滬科版九年級數(shù)學(xué)常見題型專練：銳角的三角函數(shù)（5種題型）（解析版）

第10講銳角的三角函數(shù)（5種題型）

O【知識梳理】

銳角三角函數(shù)的定義

在Rtz^ABC中，ZC=9O°.

（1）正弦：我們把銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做/A的正弦，記作sinA.

即sinA=ZA的對邊除以斜邊=曳.

C

（2）余弦：銳角A的鄰邊6與斜邊c的比叫做/A的余弦，記作cosA.

即cosA=ZA的鄰邊除以斜邊=上.

c

（3）正切：銳角A的對邊4與鄰邊6的比叫做/A的正切，記作tanA.

即tanA=ZA的對邊除以NA的鄰邊=包.

b

（4）三角函數(shù)：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做/A的銳角三角函數(shù).

二.銳角三角函數(shù)的增減性

（1）銳角三角函數(shù)值都是正值.

（2）當(dāng)角度在0°?90°間變化時，

①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；

②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p小（或增大）；

③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?

（3）當(dāng)角度在0°W/AW90°間變化時，OWsinAWl,INCOSANO.

當(dāng)角度在0°</A<90°間變化時，tanA>0.

三.同角三角函數(shù)的關(guān)系

（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1；

（2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=EZ&

cosA

或sinA=tanA?cosA.

四.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系

在直角三角形中，ZA+ZB=90°時，正余弦之間的關(guān)系為：

①一個角的正弦值等于這個角的余角的余弦值，即sinA=cos（90°-ZA）；

②一個角的余弦值等于這個角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-ZA）；

也可以理解成若/A+N1B=90°,那么sinA=cos2或sinB=cosA.

五.特殊角的三角函數(shù)值

（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值.

1.cos30°=運；tan30°=也

sin30°=

'2,23

sin45°=叵cos45°tan45°=1；

212

sin60°=返.cos60°=-；tan60°=M；

22

（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的二角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切

逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記.

（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進行運算，二是具有三角函數(shù)的特點，在解直角三

角形中應(yīng)用較多.

【考點剖析】

一.銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）

1.（2023?鏡湖區(qū)校級一模）如圖，Rt^ABC中，ZC=90°,BC=2,AB=3,則cosB的值是（）

A.返B.返C.3D.2

2323

【分析】根據(jù)余弦的定義求解.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,BC=2,AB=3,

由銳角的余弦，得cosB=^上，

AB3

故選：D.

【點評】本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握銳角的余弦等于銳角的鄰邊比斜邊.

2.（2022秋?蒙城縣期末）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,2AB=5BC,則cosB的值為_2_.

B

【分析】首先由己知可得些?上，再根據(jù)余弦的定義，即可求得.

AB5

【解答】解：；2AB=5BC,

.BC2

??--=---，

AB5

?.?在Rt^ABC中，ZC=90°,

?RBC2

,，COSB=ABT

故答案為：2.

5

【點評】本題考查了求一個角的余弦值，熟練掌握角的余弦的定義是解決本題的關(guān)鍵.

3.（2021秋?蕭縣期末）在中，NC=90°,AB=5,BC=3,則tanA的值是（）

A.AB.Ac.3D.旦

5354

【分析】先在Rt^ABC中，利用勾股定理求出AC的長，再利用銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可解答.

【解答】解：：/C=90°,AB=5,BC=3,

AC=2222

?■?/AB-BC=/S-3=4，

故選：D.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2021秋?安徽月考）如圖，在Rt^ABC中,AC=4,BC=3,ZC=90°,則sinA的值為（）

/4d

旦

A4B4C.AD.

35

【分析】先利用勾股定理求出AB的長，再利用銳角三角函數(shù)的定義，進行計算即可解答.

【解答】解：：AC=4,BC=3,ZC=90",

?■AB=VAC2+BC2=742+32=5，

故選：D.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

二.銳角三角函數(shù)的增減性（共5小題）

5.（2021秋?金安區(qū)校級月考）已知：cosa=—,則尊范圍是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

【分析】先求出30°角45。角60°角的余弦，然后根據(jù)銳角的余弦值隨著角度的增大而減小解答即可.

【解答】解：cos30°=1_20.866,cos45°=2Z±L^O.7O7,cos60°=0.5,

22

,銳角的余弦值隨著角度的增大而減小，cosa=2心0.67,

3

；.45°<a<Z60°.

故選：C.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，熟記銳角三角函數(shù)值的變化規(guī)律：正弦值和正切值都是隨

著角的增大而增大，余弦值和余切值都是隨著角的增大而減小是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?淮北月考）已知角a為△ABC的內(nèi)角，且cosa=2,則a的取值范圍是（）

3

A.0°<a<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

【分析】先求出cos60。=1,cos45°=亞，利用已知三角函數(shù)值確定」<2（返，進而求a的范圍.

22232

【解答】解：?..cos60°=—,cos45°=1_,

22

.,.A<Z<V3_,

232

/.cos60°<cosa<cos45°,

??.45°<a<60°,

故選：C.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?安徽模擬）比較大小：sin81°<tan47°（填”或

【分析】根據(jù)sin81°<1,tan47°>1即可求解.

【解答】解：Vsin81°<sin90°=1,tan47°>tan45°=1,

sin81°<l<tan47°，

sin81°<tan47°.

故答案為<.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)值的增減性：當(dāng)角度在0°?90°間變化時，

①正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；

②余弦值隨著角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?；

③正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減?。?

也考查了不等式的傳遞性.

8.（2022秋?天長市月考）比較大?。簍an40°<tan50°（填“>”"=”或“<

【分析】根據(jù)正切值隨銳角的增減而變化的情況進行解答即可.

【解答】解：由于一個銳角的正切值所這銳角的增大而增大，

所以tan40°<tan50°,

故答案為：<.

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的增減性，掌握一個銳角的正切值隨著銳角的增大而增大是正確解答的

關(guān)鍵.

3

cos30°》早）

9.（2023?安徽一模）解不等式組：

2x-l5x+lrr

【分析】分別求出不等式組中兩不等式的解集，找出兩解集的公共部分即可.

【解答】解：解不等式cos30。力？（x-1）,得：彳忘返+1,

23

解不等式區(qū)1L-旦旦<1,得：尤>-i,

32

不等式組的解集為-1〈尤/近+1.

3

【點評】此題考查了解一元一次不等式組和特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握不等式組的解法是解本題的

關(guān)鍵.

三.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共6小題）

10.（2021秋?金牛區(qū)校級期中）在△A2C中，ZC=90°,tanA=2,則sinA+cosA=宜應(yīng)

一5

【分析】根據(jù)tanA=2和三角函數(shù)的定義畫出圖形，進而求出sinA和cosA的值，再求出sinA+cosA的

值.

【解答】解：如圖,

"."tanA=2,

.?.設(shè)AB=x,貝?。軧C=2x,

AC=VX2+(2X)2=?x

則有：sinA+cosA=^.+^.=_2+_1=_3^5_

ACACV5V55

故答案為：巫.

5

【點評】此題考查了銳角三角函數(shù)的定義，只要畫出圖形，即可將正弦、余弦、正切函數(shù)聯(lián)系起來，進

而得出結(jié)論.

11.（2022秋?宣州區(qū)期末）已知a為銳角，cosa=—,求tana-cog'」的值.

3l-sinl：-l

【分析】根據(jù)cos2（x+sin2a=1,tana=-^!—,可得答案.

cosa

【解答】解：a為銳角，cosa=L,得

3

sina=11-cos，a=2容'

o

啦

tana==―—=2A/2-

cosa1

3

tana-的4=2近-―當(dāng)一=-3.

1-sinCl12V2

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)關(guān)系，利用cNa+sin2a=1,tana=Ej&是解題關(guān)鍵.

cosa

12.(2022秋?宿州月考)已知/A是銳角，cos&=3,求siM,tanA的值.

5

【分析】根據(jù)同一銳角的正弦與余弦的平方和是1和tanA=里處，即可求解.

cosA

【解答】解：Vsin2A+cos2A=l,即sin2A+(-)2=1,

5

/.sin2A=-1^,

25

??.sinA=匹或-2（舍去），

55

.?人

??smA—=—4.

5

*.*tanA=^EA~,

cosA

匡

tanA=-^-=—,

3_3

5

,,4.4

故sinA=—,tanA=—.

53

【點評】本題主要考查了同角的二角函數(shù)，關(guān)鍵是掌握同一銳角的正弦與余弦之間的關(guān)系：對任一銳角

a,都有sida+cos2a=1,tanA=*i".

cosA

13.（2021秋?安徽月考）若siM=工，則tanA=運.

2—3―

【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出NA的度數(shù)，然后求出tanA的值.

【解答】解：；sinA=」，

2

AZA=30°,

則tanA=Wl.

3

故答案為：JL.

3

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是掌握特殊角的三角函數(shù)值.

14.（2023?懷寧縣一模）若乙4是銳角，且tanA=2sinA,則/（=60°.

【分析】根據(jù)1211^=包生和tanA=2sinA得出電蛇=2sinA,求出cosA=」，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)

cosAcosA2

值得出答案即可.

【解答】解：「tanA=里處，

cosA

又??,/?!是銳角，tanA=2sinA,

或他=2sinA,

cosA

??cosAz=--,

2

AZA=60°.

故答案為：60°.

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)值，能熟記tanA=^&是解此題的關(guān)鍵.

cosA

15.（2021?安慶模擬）已知sina=」i-（a為銳角），則tana=.

13.12一

【分析】（1）利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理，求出各條邊的長，再求出答案.

【解答】解：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA=a,

由于sina=9-=aC,因此設(shè)BC=5左，則AB=13左，

13AB

由勾股定理得，AC=MAB2-BC2=J（13k）2-（5k）2=12公

tana=tanA=理＞=至電=至-,

AC12k12

【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，利用勾股定理求出各條邊的長是解決問題的關(guān)鍵.

四.互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系（共3小題）

16.（2023春?金安區(qū)校級月考）如圖，在RtZkABC中，NC=90°,tanA=2,則sinB=近..

—5—

A

【分析】根據(jù)勾股定理，可得A8與8c的關(guān)系，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，可得答案.

【解答】解：：/C=90°,tanA=2,

：.BC=2AC,

AB=VAC2+BC2=V5AC-

..DAC-ACV5

故答案為：返.

5

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確利用勾股定理求出邊長是解題關(guān)鍵.

17.（2022秋?懷寧縣月考）在RtZXABC中，ZC=90°,sin4=A,則cosB的值為（）

13

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解.

【解答】解：：在RtA4BC中，/C=90。，sinA--）

13

.°?人5

?,cosD=sinA=7j7y-

故選：c.

【點評】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，掌握一個角的正弦等于它余角的余弦是關(guān)鍵.

18.（2022秋?池州期末）在RtZVICB中，ZC=90°,tanA=2&，則sinB的值為（）

A.AB.AC.72D.V3

52

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行計算即可.

【解答】解：設(shè)Rt^ACB中，ZC=90°,/&、NB、/C的對邊分別為a、b、c,

由于tanA=—=2-\/6，

b

可設(shè)4=2粕笈，b=k,由勾股定理得，

c=Va2+b2=5^r

/.sinB=—=—,

c5

故選：A.

【點評】本題考查互余兩角三角函數(shù)之間的關(guān)系，掌握銳角三角函數(shù)的定義是正確解答的關(guān)鍵.

五.特殊角的三角函數(shù)值（共16小題）

19.（2023?亳州模擬）計算2sin30°的值（）

A.3B.1C.近D.73

2

【分析】根據(jù)特殊角的正弦值解決此題.

【解答】解：2sin30°=2x1=1.

2

故選：B.

【點評】本題主要考查特殊角的正弦值，熟練掌握特殊角的正弦值是解決本題的關(guān)鍵.

20.（2022秋?宣城期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=1,AC=2,下列各式中，正確的是（）

A-tanA=yB-cosA=-^c-sinA=/D-tanB=-^

【分析】先用勾股定理求出AB,再利用三角函數(shù)的定義逐一判斷即可.

【解答】解：l/C=90°,BC=1,AC=2,

AB=VAC2+BC2=^22+l2=V5，

..BC1V5,AC22V5BC1_AC2

?,sinA=—^7=-=-^-，cosA--^-7=-=—―?tanA=—^77，t+anRb——=2n-

ABV55ABV55AC2BC1

故選：A.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義：正確理解正弦、余弦、正切函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵.

21.（2020秋?蚌埠月考）在△ABC中，若卜inA-」|+（叵-cosB）2=0,則NC的度數(shù)是（）

22

A.45°B.75°C.105°D.120°

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)系式，根據(jù)特殊角的二角函數(shù)值求出/A、的度數(shù)，根據(jù)二角形內(nèi)

角和定理計算即可.

［解答］解：由題意得，sinA-a=0,山,_cosB=0,

22

即sinA=-,Y_^_=COSB,

22

解得，ZA=30°,ZB=45°,

AZC=180°-ZA-ZB=105°,

故選：C.

【點評】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用、特殊角的三角函數(shù)值的計算和三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，

熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

22.（2012秋?根陽縣月考）若AABC中，銳角A、B滿足|sinA-喙|+（cosB-*）2=0，貝QABC是

（）

A.鈍角三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【分析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到sinA=1_,cosB=」，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到銳角A=60°,

22

銳角8=60。，然后根據(jù)等邊三角形的判定方法進行判斷.

【解答】解：根據(jù)題意得sinA-1=0,cosB-」=0,

22

/.sinA=^LzL,cosB=—,

22

銳角A=60°,銳角8=60°,

AABC為等邊三角形.

故選：D.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：sin30°=1；cos30°=返；tan30°=1_；sin45°=1；

2232

cos450=1-；tan450=1；sin60°cos60°=—；tan60°=/3；

222

23.(2023?合肥一模)若0°<a<45°,且式門20.=亨，則式=30度.

【分析】先根據(jù)60。的正弦值得到2a=60。，則a=30°,然后利用30度的正切值求解.

【解答】解：?.'sin2a=」l_,0°<a<45°,

2

.*.2a=60°,

a=30°.

故答案為：30.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值：要熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.

24.(2022秋?宣城期末)在△ABC中，若sinA=L,cosB=亞，N4都是銳角，則NC的度數(shù)是

22

105°

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求得/A=30°,ZB=45°,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：...sinA=],cosB=*~,ZA,NB都是銳角，

AZA=30°,ZB=45°,

AZC=180°-45°-30°=105°,

故答案為：105°.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，牢記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

25.(2023?渦陽縣模擬)(1)計算：2cos?45°-l+tan30°tan60°；

(2)(x-1)-4-

【分析】(1)根據(jù)實數(shù)的混合運算法則，先計算特殊角的三角函數(shù)值，再計算乘方、乘法，最后計算加

減.

(2)通過去分母、去括號、移項、合并同類項、x的系數(shù)化為1解決此題.

【解答】解：(1)2COS245°-l+tan30°tan60°

=2X(喙)2-1有

=1-1+1

=1.

⑵33(x-1)-41

去分母，得x+l>6(x-1)-8.

去括號，得尤+l>6x-6-8.

移項，得x-6x>-6-8-1.

合并同類項，得-5x>-15.

x的系數(shù)化為1,得x<3.

這個不等式的解為x<3.

【點評】本題主要考查實數(shù)的混合運算、特殊角的三角函數(shù)值、解一元一次不等式，熟練掌握實數(shù)的混

合運算法則、特殊角的三角函數(shù)值、一元一次不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.

26.(2022秋?寧國市期末)計算：(-1)2023+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°.

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方法則、特殊角的三角函數(shù)值計算.

【解答】解：(-1)2023+2sin45°-cos30°+sin60°+tan260°

=-1+2X、2-愿+通+(?)2

222

=-1+&+3

=2+V2-

【點評】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

27.(2022秋?長豐縣校級期末)計算：cos60°-2sin245°+^tan230°-sin30°.

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案.

【解答】解：原式=工-2義(亞)2+lx(返)2-1

22232

_19X1+3X11

22232

,11+11

222

=_2

~2

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

28.(2022秋?池州期末)計算：2sin45°-7(cos60°-sin600.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入得出答案.

【解答】解：原式="返?一|工

2'2

=料2M也

v222

=2^2+1

~2~,

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

29.（2022秋?宣城期末）計算:COS230°+sin245°-tan60°?tan30°

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入求出答案.

【解答】解：原式=（1）2+（1）2一近.叵

223

_3,11

42

—_—1.

4

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

30.（2022秋?定遠縣期末）計算：

（1）cos30°sin45°+sin30°cos450；

⑵sin600-1

tan600-2tan450

【分析】（1）將特殊角的三角函數(shù)值代入求解；

（2）將特殊角的三角函數(shù)值代入求解.

【解答】解：（1）原式=返*亞+工*亞=逅逅；

22224

工

（2）原式=，=---=—.

V3-22

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是掌握幾個特殊角的三角函數(shù)值.

31.（2023?廬陽區(qū)一模）計算:6tan230°-Esin60°+2tan45°.

【分析】tan30°=W_,sin60°=1_,tan45°=1,代入后運算即可.

32

【解答】解：原式=6義（篝）-VSX^,+2X1=2-1-+2=-|-

【點評】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練記憶一些特殊角的三角

函數(shù)值.

32.（2023?池州模擬）計算：（-2022）°-2tan45°+卜2|+百.

【分析】直接利用零指數(shù)幕的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡，進

而計算得出答案.

【解答】解：原式=l-2Xl+2+3

=1-2+2+3

=4.

【點評】此題主要考查了零指數(shù)幕的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的性質(zhì)、算術(shù)平方根，正確

化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

33.（2023春?蚌埠月考）計算：sin45°*cos45°-tan60°3cos30°.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可.

【解答】解：sin45°*cos45°-tan60°4-cos30°

=亞><注_返

222

=」-2

2

=-3.

2

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

34.（2023?廬陽區(qū)校級一模）計算：2tan45°-——^―-2sin260°.

sin30

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入，進而化簡得出答案.

【解答】解：原式=2Xl-《-2X（1_）2

12

2

=2-2-2X&

4

=2-2-旦

2

=_3.

【點評】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

一【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023春?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在邊長為1個單位長度的正方形網(wǎng)格中，若連接格點

AB.CD,AB與CD交于點O,則tan/AOD的值為（）

【答案】D

【分析】如圖，連接3C,由正方形的性質(zhì)可得：NOCB=90°,OC=-DC=—,BC=也,再求解

22

—3OC的正切即可.

【詳解】解：如圖，連接2C,

BC-A/12+12—V2，

回tanZAOD=tanZBOC==2,

CO

故選D.

【點睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，求解銳角的正切，熟練構(gòu)建需要的直角三角形是

解本題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?安徽六安?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）已知g<cosA<sin80。，則銳角A的取值范圍是（）

A.60°<A<80°B.30°<A<80°C.10°<A<60°D.10°<A<30°

【答案】C

【分析】首先把所有的三角函數(shù)都化成余弦函數(shù)，然后利用余弦函數(shù)的增減性即可求解.

【詳解】解：=cos60",sin80°=cos10°,

/.cos60°<cosA<cos10°,

,\10°<A<60°.

故選：c.

【點睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的增減性及互余三角函數(shù)之間的關(guān)系，尤其余弦函數(shù)的增減性容易出

錯.

（2023春?安徽安慶?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在R￡ABC中，ZC=90°,sinA=1,貝lj有（）

3.

C.cosB=^

D.tanB=2A/2

3

【答案】D

11______________

【分析】由sinA=w，可得黑=:，設(shè)BC=x,則AB=3x,可得AC=府—BC?=2岳，再利用銳角

3A/JJ

的三角函數(shù)的定義逐一求解即可.

【詳解】解：ElsinA=1,

設(shè)BC=x，則AB=3X,

團AC=y/AB2-BC-=2瓜，

l,2缶2&,“x0

團cosA=-------=------,tanA=-—二—，

3%32y12x4

E>%]n2\/2xrr

cosB=-—=~,tanB--------=2j2；

3x3x

團A,B,C不符合題意，D符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查的是求解銳角的三角函數(shù)值，熟記銳角的三角函數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）在咫ABC中，/C=90°,sinA=1，則gsB的值為（）

13WWWV

131255

A.—B.—C.—D.—

5131312

【答案】C

【分析】根據(jù)互余兩角的三角函數(shù)的關(guān)系即可以求解.

【詳解】解：在MABC中，/C=90°,sinA=1,

/.cos6C=sm.AA=——5,

13

故選：C.

【點睛】本題考查了互為余角的兩角的三角函數(shù)的關(guān)系，一個角的正弦等于它余角的余弦.

5.（2022秋?安徽安慶?九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點A為/。邊上的任意一點，作AC13C于點C,

于點。，下列用線段比表示出sina的值，正確的是（）

BDADCD

A.----B.-----D.——

BCACC?器AC

【答案】B

【分析】由同角的余角相等可得NACD=tz,在三個直角三角形中由正弦函數(shù)的定義即可確定答案.

【詳解】QACLBC,CD1AB,

ZBAC+a=ABAC+ZACD=90°,

:.ZACD=a,

.ACCDAD

sina===

ABBCAC

故正確的是B選項;

故選：B.

【點睛】本題考查了正弦函數(shù)的定義，同角的余角相等，掌握正弦函數(shù)的定義是關(guān)鍵.

ABC中，ZA4都是銳角，sinA=」LtanB=l,則

6.（2023春?安徽滁州?九年級?？茧A段練習(xí)）在

2

ABC是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角三角形

【答案】D

【分析工

V3

【詳解】解：回在ABC中，ZA都是銳角,sinA=——,tan5=1,

2

EINA=6O°,ZB=45°,

0ZC=180°-ZA-ZB=75°,

fflABC是銳角三角形,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了特殊角三角函數(shù)值，三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，熟知30。,45。,60。等特殊

角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

7.（2023?安徽合肥?一模）一個鋼球沿坡角31。的斜坡向上滾動了5米，此時鋼球距地面的高度是（單位:

sin31°

【答案】B

【分析】鐵球上滾的距離，鐵球距地面的高度，可看作直角三角形的斜邊與已知角的對邊，可利用正弦函

數(shù)求解.

【詳解】鐵球上滾的距離xsin3r=鐵球距地面的高度，

???鐵球距地面的高度=5sin31。.

故選：B.

【點睛】本題考查了一個角的正弦等于這個角的對邊比斜邊，熟知三角形的正弦函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?安徽淮北?淮北市第二中學(xué)?？级＃┤鐖D，。為Rt^ABC的AC邊上一點，ZC=90°,

4

ZDBC=ZA,AC=4,cosA=-,貝l]CD=（）

【答案】A

4一

【分析】根據(jù)AC=4,cosA=-,可求出A3=5,BC=3,再證明,即可作答.

4

【詳解】ISRtZkABC,AC=4,cosA=-,

EIAB=5,BC=>jAB2-AC2=A/52-42=3>

SZDBC=ZA,ZDCB=ZBCA,

回△DCBsABCA,

CD_BC

回--------,

CBAC

^BC2=CDAC,

團8=蛤9

4

故選：A.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，證明△OCBSZ\JBC4是解答本題的關(guān)

鍵.

9.（2021?安徽?九年級專題練習(xí)）如圖，在AABC中，0ACB=9O°,0ABC=26°,BC=5.若用科學(xué)計算器求邊

AC的長，則下列按鍵順序正確的是（

B.5^sin26°=C.5xcos26°=

D.5xtan26°=

【答案】D

AT

【詳解】由tan配=￡,得

nC

AC=BC*tanB=5xtan26=.

故選D.

10.（2023?安徽蚌埠??？级＃〦,歹分別是正方形ABCD的兩邊BC,CD的中點，AE,3尸相交于

P,M,N分別是AE,的中點，連接MN,DP.則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.AE±BFB.DP=ADC.糕/D.嗤力

【答案】C

【分析】證明△ABE四△BCF（SAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出=,進而得出

ZBPE=90。,即可判斷①，延長9'交AD的延長線于。，證明3b■蠻尸（AAS）,得出

DQ=BC=AD,即可判斷②，設(shè)正方形的邊長為2a,則郎=/C=a,勾股定理得出=AE=，

1ppR

tanZFBC=-=tanZPBE=--,得出進而勾股定理求得初V,即可求解.

2BP5

【詳解】解：如圖所示,

D

回E,尸分別是正方形ABC。的兩邊5C,CD的中點,

出CF=BE

^\AB=BC,ZABC=ZBCF=90°

^ABCF(SAS)

出NBAE=NCBF

團NA4石+NB￡A=90。

⑦NCBF+NBEA=9。。

即N3尸石=90。

^\AE±BF

故A正確；

如圖所示，延長5尸交AD的延長線于。，

正方形ABC。中，AD//BC,

NQ=ZCBF,

方是8的中點，

:.DF=CF,

又,ZDFQ=ZCFB,

:「BCF-QDF(AAS),

DQ=BC=AD,

是AQ的中點,

.?.RL.APQ中，PD=AD^AB.故B正確;

設(shè)正方形的邊長為2“，則3E=FC="，

團BF=AE={AB2+BE2=&1，

1pF

團tanZFBC=—=tan/PBE=——

2BP

ABxBE245

@BP=-----Q

AE5

^PE=—a,

5

0M,N分別是AE,B尸的中點,

^PM=-AE-PE=—a--a=—a,

22510

PN=BN-BP=-BF-BP=—a-^-a=~a,

22510

__________B

在Rt^PMN中，MN=yJPM2+PN2=—a,

2

72

PE7”回

a,故錯誤，正確;

國而一0一號MN_^CD

—a~\B~2a

故選：C.

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，正切的定義，熟練掌握勾股定

理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.（2023?安徽亳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知—ABC的三個頂點均在格點上，則cosC=

【答案】寺

【分析】作「ABC的高A”.利用勾股定理求出AC,可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，作一ABC的高A”,

^AC=A/AH2+C=V22+42=2A/5，

r廠4_2百

0cosC=-C--H-

AC2^5~~T

故答案為：平.

【點睛】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

12.（2022秋?安徽合肥?九年級期末）比較大?。簊i"48°—cos48。（填或

【答案】＞

【分析】作一個含有48。的直角三角形，根據(jù)大角對大邊可知，BOAB,再根據(jù)三角函數(shù)的定義有

sin48°=,cos48°^,即可比較出大小.

ACAC

【詳解】解：作一個含有48。的直角三角形，如圖，

回48。＞42。，

^\BC>AB,

.BCAB

回sm4A8OO=--,cos4J8OO=,

ACAC

回sin480>cos480,

故填：＞.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)的定義；在直角三角形中，任意一銳角

Na的對邊與斜邊的比叫做的正弦，記作sina；在直角三角形中，任意一銳角/a的鄰邊與