湖北省沙市某中學2024-2025學年高三年級上冊9月月考 數(shù)學試題（含解析）

2024—2025學年度上學期2022級

9月月考數(shù)學試卷

考試時間：2024年9月25日

一、選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選

項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

1.集合M={xeN,<i5},若/uN={x|0Kx<5},則集合N可以為（）

A.{4}B.1x|4<x<C.{x"<x<5}D.{x卜|<5}

2.若復數(shù)z=l—i+i2—j3+…+j2022—12。23+12。24,則目=（）

A0B.V2C.1D.2

3.已知同=2同，若4與3的夾角為60。，則2N-不在B上的投影向量為（）

1r1-3-3-

A.-bB.——bC.——bD.-b

2222

4.純電動汽車是以車載電源為動力，用電機驅動車輪行駛，符合道路交通、安全法規(guī)各項要求

的車輛，它使用存儲在電池中的電來發(fā)動.因其對環(huán)境影響較小，逐漸成為當今世界的乘用車

的發(fā)展方向.研究發(fā)現(xiàn)電池的容量隨放電電流的大小而改變，1898年Peukert提出鉛酸電池的

容量C、放電時間。和放電電流/之間關系的經(jīng)驗公式：C=/力，其中彳為與蓄電池結構有關

的常數(shù)（稱為Peukert常數(shù)），在電池容量不變的條件下，當放電電流為7.5A時，放電時間為

60h；當放電電流為25A時，放電時間為15h,則該蓄電池的Peukert常數(shù)幾約為（參考數(shù)據(jù)：

lg2ao.301,lg3?0.477）（）

A.1.12B.1.13C.1.14D.1.15

5.已知a,"e(0,兀)，且cosa=-^-,sin(tz+/3)=,則。一夕=()

6.已知函數(shù)/（%）=（》2+ax+6）lnx20恒成立，則實數(shù)。的最小值為（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.函數(shù)/（x）=ln卜|—“與函數(shù)g（x）=sin]x的圖象交點個數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

8.斐波拉契數(shù)列因數(shù)學家斐波拉契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子數(shù)列”.這一數(shù)列如下定

義：設{%}為斐波拉契數(shù)列，％=lg=l,a,=%+%_2（"N3,"eN*）,其通項公式為

iPfi+VsYfi-VsYl

設?是log2[(l+V5y-(l-V5r]<x+4的正整數(shù)解,則n的最

目〔丁JJ]

大值為（）

A.5B.6C.7D.8

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，部分選對的得部分分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.給出下列命題，其中正確命題為（）

A.已知數(shù)據(jù)再、/、工3、…、X1O,滿足：X,.-^=2（2<z<10）,若去掉匹、/后組成一組新數(shù)

據(jù)，則新數(shù)據(jù)的方差為168

B.隨機變量X服從正態(tài)分布N（l,cr”尸（x>1.5）=0.34,若尸（x<a）=0.34,貝|a=0.5

66

C.一組數(shù)據(jù)（x"J（i=l,2,3,4,5,6）的線性回歸方程為i=2x+3,若?>=30,則?,=63

1=11=1

D.對于獨立性檢驗，隨機變量/的值越大，則推斷“兩變量有關系”犯錯誤的概率越小

10.如圖，棱長為2的正方體NBC。-48cA中，E為棱的中點，

廠為正方形GCO2內一個動點（包括邊界），且用尸//平面43E,則

下列說法正確的有（）

A.動點/軌跡的長度為近

B.瓦F與48不可能垂直

c.三棱錐用-R跖體積的最小值為:

D.當三棱錐瓦-DQ廠的體積最大時，其外接球的表面積為年兀

11.已知拋物線。：產(chǎn)=2”5>0）的焦點為產(chǎn)，準線交X軸于點。，直線/經(jīng)過尸且與C交于

A,B兩點，其中點”在第一象限，線段/尸的中點M在>軸上的射影為點N.若

\MN\=\NF\,貝I］（）

A./的斜率為&B.是銳角三角形

C.四邊形MVDb的面積是6/D.忸尸卜照|>|如『

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若“*oe［1,4］使x；-+4>0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍為.

13.在A48C中，BC=6^A=~,D為線段AB靠近點幺的三等分點，E為線段CD的中

3

點，若麗==衣,則赤?力的最大值為

4--------

14.將123,4,5,6,7這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列，記第i項為q（i=l,2,…,7）,若%=7,

%+/+/<%+。6+%，則這樣的數(shù)列共有個.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知△45C的內角N,B,C的對邊分別為a,b,c,若4sirk4-加irtS=csin(Z-B).

(1)求a的值;

(2)若△ZBC的面積為,求△/BC周長的取值范圍.

4

16.已知正項數(shù)列｛4｝的前〃項和為E，且"=2g.

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)設4=2%—1,若數(shù)列｛c“｝滿足c“=&L，且數(shù)列｛%｝的前"項和為北，若

bn，bn+i

恒成立，求X的取值范圍.

(〃+2)

17.如圖所示，半圓柱。9與四棱錐N-2COE拼接而成的組合體中，尸是半圓弧8C上(不含

及C)的動點，尸G為圓柱的一條母線，點A在半圓柱下底面所在平面內,

0B=2。。］=2,AB=AC=2s/2.

⑴求證：CG_L3F；

(2)若DFII平面ABE,求平面FOD與平面GOD夾角的余弦值;

⑶求點G到直線OD距離的最大值.

18.已知雙曲線E的中心為坐標原點，漸近線方程為y=±#x,點(-2,1)在雙曲線E上.互相垂

直的兩條直線島均過點尸⑵⑼(外〉血，且”eN*),直線丸交E于42兩點，直線乙交

E于C,。兩點，分別為弦N3和CD的中點.

⑴求E的方程；

(2)若直線交x軸于點。&⑼(〃eN*),設外=2".

①求匕；

2n

②記4=|尸。|,"=2〃-lg*),求￡[初一(-1)飛上.

k=\

19.如果函數(shù)FQ)的導數(shù)為〃(x)=/(x),可記為J/(x)dx=*x),若/(x)>0,則

b

]73公=尸㈤-尸(")表示曲線y=f。)，直線x=a,x=6以及無軸圍成的“曲邊梯形”的

a

2

面積.如：J2xdx=/+c,其中C為常數(shù)；f2xfifc=(22+C)-(O+C)=4,則表

0

x=0,x=1,y=2x及x軸圍成圖形面積為4.

⑴若/(x)=f(eI+l)dx,/(0)=2,求的表達式；

(2)求曲線y=x2與直線y=-x+6所圍成圖形的面積；

(3)若/(x)=ex-l-2mx,xe[O,+a)),其中加cR,對\/a,6e[0,+o)),若a>b,都滿足

ab

f/(x)<k>//(x)dx,求機的取值范圍.

00

1.c

1/.\2024+l

ITl-i2024x(-z)1+z,

23202220232024

2.C【詳解】Z=l-i+i-i+---+i-i+i---------------------------二---------=1

I-(-i)1+i1+i

3.B

4.D【詳解】由題意矢口。=7.5/tx60=25“xl5,

2510|=2=4,兩邊取以10為底的對數(shù)，得Nlg/=21g2,

所以

7J

21g22x0.301

ffr以2—x^11.15

l-lg31-0.477

5.C【詳解】因為c°sa=*,,所以/(卻)，則sm*當,

2

所以sin2a=2sinacosa=2x^^x^^=\,cos2a=l-2sin2a=l-2x3

=—<0,則,

5

71371,又0<sin(a+￡)=舟〈等

因為/e(0,n),所以a+￡w

了萬，貝+

所以cos(a+2)=-Jl-sin2(a+0=-^y-,故sin(a-。)=sin(2a-(a+4))=sin2acos(a+夕)-cos2asin(a+fj)

=51妥一(3落一條因為(：，今，*(。，初所以加公,利)則一加十

解法二sin(6r+，)<sin(a+餐=cosex,-，:?兀>)3>]>a,**?一~~—/?<0,故選C

6.B【詳解】:/(x)>0恒成立，設g(x)=%2+Q%+b,則當％>1時g(x)>0,0<%<1時

g(x)<。，g(D=°1+a+Z?=0a=—1—b

，即《,二?a2—1

[g(0)<0b<0

7.A【詳解】設/(x)=%(x),g(x)=1(x),/(X)的定義域為次|國片1},

①當24時，/(x)=ln||x|-l|>ln3>l>g(x)=sin^x,此時的圖象與g(x)的圖象沒有交

點，

②當2<%v4時，/(x)=ln||x|-1|>Ini=0>g(x)=sin^x,此時兩圖象沒有交點，

③當x=2時，/(x)=ln||x|-1|=In1=0=sinii=g(x)=sin^-x,此時兩圖象有一個交點，

④當0<x<2時，/(%)=ln||x|-l|<lnl=O<g(x)=sin^x,此時兩圖象沒有交點，

⑤當％=0時，/(%)=|n||x|-1|=Ini=0=sinO=g(x)=sin^x,此時兩圖象有一個交點，

⑥當一1<%<0時，/(x)=ln||x|-l|=ln(x+l),g(x)=sin^x,設〃(x)=/(x)—g(x)

1717r7T

h'(x)=--------cos—x在(一1,0)上單調遞減，/z'(o)=/,(o)-g,(o)=l——<0,且X趨于-I

x+1222

時，〃'(X)趨于正無窮，，存在%€(-1,0)使得〃'(%)=0,且xe(Xo,O)時力'(x)<0,二〃(x)

在(x(),0)上單調遞減，〃(x)〉〃(0)=0,即/(x)>g(x),

結合以上分析，畫出門式)應(為在(-1,0)上的函數(shù)圖象可知，兩圖象在(-1,0)上有一個交點，

⑥當-24<-1時，由對稱性可知，兩圖象在(-2,-1)上有一個交點，

⑧當x=-2時，/(x)=In||x|-1|=In1=0=sin(-71)=g(x)=sinx,此時兩圖象有一個交點，

當一4<x<-2時，/(x)=ln||x|-l|=ln(-x-l),g(x)=sin|-x,注意至

/(-3)=ln2<g(-3)=l,

畫出/(x),g(x)在(-4,-2)上的函數(shù)圖象可知，兩圖象在(-4,-2)上有一個交點，

⑨當了4-4時，/(x)=ln||x|-l|>ln3>1>g(x)=sin|-x,此時兩圖象沒有交點；

綜上所述，函數(shù)/(力=川忖-1|與函數(shù)g(x)=sin］x的圖象交點個數(shù)為6.

8.A【詳解】由題知"是1限［。+石)'-(1-回［。+4的正整數(shù)解，

+4

故log2［(l+V5)--(l-V5)"］<?+4,取指數(shù)得(1+⑸-(1-V5)"<2",

r=ii7人,曰\+1—v5|7缶1(1+v5|\—\5104口口,1<)4

同除2"侍，［?。?lt;2，故［MJ『忑X2,即巴〈忑x2,

根據(jù)㈤｝是遞增數(shù)列可以得到｛端｝也是遞增數(shù)列，于是原不等式轉化為4<gx2'<52.

而出=5,4=8可以得到滿足要求的〃的最大值為5,故A正確.

9.BD【詳解】對于A選項，去掉占,再。后的平均數(shù)為一十%:…+―=眄>=%+9,

8o

方差為(X2-X「9)2+(W9)2+...+(W9)2=21，故A選項錯誤；

8-

對于B選項，由于隨機變量X服從正態(tài)分布N(l,/),p(x>1.5)=0.34,

則尸(X<“)=P(X>1.5)=0.34,a,1.5關于1對稱，則a=0.5故B選項正確；

6

對于C選項，因為?,=30,所以夏=5,又因為回歸方程為i=2x+3,

1=1

_6

所以3=2x5+3=13,所以2>=13x6=78,故C選項錯誤；

Z=1

對于D選項，對于獨立性檢驗，隨機變量/的值越大，則兩變量有關系的程度的錯誤率更低，

故/越大，判定“兩變量有關系”的錯誤率更低，D選項正確.故選:ABD.

10.ACD【詳解】對A,如圖，令CC］中點為中點為N,連接

又正方體/3C。-481G2中，E為棱?！ǖ闹悬c，可得

.?.5眼//平面84嗎加//平面84￡，又B、MCMN=M,

且B、M,MN<=平面B、MN,二平面B.MN〃平面B&E,

又用尸〃平面/田￡,且平面二.烏尸u平面印團V,

又尸為正方形GCDA內一個動點(包括邊界)，，尸e平面及平面GC。。，而MN=平面

片"NCI平面GCDD1,.?.尸即b的軌跡為線段MN.

由棱長為2的正方體得線段跖V的長度為血，故選項A正確；

對B,當尸為線段中點時，由4M=4N可得與尸，MV,又C。中點為中點為N,

：.MNIIDXC,而48/AD。，，烏尸，48,故選項B不正確;

19

對c,由正方體側棱片G，底面qc。。,三棱錐瓦-。即體積為％=6.。此=§邑*￡,

所以△■￡)］尸E面積5必必最小時，體積最小，如圖，?./€可,易得尸在N處時邑比E最小，

此時邑印總叫毋=；,所以體積最小值為:，故選項C正確；

對D,如圖，當戶在M處時，三棱錐片-。。尸的體積最大時，

由已知得此時FD=FD、=g=6,所以尸在底面用。2的射影為底面外心，

DD1=2,=2V2,DBi=2V3，所以底面BXDDX為直角三角形，

所以尸在底面8QA的射影為片。中點，設為Q,如圖，設外接球半徑為R,

由&=OO；+0^=00^+3,R+OO\=FO\=?，可得外接球半徑R=—,

4

75

外接球的表面積為4萬尺2=了兀，故選項D正確.故選：ABD.

11.ABD【詳解】由題意可知：拋物線的焦點為尸《,0),準線為x=/,即。!/,0

設/（再,%）,8（%2,%）,乂>0,%<0,

則以5+3與卜［0,三；可得，因為巾=師|,^\MN\=\NF\=\MF\,

可知AAGVF為等邊三角形，即/MWF=60。，

且MNIIx軸，可知直線/的傾斜角為60。，斜率為左=tan60。=百，故A正確;

X.3P卜/

聯(lián)立方程1一3

則直線/:了=61一?x——6

，解得2或

=2Pxy=y5py=---p

(fT\(0、(瓜、

B---p，則"p,—p,NO,——p

63212

\7\7\7

可得口可二),|/必=V?p\BD\=1?夕JE4|=2p,\FB\=gp，|/8|=|0，

在△N3O中，\BD\<\AE\<\AB\,且忸rf+gq2T4靖〈0,

可知//D3為最大角，且為銳角，所以是銳角三角形，故B正確；

四邊形ACVZ)尸的面積為SMNDF=SABDF+SAMNF=；xpx與p+；義斗pxp=g~p。,故C錯誤;

乙乙乙乙乙

因為I印MaJpZjFDk/,所以阿|MH>|F02,故D正確；

故選：ABD.

12.［5,+oo)【詳解】因為“Hi：。e［l,4］使x；-曬)+4>0”為假命題，

所以“Vxe［l,4］,》2一辦+440”為真命題，其等價于a?x+士在［1,4］上恒成立,

X

又因為對勾函數(shù)/(x)=x+3在［1,2］上單調遞減，在［2,4］上單調遞增，

X

而/⑴=/(4)=5,所以/(x)max=5,所以。之5,即實數(shù)。的取值范圍為［5,+8).

14.360【解析］:1+2+3+4+5+6=21,?，.S3?10,

列舉可知①(1,2,3)……(1,2,6)有4個②(1,3,4),……,(1,3,6)有3個;③

(1,4,5)有1個④(2,3,4),(2,3,5)有2個故共有10個組合，，共計有10x4；=360

個這樣的數(shù)列。

15.【解析】(1)設4=出，?！?),在△ABC中，由正弦定理得Q=2R,siM,

b=27??sinB,c=2R-sinC,代入已知化簡得/si/Z-si/jB=sinCsin(4-5),

又在△ABC中有：sinC=sin(4+5)，BPtsin2A-sin2B=sin(24+5)sin(24-5),

【方法一】丁sin(4+3)sin(4—5)=—;(cos24-cos2_5)=sin2^4-sin2jB,

即《sin2/-sin25=sin2/-sin2jB,所以，=1,所以Q=4.

【方法二】丁sin(/+B)sin(Z-B)=(siib4cosB+cos/siaS)(siiL4cosB-cos/sinS),

sin(/+5)sin(4—5)=sin2^4cos2S-cos27lsin2S=sin27l(1-sin2S)一(1一sin2^)sin2S=sin2/一sin2S

即《sir，-sii^B=sin2/-sin23,所以，=1,所以Q=4.

2221

/、五AA1i.iVJ(Z)+c-a}百(b+/—a?)

(2)在/\ABC中有Sc=—bcs\x\AA,—bcs\x\A=—-------------sin4=-------------------=y/3cosA，

2242bc

A--,由正弦定理得：b=~^=-sinB,c=~^=?sinC,

3x/3V3

因在△ZBC中，A=~,Q<B<—,L<sin(5+工］<1,

332I6J

所以，4<Z)+c<8,當N=8=C時，等號成立，△/BC周長a+6+c的取值范圍是

(8,12］.

16.［解析］⑴?：^+2an-n=2.Sn,當〃22時，+2anA-(?-1)=25^,

兩式相減得：片+2為一片_1-24_1-1=2%，整理得d=(a,i+l)2，……4

分

an>0,an=an_x+l(n>2),當〃=1時，c^+2al-l=2al,

q=-l(舍)或q=l,……6分

??.{4}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，則4="；……7分

⑵由⑴知，b,,=2"-1,c.9分

八〃+2人/、n+2

10分由i-TVa、n42方zp令g(〃)=三zp-11

〃(〃+2)

分

金一上1=-(叱+也<0

則〃22時，g(n)~g(n-1)=13分

2,1+1-12"-1(2,,+1-1)(2"-1)

所以g(〃)<g(〃T),即隨著，增大，g(〃)減小,

所以43g(〃)1mx=g(l)=L15分

17.【詳解】(1)取弧8C中點“，則W/3C,以。為坐標原點，直線。瓦。",001分別為

x/，z軸建立空間直角坐標系，連接。/,在V48c中，BC=4,AB=AC=2&OB=OC,則

AOIBC,AO=2,于是0(0,0,0),4(O,-2,0),8(2,0,0),C(-2,0,0),。(一2,0,1),

設尸(x,y,O),則G(x,%l),其中/+/=4/>0,否=(x+2,%l),而=(x-2,%0),

因此M?麗=--4+/=0,即江，麗，所以CGLAF.

(2)由BE_L平面48cNCu平面48C,得BE上4C,

XAB2+AC2=BC2,則而4BcBE=B,AB,BEu平面ABE,

則NCL平面/3E,即就=(-2,2,0)為平面/3E的一個法向量，

~DF=(x+1,y,-\),由。尸//平面/BE,^DF-AC=-2x-4+2y=0,

fx—0/

又，+/=4j>0,解得,止匕時尸(0,2,0,G(0,2,l,

[y=2

/、h?OF=2/)=0/、

設為=(Q也c)是平面方8的法向量，貝IJ_,取-1,得為=(1,0,2),

ri-OD=-2a+。=0

/、m-OG=2f+g=O/、

設施=e/g是平面GOD的法向量，貝1J_7,取e=l,得應=1,-1,2,

m^OD=-2e+g=0

則平面FOD與平面GOD夾角的余弦值為|cos4,m)|=小旦=一)=型.

\n\\m\V5x<66

(3)OD=(-2,0,l),OG=(x,y,l),

則點G到直線OD的距離d=2(12X)

IOG-(^^^=J5-~-,

\\OD\V5

當x=g時，即b的坐標為(g,半,0)時，點G到直線OD的距離取最大值為6.

18.【詳解】（1）?漸近線方程為二士字x,可設雙曲線方程為］=〃XwO）,

丫2

..?點（—2,1）在雙曲線E上，.?.2=1,所以￡的方程為］-/=］；

（2）①當直線4,4中又一條直線的斜率為0,另一條直線的斜率不存在是，

直線MN與x軸重合，不符合題意；所以直線4,的斜率均存在且不為0,

解法一：4（%i，yt）,8（X272），M（%M，加），N{xN,yN）,設4的方程為x=叼+2",由

x=my+2”

x2,,得（叼+2"）2—2y2=2=（機2_2）/+2"+1.機J+22"_2=0,

-----y=1

12/

2n+1-mT-m,???川???加=品

??A>0恒必+y2——

m2-2'"M~~m2-2

+12

:.M（-二2"—，——2".m^），同理N（—^2"~+i?m2"-m

nT—2m~-2l-2m2l-2m~

因為〃、N、。三點共線，所以加（。一心）=6（。一巧/），??"“（/+1）=2向（蘇+1）

化簡得：乙=2向；

解法二：設4的方程為昨Mx-a）優(yōu)*0）,4（久0），8。2,燦，"（X時,加），N（xN,yN）,

y^k（x-pn）

由＜/2,得（1-2/卜2+4尸p“x-2左2p；_2=0,則「2^x0,所以內+%=士導

-----y=11—2左

[2'

X；+x_-2k2p一電

所以=2n，則加=人（如-°“）=左

2l-2k21-2公'

（=2k\-kp?]同理可得日言，落

所以M11-2公

因為M、N、。三點共線，所以為（XLXM）=（%-加）（"-"）,

一2左2p“kp“~~2p“-kp“

\-2k-k--2k