13.1.2 定理與證明（重點(diǎn)練）解析版

13.1.2定理與證明（重點(diǎn)練）一、單選題1．（2020·浙江）假設(shè)命題“a≤0”不成立，那么a與0的大小關(guān)系只能是（）A．a(chǎn)＝1 B．a(chǎn)≠0 C．a(chǎn)≥0 D．a(chǎn)＞0【答案】D【分析】由于a≤0的反面為a＞0，則假設(shè)命題“a≤0”不成立，則有a＞0．【詳解】解：假設(shè)命題“a≤0”不成立，則a＞0．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)，一個(gè)命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．2．（2019·全國）命題“同角的補(bǔ)角相等”改寫成“如果……，那么……”的形式是()A．如果是同角的補(bǔ)角，那么相等B．如果兩個(gè)角是同角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等C．如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)角相等D．如果兩個(gè)角是同角，那么這兩個(gè)角是補(bǔ)角【答案】B【分析】命題包括兩個(gè)部分即題設(shè)和結(jié)論，對(duì)于同角的補(bǔ)角相等，可知題設(shè)是兩個(gè)角是同角的補(bǔ)角，結(jié)論是這兩個(gè)角相等．【詳解】“同角的補(bǔ)角相等”改成“如果兩個(gè)角是同角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等”．故選B【點(diǎn)睛】本題是一道關(guān)于命題的題目，關(guān)鍵在于命題的題設(shè)和結(jié)論的區(qū)分．3．（2019·全國）下列語句中，屬于命題的是()A．作線段的垂直平分線 B．等角的補(bǔ)角相等嗎C．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 D．用三條線段去拼成一個(gè)三角形【答案】C【分析】判斷一件事情的句子叫做命題，根據(jù)命題的定義進(jìn)行判斷．【詳解】A“作線段的垂直平分線”這個(gè)句子沒對(duì)一件事情做出判斷，不是命題；B等角的補(bǔ)角相等嗎，是問句，不是命題；C根據(jù)命題的定義可知，平行四邊形是軸對(duì)稱圖形是命題；D用三條線段去拼成一個(gè)三角形,這個(gè)句子沒對(duì)一件事情做出判斷，不是命題;故選C【點(diǎn)睛】本題考查了命題的定義，注意命題必須是對(duì)一件事情做出判斷．4．（2018·松桃苗族自治縣第二中學(xué)八年級(jí)期中）“兩點(diǎn)確定一條直線”這句話是（）A．定理 B．基本事實(shí) C．結(jié)論 D．定義【答案】B【分析】兩點(diǎn)確定一條直線是個(gè)陳述句，是事實(shí)存在的，屬于基本事實(shí)．【詳解】解：“兩點(diǎn)確定一條直線”這句話是基本事實(shí)；

故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了命題與定理、公理，要熟悉課本中的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．5．（2019·全國）在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于點(diǎn)D，若AC=6，則BD=（）A．6 B．3 C．9 D．12【答案】C【詳解】∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠B=30°，∴∠DCB=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=30°，∵AC=6，∴AD=3，AB=12，∴BD=9.故選C.點(diǎn)睛：在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半.6．（2020·浙江）對(duì)于命題“如果，那么”，能說明它是假命題的反例是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】只要說明且∠1=∠2，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、滿足且∠1=∠2，能說明原命題是假命題，本選項(xiàng)符合題意；B、，不滿足，不能說明原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；C、，滿足但不滿足∠1=∠2，不能說明原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意；D、，不滿足，不能說明原命題是假命題，本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了真假命題的知識(shí)，屬于?？碱}型，舉反例是判斷命題真假的常用方法．7．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定理“三角形的任意兩邊之和大于第三邊”的依據(jù)是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．邊邊邊公理 C．同位角相等，兩直線平行 D．垂線段最短【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得到答案.【詳解】解：如圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，即可判斷：，∴三角形的任意兩邊之和大于第三邊；故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記性質(zhì).8．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列推理正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則或【答案】D【分析】直接利用不等式的基本性質(zhì)和解方程的思想進(jìn)行判斷即可.【詳解】解：A、∵，∴a，b同號(hào)，則或，本項(xiàng)錯(cuò)誤；B、∵，則不一定正確，如時(shí)，，本項(xiàng)錯(cuò)誤；C、∵，則或，∴不一定正確，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；D、∵，則或，本項(xiàng)正確；故選擇：D.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式性質(zhì)和解方程的思想，解題的關(guān)鍵是利用不等式性質(zhì)進(jìn)行判斷.9．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列命題：①能被3整除的數(shù)也能被6整除；②等式兩邊除以同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；③x=2是一元一次方程x-2=0A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)定理的含義可知只有④是定理.【詳解】能被3整除的數(shù)，不一定能被6整除，故①是假命題；等式兩邊除以同一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍是等式，故②是假命題；③是一個(gè)運(yùn)算過程，不能作為定理；對(duì)頂角相等是定理.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了定理的含義，演繹推理的過程稱為證明，經(jīng)過證明的真命題稱為定理.10．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，在中，，下列結(jié)論不一定正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，分析判斷即可得到答案.【詳解】解：A、直角三角形兩個(gè)銳角度數(shù)不明確，不能比較大小，故本項(xiàng)錯(cuò)誤；B、由兩邊和大于第三邊，得到，本項(xiàng)正確；C、由，則，本項(xiàng)正確；D、由勾股定理可知，，本項(xiàng)正確；故選擇：A.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的性質(zhì).11．（2020·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列命題中，不是定理的是（）A．直角三角形兩銳角互余B．兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)C．n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°D．相等的角是對(duì)頂角【答案】D【分析】根據(jù)定理是正確的命題判斷．【詳解】直角三角形兩銳角互余，A是定理；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，B是定理；n邊形的內(nèi)角和為（n﹣2）×180°，C是定理；相等的角不一定是對(duì)頂角，D不是定理．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題和定理，命題的正確性是用推理證實(shí)的，這樣的真命題叫做定理．二、填空題12．（2020·陜西西安·高新一中）“互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角”是假命題，我們可以舉反例：____.【答案】兩個(gè)直角【分析】根據(jù)判斷一個(gè)命題是真假命題只要舉出反例即可得到原命題是假命題．【詳解】當(dāng)一個(gè)角為直角時(shí)，它的補(bǔ)角還是直角，但是直角不是銳角，也不是鈍角，因此“互補(bǔ)的兩個(gè)角一定是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角”是假命題，我們可以舉反例：兩個(gè)直角．【點(diǎn)睛】本題的考點(diǎn)是舉出反例來推翻命題，只要舉出反例則說明命題是假命題．13．（2019·全國）命題由______和______兩部分組成，通常寫成______形式．【答案】題設(shè)（或條件）結(jié)論“如果……那么……”【分析】根據(jù)命題的組成直接填空即可．【詳解】解：命題由題設(shè)（或條件）和結(jié)論兩部分組成，通常寫成“如果……那么……”形式．【點(diǎn)睛】本題考查了命題的組成，屬于基礎(chǔ)題，牢牢掌握命題的定義及組成是解題的關(guān)鍵．14．（2019·全國）規(guī)定一個(gè)______和______的含義的句子叫做定義，平行四邊形的定義是______．【答案】名稱術(shù)語有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形【分析】根據(jù)“定義”的概念和平行四邊形的定義直接填空即可．【詳解】解：規(guī)定一個(gè)名稱和術(shù)語的含義的句子叫做定義；平行四邊形的定義是有兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)命題、定理及平行四邊形定義等知識(shí)點(diǎn)的考查，熟記“定義”及平行四邊形的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，已知，，．下列結(jié)論：①；②；③．其中正確的結(jié)論是________．（填序號(hào)）【答案】①②③【分析】根據(jù)SSS證明△ABD△FEC，由全等三角形性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】解：∵，∴，∴BD=EC，∵，，∴△ABD△FEC（SSS），∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE，∴，，所以①②③都正確，故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì).16．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，，那么________，依據(jù)是__________．【答案】，同角的余角相等【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD.【詳解】解：∵，∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，根據(jù)同角的余角相等，∴∠AOC=∠BOD；故答案為：，同角的余角相等.【點(diǎn)睛】本題考查了同角的余角相等，解題的關(guān)鍵是熟練掌握定理.17．由一個(gè)公理或定理直接推出的定理,叫做這個(gè)公理或定理的________.【答案】推論【分析】根據(jù)推論的定義解答即可．【詳解】由一個(gè)公理或定理直接推出的定理，叫做這個(gè)公理或定理的推論，故答案為：推論．【點(diǎn)睛】本題考查了推論的定義，解題的關(guān)鍵是掌握推論的定義．18．（2019·全國）“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是___命題（真、假）【答案】真分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出答案．詳解：平行線的性質(zhì)定理中有一條：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．故這個(gè)是真命題．點(diǎn)睛：本題主要考查的是平行線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型．平行線的性質(zhì)有：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．19．（2019·全國）“直角都相等”的題設(shè)是___________，結(jié)論是_____________【答案】兩個(gè)角是直角這兩個(gè)角相等試題解析：直角都相等的題設(shè)是兩個(gè)角是直角，結(jié)論是這兩個(gè)角相等.故答案為(1).兩個(gè)角是直角(2).這兩個(gè)角相等.20．（2020·大慶市第五十七中學(xué)）已知三條不同的直線a、b、c在同一平面內(nèi)，下列四條命題：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c．其中真命題的是__________．（填寫所有真命題的序號(hào)）【答案】①②④．【詳解】①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命題，故本選項(xiàng)正確，②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命題，故本選項(xiàng)正確，③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命題，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命題，故本選項(xiàng)正確，故答案為①②④．三、解答題21．（2020·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，求證：．【分析】由得到，然后根據(jù)SAS，得到，然后得到結(jié)論成立.【詳解】證明：∵（已知），∴（等式的性質(zhì)），即．在和中，∴．∴（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是得到.22．（2020·廣西八年級(jí)期中）補(bǔ)充完成下列證明過程，并填上推理的依據(jù)．已知：如圖，．求證：．證明：延長交于點(diǎn)，則．（）又∵，∴_______，（等量代換）∴．（）【答案】三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】第一個(gè)空是三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，第二個(gè)空根據(jù)等量代換得出，第三個(gè)空是平行線的判定．【詳解】解：延長交于點(diǎn)，則．（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）又∵，∴，（等量代換）∴．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明，解題的關(guān)鍵是掌握推理與證明過程中理由的書寫，平行線的性質(zhì)和三角形外角的定理．23．（2020·山東八年級(jí)期末）命題證明.求證：等腰三角形兩底角的角平分線相等．已知：________________求證：___________________證明：____________________．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的定義，求出，利用全等三角形的判定，證明,由全等三角形的性質(zhì)即可證明．【詳解】已知：在中，，、分別是和的角平分線，求證：.證明：,,、分別是和的角平分線,,,在和中，，即等腰三角形兩底角的角平分線相等．【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)和判定定理是解題的關(guān)鍵．24．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，位于中心的兩圓一樣大嗎？【答案】兩圓一樣大.【分析】用圓規(guī)和刻度尺，比較中心兩圓的半徑或直徑即可.【詳解】解：借助圓規(guī)或刻度尺，可知位于中心的兩圓的半徑或直徑相等，故兩圓一樣大.【點(diǎn)睛】僅憑觀察得到的結(jié)論不一定正確.眼睛看到的并不一定可靠，因?yàn)檠劬τ袝r(shí)會(huì)產(chǎn)生一些錯(cuò)覺.本題中感覺位于左圖中心的圓好像比右圖中心的圓要小一些，實(shí)際上這兩個(gè)圓是一樣大的.25．（2019·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC和△ADC中，給出下列三個(gè)論斷：①BC=DC；②∠BAC=∠【分析】假設(shè)②∠BAC＝∠DAC；③AB＝AD，證明：①BC＝DC結(jié)論正確，我們可以先求證兩個(gè)三角形全等，然后即可得出結(jié)論．【詳解】條件：②∠BAC=∠DAC，③AB=AD；結(jié)論：①證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD所以△ABC?△ADC，所以BC=DC.（答案【點(diǎn)睛】此題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)這一知識(shí)點(diǎn)，此題的關(guān)鍵是明確題設(shè)和結(jié)論的含義，然后問題可解．26．（2020·全國八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，現(xiàn)有以下3個(gè)論斷：；；．（1）請(qǐng)以其中兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論組成命題，你能組成哪幾個(gè)命題？