函數(shù)模型及其應(yīng)用-2025年高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第07講函數(shù)模型及其應(yīng)用

（3類核心考點(diǎn)精講精練）

IN.考情探究

1.5年真題考點(diǎn)分布

5年考情

考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)

對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用

2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用

由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式

2.命題規(guī)律及備考策略

【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他函數(shù)知識(shí)點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)的圖

象與性質(zhì)，難度中等偏下，分值為5分

【備考策略】1.會(huì)選擇合適的函數(shù)類型來模擬實(shí)際問題的變化規(guī)律.

2.會(huì)比較一次函數(shù)、二次函數(shù)、幕函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異

3.了解函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模

型）的廣泛應(yīng)用

【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通?？疾榻o定實(shí)際問題選擇用合適的函數(shù)解析式來模擬或求對(duì)應(yīng)的實(shí)際應(yīng)用值，是

新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容

IN.考點(diǎn)梳理，

知識(shí)點(diǎn)1三種常見函數(shù)模型的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)2常見函數(shù)模型

核心知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)3解函數(shù)模型問題的步驟

函數(shù)模型及其應(yīng)用考點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)模型

考點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)模型

核心考點(diǎn)

考點(diǎn)3建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題

知識(shí)講解

1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)

y=axy=logaXy=xn

（心1）（Al）（心0）

1

在(0,+°°)±

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

的增減性

增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)為隨X的增大逐漸表隨〃值變化而各有

圖象的變化

與y軸平行現(xiàn)為與X軸平行不同

2.常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型於）="+6（0,6為常數(shù)，aWO）

二次函數(shù)模型=ax2-\~bx~\~c（a,b,c為常數(shù)，QWO）

反比例函數(shù)模型fix）=-+b（k,6為常數(shù)且左WO）

x

指數(shù)函數(shù)模型J（x）=ba+c（afb,c為常數(shù)，〃>0且qWl,bWO）

對(duì)數(shù)函數(shù)模型/（x）=61ogax+c（Q,b,c為常數(shù),Q>0且QWI,bWO）

a

募函數(shù)模型J（x）=ax+b（afb,a為常數(shù)，aWO,aWO）

3.解函數(shù)模型問題的步驟

(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型.

(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.

(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論.

(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題.

以上過程用框圖表示如下：

考點(diǎn)一、指數(shù)函數(shù)模型

典例引領(lǐng)

1.(山東?高考真題)基本再生數(shù)R。與世代間隔了是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者

傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型:

/⑺=e”描述累計(jì)感染病例數(shù)/(t)隨時(shí)間t(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率r與%,「近似滿足R0=l+”.有

2

學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出Ro=3.28,7=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的

時(shí)間約為（ln2=0.69）（）

A.1.2天B.1.8天

C.2.5天D.3.5天

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得/?）=e"=e°g,設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間

為％天，根據(jù)非蹩+a）=2e°.兩,解得"即可得結(jié)果.

a—1

【詳解】因?yàn)榉?3.28,T=6,R0=\+rT,所以「=±^^=0.38,所以/（。=e"=，

6

設(shè)在新冠肺炎疫情初始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間為％天，

038f

貝!]e°38（M）=2e-,所以eg%=2,所以0.3甑=In2,

In20.69,丁

所以4=---X----X1.o8天.

0.380.38

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了指數(shù)式化對(duì)數(shù)式，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）半導(dǎo)體的摩爾定律認(rèn)為，集成電路芯片上的晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，用

/⑺表示從"0開始，晶體管數(shù)量隨時(shí)間f變化的函數(shù)，/（0）-1000,若f是以年為單位，則/⑺的解析式

為（）

A./。）=1000+^^B./?）=1000x2'

C./（?）=1000x2^D.7（0=1000+2（

【答案】C

【分析】根據(jù)題意晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每?jī)赡暝黾右槐?，可?⑺為指數(shù)型函數(shù),

即可判斷.

【詳解】晶體管數(shù)量的倍增期是兩年，也就是晶體管數(shù)量每?jī)赡暝黾右槐叮?/p>

根據(jù)時(shí)間f以年為單位，以及"0）=1000,得了⑺=1000x2匕

故選：C.

3.（2024高三下?全國?專題練習(xí)）小微企業(yè)是推進(jìn)創(chuàng)業(yè)富民、恢復(fù)市場(chǎng)活力、引領(lǐng)科技創(chuàng)新的主力軍，一直

以來，融資難、融資貴制約著小微企業(yè)的發(fā)展活力.某銀行根據(jù)調(diào)查的數(shù)據(jù)，建立了小微企業(yè)實(shí)際還款比例P

-0.968+Ax

與小微企業(yè)的年收入X（單位：萬元）的關(guān)系為P而丁（丘R）.已知小微企業(yè)的年收入為80萬元時(shí),

其實(shí)際還款比例為50%,若銀行希望實(shí)際還款比例為40%,則小微企業(yè)的年收入約為（參考數(shù)據(jù)：

ln3?1.0986,In2?0.6931）（）

A.46.49萬元B.53.56萬元C.64.43萬元D.71.12萬元

【答案】A

3

-0.968+Ax

【分析】先根據(jù)題中數(shù)據(jù)代入計(jì)算函數(shù)尸=/^^（左€1^中參數(shù)左的值，然后計(jì)算還款比例為40%時(shí)的

值即可.

-0.968+80A:

【詳解】由題意知50%=旬…，化簡(jiǎn)得e368+8。*=1,

]+g―u.yoo+oUK

故一0.968+80左=0,得太=0.0121.

-0.968+0.0121%n

則當(dāng)尸=40%時(shí)，40%=e,化簡(jiǎn)得e-°-968+0012U=；,

]+g―u.yoo+u.uizix3

兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，W-0.968+0.012lx=In2-In3~-0.4055,得xa46.49,

故當(dāng)實(shí)際還款比例為40%時(shí)，小微企業(yè)的年收入約為46.49萬元.

故選：A

即時(shí)檢測(cè)

I______________________

1.（2024?湖南益陽?三模）二手汽車價(jià)位受多方因素影響，交易市場(chǎng)常用年限折舊法計(jì)算車價(jià)位，即按照同

款新車裸車價(jià)格，第一年汽車貶值20%,從第二年開始每年貶值10%.剛參加工作的小明打算買一輛約5

年的二手車，價(jià)格不超過8萬元.根據(jù)年限折舊法,設(shè)小明可以考慮的同款新車裸車最高價(jià)位是〃小〃eN）萬,

則m=（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，列出不等式，解之并取近似值，即得加的值.

4

【詳解】依題意，ZM（I-2O%）（I-IO%）<8,解得冽v—=1￡22291

0.8x0.96561

貝ij加415.24,又加EN,則加=15.

故選：C.

2.（2024?廣東茂名?一模）Go%e〃z曲線用于預(yù)測(cè)生長(zhǎng)曲線的回歸預(yù)測(cè)，常見的應(yīng)用有：代謝預(yù)測(cè)，腫瘤生

長(zhǎng)預(yù)測(cè)，有限區(qū)域內(nèi)生物種群數(shù)量預(yù)測(cè)，工業(yè)產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè)等，其公式為：f（x）=k￡（其中左>0/>0,

。為參數(shù)）.某研究員打算利用該函數(shù)模型預(yù)測(cè)公司新產(chǎn)品未來的銷售量增長(zhǎng)情況，發(fā)現(xiàn)〃=e.若工=1表示該

新產(chǎn)品今年的年產(chǎn)量，估計(jì)明年（x=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，那么6的值為（e為自然數(shù)對(duì)數(shù)的底數(shù)）（）

A.B.C.75-1D.V5+1

22

【答案】A

【分析】由。=e,得到/（x）=左?一、，分別代入x=1、x=2,得到〃1）和〃2）的值，進(jìn)而得到=峭3'=e

keb

求解即可.

【詳解】由",得到/（無）=he〃r,

4

.?.當(dāng)X=1時(shí)，f{\}=k-eb'；

當(dāng)x=2時(shí)，〃2）=左e『.

依題意，明年（》=2）的產(chǎn)量將是今年的e倍，得：J=e/-"=e,

keb

■—~=1,即62+6_1=0,解得b=—1-也.

b-b2

,n.>/5—1

■.■b>0,；.b=------

2

故選：A.

3.（2024?四川德陽?三模）如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合.已知某類

果蔬的保鮮時(shí)間M單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：。C）滿足函數(shù)關(guān)系.y^^+h（a,b.為常數(shù)），若該果蔬在

7℃的保鮮時(shí)間為288小時(shí)，在21℃的保鮮時(shí)間為32小時(shí)，且該果蔬所需物流時(shí)間為4天，則物流過程中

果蔬的儲(chǔ)藏溫度（假設(shè)物流過程中恒溫）最高不能超過（）

A.14℃B.15℃C.13℃D.16℃

【答案】A

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型建立方程組，再列出不等式即可求解.

pja+b_^00[[

人+「“,則/"==,即e7"=g顯然°<0,

{e=3293

設(shè)物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度為fC,于是>96=3二21.=e-7Je2^=/也，

解得以+6214Q+Z）,因此才414,

所以物流過程中果蔬的儲(chǔ)藏溫度最高不能超過14℃.

故選：A

考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)模型

甲典例引領(lǐng)

1.（2024?湖南長(zhǎng)沙?三模）地震震級(jí)通常是用來衡量地震釋放能量大小的數(shù)值，里氏震級(jí)最早是由查爾斯?

里克特提出的，其計(jì)算基于地震波的振幅，計(jì)算公式為加=1?-1乜，其中W表示某地地震的里氏震級(jí)，A

表示該地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅，4表示這次地震中的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅.假設(shè)在一次地震中，

某地地震臺(tái)測(cè)振儀記錄的地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,則該地這次地震

的里氏震級(jí)約為（）（參考數(shù)據(jù)：尼2名0.3）

A.6.3級(jí)B.6.4級(jí)C.7.4級(jí)D.7.6級(jí)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，得到M=lg5000-lg0.002,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

【詳解】由題意，某地地震波的最大振幅為5000,且這次地震的標(biāo)準(zhǔn)地震振幅為0.002,

5

可得M=lg5000-lg0.002=1g-1g=4-lg2-（lg2-3）=7-21g226.4.

故選：B.

2.（2024?山東泰安?模擬預(yù)測(cè)）青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常

用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)/和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)「滿足￡=5+lg%.己

知小明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和5.0,記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為

匕匕，則？的值所在區(qū)間是（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，建立方程，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求解即得.

【詳解】依題意，=兩式相減得05=1g匕-1g匕=1g2,

[4.5=5+吆匕匕

解得%=10°'=麗，所以JSe（3,3.5）.

故選：D

3.（2023?全國?高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓

級(jí)4=20xlg上，其中常數(shù)。。（0>0）是聽覺下限閾值，〃是實(shí)際聲壓.下表為不同聲源的聲壓級(jí):

Po

聲源與聲源的距離/m聲壓級(jí)/dB

燃油汽車1060?90

混合動(dòng)力汽車1050?60

電動(dòng)汽車1040

已知在距離燃油汽車、混合動(dòng)力汽車、電動(dòng)汽車10m處測(cè)得實(shí)際聲壓分別為0M2,2,則（）.

A.px>p2B.02>1023

C.23=10°夕0D.px<100/72

【答案】ACD

【分析】根據(jù)題意可知4e[60,90],Zp2e[50,60凡=40,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】由題意可知：4460,90],“<50,60],4=40,

對(duì)于選項(xiàng)A：可得人-JuZOxlgC1■-20x1g--20x1g—,

PoPoPi

因?yàn)閯ty4=20xlg隆0,即lg旦NO,

PlPl

所以包21且R,2>0,可得故A正確;

Pl

6

對(duì)于選項(xiàng)B：可得4rL=20xlg--20x1g—=20xlg—,

PoPoP3

因?yàn)镴-4=4—40210,貝ij20xlg&210,即lg三

23232

所以&?而且P2，P3＞。，可得02次必，

23

當(dāng)且僅當(dāng)42=50時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)镴=20xlg匹=40,即1g匹=2,

PoPo

可得星=100,即p3=100p0,故C正確；

Po

對(duì)于選項(xiàng)D：由選項(xiàng)A可知：Ln-Lp2=20xlg—,

<90-50=40,貝ij20xlg且W40,

即lg&V2,可得且W100,且百也＞0,所以041002，故D正確;

PlP1

故選：ACD.

即時(shí)檢測(cè)

I____________________

1.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）物理學(xué)家本?福特提出的定律：在b進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以"開頭的數(shù)出現(xiàn)的

w-L1

概率為8（〃）=1。&匕，應(yīng)用此定律可以檢測(cè)某些經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)是否存在造假或錯(cuò)誤.根據(jù)此定律,

n

在十進(jìn)制的大量隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以1開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率大約是以9開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率的（）倍（參考

數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477）

A.5.5B.6C.6.5D.7

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別求得/⑴=lg2/°（9）=l-21g3,結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.

ri-L1

【詳解】由題意，以〃開頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為片（〃）=1。&巴巳,

n

可得耳。（1）=lg2,4。（9）=吟=Igl0-lg9=1-21g3,

所以露二言…

故選：C.

2.（2024?江西?二模）核酸檢測(cè)分析是用熒光定量PCR法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號(hào)，對(duì)在PCR擴(kuò)增進(jìn)程

中成指數(shù)級(jí)增加的靶標(biāo)DNA實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)，在PCR擴(kuò)增的指數(shù)時(shí)期，熒光信號(hào)強(qiáng)度達(dá)到閥初始數(shù)值時(shí)，DNA的

7

數(shù)量X"與擴(kuò)增次數(shù)〃滿足lgX“=〃lg(l+p)+lgX。，其中X。為DNA的初始數(shù)量，P為擴(kuò)增效率.已知某被

測(cè)標(biāo)本DNA擴(kuò)增16次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼?0000倍，則擴(kuò)增效率。約為()

(參考數(shù)據(jù)：1O025?1.778,1O-025?0.562)

A.22.2%B.43.8%C.56.2%D.77.8%

【答案】D

【分析】由題意七=10000招，代入關(guān)系式，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系計(jì)算可得.

【詳解】由題意知，lg(lOOOOXo)=161g(l+jp)+l&Yo,

4

即lgl0+lgXo=161g(l+p)+lgX。，即4=161g(1+p),

所以lg(l+p)=；=0.25,則l+p=10°25°i.778,解得2*0.778=77.8%.

故選：D.

3.(2024?四川?模擬預(yù)測(cè))2023年6月22日，由中國幫助印尼修建的雅萬高鐵測(cè)試成功，高鐵實(shí)現(xiàn)時(shí)速350km

自動(dòng)駕駛，不僅速度比普通列車快，而且車內(nèi)噪聲更小.如果用聲強(qiáng)/(單位：W/n?)表示聲音在傳播途

徑中每平方米上的聲能流密度，聲強(qiáng)級(jí)Z(單位：dB)與聲強(qiáng)/的函數(shù)關(guān)系式為C=A)lg(a/),其中,為基

準(zhǔn)聲強(qiáng)級(jí)，。為常數(shù)，當(dāng)聲強(qiáng)/=此時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)Z=20dB.下表為不同列車聲源在距離20m處的聲強(qiáng)級(jí)：

聲源與聲源的距離(單位：m)聲強(qiáng)級(jí)范圍

內(nèi)燃列車20[50,80]

電力列車20[20,50]

高速列車20{10}

設(shè)在離內(nèi)燃列車、電力列車、高速列車20m處測(cè)得的實(shí)際聲強(qiáng)分別為。4，A，則下列結(jié)論正確的是()

A.。=30B./1>/2C./2>10/3D.I,<100/2

【答案】B

【分析】根據(jù)聲強(qiáng)、聲強(qiáng)級(jí)之間的關(guān)系確定基準(zhǔn)聲強(qiáng)級(jí)乙，即可判斷A；計(jì)算右-4可得"A大小關(guān)系，

即可判斷B,D；計(jì)算4可得A/大小關(guān)系，即可判斷.

【詳解】對(duì)于A：因?yàn)槁晱?qiáng)/=3時(shí)，聲強(qiáng)級(jí)￡=20dB,

a

所以/=41g,?—1=20,解得4=20,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：因?yàn)?-&=20[lg(aZ1)-lg(al2)]=201g30,

A

所以721,即4上右，故B正確；

8

對(duì)于c：Z2-￡3=20[lg(a/2)-lg(a/3)]=201g^>20-10=10,

I11

所以即人之京萬人，故C不正確；

對(duì)于D,右-4=20[1g（盟）-1g（嗎）]=201g^<80-20=60,

所以，W103,即《V1000/2,故D不正確.

故選：B.

考點(diǎn)三、建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題

典例引領(lǐng)

1.（全國?高考真題）2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國

航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測(cè)器的通訊

聯(lián)系.為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星"鵲橋"，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日4點(diǎn)的軌道運(yùn)行.4

點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長(zhǎng)線上.設(shè)地球質(zhì)量為月球質(zhì)量為地月距離為R,4點(diǎn)到月

球的距離為心根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，：?滿足方程：

----------J+T=(R+r)T-.

3

(7?+r)2r-R

設(shè)。==，由于a的值很小，因此在近似計(jì)算中;則r的近似值為

【答案】D

【分析】本題在正確理解題意的基礎(chǔ)上，將有關(guān)式子代入給定公式，建立0的方程，解方程、近似計(jì)算.題

目所處位置應(yīng)是“解答題"，但由于題干較長(zhǎng)，易使考生"望而生畏"，注重了閱讀理解、數(shù)學(xué)式子的變形及運(yùn)

算求解能力的考查.

V

【詳解】由a=—,得fR

R

M,M.、M

因?yàn)?----T=(R+')-T~，

〃(K+r)2戶''R3

+旦

所以=(1+

心(1+々)2&2A2

9

2a5+3a4+3tz3

即絲1=?[(l+a)------二]=73a3

(1+a)2—(1+a)2

【點(diǎn)睛】由于本題題干較長(zhǎng)，所以，易錯(cuò)點(diǎn)之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯(cuò)點(diǎn)之二是復(fù)雜式

子的變形出錯(cuò).

2.(2024?陜西商洛■模擬預(yù)測(cè))人工智能(ArtificialIntelligence),英文縮寫為//.它是研究、開發(fā)用于模擬、

延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門新的技術(shù)科學(xué).人工智能研究的一個(gè)主要目標(biāo)是使

機(jī)器能夠勝任一些通常需要人類智能才能完成的復(fù)雜工作.在疫情期間利用機(jī)器人配送、機(jī)器人測(cè)控體溫等

都是人工智能的實(shí)際運(yùn)用.某研究人工智能的新興科技公司第一年年初有資金5000萬元，并將其全部投入生

產(chǎn),到當(dāng)年年底資金增長(zhǎng)了50%,預(yù)計(jì)以后每年資金年增長(zhǎng)率與第一年相同.公司要求企業(yè)從第一年開始，

每年年底各項(xiàng)人員工資、稅務(wù)等支出合計(jì)1500萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn).設(shè)第"年年底企業(yè)

除去各項(xiàng)支出資金后的剩余資金為％萬元，第機(jī)("eN*)年年底企業(yè)的剩余資金超過21000萬元，則整數(shù)，*

的最小值為.(Ig2。0.3010;lg3x0.4771)

【答案】6

a

【分析】由題意中的遞推，得證數(shù)列｛%-3000｝是以3000為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)后解不

等式%>21000即可.

【詳解】由題意得，?[=5000(1+50%)-1500=7500-1500=6000,。用=(1+50%)-1500=-1500.

即°用-3000=：(%-3000),%-30005m7叫二,

2%-3000?！?30002

3n-1

數(shù)列｛a〃-3000｝是以3000為首項(xiàng)，萬為公比的等比數(shù)列，即%-3000=3000x3

=3000x+3000>21000,

lg6Ig2+lg30.3010+0.47710.7781

m-l>log6==?4.42

3^I-lg3-lg2m>6,

20.4771-0.30100.1761

所以加的最小值為6.

故答案為：6.

即時(shí)檢測(cè)

■一

1.(2024?重慶?二模)英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家凱恩斯(1883-1946)研究了國民收入支配與國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展之間的關(guān)系,

10

強(qiáng)調(diào)政府對(duì)市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的干預(yù)，并形成了現(xiàn)代西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)重要學(xué)派一凱恩斯學(xué)派.機(jī)恩斯抽象出三個(gè)核

心要素：國民收入丫，國民消費(fèi)c和國民投資/,假設(shè)國民收入不是用于消費(fèi)就是用于投資，就有：

=q+°y?其中常數(shù)旬表示房租、水電等固定消費(fèi)，“。叫為國民"邊際消費(fèi)傾向".則（）

A.若固定/且/汽），則國民收入越高，"邊際消費(fèi)傾向“越大

B.若固定/且￥加，貝IJ"邊際消費(fèi)傾向"越大，國民投資越高

C.若。=￡，則收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的5倍

D.若。==4，則收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的微1

【答案】AC

【分析】利用已知可得可判斷A；由/=可判斷B；若。=g,可得丫=54+5/，

由導(dǎo)數(shù)的意義可判斷C；同理可判斷D.

[Y^C+I

【詳解】由題意可得固定/且/30,又「上所以1旬+。丫+/,

[C=aQ+ai

所以。=1-4」，由于4,/為定值，所以可得y增大時(shí)（國民收入越高），

。增大（"邊際消費(fèi)傾向”越大），故A正確；

由上可得/=y-y.a-4,為定值，故。增大，/減?。ㄍ顿Y越?。?，故B錯(cuò)誤；

4

若由丫=即+。丫+/,可得y=5〃o+5],

AY

由導(dǎo)數(shù)的定義可得蕓=5,所以可得收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的5倍，故C正確；

A/

同C項(xiàng)討論可得若。二-：4，可得9y=54+5/,因此收入增長(zhǎng)量是投資增長(zhǎng)量的15倍，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.

2.（2024?北京朝陽?二模）假設(shè)某飛行器在空中高速飛行時(shí)所受的阻力/滿足公式f=^pCSv2,其中夕是

空氣密度，S是該飛行器的迎風(fēng)面積，v是該飛行器相對(duì)于空氣的速度，C是空氣阻力系數(shù)（其大小取決

于多種其他因素），反映該飛行器克服阻力做功快慢程度的物理量為功率尸=戶.當(dāng)夕,$不變，v比原來提高

10%時(shí)，下列說法正確的是（）

A.若C不變，則P比原來提高不超過30%

B.若C不變，則P比原來提高超過40%

C.為使尸不變，則C比原來降低不超過30%

D.為使尸不變，則C比原來降低超過40%

【答案】C

【分析】由題意可得?=；1"CS,,c=病20，結(jié)合選項(xiàng)，依次判斷即可.

11

ii2尸

【詳解】由題意，f=~pCSv2,P=Jv,所以PuyCSv"c=-——,

A：當(dāng)P,S,。不變，v比原來提高10%時(shí)，

貝I」4=；pCS（1+10%）3v3=1pC5（l.l）3v3=1.33-|pCSv3,

所以尸比原來提高超過30%,故A錯(cuò)誤；

B：由選項(xiàng)A的分析知，4=1.33:pCS/,

所以尸比原來提高不超過40%,故B錯(cuò)誤；

2P2P2P

C:當(dāng)P，S,尸不變，V比原來提高10%時(shí)，G=H^=云次=075說，

所以C比原來降低不超過30%,故C正確：

D：由選項(xiàng)C的分析知，C比原來降低不超過30%,故D錯(cuò)誤.

故選：C

Ml.好題沖關(guān).

基礎(chǔ)過關(guān)

一、單選題

1.（2024?河南三門峽?模擬預(yù)測(cè)）研究表明，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的

關(guān)系為1郎=4.8+15",2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發(fā)生了里氏5.7級(jí)地震，所釋放的能量

記為￡”2024年1月13日在湯加群島發(fā)生了里氏5.2級(jí)地震，所釋放的能量記為5，則比值與的整數(shù)部分

Ei

為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得3善，進(jìn)而可得與，結(jié)合5’<1000<6,可得結(jié)果.

E2

【詳解】由已知得lg￡[=4.8+1.5x5.7,lgE2=4.8+1.5x52,所以1g善=L5x0.5=0.75,

所以且=10°，5=10]=痂麗，

E2

因?yàn)?,<1000<64,所以5<“1000<6,

所以粵=痂面e（5,6）.

E2

故選：B.

2.（2024?北京昌平?二模）中國茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種

綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從

12

90℃開始，經(jīng)過/min后的溫度為了℃,可選擇函數(shù)>=60x09+20（120）來近似地刻畫茶水溫度隨時(shí)間變化

的規(guī)律，則在上述條件下，該種綠茶茶水達(dá)到最佳飲用口感時(shí)，需要放置的時(shí)間最接近的是（）

（參考數(shù)據(jù)：lg2yo.30,lg3ko.48）

A.2.5minB.4.5minC.6minD.8min

【答案】B

2

【分析】令60x09+20=60,則09=丁兩邊同時(shí)取對(duì)將愴2“0.30,lg3。0.48代入即可得出答案.

【詳解】由題可知，函數(shù)了=60x0.9'+20（拈0）,

2

令60x09+20=60，貝1」0.9'=§,

2Q

兩邊同時(shí)取對(duì)可得：炫09=坨鼠即Hg歷=/（21g3-l）=lg2-lg3,

Ig2-lg30.30-0.480.18

即/=巨———?-----------:4.5min.

21g3-l2x0.48-1004

故選：B.

3.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）若一段河流的蓄水量為v立方米，每天水流量為左立方米，每天往這段河流

排水〃立方米的污水，則;天后河水的污染指數(shù)機(jī)⑺=:+仿。為初始值，/>0）.現(xiàn)有一條被

污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以當(dāng)前的污染指數(shù)為初始值，若從現(xiàn)在開始停止排污水，要

使河水的污染指數(shù)下降到初始值的;，需要的天數(shù)大約是（參考數(shù)據(jù)：山7gl.95）（）

A.98B.105C.117D.130

【答案】C

【分析】由已知化簡(jiǎn)函數(shù)式得加⑴=加°e「高，再利用約/天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的;，可得方

-L111

程機(jī)聲取=1m0,然后兩邊取對(duì)數(shù)得-京f=最后利用已知的對(duì)數(shù)值可計(jì)算得到結(jié)果.

【詳解】由題意可知：r=0,7=60,所以機(jī)⑺=J+」=/e6。'

kk\kJ

設(shè)約，天后，河水的污染指數(shù)下降到初始值的即加盧6。=1外,

所以-Lf=ln」=f=601117*60x1.95=117,

607

故選：C.

4.（2024?四川涼山?三模）工廠廢氣排放前要過濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量了（單位:

mg/L）與過濾時(shí)間1小時(shí)的關(guān)系為y=%e"（為,“均為正的常數(shù)）.已知前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，

那么當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2，0.301,lg3?0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

13

【答案】D

【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)。，即可解出.

a"

［詳解】V廢氣中污染物含量了與過濾時(shí)間t小時(shí)的關(guān)系為y=yoe-,

令/=0,得廢氣中初始污染物含量為＞=%,

又：前5小時(shí)過濾掉了10%污染物，

.?.（1-10%）%=%曉"，則inw_lnT，

Cl——

55

?,?當(dāng)污染物過濾掉50%時(shí)，（1-50%）%=鄧一"，

Inl

In25In251g251g2

則”」=?33h,

10

一QQin,101-21g3

lgy

9

當(dāng)污染物過濾掉50%還需要經(jīng)過33-5=28h.

故選：D.

5.（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）酒駕最新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：100ml血液中酒精含量達(dá)到20mg的駕駛員即為酒后駕車，達(dá)

到80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車.如果某駕駛員酒后血液中酒精濃度為L(zhǎng)2mg/ml,從此刻起停止飲酒，血

液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)25%的速度減少，那么他至少經(jīng)過幾個(gè)小時(shí)才能駕駛？（參考數(shù)據(jù)：

lg2?0.301,lg3-0.477）（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【分析】由題意得到不等式，兩邊取對(duì)數(shù)求出答案.

【詳解】由1.2（1-25%）'＜0.2.即＜1,兩邊取對(duì)數(shù)可得,

lg|

一鹿一

7=32+33~0778=6224

Ig3-lg421g2-lg30.125-'

叼

故至少經(jīng)過7個(gè)小時(shí)才能駕駛.

故選：B

6.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）某農(nóng)業(yè)研究所對(duì)玉米幼穗的葉齡指數(shù)R與可見葉片數(shù)x進(jìn)行分析研究，其關(guān)系可

以用函數(shù)R=15e1K（。為常數(shù)）表示.若玉米幼穗在伸長(zhǎng)期可見葉片為7片，葉齡指數(shù)為30,則當(dāng)玉米幼

穗在四分體形成期葉齡指數(shù)為82.5時(shí)，可見葉片數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：歷2。0.7,ln5.5al.7）

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】利用函數(shù)R=15e%由題意已知x=7,R=30,求出待定系數(shù)再用火=82.5,去求解了。17,

當(dāng)然這里面有取自然對(duì)數(shù)及取值計(jì)算.

【詳解】由題意知30=15e7",;」7。=2,則等式兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)得7a=In2ko.7,.?.”0.1,

14

:.R=l5e01x.-.-82.5=15e01x,e01x=5.5,，O.lx=ln5.5a1.7,.".x?17,

故選：C.

7.（2024?全國?模擬預(yù)測(cè)）青少年視力問題是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量，通常用五

分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)上和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)/滿足工=5+lgK.已知小

明和小李視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)分別為4.5和4.9,記小明和小李視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)分別為匕匕，

則上（）

A.（1.5,2）B.（2,2.5）C.（2.5,3）D.（3,3.5）

【答案】C

【分析】根據(jù)題意得到方程組，求出冷河，根據(jù)25。98<100<35=243得到麗武2.5,3）.

【詳解】依題意，［?二：+的，兩式相減可得，04=1g匕-1g匕=1g1,

故去=10"=痂M而25笈98<100<35=243,故此前e（2.5,3）.

故選：C.

8.（2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè)）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對(duì)地震有所了解，

例如，地震時(shí)釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)M之間的關(guān)系為lgE=4.8+1.5M.2OO8年5月12

日我國汶川發(fā)生里氏8.0級(jí)地震，它所釋放出來的能量是2024年4月3日我國臺(tái)灣發(fā)生里氏7.0級(jí)地震的

（）倍

A.1B.需C.IO15D.1048

【答案】C

【分析】由題意分別求得震級(jí)"=8.0和M=7.0時(shí)的釋放的能量，進(jìn)而求得兩次地震釋放的能量比.

【詳解】設(shè)里氏震級(jí)"=8.0時(shí)釋放的能量為片，里氏震級(jí)M=7.0時(shí)釋放的能量為其，

則lg&=4.8+1.5x8=16.8,lg￡2=4.8+1.5x7=15.3,

153

所以片=10整8,￡2=10,

所以絲=1（）38-15.3=101.5,

E1

即2008年5月12日汶川地震釋放出的能量是2024年4月3日我國臺(tái)灣發(fā)生的地震釋放的能量的102倍，

故選：C.

9.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）從甲地到乙地的距離約為240km,經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車每小時(shí)耗油量。

（單位：L）與速度V（單位：km/h）（0<v<120）的下列數(shù)據(jù)：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

為描述汽車每小時(shí)耗油量與速度的關(guān)系，則下列四個(gè)函數(shù)模型中，最符合實(shí)際情況的函數(shù)模型是（）

15

A.0=0.5"+〃B.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=klogav+b

【答案】C

【分析】作出散點(diǎn)圖，根據(jù)單調(diào)性和定義域即可得解.

【詳解】作出散點(diǎn)圖，由圖可知函數(shù)模型滿足：第一，定義域?yàn)椋?,120］；第二，在定義域單調(diào)遞增且單位

增長(zhǎng)率變快；第三，函數(shù)圖象過原點(diǎn).

A選項(xiàng)：函數(shù)。=05+。在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：函數(shù)0=av+6的單位增長(zhǎng)率恒定不變，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)：Q=aM+6/+cv滿足上述三點(diǎn)，故C正確；

D選項(xiàng)：函數(shù)。=8ogaV+6在v=0處無意義，D錯(cuò)誤.

故選：C

/A

4_

。_

6_

2_

_

o

2_

~O20406080100120140160*

10.（2024?寧夏銀川?一模）鋰電池在存放過程中會(huì)發(fā)生自放電現(xiàn)象，其電容量損失量隨時(shí)間的變化規(guī)律為

Q=ktp,其中。（單位mAh）為電池容量損失量，〃是時(shí)間f的指數(shù)項(xiàng)，反映了時(shí)間趨勢(shì)由反應(yīng)級(jí)數(shù)決定,

后是方程剩余項(xiàng)未知參數(shù)的組合，與溫度T和電池初始荷電狀態(tài)M等自放電影響因素有關(guān).以某種品牌鋰

電池為研究對(duì)象，經(jīng)實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得。=0.5,相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)尺2>0.995,且預(yù)測(cè)值與實(shí)際值

誤差很小.在研究M對(duì)0的影響時(shí)，其他參量可通過控制視為常數(shù)，電池自放電容量損失量隨時(shí)間的變化

規(guī)律為左/=e（-）〃，經(jīng)實(shí)驗(yàn)采集數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后獲得/=2.228,8=1.3,相關(guān)統(tǒng)計(jì)學(xué)參數(shù)尺？=0.999，

且預(yù)測(cè)值與實(shí)際值誤差很小.若該品牌電池初始荷電狀態(tài)為80%,存放16天后，電容量損失量約為（）

（參考數(shù)據(jù)為：e3-22*25.08,e3-232?25.33,e3-265?26.26,e3-628?37.64）

A.100.32B.101.32C.105.04D.150.56

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，得到。=e0228+L3M）/5,將M=80%=0.8,f=16,結(jié)合