河北省保定市定州市2024-2025學(xué)年高二年級上冊11月期中數(shù)學(xué)試題（含解析）

河北省保定市定州市2024-2025學(xué)年高

二上學(xué)期H月期中考試

高二年級期中考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛管把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題（共8題，每題5分）

1.直線x+〉+l=°的傾斜角是（）

3萬

D.—

4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.

3

【詳解】由題x+y+l=0的斜率左=一1,故傾斜角a的正切值為-1,又a故a=［乃

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線斜率為直線傾斜角的正切值，屬于基礎(chǔ)題型.

22

2.已知方程^—+二=1表示焦點(diǎn)在V軸上的橢圓，則加的取值范圍是（）

2—mm

A.（0,2）B.（0,1）C.（1,2）D.（2,+s）

【答案】C

【解析】

【分析】利用橢圓焦點(diǎn)在N軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，得到關(guān)于機(jī)的不等式組，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)榉匠躺?匕=1表示焦點(diǎn)在N軸上的橢圓，

2—mm

2—m>0

所以〈加〉0,解得1<加<2.

m>2—m

故選：c.

3.在四面體。48c中，記說=1,OB=b^OC^c，若點(diǎn)M、N分別為棱CM、2C的中點(diǎn)，則疝=

()

A.-a+-b+-cB.--a+-b+-c

222222

C.-a--b+-cD.-a+-b--c

222222

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可求得答案.

------------II----?I—I—I—

【詳解】由題意得：MN=ON—OM=—(OB+OC)——OA=——a+-b+-c,

22222

故選：B.

4.若直線分-^+1=0與以Z（-2,-1）,8（1,-3）為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)（含端點(diǎn)），則。的取值范圍為

()

A.[T4]B.

C.D.-oo,-l]o[4,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】求出過定點(diǎn)（）畫出圖形,

ax-y+l=O￡0,1,求出的E=l,kBE=-4,數(shù)形結(jié)合得到aVaE

或Q2kAE,即。W-4或?！?.

【詳解】ax—y+l=0=>y=方+1經(jīng)過定點(diǎn)￡（0,1）,斜率為。，畫出圖形，如下:

其中左九=百1=1'旗萬=-4,

直線以一>+1=0與以8（1,-3）為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)（含端點(diǎn)）,

則aV左BE或。2左/E，即Q<—4或a21.

5.已知直線/的一個方向向量是5=(-1,2,1),平面”的一個法向量是元=(1,1,-1),貝”與a的位置關(guān)系

是()

A./±?B.Illa

C./與a相交但不垂直D.///a或/ua

【答案】D

【解析】

【分析】利用直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積結(jié)果即可判斷得解.

【詳解】因?yàn)槿f=(—1,2,1),?=(1,1-1),

所以晨為=(-1)x1+2x1+lx(—1)=0,則力幾

又1是直線/的一個方向向量，乃是平面a的一個法向量，

所以///a或/(Za.

故選：D.

6.若直線/與圓C/Y+V—4歹+3=0相切，且點(diǎn)(3,-2)到直線/的距離為3,則這樣的直線的條數(shù)為

()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，分類討論直線/的斜率不存在與存在兩種情況，利用直線與圓相切的性質(zhì)與點(diǎn)線距離公

式得到關(guān)于左涉的方程組，進(jìn)而分析得其解的個數(shù)即可得解.

【詳解】圓4y+3=0可化為f+Q；—2)2=1,圓心為(0,2),半徑為1,

因?yàn)橹本€/與圓6：/+/—4y+3=0相切，

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，則直線/的方程為X=-1或X=1,

當(dāng)直線/的方程為x=-1時(shí)，點(diǎn)（3,-2）到直線/的距離為4,不滿足題意;

當(dāng)直線/的方程為x=l時(shí)，點(diǎn)（3,-2）到直線/的距離為2,不滿足題意；

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為歹=丘+6,即Ax-y+6=0,

即（3左+2+92=9（-2+?2,解得6=1—1或辦=5+4,

當(dāng)6=1—迎時(shí)，有1—2+1—迎］=r+1,解得左=?；蜃?*；

4I4；7

當(dāng)6=羨+4時(shí)，有［一2+羨+4］=公+1,整理得5左2+24左+12=0，

24

此時(shí)A=242—4X5X12〉0，即方程有兩個解，且不為左=0或左=斤；

綜上，左的取值有四種情況，對應(yīng)的6也有四種取值，所以滿足條件的直線一共有四條.

故選：A.

7.己知圓C過點(diǎn)幺（3,2）,5（0,-1）,設(shè)圓心C（a,A）,則/+〃的最小值為（）

A.72B.2C.2A/2D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意由半徑相等，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式得到a+6=2,再利用基本不等式即可得解.

【詳解】根據(jù)題意，得|。|=儂,又4（3,2）,5（0,-1）,C（a,b）,

所以（a—3y+（6—2『="+僅+1）2,化簡得a+6=2,

故2（/+52）之/+/+2仍=（a+b）2=4,則/+〃22，

當(dāng)且僅當(dāng)a=6=1時(shí)，等號成立，

所以片+〃的最小值為2.

故選：B.

8.已知橢圓二+』=l（a〉b〉O）的左、右焦點(diǎn)分別片，F(xiàn)2,拉是橢圓上一點(diǎn)，直線〃耳與歹軸負(fù)半

ab

軸交于點(diǎn)N,若西?麗=0,且|〃乙|：|叫|=2:3,則橢圓的離心率為（）

A.—B.-C.—D.—

3256

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意設(shè)居|=2相，從而得到所需線段關(guān)于機(jī)的表示，再利用勾股定理與余弦定理依次求得

見。關(guān)于根的表示，進(jìn)而得解.

【詳解】因?yàn)閨九里|：[N^|=2:3,不妨設(shè)|人里|=2機(jī)（機(jī)＞0）,貝!||A7^]=3根，

由橢圓的定義與對稱性可得|町|=2口一2機(jī)，|g|=|N居|=3加，|〃M=57%,

因?yàn)辂?諉=0,所以|力有『+|照『=|跖寸，

則（2a-2m）~+（3機(jī)）-=（5m）",解得a=3m,

,,\MF.\4

則|兒陰=4m,故cos/F[MF,=r--r=-,

11\MN\5

則在/印華中，由陽閭2。上閭2+1上碼2一21孫cosN邛叫，

得4c②=16m2+4m2-2x4mx2mx—,解得°=機(jī),

55

所以橢圓的離心率為￡=立

a5

故選：C.

二、多項(xiàng)選擇題（共3題，每題6分）

9.已知《，鳥分別是橢圓?=1的左、右焦點(diǎn)，尸為橢圓C上異于長軸端點(diǎn)的動點(diǎn)，則下列結(jié)

論正確的是（）

A.橢圓C的焦距為6B.△尸片片的周長為10

4

C.橢圓C的離心率為1D.△/>￡與面積的最大值為2石

【答案】BD

【解析】

【分析】利用橢圓方程得到。，4c，利用橢圓的定義與性質(zhì)，逐一分析判斷各選項(xiàng)即可得解.

【詳解】對于A,因?yàn)闄E圓。：工+二=1,所以a=3,b=J?,c=2,

95

所以橢圓C的焦距為2c=4,故A錯誤；

對于B,由橢圓的定義可知?dú)w周+|P國=2。=6,

所以“>￡8的周長為|尸國+|尸月|+山用=6+4=10,故B正確；

c2

對于C,橢圓C的離心率為一=；,故C錯誤；

a3

對于D,當(dāng)點(diǎn)尸為橢圓的短軸的一個端點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P到x軸的距離最大，

此時(shí)△對片面積取得最大值，為曰用訃6=:義4義君=26，故D正確.

故選：BD.

10.在三棱錐尸-Z8C中，為邊長為2的正三角形，AB=2,ZBAC=90°,設(shè)二面角

p—/C—B的大小為a,APAB=（3,G為△尸8c的重心，則下列說法正確的是（）

P

A.若a=30。，則尸8=&B.若尸8=JI4，則a=150°

4

仁若&=90°,則依與ZC所成的角為60。D.若4=90。，則4G=§

【答案】ABD

【解析】

【分析】取ZC中點(diǎn)。，過。作。W7/N8且（W=N8=2,連接ORMB,則〃e平面N8C取

OA-OP，而為基底向量，則根據(jù)題意知了〉麗=0，囪.而=0.對于A項(xiàng)，根據(jù)a=30°,得

OMOP=3^用基底向量表示方，再求模長即可；對于B項(xiàng)，根據(jù)模長公式建立等式，可得

OPOM=~3＞再用向量的數(shù)量積公式求夾角即可；對于C項(xiàng)，若a=90°,則西.9=0,分別用

基底向量表示麗，~AC，并求模長，再利用向量法求異面直線的夾角即可；對于D項(xiàng)，若，=90。，則

根據(jù)已知條件可證48,平面P/C,從而平面P4C,建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)

的坐標(biāo)，利用三角形重心公式求得G的坐標(biāo)，再求模長即可.

【詳解】如圖，取ZC中點(diǎn)0,過。作0M7/28且（W=Z8=2,連接ORMB,則"e平面

ABC.

因?yàn)椤鱌4C為正三角形，所以。尸，NC,。尸=百，

因?yàn)镹5ZC=90°,所以比4LZC,所以O(shè)M_LNC,

所以二面角尸—ZC—8的平面角為/RW,則ZPOM=a.

以萬，OP，麗為基底向量，則=OAOM=Q-

對于A項(xiàng)，若。=30。，即NP（W=30°,所以而?麗=2x百xcos/P（W=3.

因?yàn)辂?麗+刀+方=—赤+厲+的，

所以廊卜，歷+OA+OM^=\loP~+OA+OM2-2OPOA-2dPOM+2OA^=0,故A

正確；

對于B項(xiàng)，由A知網(wǎng)=）赤+而+而L2而?一2而.而+2次.西=取,

所以3+1+4—2麗?西=14，所以而?而=—3,

所以g\2xcostz=-3，解得cosa--,所以a=150°,故B正確;

對于C項(xiàng)，若a=90°,即NP（W=90°,所以的.而=0.

由A知麗=—無+厲+而，又正=—2萬，

所以方?k=卜而+E+的）（—2厲）=2而?力—2次之―？麗.厲=—2,

^\=y]op2+OA+OM2-2OPOA-2OPOM+2OAOM=242，|^c|=2,

,__..甌/J?

設(shè)PB與4C所成的角為6,則|cos0\=|cosPB,AC\=扃鬲=亍，

所以必與ZC所成的角不是60°,故C錯誤；

對于D項(xiàng)，若4=90。，即/尸48=90°,所以48，尸2,

又AB上AC,PAC\AC=A,PA,ZCu平面R4C,所以45J_平面P/C,

又OMI/AB,所以（W,平面PNC,則04OM,。尸三線兩兩垂直，建立如圖坐標(biāo)系.

則幺（0,—1,0）,P（0,0,V3）,5（2,-1,0）,C（0,l,0）,則根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式得G，,0,

24

所以NG=+1*23+--故D正確.

3

故選：ABD.

11.已知曲線C:x2+y2，,—2x=0（^eN*）,則下列說法正確的是（）

A.0<x<2

B.曲線C關(guān)于直線x=l對稱

C.曲線C圍成的封閉圖形的面積不大于兀

D.曲線C圍成的封閉圖形的面積隨機(jī)的增大而增大

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用曲線的方程得到關(guān)于X的不等式可判斷A；利用點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)判斷得曲線的對稱性，從

而判斷B；分析曲線C:V+—2x=0與曲線c：+/m+1）-2x=0上的兩個橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐

標(biāo)大小關(guān)系，從而得到曲線C圍成的封閉圖形的面積情況，從而判斷CD.

【詳解】對于A,因?yàn)榍€。：必+/加—2x=0（機(jī)eN*）,

所以>2"，=2x—/之0,解得ovxw2,故A正確；

對于B,因?yàn)榍€。：必+/山-2x=0（機(jī)eN*）,可化為（x—1）2+佇=1,

設(shè)點(diǎn)（。⑼是曲線C上任一點(diǎn)，則其關(guān)于x=l對稱的點(diǎn)為（2-a,b）,

將（2-a,b）代入曲線C方程,得償-"1）2+產(chǎn)=（"1）2+*=],

所以曲線C關(guān)于直線x=l對稱，故B正確；

對于CD,因?yàn)椋▁—lp+j?"，=i,所以歹則同<1,

設(shè)點(diǎn)（a,b）是曲線C：/+/加一2%=o上任一點(diǎn),則同41,

點(diǎn)（a/）是曲線C:3+,（加+i）—2x=0上的一點(diǎn),則巾41,

則（a—1）2+人2"=1,（。―1）2+產(chǎn)（,”+1）=],故/"，=產(chǎn)（帆+1）,

易知當(dāng)0<“<1時(shí)，y=>『在其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，

所以斤（小〈卜廣（當(dāng)且僅當(dāng)卜|=1或H=o時(shí)，等號成立），故時(shí)"=斤（"，旬廣，

又y=x2m（機(jī)eN*）在[0,+“）上單調(diào)遞增，所以問<,

故當(dāng)機(jī)增大時(shí)，橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對值會大于或等于原來的，

又曲線。圍成的圖形為封閉圖形，所以該圖形會比原來的大，

即曲線。圍成的封閉圖形的面積隨機(jī)的增大而增大，故D正確，

又當(dāng)機(jī)=1時(shí)，曲線C為（x—l『+y2=i,即其圖形是半徑為1的圓，

此時(shí)其面積為nxE=兀，則曲線C圍成的封閉圖形的面積不小于兀，故C錯誤.

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題CD選項(xiàng)解決的關(guān)鍵在于，分析得兩曲線。：/+>2加—2x=0與

。：/+/（旭旬—2x=0上的點(diǎn)的情況，從而得到其圍成的封閉圖形的面積情況，由此得解.

三、填空題(共3題，每題5分)

12.若圓C:(x—2)2+(y+3)2=4上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ox+y-1=0對稱，則。的值為

【答案】2

【解析】

【分析】由題意可得圓心。(2,-3)在直線ax+y-1=0上，從而列式得解.

【詳解】圓C:(x—2)2+(了+3)2=4的圓心為C(2,—3)圓心，半徑為2,

圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線分+>-1=0對稱，則圓心在直線上，

所以2。一3—1=0,解得a=2.

故答案為：2.

13.已知點(diǎn)幺(0,1,1),5(0,0,1),則點(diǎn)A到直線5c的距離是.

【答案】立##2直

33

【解析】

【分析】利用空間向量中點(diǎn)到線的距離公式，結(jié)合向量數(shù)量積與模的坐標(biāo)表示即可得解.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)幺(0,1,1),5(0,0,1),C(l,l,0),

所以罰=(0,—1,0),=

則福反^=-1，網(wǎng)=1,網(wǎng)=百，

所以點(diǎn)A到直線BC的距離是d=J可—(網(wǎng)cos(彳瓦5C))2

故答案為：逅

3

2

14.過橢圓。+/=1上一點(diǎn)尸作圓—3)2=1的兩條切線，切點(diǎn)為A,B,當(dāng)|幺4?|尸。最大

時(shí)，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為.

【答案】—工##—0.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線長定理、結(jié)合四邊形及三角形面積轉(zhuǎn)化為求|尸。|最大值問題.

【詳解】圓—3)2=1的圓心C(0,3),半徑外=1,

由尸4尸。切圓C于點(diǎn)48知，PCLAB,則|尸C|=/Ac=|尸H|/C|=J尸C『_i,

因此|4§卜|尸。|最大，當(dāng)且僅當(dāng)|PC|最大，設(shè)尸(%,%),x；=7—7y；,

2

則|尸C|=Jx；+(%-3)2=J-6y；-6%+16=yJ-6(y0+—)+,

當(dāng)且僅當(dāng)為=-；時(shí)取等號，所以點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)為-工.

四、解答題(共5題，共77分)

15.已知直線/:2x—y+2=0,圓C：(x—3)2+/=5.

(1)求與直線/平行且與圓C相切的直線方程；

(2)設(shè)直線/1，/,且4與圓C相交于A,8兩點(diǎn)，若以同=生磬，求直線4的方程.

【答案】(1)2x-y—l=0或2x-y—ll=0；

(2)x+2y—2—0X+2y—4=0

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意假設(shè)所求直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求得。，從而得解；

(2)根據(jù)題意假設(shè)直線4的方程，利用圓的弦長公式求得圓心到直線4的距離，進(jìn)而利用點(diǎn)線距離公式列

式即可得解.

【小問1詳解】

依題意，設(shè)所求直線方程為2x--v+c=0,

因?yàn)樗笾本€與圓。：(1—3)2+)?=5相切，且圓心為(3,0),半徑為逐，

I2x3—0+cI/T

--——忑——'=V5,解得c=—1或c=—11,

??.所求直線方程為—y-1=0或—y-11=0：

【小問2詳解】

依題意，設(shè)直線4的方程為x+2y+加=0,

因?yàn)橹本€4與圓C相交于43兩點(diǎn)，|幺5|=生g°，

二圓心(3,0)到直線4的距離為『2詈=手，

二日二"=好，解得機(jī)=—2或加=—4,

5

直線I］的方程為x+2y—2=0或x+2y—4=0.

22

16.設(shè)橢圓。：二+與=1(?！?〉0),用，耳分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，A是。上一點(diǎn)，且/月與

ab

x軸垂直，直線/巴與。的另一個交點(diǎn)為人

3兀

(1)若直線4B的傾斜角為——，求橢圓C的離心率；

4

(2)若直線4B在N軸上的截距為1,且［48|=3|6可，求a,b.

【答案】(1)V2-1

(2)a=—,=y/~5

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)條件求出A的坐標(biāo)，利用直線4B的的傾斜角，建立關(guān)于。的齊次方程，解之即可得

解；

(2)根據(jù)題意，結(jié)合線段的數(shù)量關(guān)系求得8的坐標(biāo)，代入橢圓方程，解之即可得解.

【小問1詳解】

22

依題意，設(shè)橢圓C:二+二=1伍〉6〉0）的半焦距為c,

ab

則片（一c,0）,月（c,0）,則由題意可知，點(diǎn)A在第二象限，設(shè)4（—c,〃）（〃>0）,

2222-27Z1

將N（—c,〃）代入1+%=1,得三+%=1,解得〃=——，則/—C,——

aIQJ

3兀

因?yàn)橹本€48的傾斜角為——，

4

所以幻&=4分=—1,則￡a_0_1，貝!

——1

-c-c

所以/一°2=2〃°,即/+2ac-q2=0，貝【J+2.9—1=0,

a

即e?+2e—1=0,解得6=夜-1或6=-夜-1（舍去），

所以橢圓C的離心率為V2-1.

【小問2詳解】

記直線4B與N軸的交點(diǎn)為。（0,1）,

易知。。//幺耳，且|幺公|=2|。0=2,故/=2,

a

則b?=2a,c2—d1—b2=d2—2Q，

因?yàn)閨”|=3因同，所以M閶=2內(nèi)4,則=

即8（c,o）是。（0,1）與8的中點(diǎn)，所以5（2c,—1）,

將5（2c「1）代入橢圓方程，得與+，

=1,

所以----+_J__1,解得a=—,故/=2a=5，即6=V5，

a12a2

所以a=5，b=.

17.如圖，在正方體48CD—45]G2中，E,E分別為4B,8c的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱上，且

AG=-GAl.

(1)證明：D-G,E,F四點(diǎn)共面.

(2)設(shè)平面RGEE與棱CG的交點(diǎn)為求2〃與平面248G所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用共面向量定理，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算推理得證.

(2)結(jié)合(1)的信息，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)及平面。/5G法向量，利用線面角的向量求法求解.

【小問1詳解】

在正方體4BCD-451GA中，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

令A(yù)B=6,則9(0,0,6),E63,0),尸(3,6,0),G(6,0,2),

則EF=(-3,3,0),EG=(0,-3,2),函=(-6,-3,6),

于是2而+3EG=(-6,6,0)+(0,-9,6)=(-6,-3,6)=函，即向量EF,前，西共面,

又向量而，灰^國有公共點(diǎn)E,所以。-G,E,尸四點(diǎn)共面.

【小問2詳解】

設(shè)女(0,6,7),則麗=(0,6,1—6),由點(diǎn)Ac平面。GEE,

0=-32

得麗=4而+〃B，即(0,6,7—6)=(—34340)+(0,—3〃,2〃)，則<6=34—3〃，

/—6=2〃

解得4=0,〃=—2,/=2,即H(0,6,2),麗=(0,6,—4),

而A(6,0,0),5(6,6,0),則西=(-6,0,6),AB=(0,6,0),

.---?

一n-AD}=-6x+6z=0一

設(shè)平面248G的法向量”=a,y,z)，貝U__，令x=l,得〃=(1,0,1),

\n-AB=6y=0

4_V26

令D[H與平面DiABCi所成的角為。，則sin。=|cos@,型〉|=/,吧|

|〃||卬力V2-2V13-13

所以與平面24BG所成角的正弦值為叵.

13

18.球面距離在地理學(xué)、導(dǎo)航系統(tǒng)、信息技術(shù)等多個領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用.球面距離的定義：球面上兩點(diǎn)之

間的最短連線的長度，即經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓(經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓)在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的

長度.這個弧長就被稱作兩點(diǎn)的球面距離.

圖1圖2

(1)在正四棱柱4SCD—451GA(底面為正方形的直棱柱)中，AB=1,44]=血，求頂點(diǎn)A,B

在該正四棱柱外接球上的球面距離.

(2)如圖1,在直角梯形4BCO中，BC//AD,ZBCD=90°，BC=~AD=1,DC=43-現(xiàn)將

2

△46。沿邊RD折起到P,如圖2,使得點(diǎn)P在底面BCD的射影”在CD上.

①求點(diǎn)P到底面BCD的距離；

②設(shè)棱錐尸-8C。的外接球?yàn)榍?。，求尸，C兩點(diǎn)在球。上的球面距離.

07r\477r1

參考數(shù)據(jù)：cos—^=-,cos---

100310011

TT

【答案】(1)-；

3

(2)；②53厄三

3400

【解析】

【分析】(1)求出線段AB所對的正四棱柱48CD-451GA外接球截面大圓的圓心角，再求出弧長.

(2)①根據(jù)給定條件可得8C,平面尸⑺，再在直角三角形中求出？耳；②利用球的截面性質(zhì)確定球心,

求出球半徑，進(jìn)而求出球面距離.

【小問1詳解】

222

正四棱柱ABCD—451GA的外接球直徑ACX=71+1+(V2)=2，球半徑R'=l，

TTTT

因此球心與點(diǎn)45構(gòu)成正三角形，弦4g所對球過45的大圓圓心角為一，弧長為一，

33

7T

所以頂點(diǎn)A,8在該正四棱柱外接球上的球面距離為一.

3

【小問2詳解】

①在直角梯形Z5CD中，BCIIAD,NBCD=90°，BC=-AD=1,DC=M，

2

BD=712+(V3)2=2=AD，NADB=900-NBDC=60°-則△NAD為正三角形，

在棱錐尸—BCD中，尸”上平面BCD,而8Cu平面8cZ),則8CL尸

又BC人CD,PHCCD=H,PH,CDu平面PCD,則5CJ_平面PCD,

而尸Cu平面PCD,因此尸CJ_BC,pc=-JPB2-BC2=V3，

]PD/yn%

在△尸C￡>中，cosNPDH=2一=—'sinNPDH=『PH=PDsinZPDH=

~CD~y/3733

所以點(diǎn)尸到底面8C。的距離為也.

3

②取RD中點(diǎn)。1，則a為△5C￡)外接圓圓心，令正PAD的外接圓圓心為。2,

連接BOQHQOIQOZQB,則O1Q=；尸a=g,。。2，平面也。，。。1，平面88,

PH2V2

于是?！?/p>

0]PH,cosNOOR=sinNPO[H=—亍

在RtA。。。,中，。0]=—也—=—,因此棱錐P—BCD的外接球半徑R,

cos/。。。4

有R2=0B?=0^+0^=—,球。的弦PC所對大圓的圓心角為NCOP,

8

cosZCOP=-------------=-^――=----,即ZCOP是鈍角，而cos--=一,

2R~H1110011

~4

則ZCOP=71--=—,ZCOP在大圓中所對劣弧長為包ER=53卮^,

100100100400

所以P,C兩點(diǎn)在球。上的球面距離為羽亙.

400

19.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，幺（2,0）,5（0,G）,C（2,V3）,。（0,一⑹，點(diǎn)尸在線段

。2上，點(diǎn)。在線段ZC上，且"=絲=/,設(shè)直線3Q與DP交于點(diǎn)

04CA

（1）證明：當(dāng)/變化時(shí)，點(diǎn)〃始終在某個橢圓少上運(yùn)動，并求出橢圓用的方程.

（2）過點(diǎn)￡（4,0）作直線與橢圓少交于S,T不同的兩點(diǎn)，再過點(diǎn)尸（1,0）作直線ST的平行線與橢圓少交

于G,〃不同的兩點(diǎn).

\ES'ET\

①證明：\FG'FH\為定值.

②求AEGH面積的取值范圍.

22

【答案】（1）土+2=1

43

（2）①證明見解析；②（0,2g）

【解析】

【分析】（1）求出直線3。與DP的方程，消去參數(shù)/即可得到橢圓平的方程;

x=my+4x-my+\

⑵①分別聯(lián)立方程_與02了2_，借助韋達(dá)定理，表示出怛5口￡7|與進(jìn)

---+--=1F-—?=1

I43I43

一步求解即可；

②將yEGH轉(zhuǎn)化為，EFG+S，EFH，再借助韋達(dá)定理，可轉(zhuǎn)化為機(jī)的函數(shù)，根據(jù)機(jī)的范圍求函數(shù)值域即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)點(diǎn)。（xj）,依題意可知麗=兄訝，即（x-2,y—百）=/（0,—百），

所以《

同理可得尸（27,0）.