滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專項(xiàng)突破：二次函數(shù)綜合（5種題型）（解析版）

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破04二次函數(shù)綜合（5種題型）

?【題型細(xì)目表】

題型一：線段周長(zhǎng)問(wèn)題

題型二：面積問(wèn)題

題型三：角度問(wèn)題

題型四：特殊三角形問(wèn)題

題型五：特殊四邊形問(wèn)題

【考點(diǎn)剖析】

題型一：線段周長(zhǎng)問(wèn)題

一、填空題

L（2023?安徽阜陽(yáng)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y=平移得到拋物

線C,如圖所示，且拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-LO）和鞏0,3）,點(diǎn)尸是拋物線C上第一象限內(nèi)一

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為。則OQ+P。的最大值為.

【分析】求得拋物線C的解析式，設(shè)。（尤，0）,則P（x,-N+2X+3）,即可得出OQ+P0,

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：設(shè)平移后的解析式為y-N+fot+c,

團(tuán)拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1,0）和8（0,3）,

f-l-Z?+c=0\b=2

02，解得V

[c=3[c=3

回拋物線C的解析式為尸-N+2x+3,

設(shè)。（x,0）,則尸（羽-N+2x+3）,

團(tuán)點(diǎn)尸是拋物線。上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),

團(tuán)OQ+PQ=x+(-x2+2x+3)

=-X2+3X+3

/3、221

二-(%-------)H--------

24

91

回。。+尸。的最大值為了

91

故答案為：—

4

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平移，二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意得出

OQ+PQ=-N+3X+3是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

2.(2023春?安徽六安?九年級(jí)?？茧A段練習(xí))如圖，二次函數(shù)y=f-4x+3與一次函數(shù)

y=-x+3的圖象交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)8在x軸上，一次函數(shù)的圖象與二次

函數(shù)的對(duì)稱軸交于點(diǎn)P.

(1)點(diǎn)P的坐標(biāo)為;

2

⑵點(diǎn)C是該二次函數(shù)圖象上A,B兩點(diǎn)之間的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0n],t=PC,

求/關(guān)于”的函數(shù)表達(dá)式和/的最小值.

【答案】(1)(2,1)

(2)r=(〃-g[r的最小值為:

【分析】(1)先求得A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可求得點(diǎn)尸的坐

標(biāo)；

(2)利用拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的意義以及勾股定理構(gòu)造關(guān)于”的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：把尤=0代入y=T+3,得y=3,即4（0,3）,

把，=0代入y=-尤+3,得一x+3=0,解得x=3,即川3,0）,

回二次函數(shù)解析式為y=Y-4x+3=（x-2）2-l,

團(tuán)二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=2,

把x=2代入y=—x+3,得；y=l,

回點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,1）,

故答案為：（2,1）；

（2）解：0P（2,1）,C（mn）,

0r=PC2=（m-2）2+（M-l）2,

團(tuán)點(diǎn)C在拋物線上，

回〃=（“7—2）~—1,

回（加一2）~=〃+1,

回t=（〃—1）2+〃+1=〃2—2〃+l+〃+l=[〃-g]+：,

回0<相<3,二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,-1）,

0-1<?<3,

17

團(tuán)當(dāng)〃=彳時(shí)，/有最小值，最小值為二.

24

【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)、拋物線的頂點(diǎn)坐

標(biāo)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?安徽合肥?合肥壽春中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線>=依

與拋物線>=湛+。交于4（8,6）、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-2.

（1）求直線AB和拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)尸是直線A3下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、6重合），過(guò)點(diǎn)尸作x軸的平行線,

與直線A3交于點(diǎn)C,連接尸O,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為小.

①若點(diǎn)尸在無(wú)軸上方，當(dāng)機(jī)為何值時(shí)，△POC是等腰三角形；

②若點(diǎn)尸在X軸下方，設(shè)△POC的周長(zhǎng)為〃，求P關(guān)于加的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)加為何值時(shí),

△POC的周長(zhǎng)最大，最大值是多少？

Q1

【答案】⑴丫=乙工，y=--2

(2)①當(dāng)日=4+：M時(shí),△POC是等腰三角形；②當(dāng)機(jī)=2時(shí)，△尸OC的周長(zhǎng)最大，最

大值為9

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解析式；

(2)①當(dāng)△尸OC是等腰三角形時(shí)，判斷出只有OC=PC,設(shè)出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，用OC=PC

建立方程組求解即可；②先表示出PCOCOP,然后建立△POC的周長(zhǎng)P關(guān)于加的函數(shù)

關(guān)系式，確定出最大值.

【詳解】⑴解:將點(diǎn)4(8,6)代入產(chǎn)得洋=6,

3

解得左

4

3

團(tuán)直線的解析式為

4

當(dāng)x=-2時(shí)，y=-x=-x(-2)=--

44''2f

"一2,一切

將點(diǎn)4(8,6),《一2,-，代入廣加+c,得

64〃+c=6

:3，

4。+c=——

I2

’1

解得I"W,

c=-2

回拋物線的解析式為y=1-2；

(2)①設(shè)尸(私〃),則12_2=〃，

8

團(tuán)過(guò)點(diǎn)尸作x軸的平行線，與直線交于點(diǎn)C

0C||,

0PC=m——n,

3

當(dāng)點(diǎn)尸在x軸上方時(shí)，m>0,NOCP是鈍角,

團(tuán)OC<OP,PC<OP,

團(tuán)△POC是等腰三角形，

BOC=CPf

團(tuán)OC=—n,

3

45

0m—n=-n,

33

回根=3〃，

12c

0—m-2=n

8

(1)

回根=31—m2—21,

向4+4-10_tx4—4^/10,仝?土、

0m=----------或m=-----------(舍去)，

33

團(tuán)當(dāng)相叵時(shí)，△poc是等腰三角形；

3

②當(dāng)點(diǎn)尸在X軸下方時(shí),—2<根<4,

0n<0

[?]P(m,n),貝!!!現(xiàn)2一2二點(diǎn)

8

51―

^OC=--n9OP=^mEJYT=>+2,

3

41

^\PC=m——n,—m9-2=n,

38

⑦p=OP+PC+OC

12G4(1")

=—m+2+m——n+\-

83I

12

=-m+m-3n+2

8

12,Jl2J

-—m+m-3—m-2k2

818>

=--(m-2)+9,

團(tuán)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，p最大，最大值為9,

團(tuán)當(dāng)機(jī)=2時(shí)，△POC的周長(zhǎng)最大，最大值為9.

【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式，

等腰三角形的性質(zhì)，三角形的周長(zhǎng)，極值的確定，解本題的關(guān)鍵是表示出尸COCOP的長(zhǎng)

度.

4.(2023?安徽宿州?統(tǒng)考一模)如圖，拋物線>=內(nèi)2+法-3(awO)與x軸交于

A(-l,0),3(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求。，6的值；

(2)點(diǎn)尸是第四象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接AC,過(guò)點(diǎn)尸作AC的平行線，交x軸于點(diǎn)。，交

,軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為心

①若直線PE的解析式為>=丘+?；疦O),試用含f的代數(shù)式表示。；

②若點(diǎn)O是線段PE的中點(diǎn)，試求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)。=1,b=-2

⑵①C=/+L3,②⑵-3)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)①先求出C(0,—3),進(jìn)而求出直線AC的解析式是y=-3x-3.由PE〃AC,得到

k=-3,則直線PE的解析式為'=-3元+c.再由尸。，/一2人3),即可得至h=產(chǎn)+1-3；

②由①得直線PE的解析式為y=-3x+r+/_3.求出D—尸，°，網(wǎng)0,「+”3),

再根據(jù)O是線段PE的中點(diǎn)，得至1J/一2/一3+〃+/一3=0,解方程即可得到答案.

【詳解】(1)解：把A(-1,0),8(3,0)分另I」代入y=/+bx-3,得:

a-b-3=0

9。+3/?—3=0

a=l

解得

b=-2

.,.a=l,b=—2；

(2)解：①由(1)知拋物線的解析式為y=/-2x-3.

在y=d-2x-3中，令x=0,貝!Jy=-3.

0C（O,-3）；

設(shè)直線AC的解析式為y=s+〃，把A（T,O）,。（0,-3）分別代入丁=W+〃,

f-m+n=O

得一

n=-3

團(tuán)直線AC的解析式是y=-3x-3.

^PE//AC,

回％=—3.

回直線PE的解析式為y=-3%+c.

團(tuán)點(diǎn)P在拋物線-2x-3上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,

團(tuán)點(diǎn)尸.,廣一2/-3）,則--2r—3=-3t+c.

0c=r2+t-3；

②由①知直線PE的解析式為y=-3x+t2+t-3.

在y=-3x+r+T中，令y=0,^x=

在y=—3x+/+f—3中，令尤=0,得y=〃+f—3.

0E（0,廣+r—3）,

回。是線段PE的中點(diǎn)，

團(tuán)尸、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，

回產(chǎn)一2f—3+產(chǎn)+f-3=O*

02r-r-6=O,

3

解得r=2或（舍去），

2

回產(chǎn)一2/—3=—3,

回尸（2,-3）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，靈活運(yùn)用

所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023?安徽?校聯(lián)考一模）如圖，點(diǎn)A。,。）在尤軸上，點(diǎn)/0,3）在〉軸上，以AB為直角

邊作等腰直角；ABC,使NB4C=90。，AB^AC,且點(diǎn)C落在第一象限，二次函數(shù)

>=-尤2+云+。的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,C.

⑴試確定二次函數(shù)的表達(dá)式；

⑵己知點(diǎn)尸是拋物線？=-爐+云+。的對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且PB=PC,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】（i）y=-x2+,x+3

【分析】（1）先求出。4=1,。3=3,過(guò)點(diǎn)C作CD_Lx軸于點(diǎn)D,再證明△AOBZZ\CDA,

可得CD=Q4=1,AD=BO=3,從而得到點(diǎn)C坐標(biāo)為（4,1）,再利用待定系數(shù)法解答，即

可求解.

（2）先求出該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x=:,可設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為再由

PB=PC,得到關(guān)于機(jī)的方程，即可求解.

【詳解】（1）解:回點(diǎn)4（1,0）,點(diǎn)8（0,3）,

團(tuán)OA—1,OB=3,

過(guò)點(diǎn)。作軸于點(diǎn)。，

^\ZAOB=ZCDA=90°,

0ZBAC=90°

aZ(MB+ZZMC=90o,ZZMC+ZDC4=90°,

團(tuán)NQ4B=NDC4,

團(tuán)AB-CA，

0AOB^CZM(AAS),

團(tuán)CD=OA=1fAD=BO=3,

團(tuán)點(diǎn)C在第一象限，

回點(diǎn)c坐標(biāo)為(4,1),

團(tuán)二次函數(shù)y=-V+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,C,

(c=3b=—

明KJ解得2,

i[c=3

7

團(tuán)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=--+寸+3；

(2)解：^\y=-x2+—x+3=-fx-—+—,

24；16

7

團(tuán)該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線%=-,

4

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(:3，

^PB=PC,

0PB2=PC',

回憶-o]+(m-3,/Z-4]+(k1)2,

3

解得〃?=于

回點(diǎn)尸坐標(biāo)為.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了全等三角形的判定和性質(zhì)，求二次函

數(shù)的解析式等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?安徽蚌埠?九年級(jí)校聯(lián)考期中）己知二次函數(shù)丁=依2+法+?4<0）.

(1)若匕=2,c=3,且該二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(—2,-5),求。的值；

(2)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，該二次函數(shù)的圖象與無(wú)軸相交于不同的兩點(diǎn)

A&,0),B(X2,0),其中花＜0＜尤2，|力＜聞，且該二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在矩形A3CD

的邊CO上，其對(duì)稱軸與x軸，AC分別交于點(diǎn)N,AC與y軸相交于點(diǎn)E,且滿足

tanZG4B=l.

①求關(guān)于X的一元二次方程欠2+bx+c=0根的判別式的值；

②若AE=EN,令T=4—2c,求T的最小值.

a

【答案】(l)a=—1

⑵①16；②-9

【分析】(1)由題意將(一2,—5)代入,=〃/+2%+3,從而求得結(jié)果;

(1)①根據(jù)題意，表示出AB和BC,根據(jù)tan/CA3=S，=l,得出

AB

4ac-b2yjb2-4ac

=1,從而求得結(jié)果;

4Qa

7

A77A(J

②根據(jù)。EMN,從而得出詬=而，從而求得。的值，進(jìn)而得出,’的關(guān)系式’將

其代入7=二-2c,進(jìn)一步求得結(jié)果.

a

【詳解】(1)解：團(tuán)b=2,c=3,即：y=ax2+2x+3,

把(-2,-5)代入得：-5=4°-4+3,

解得：a=-l

(2)①由以？+灰+。=o得，%=-b+yJb2-4ac

2ala

「2-4ac

^AB=x-x=~------------

2la

b4ac-b2

回拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:

2a54a

回比="匕4

4。

0ZABC=9O°,

2

團(tuán)tan/GW=^|=l'BP：+y/b-4ac

=1,

a

7

回J)？一4如。=4,即：b2-4ac=16,

團(tuán)一元二次方程ox?+〃x+c=。根的判別式的值為16；

②由①知〃—4〃。=16,

衛(wèi)正王=上，則以=_上

2a2a2a

hh

由題意可知對(duì)稱軸為：x=-—,OEMN,則。河=一2,

2a2a

AEAO

團(tuán)---=----

ENOM

ArAn

RAE=EN,則把="=1,

ENOM

-Z?+4

E-=1，解得6=2,

b

2〃

3

022-4ac=16,貝!|c=—一,

a

>

0T=^?-2c^^7+-=f-+3|-9,

aaa\a)

團(tuán)當(dāng)工=一3時(shí)，罩小=-9.

a

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)及其圖象性質(zhì)，二次函數(shù)和一元二次方程之間的關(guān)系，平行線

分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)定義等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線

段.

7.(2023?安徽合肥??？家荒?已知拋物線與直線/：丫="+8相交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)

A在點(diǎn)2的左側(cè))，點(diǎn)M為線段AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MG回，軸交A3于點(diǎn)

G.

⑴當(dāng)ABI3X軸時(shí)，①求點(diǎn)A、8的坐標(biāo)；②求的值;

CJA-GB

(2)當(dāng)k=2時(shí)，的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

CJA-CJB

【答案】⑴①A，20,8),8(2在81②1

(2)是定值，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)①利用A3無(wú)軸，則y=8,將y=8代入拋物線的解析式求得x值，則點(diǎn)

A,8的橫坐標(biāo)可求，縱坐標(biāo)為8,結(jié)論可得；

②設(shè)分別用A,B,M,G的坐標(biāo)表示出線段VG,GA,GB,代入運(yùn)算即可

得出結(jié)論;

（2）將兩解析式聯(lián)立求得A,8的坐標(biāo)，設(shè)病），則G（〃z,2m+8）,分別用A,B,

M,G的坐標(biāo)表示出線段MG,GA,GB,代入運(yùn)算即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：①當(dāng)A3x軸時(shí)，k=0,則y=8,

對(duì)于y=x=當(dāng)y=8時(shí)，丁=8,

解得x=±20,

A（-2A/2,8）,8（2也8）.

②團(tuán)點(diǎn)M為線段AB下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),

設(shè)則G（〃,8）,

:.GM=S-n1,GA=n+2垃,GB=2五-n，

MG8,

"GAGB卜+2@（2應(yīng)甸?

（2）是定值.

皿=2,

回直線/：y=2x+8,

設(shè)M（相,〃/）,則G（m,2機(jī)+8）,

/.MG=2m+8-m2=一（〃?-4）（〃7+2）.

令％2=2X+8，解得玉=-2,無(wú)2=4,

回點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè)，點(diǎn)Af為線段A8下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),

.?.，（-2,4）,5（4,16）,-2<m<4,

GA=y/（m+2）2+（2m+4）2=yj5（m+2）2=灼m+2）,

GB=冽-4）2+（2"-8『='5=灼4一團(tuán)，

.MG_一（加-4）（一+2）_1

GA-GBy/5（m+2）-A/5（4-m）5

回當(dāng)上=2時(shí)，-^―的值為定值，這個(gè)定值為9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，

一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.

8.（2023?安徽馬鞍山??？家荒＃┤鐖D，二次函數(shù)y=無(wú)+。的圖象與x軸交于8、C

兩點(diǎn)（點(diǎn)8在點(diǎn)C的左側(cè)），一次函數(shù)y=6+l的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8和二次函數(shù)圖象上另一點(diǎn)

A.其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4,3）.

（1）求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)若拋物線上的點(diǎn)尸在第四象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)尸作》軸的垂線P。，交直線A8于點(diǎn)。，求

線段尸。的最大值.

111Q

【答案】(1)y=-^2--x-3,y=i尤+1；(2)《

【分析】(1)先根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)求出一次函數(shù)的解析式，然后求出3點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A、B

的坐標(biāo)即可求出拋物線的解析式;

(2)P(x,—x2--X—3貝！+然后可以得到PQ=(；x+D—弓爐―11—3)

119o

=--X2+X+4=-4(X-1)-+J,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

22、'2

【詳解】解:(1)直線丫=阮+1經(jīng)過(guò)A(4,3),

回3=4左+1

國(guó)直線的解析式為y龍+1,

又回直線y=gx+l與x軸交于B點(diǎn)、,

令y=0即O=Jx+l,解得x=-2

0B(-2,0)

拋物線y=法+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,3)、B(-2,0),則

3=—xl6+4Z?+c

2

0=—x4-2Z?+c

2

b=--

2

c=-3

團(tuán)拋物線為y=

(2)設(shè)—31,貝UQ(xqX+l)

111119

P2=(_+l)-(-x2——x-3)=x2+x+4=_―(x-1)9+-

02x22222

回0<x<3

9

回當(dāng)x=i時(shí)，尸。取得最大值5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函

數(shù)的最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

9.(2023?安徽?九年級(jí)專題練習(xí))己知如圖，二次函數(shù)y=o(x+3)(x-5)的圖象交無(wú)軸于

A,C兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)8(0,-36),此拋物線的對(duì)稱軸交無(wú)軸于點(diǎn)。，點(diǎn)P為y軸上的一

⑵求+的最小值.

【答案】⑴]

(2)2g

【分析】⑴把點(diǎn)3(0,-3力)代入y="(x+3)(x—5),即可求解;

(2)連接A2,過(guò)點(diǎn)。作。H0A8于點(diǎn)X,交y軸于點(diǎn)P,先求出點(diǎn)A、C、。的坐標(biāo)，可

得/。84=30°,2。48=60°,,從而得到尸。+工尸8的最小值為尸￡)+尸”=￡>〃的

22

長(zhǎng)，求出即可求解.

(1)

解：把點(diǎn)B(0,-3A/3)代入y=a(x+3)(無(wú)一5)得：

-373=?(0+3)(0-5),

解得：a=;

5

(2)

解：連接A8,過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)交y軸于點(diǎn)尸,

由(1)得：二次函數(shù)的解析式為y=q(尤+3)(x-5),

令y=0,則曰(X+3)(X-5)=0,

解得：無(wú)1=-3,%=5,

回點(diǎn)A(-3,0),C(5,0),

回拋物線的對(duì)稱軸為直線％=三吵=1,

2

團(tuán)點(diǎn)。(1,0),

0AD=4,

回點(diǎn)2(0,-34)，

團(tuán)OA=3,03=3^3,

⑦AB=S4+OB2=19+27=6,

^\AB=2OAf

甌AO5=90°,

團(tuán)團(tuán)O3A=30°,

團(tuán)ZOAB=60°,PH=-PB,

2

團(tuán)PD+g尸8的最小值為PD+PH=DH的長(zhǎng),

團(tuán)OWU5,團(tuán)043=60°,

回她?！?30°,

2

0DH=2A/3,

回po+gps的最小值為26.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)解析式的確定、直角三角形的性質(zhì)，垂

線段最短解決線段和的最小值問(wèn)題.解題的關(guān)鍵是作輔助線，轉(zhuǎn)化PO+；尸3的最小值為

尸。+P4=Q”的長(zhǎng).

10.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考二模）已知：拋物線y=/-2辦與x軸交于點(diǎn)A、3（點(diǎn)3在工軸

正半軸），頂點(diǎn)為C,且AS=4.

（1）求。的值；

⑵求一ABC的面積；

4

⑶若點(diǎn)尸為拋物線上一點(diǎn)，2加//^軸交直線'=-3%-4于點(diǎn)加，求尸”的最小值.

【答案】（1）。=2；

（2）ABC的面積為8；

20

⑶最小值為

【分析】（1）先求得拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用鉆=4,即可求解；

（2）由（1）得到拋物線的解析式，點(diǎn)A、3的坐標(biāo)，對(duì)稱軸為x=2,求得頂點(diǎn)

C（2,-4）,利用三角形的面積公式即可求解；

（3）設(shè)療-4帆），求得利用兩點(diǎn)之間的距離公式求得

PM=^m-^，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】（1）解：令，=。，貝鼠2-2依=0,即x（x—2。）=0,

解得芭=。，々=2a,

團(tuán)AB=4,

團(tuán)2〃-0=4,

團(tuán)a=2；

（2）解：由（1）得，拋物線的解析式為y=%2—4%,點(diǎn)4（0,0）、5（4,0）,對(duì)稱軸為

2

團(tuán)頂點(diǎn)C(2,—4),

團(tuán)ABC的面積為:x4x卜4|=8；

(3)解：設(shè)尸(%m2-4m),

^\PM//y軸，

回力>為，

(418(4丫20

0PM=m2-4m———m—4=m2——m+4=m——H---，

I3J3I3；9

町>0,

回當(dāng)機(jī)=1時(shí)，PM取得最小值，最小值為

Jy

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)以及待定系數(shù)法求

函數(shù)的解析式以及平行的知識(shí)，解決(3)問(wèn)需要求出尸M的長(zhǎng)，利用二次函數(shù)的求解.

11.(2023?安徽蕪湖?一模)已知拋物線y=f-2〃優(yōu)+川-2與直線x=-2交于點(diǎn)P.

⑴若拋物線經(jīng)過(guò)2)時(shí)，求拋物線解析式；

⑵設(shè)尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為先，當(dāng)匕,取最小值時(shí)，拋物線上有兩點(diǎn)(孫匕)，(孫憶)，

<x2<-2,比較為與%的大??；

⑶若線段AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別是4(0,2),5(2,2),當(dāng)拋物線與線段AB有公共點(diǎn)時(shí)，求出

m的取值范圍.

【答案】(i)y=#+2x-1

⑵X>%?

(3)—2<m<0§￡2<m<4

【分析】(1)將(-1,-2)代入解析式求解.

(2)將x=-2代入解析式求出點(diǎn)尸縱坐標(biāo)，通過(guò)配方可得“取最小值時(shí)機(jī)的值，再將二

次函數(shù)解析式化為頂點(diǎn)式求解.

（3）分別將點(diǎn)A,B坐標(biāo)代入解析式求解.

【詳解】（1）解：將（一1,一2）代入丁=爐_2蛆+機(jī)2_2得：-2=1+2加+/一2,

解得機(jī)=-1,

?.y=x2+2x-l；

（2）將x=—2代入y=x2-2mx+m2-2=m2+4m+2=（m+2）2-2,

.,.加=一2時(shí)，yp取最小值，

y-f+4%+2=（x+2）2—2,

時(shí)，y隨x增大而減小，

,xx<x2<-2,

?>?y>%；

（3）,y=x2—2mx+m2—2=（x—m）2—2,

二拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（辦-2）,

二拋物線隨機(jī)值的變化而左右平移，

將（0,2）代入y=x2-2nvc+m2-2nr-2=2，

解得m=2或〃7=-2,

將（2,2）代入y-2mx+m2-2得2=4-4加+病一2,

解得加=0或〃z=4,

.?.-2?機(jī)<0時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)A左側(cè)，拋物線與線段A3有交點(diǎn)，

2W%W4時(shí)，拋物線對(duì)稱軸在點(diǎn)A右側(cè)，拋物線與線段A3有交點(diǎn).

:.—2<m<0i^2<m<4.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌

握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系.

12.（2023春?安徽宿州?九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1,已知拋物線Ci：y=V+6x+c與直線

y=-|x+l交于版4）、N&，"J兩點(diǎn)（M在N的左側(cè)）.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在直線的上方的拋物線上有一點(diǎn)C,若以,陽(yáng)=竽，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

⑶如圖2,將拋物線C1平移后得到新的拋物線C2,Q的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，尸為拋物線C2第一

3

象限內(nèi)任意一點(diǎn)，直線y=-5尤+1與拋物線G交于A、B兩點(diǎn),直線＞=3與y軸交于點(diǎn)

G,分別與直線加、PB交于E、B兩點(diǎn).若EF=5GF,求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

【答案】⑴尸產(chǎn)7—2

(2)4~|望或(4,10)；

9

⑶尸點(diǎn)橫坐標(biāo)為7.

4

【分析】(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可;

(2)過(guò)點(diǎn)C作CG〃y軸交"N于點(diǎn)G,設(shè)C“，則+可得

以詡=31+，3H2+1|=竽，即可求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)先求平移后的函數(shù)解析式為y=x?,設(shè)尸卜，聯(lián)立方程組，分別求出

A(-2,4),再由待定系數(shù)法分別求出直線叢的解析式、直線PB的解析式，可

求石(泊,3)從而建立方程求解即可.

3

【詳解】(1)解：將M(私4)代入y=—]X+l,

3?

0——機(jī)+1=4,

2

解得m=-2,

0A1(-2,4),

將N1|，d代入y=-|x+l,

3”=一5

n=

24

代入y=Y+bx+c,

4-2Z?+c=4

93b5

—H-------FC=—

[424

b=-l

解得

c=-2

^\y=x2-x-2?

(2)解：過(guò)點(diǎn)。作CG〃y軸交跖V于點(diǎn)G,

圖1

設(shè)C,產(chǎn)―r—2),則G',—

31

回CG=/9—/—2d—t—1=t9H—t—3,

22

c1f21八(3、105

05ACW=-X^+-Z-3^2+-j=—

、9

角畢得，=4或/=一力，

3

團(tuán)。點(diǎn)在直線y=--x+\上方，

3-

0/>一或，<—2，

2

回C1或(4,1。)；

(3)解：Ely=Y-x-2=(x-g],

回拋物線的頂點(diǎn)為

回C?的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，

回拋物線向左平移/個(gè)單位，向上平移|■個(gè)單位,

回平移后的函數(shù)解析式為J=x2,

設(shè)尸(。產(chǎn))(f>0),

y----3-%+],

聯(lián)立方程組2,

x=—

2

解得或,

1

團(tuán)A(—2,4),

團(tuán)直線＞=3與y軸交于點(diǎn)G,

團(tuán)G(0,3),

設(shè)直線P4的解析式為y=履+"

tk+b=t2

回

-2k+b=4'

k=t—2

解得

b=2t

團(tuán)直線F4的解析式為y=(f-2)x+2r,

同理可求直線PB的解析式為y,

3-2r

0￡

t-2

6+，3—2,6+2

回所=

2t+lt-22t+l

⑦EF=5GF,

團(tuán)6+t3-2r_5(6+。

2t+1t—22t+1

9

解得"“

981]

團(tuán)尸

4f16f

9

"點(diǎn)橫坐標(biāo)為“

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，用待定系數(shù)

法求函數(shù)的解析式，拋物線平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.(2023?安徽淮北?淮北市第二中學(xué)?？级?拋物線y=-無(wú)2+法+。與x軸交于點(diǎn)

A(1-A/6,0),B(l+^6,0),直線y=x-l與拋物線交于C,O兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式.

(2)在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)尸，使得4c的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸

的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶若點(diǎn)E為直線8上方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C,。重合)，將直線8上方的

拋物線部分關(guān)于直線8對(duì)稱形成愛(ài)心圖案，動(dòng)點(diǎn)E關(guān)于直線CO對(duì)稱的點(diǎn)為F，求改'的

取值范圍.

【答案】⑴y=——+2%+5

(2)存在，尸理由見(jiàn)詳解

(3)0WEPV至也

4

【分析】⑴將4(1-遍，0),8(1+而0)代入拋物線＞=-*+云+c求解即可:

(2)連接BC,8C與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即點(diǎn)尸，此時(shí)4c的周長(zhǎng)最??；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EGLx軸，進(jìn)而得到/EGH=45。，由三角函數(shù)即可求解；

2

【詳解】(1)解：將A(1-而0),可1+而。)代入拋物線y=-x+bx+c^f

0=—^1—a\/6j+(1-+c仿=2

0=_(1+"『+(l+#)6+c牛哥［c=5

國(guó)拋物線的解析式為：》=一/+21+5.

y=x-lxi=-2,%=—3

(2)由解得:

y=—f+2x+5X?~3，=2

團(tuán)。（一2,—3）,0（3,2）,

設(shè)的解析式為：丁二米+可左。0）,

將。(-2,-3),3(1+而0)代入y=得,

-3=-2k+b,=3-指

'C/7\7人解得：1「，

0=(1+，6/+6^=3-2V6

[Sy=(3-#)x+3-276,

2,

x==1,

拋物線的對(duì)稱軸為：~2x（-l）

當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，APAC的周長(zhǎng)最小，

團(tuán)將x=l代入、=（3-布卜+3-2#中，

J=（3-5/6）-1+3-276=6-376,

0P（1,6-3A/6）.

（3）設(shè)點(diǎn)E（",-〃2+2〃+5）,

由C（-2,-3）,。（3,2）可求得C。的解析式為：y=x-l,

過(guò)點(diǎn)E作軸，

0G（n,n-1）,

將1=0代入丁=九一1得，尺（0，-1）,

將y=o代入y=xT得，T。，。），

團(tuán)NORT=45。，

回石G_Lx軸，

⑦NEGH=45。,

FHEHV2

團(tuán)sin"G"=—=-----------------------

EG—n+2〃+5—zz+12

SEH=^(-n2+n+6)=-^^n-^+^1,

當(dāng)九=：時(shí)，即=空徨最大,

28

SEFJ.CD,

皿"呼

EIEB的取值范圍為：04EFV”也.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用、三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識(shí)

并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

題型二：面積問(wèn)題

一、單選題

1.（2023?安徽合肥??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，垂直于x軸的直線AB分別與拋物線C|：y=Y

（x>0）和拋物線c,：y=—（x>0）交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作CD取軸分別與y軸和

一4

S

拋物線C2交于點(diǎn)C,D,過(guò)點(diǎn)B作EF取軸分別與y軸和拋物線C1交于點(diǎn)E,F,則瞪叱的

^^EAD

值為（）

A.—B.—C.-D.-

6446

【答案】D

2

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為。，則點(diǎn)A縱坐標(biāo)為〃，點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為幺,

4

應(yīng);〃了軸，

2

團(tuán)點(diǎn)廠縱坐標(biāo)為幺,

4

回點(diǎn)廠是拋物線丁二爐上的點(diǎn),

團(tuán)點(diǎn)廠橫坐標(biāo)為％="=；〃，

CD//x軸用點(diǎn)。縱坐標(biāo)為力,

回點(diǎn)。是拋物線y=二上的點(diǎn)，

4

團(tuán)點(diǎn)D橫坐標(biāo)為x==2a,

131

/.AD=a,BF=—a,CE=—a9,OE=—a9,

244

Q胡。-ADCE-0

24

故選：D.

2.（2023秋?安徽亳州,九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線y=g/-2x+c與x軸交于點(diǎn)A,B

兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,其頂點(diǎn)為M,點(diǎn)。，E分別是AB,的中點(diǎn)，若江砂與

ACD的面積比為9010,則c的值為（）

5

C.——D.-3

2

【答案】C

sAD

【分析】由題意可得SDEB=:BD|%|，ADC=^'\yc\^由點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，_DEB

與，ACD的面積比為9回10,得到|人|="僅cl，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得,

|%|="紅=：|%|，加=2"=9,M為頂點(diǎn)，求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，代入解析式，由

乙乙DD

縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于C的方程，解之即可得到答案.

【詳解】解：由題意可得，5DEB=^BD^yE\,StADC=^AD^yc\,

回點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，

團(tuán)AD=DB,

國(guó)一DEB與ACD的面積比為9團(tuán)10,

s530my9

raUDEB_Z,________）E_二

10

SADC^AD.\yc\光

回㈤=2川，

EIE是的中點(diǎn)，

團(tuán)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，1%卜生受=;|九|,

當(dāng)％=0時(shí)，y=—^-2x+c=c,

2

團(tuán)為|=，

回加=2|%|=|c,

回加＜。，＞c=c＜°,

99

團(tuán)％=/=不，

回M為頂點(diǎn)，

回如一五一;3=2,

乙X

2

將x=2代入y=；*2-2x+c得，

解得c=-|,

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的面積綜合題，求得加=，9先=（Q。是解題的關(guān)鍵.

二、解答題

3.（2023?安徽合肥?合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為2cm的正方形A3co

沿其對(duì)角線AC剪開(kāi)，再把一ABC沿著AD方向平移，得到AB'C.設(shè)平移的距離為

x（cm）,兩個(gè)三角形重疊部分（陰影四邊形）的面積為S（cm2）

(1)當(dāng)x=l時(shí)，求S的值.

(2)試寫(xiě)出S與x間的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值.

⑶是否存在x的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1：血？如果存在，請(qǐng)求出此

時(shí)的平移距離x；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)S=1

(2)S=-%2+2x,最大值為1

4

⑶x=l或x=§

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得到ACD和A?C'都為直角邊為2的等腰直角三角形，從

而判定出也為等腰直角三角形，得到A'E=A4'=1,從而得到AO的長(zhǎng)，由四邊形

的面積公式底乘以高的一半即可求出S；

(2)同理得到AE=A4'=龍，從而得到AD的長(zhǎng)為2-x,由四邊形的面積公式底乘以高的

一半即可表示出S,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)由正方形的性質(zhì)得到和/XAT)尸都為等腰直角三角形，根據(jù)直角邊方程為x和

2-x,分別表示出鄰邊AE和AN,進(jìn)而表示出兩者之比等于己知的比值，列出關(guān)于x的

方程，求出方程的解即可得到無(wú)的值.

【詳解】⑴解：如圖所示，

由題意可知42D和一A'3'C'都為等腰直角三角形，且45=2,

:.ZA=45°,又由平移可知ZA4'E=90。，

二也為等腰直角三角形，x=l,

A'E=A4'=1,

又回AD=2—1=1,

S=AEA'O=1；

(2)由題意可知和AB'C都為等腰直角三角形，

:.ZA=45°,又由平移可知ZA4'E=90°,

，_A4Z也為等腰直角三角形，

A'E=AA=x,A!D=2-x

S=A'E-A'D=x（2-x）=-x2+2x=-（x-l）2+1,

當(dāng)x=l時(shí)，S有最大值，其最大值為1；

（3）存在.理由如下：

由題意得到和尸都為等腰直角三角形，

AAr=x,AD=2—x,

A!E=x,AF=-s/2（2lx）,

:.x'.\[2（2-x）=1-.s[2或x:&（2-x）=0:1,

4

解得：x=l或x=§,

,4,

x=l或尤=g■時(shí)，

重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為1:忘.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性

質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

4.（2023春?安徽黃山?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于尤的二次函數(shù)

y=（m-2）x2-x-m2+6m-l是常數(shù)）.

⑴若該二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（T2）,

①求機(jī)的值；②若該二次函數(shù)的圖像與x軸交于點(diǎn)8,C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），求

ABC的面積；

（2）若該二次函數(shù)的圖像與y軸交于點(diǎn)P,求點(diǎn)尸縱坐標(biāo)的最大值；

【答案】⑴①"=5；②（

（2）2

【分析】（1）①直接利用待定系數(shù)法求解，再由二次函數(shù)的定義即可得出結(jié)果；

②先求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，然后求面積即可；

（2）先確定縱坐標(biāo)的解析式，然后化為頂點(diǎn)式即可求解.

【詳解】（1）解：①關(guān)于龍的二次函數(shù)^=（根-2）%2-%-川+6根-7的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)

.\（m-2）+l—m2+6m-7=2,

整理得加2-7m+10=0,

解得班=2,m2=5,

m-2^0,

mw2,

.\m=5；

②m=5,

二?該二次函數(shù)表達(dá)式為y=3/—2,

當(dāng)y=0時(shí),

即3f—%—2=0,

2

解得玉=1，%=—~，

點(diǎn)B在點(diǎn)。的左側(cè)，

二點(diǎn)B坐標(biāo)為點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,0),

125

ABC的面積=^xx2=§；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，y=-m2+6m-l,

，點(diǎn)尸的縱