構(gòu)造等腰三角形-初中數(shù)學常見的模型方法

構(gòu)造等腰三角形

模型一：角平分線+平行線

【例題1】

1.如圖，△ABC中，NABC與NACB的平分線交于點R過點F作DE//BC交AB

于點。，交AC于點E,那么下列結(jié)論：①△BD/和△CM都是等腰三角形；

②DE=BD+CE；③△AOE的周長等于AB與AC的和；@BF>CF；⑤若NA=

80°,則NB5C=130。.其中正確的有一.（填正確的序號）

【答案】①②③⑤

【解析】

【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關系即可求

解.

【詳解】①：BF是NABC的角平分線，CF是NACB的角平分線，

ZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

VDE/7BC,

.\ZCBF=ZBFD,ZBCF=ZEFC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

.".ZABF=ZBFD,ZACF=ZEFC,

，DB=DF,EF=EC,

...ABDF和ACEF都是等腰三角形，

???①選項正確，符合題意；

②?；DE=DF+FE,DB=DF,EF=EC,

/.DE=DB+CE,

.二②選項正確，符合題意；

③MADE的周長為=人口+口￡,

VDE=DB+CE,

/.AADE的周長為=人口+口8+人￡+?￡=人8+人（2,

1

...③選項正確，符合題意；

④根據(jù)題意不能得出BF>CF,

...④選項不正確，不符合題意；

⑤?..若NA=80。，

.,.ZABC+ZACB=180o-ZA=180o-80o=100°,

VZABF=ZCBF,ZACF=ZBCF,

Z.ZCBF+ZBCF=—xl00。=50。，

2

工ZBFC=180°-ZCBF-ZBCF=180°-50°=130°,

⑤選項正確，符合題意；

故答案為：①②③⑤.

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利

用了兩直線平行，內(nèi)錯角相等，及等角對等邊來判定等腰三角形的；等量代換的利

用是解答本題的關鍵.

變式1

2.如圖，在△ABC中，NABC和NACB的平分線交于點E,過點E作“交

A8于交AC于N,若△ABC、周長分別為13cm和8cm.

（1）求證：為等腰三角形；

（2）線段BC的長.

【答案】（1）詳見解析；（2）5cm

【解析】

【分析】（1）由BE平分NABC,得ZMBE=NEBC,再由MN〃BC得NMEB=NEBC,

所以/MBE=NMEB,由等角對等邊可得MB=ME；

（2）同理可證NE=NC,AABC的周長為AB+AC+BC,通過等量代換可得

△AMN的周長為AB+AC,兩者之差即為BC的長.

【詳解】解：（1）：BE平分NABC

二NMBE=NEBC,

2

VMN^BC

/.NMEB=NEBC

AZMBE=ZMEB,

AMB=ME

為等腰三角形

(2)同理可證NE=NC,

???AAMN的周長=AM+ME+EN+AN=(AM+MB)+(NC+AN尸AB+AC=8cm

又〈△ABC的周長=AB+AC+BC=13cm

/.BC=13-8=5cm

【點睛】本題主要考查等腰三角形的證明，熟練運用角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)

推出角相等是本題的關鍵.

模型二：角平分線+垂線

【例題2】

3.如圖，AB=AC,N1=N2.AE_LCO交于凡交BC于點E,求證：AB=CE.

【答案】見詳解

【解析】

【分析】先證明AFCgAEFC,進而即可得到結(jié)論.

【詳解】證明：在\甌和AEFC中，

21=Z2

\cF=CF,

ZAFC=NEFC

：.AAFC以AEFC,

.*.AC=EC,

VAS=AC,

；.AB=CE.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握AS4證明三角形全等，是

解題的關鍵.

3

變式1

4.已知：如圖，在AABC中，ZBAC=9Q°,AB^AC,8。平分/ABC,交AC于

D,AE±BD^-F,交BC于E.求證：

(1)AB=BE；

(2)ZCAE=yZABC；

(3)AD=CE；

(4)CD+CE^AB.

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)見詳解；(4)見詳解

【解析】

【分析】(1)3。平分NABC,AE±BD,BF為公共邊,可證得△ABb之△班/，可

證得結(jié)論；

(2)ZBAC=90°可得NC4E+N3A尸=90°,而乙BA/+NA8廣=90°,所以

NCAE=；NABC；

(3)連接OE,則可證得所以AO=DE,且NDEC=90°,AB=

AC,所以NC=45°,所以CE=OE,所以可得AD=CE；

(4)由(3)可得AO=CE,所以CD+AD=CD+CE=AC=AB.

【詳解】證明：(1):臺。平分/ABC,AELBD,

：.ZABF=ZEBF,NAFB=NEFB=90°,

在△ABE和△EBb中，

ZABF=NEBF

<BF=BF,

ZAFB=ZEFB

.,.△ABF義AEBF(ASA),

：.AB=BE；

(2)'：ZBAC=90°,

：.ZCAE+ZBAF=90°,而/48/=90°,

4

ZCAE=ZABF=-j-ZABC；

(3)連接DE,

在△AB。和△EBD中

AB=BE

■：JZABF=ZEBF,

BD=BD

:AABD義AEBD(SAS),

：.AD=DE,NDEC=NBAC=90°,

VZBAC=90°,AB=AC,

AZC=45°,

：.CE=DE,

：.AD=CE；

(4)由(3)可得AO=CE,

：.CD+CE=CD+AD=AC=AB.

【點睛】本題主要考查三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，注意觀

察所求線段或角之間的關系，找到所在的兩個三角形，證明全等即可解決.

模型三：等邊三角形中含定角問題

例題3]

5.等邊三角形A3C中，只要滿足5。=。石，連接A。、BE交于點、F,則么A尸E是

定值.

5

【解析】

【分析】由SAS證得△A3。/ABCE,得出NBAD=NEBC,由三角形外角性質(zhì)得出

ZAFE=ZABF+ZBAF,即可推出NAPE=NA5歹+NE8C=NA8C=60°.

【詳解】???△ABC是等邊三角形，

/.ZABD=ZC=60°,AB=BC,

在△A8D和△BCE中，

AB=BC

<ZABD=ZC,

BD=CE

：.AABD^ABCE(SAS),

：.ZBAD=ZEBC,

,：NAFE=ZABF+NBAF,

：.ZAFE=ZABF+ZEBC=ZABC=60°,

???/AKE是定值.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角

的性質(zhì)，推出△A8D也△BCE是解題的關鍵.

變式1

6.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、邊上的兩個動點，且總使8。

=CE,AE與CD交于點F,AG_1CD于點G,則以下結(jié)論：(1)

△ACE義ACBD；(2)ZAFG=60°；(3)AF=2FG；(4)AC=2CE.其中正確的

結(jié)論有()個

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【分析】(1)由△ABC是等邊三角形，可得AC=CB,ZACE=ZB=60°,又由

=CE,即可證得AACE之△CBO；(2)由AACE之△CBO,可得NCAE=NBCD,然

6

后由三角形外角的性質(zhì)，求得NA月G=ZACF+ZCAE=ZACF+ZBCD=ZACE=

60°；(3)由NA/G=60°,AGLCD,可得NE1G=3O°,即可證得AN=2bG；(4)

由AC=BC,且BC不一定等于2CE,可得AC不一定等于2CE.

【詳解】解：(1)「△ABC是等邊三角形，

：.AC=CB,ZACE=ZB=60°,

在△ACE和△C8D中，

AC=CB

'：JZACE=ZB,

CE=BD

.,.△ACE義ACBD(SAS),故正確；

(2)VAACE^ACBD,

：.ZCAE=ZBCD,

：.ZAFG=ZACF+ZCAE^ZACF+ZBCD=ZACE=60°；故正確；

(3)VZAFG=60°,AGLCD,

4G=30°,

.,.AF=2FG；故正確；

(4)-：AC=BC,且BC不一定等于2CE,

.?.AC不一定等于2CE；故錯誤.

故選：B.

【點睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30。角

的直角三角形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應用.

變式2

7.如圖，等邊三角形ABC中，D、E分別為AB、邊上的兩個動點，且總使

=BE,AE與CD交于點RAGLCO于點G,則NE1G=°.

【答案】30°

7

【解析】

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC=CB=AB,NAC3=N8=60°,則由AD

=BE得到BD=CE,再根據(jù)“SAS”可判斷△ACE之根據(jù)三角形外角性質(zhì)

得到NA/G=NBCD+,而乙43/=90°,利用三角形內(nèi)角和

定理即可求出ZFAG的度數(shù).

【詳解】解：:△ABC為等邊三角形，

：.AC=CB=AB,ZACB=ZB^60°,

\"AD=BE,

：.BD=CE,

?在△4CE和△CB。中

AC=CB

?：JNACE=NB,

CE=BD

:.LACE經(jīng)ACBD(SAS),

：.ZCAE=ZBCD,

,/ZAFG=ZCAF+ZACF,

：.ZAFG=ZBCD+ZACF=ZACB=60°,

'JAGLCD,

：.ZAGF=90°,

NE4G=90°-60。=30°.

故答案為30°.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有

“SSS”、“SAS”、“ASA”、“A4S”；全等三角形的對應角相等.也考查了等

邊三角形的性質(zhì).

模型四：直角三角形中一銳角平分線+斜邊上高線

例題4】

8.如圖，已知Rt^ABC中,NACB=9(T,CD，AB于D,NBAC的平分線分別交

BC、CD于E、F.試說明ACEF是等腰三角形.

8

【答案】說明見解析.

【解析】

【詳解】試題分析：要證明4CEF是等腰三角形，需證明有兩角相等即可.利用角

平分線、直角三角形及三角形外角的性質(zhì)，進行等量代換，可求證.

解：VZACB=90o,

,,.ZB+ZBAC=90°.

VCDXAB,

ZCAD+ZACD=90°..*.ZACD=ZB.

：AE是NBAC的平分線