也

所以三棱錐P-4BC的外接球半徑為火=2班，

因此三棱錐P-48c的外接球的表面積為4消2=4阮.

故答案為：48兀

【變式7-1】在三棱錐S-48c中，SA=SB=CA=CB=AB=2,二面角S-/8-C的大小為60。，則三棱

錐S-N5C的外接球的表面積為.

【解析】取48的中點(diǎn)。，連接SD,CD,因?yàn)?=S5=G4=C5=48=2,

所以△第臺(tái)和。3c都是等邊三角形，所以SDL48,CD，48,

所以N5DC是二面角S-48—C的平面角，即NSDC=60°,

設(shè)球心為O,△S/3和“3C的中心分別為尸,E,則O￡_L平面Z3C,。尸1平面山15,

因?yàn)椤！晔?、x@x2=@,0。公共邊，所以AODE^AODF,

323

所以NODE=ZODF=30°,