湘豫名校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

第1頁/共1頁湘豫名校聯(lián)考2024—2025學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對條形碼上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.x1<x≤3 B.或x≥1C. D.或【答案】D【解析】【分析】先解一元一次不等式及分式不等式化簡集合M與集合N，再利用集合交集運算求解.【詳解】因為集合集合或x>1，所以或．故選：D．2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)的除法計算得解.詳解】依題意，，所以．故選：A3.在平面直角坐標(biāo)系中，角與角的頂點均與坐標(biāo)原點重合，始邊均與軸的非負(fù)半軸重合，終邊關(guān)于直線對稱．若角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角的對稱性、三角函數(shù)的定義，即可得所求角得余弦值．【詳解】由角的終邊經(jīng)過點，因為結(jié)合角與角的終邊關(guān)于直線對稱，可勁兒得角的終邊必經(jīng)過點．所以．故選：C．4.已知是定義域為的奇函數(shù)，且時，，則“在上單調(diào)遞增”的充要條件是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可得“在上單調(diào)遞增”的充要條件的的取值范圍.【詳解】因為是定義域為的奇函數(shù)，則，且時，，若在上單調(diào)遞增，則，解得,故“在上單調(diào)遞增”的充要條件是“”.故選：D.5.已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，直線分別交軸的正半軸、軸的正半軸于兩點，的面積為，若點為平面內(nèi)一點，且滿足，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)，則，解得，所以．故選：B．6.漢代劉歆等人設(shè)計的“新莽嘉量”，是集龠、合、升、斗、斛五量為一器的標(biāo)準(zhǔn)量器，各器均為圓筒形（可視為圓柱）．如圖，正中的圓柱體的上部為斛量，下部為斗量，左耳為升量，右耳上為合量，下為龠量．某興趣小組制作一“新莽嘉量”模型，設(shè)升、斗、斛圓柱的底面半徑分別為，高分別為，體積分別為．若成等比數(shù)列，且，，則（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定的信息，利用圓柱的體積公式及等比數(shù)列定義求解即得.【詳解】依題意，，即所成等比數(shù)列的公比為10，則，所以.故選：B7.已知拋物線的焦點為為上一點，為上一動點，是坐標(biāo)原點．若，垂足為，則的最大值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)題意列等式即可求解．【詳解】由題可得，所以，所以F1,0．因為，所以點在以線段為直徑的圓上．由題易得該圓的圓心為線段的中點，所以圓心坐標(biāo)為，半徑為．所以O(shè)P的最大值為．故選：C．8.已知函數(shù)，其從小到大的第個零點記為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】令，在上的零點與函數(shù)的相同，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，分析可知，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都有唯一零點，且注意到，進(jìn)而可得出、、、的值，代值計算可得所求代數(shù)式的值.【詳解】因為，令，顯然在上的零點與函數(shù)的相同，又，由且，可得，令且，可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又，，，所以在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)都有唯一零點．另一方面，注意到．所以，，，，所以．故選：A．【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)y=gx的圖象的交點問題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.踢毽子是一項深受青少年兒童喜愛的民間體育活動．某校踢毽子社團(tuán)共10名學(xué)生，下表記錄了這10名學(xué)生一分鐘踢毽子的個數(shù)．小于20個的人數(shù)3不小于20個，小于30個的人數(shù)5不小于30個的人數(shù)2設(shè)這10名學(xué)生一分鐘踢毽子的個數(shù)的平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)分別為，則下列說法一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差、眾數(shù)、中位數(shù)的概念結(jié)合已知問題，逐項驗證即可得結(jié)論.【詳解】對于A，平均個數(shù)的最小值，無法確定具體數(shù)據(jù)，因此一定正確；對于，若10名學(xué)生一分鐘踢毽子的個數(shù)為0，0，0，20，20，20，20，20，30，30，則平均個數(shù)，方差，故B不正確；對于C，若10名學(xué)生一分鐘踢毽子的個數(shù)為0，0，0，20，21，22，23，24，30，30，則眾數(shù)，故C不正確；對于D，中位數(shù)應(yīng)為數(shù)據(jù)排序后，第五個數(shù)據(jù)和第六個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由題可知這兩個數(shù)均在內(nèi)，所以，故正確．故選：AD．10.已知函數(shù)若實數(shù)滿足，則（）A.在上不單調(diào) B.沒有極值，也沒有最值C. D.【答案】BC【解析】【分析】判斷出函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷A；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷B；設(shè)，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而得，即有，從而判斷C；分、求出的值，從而判斷D.【詳解】作出函數(shù)y=fx由于二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞增，同時在處的函數(shù)值與在處的函數(shù)值相等，所以在上單調(diào)遞增，故A錯誤；由在上單調(diào)遞增，所以沒有極值，也沒有最值，故B正確；不妨設(shè)，則由單調(diào)遞增可得．又，所以，所以只能，故正確；所以，若，則，此時；則；若，則，此時，則，故錯誤．故選：BC．11.已知數(shù)列滿足，且為數(shù)列的前項和，則（）A.若，則存在，使得B.若，則成等差數(shù)列C.存在數(shù)列，使得D.存在，使得【答案】ABC【解析】【分析】本題給出數(shù)列的首項及遞推公式，引導(dǎo)學(xué)生利用遞推關(guān)系研究數(shù)列的特定項，以及前項和，由于遞推關(guān)系不唯一確定，則需要用好不等式思想和特例思想來求解．【詳解】設(shè)為數(shù)列中第一次取負(fù)值的項，則，否則，與題設(shè)矛盾．所以一定存在，使得，A正確;因為，所以．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以成等差數(shù)列，B正確;取，則，正確;由于一定是奇數(shù)，一定是偶數(shù)，所以必為奇數(shù)，因此不存在，使得，D錯誤;故選:ABC．【點睛】方法點睛：利用好遞推中的確定關(guān)系和不等式關(guān)系，從而根據(jù)相應(yīng)問題去解答三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)在上存在極值，則實數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再探討并求出極值點，列式求出范圍.【詳解】函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，無極值點；當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則是函數(shù)的極值點，依題意，，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：13.若直線與雙曲線有且只有一個交點，則實數(shù)的值是______．【答案】【解析】【分析】由直線恒過定點，直線不可能與雙曲線相切，只能直線平行與漸近線.【詳解】由于直線恒過定點，所以直線不可能與雙曲線相切．要滿足有且只有一個交點，直線必須平行于雙曲線的漸近線，漸近線方程為，所以，解得故答案為：14.有4個不透明的袋子，每個袋子中均裝有形狀、大小完全相同的4個小球，編號分別為1，2，3，4．甲、乙、丙、丁4名同學(xué)依次隨機(jī)從每個袋子中各取出1個球，取出不放回．已知甲取出的4個小球編號之和為14，乙取出的4個小球編號之和為13，則丙取出的4個小球編號之和大于6的概率是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意首先算出第一行數(shù)字之和為14，并且第二行數(shù)字之和為13的填法，再求出在第一行數(shù)字之和為14，并且第二行數(shù)字之和為13的條件下，第三行數(shù)字之和大于6的填法，兩個數(shù)相除即可.【詳解】題中問題等價于往如下表格中隨機(jī)地填數(shù)字，其中每列都是1，2，3，4的排列，求在第一行數(shù)字之和為14，并且第二行數(shù)字之和為13的條件下，第三行數(shù)字之和大于6的概率．

ABCD甲

乙

丙

丁

第一行數(shù)字之和為14，并且第二行數(shù)字之和為13包含的情況數(shù)可如下計算：如果第一行數(shù)字是3個4，1個2，那么共種不同的填法；如果第一行數(shù)字是2個4，2個3，那么共種不同的填法．所以共有種不同填法．第三行數(shù)字之和大于6包含的情況數(shù)可如下計算：①第一行數(shù)字依次是4，4，4，2，則第二行只能依次為3，3，3，4，如下表．

甲4442乙3334丙

丁

如果第三行第四列是3，則前3列可以是2，2，2，或2，2，1，或2，1，1；如果第三行第四列是1，則前3列可以是2，2，2，共有種可能．所以如果第一行數(shù)字是3個4，1個2，那么共種不同的填法．②第一行數(shù)字依次是3，3，4，4，則第二行可能為4，4，3，2或4，4，2，3，如下表（只列出其中一種情況）．

甲3344乙4432丙

丁

此種情況下，余下兩行也有8種不同的填法，所以如果第一行數(shù)字是2個4，2個3，那么共種不同的填法．所以第三行數(shù)字之和大于6共有種不同的填法．所以第三行數(shù)字之和大于6的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知在銳角中，內(nèi)角對邊分別為，且滿足（1）求；（2）若，點在延長線上，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理將角化為邊，再用余弦定理即可求出角B的值（2）利用正弦定理先求出，進(jìn)而得到，再利用余弦定理即可求得結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理，得，由余弦定理，得，所以．因為為三角形內(nèi)角，所以．【小問2詳解】在中，由正弦定理，得，所以．因為為銳角三角形，所以．所以．在中，由余弦定理，得，所以，所以．所以．16.如圖，在三棱錐中，平面為棱上的動點．（1）求證：平面；（2）是否存在點，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，請求出點的位置；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在點，且當(dāng)點位于上靠近的三等分點【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理得到，由勾股定理得到，再根據(jù)線面垂直的定義即可證明平面．（2）過作，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由平面與平面夾角的余弦值為，即可求出D的坐標(biāo).即得答案.【小問1詳解】因平面平面平面，所以且．由，且，可得．由，因為,可得．因為平面平面，所以平面．【小問2詳解】過作，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系．則．設(shè)平面的法向量為，由題可得，則即取，則平面的一個法向量為．由于在棱上，設(shè)，所以．所以．設(shè)平面的法向量為，由題可得，則即取，則平面的一個法向量為．由題意，得，整理得．解得或．因為，所以．故存在點，且當(dāng)點位于上靠近的三等分點時，平面與平面夾角的余弦值為．17已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線過點，求實數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到切線斜率，點斜式得到曲線在處的切線方程，代入可求實數(shù)的值；（2）對討論兩種情況，分別求出導(dǎo)函數(shù)，再分別對進(jìn)行討論，對每種情況判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【小問1詳解】當(dāng)時，．因為，所以．所以切線方程為．又切線過點，代入切線方程可得．【小問2詳解】當(dāng)時，．因為，所以若，則當(dāng)x∈0,+∞時，單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．當(dāng)時，．因為．所以若時，則當(dāng)時，單調(diào)遞增；若時，則當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．又易知時，對任意，均有，所以時，單調(diào)遞增區(qū)間是．綜上所述，時，單調(diào)遞增區(qū)間是；時，單調(diào)遞增區(qū)間是；時，單調(diào)遞增區(qū)間是．18.已知橢圓的左、右焦點分別為，直線過點與交于兩點，且的周長為8．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；（2）設(shè)與的角平分線交于點，若點到直線的距離為，求直線的方程．【答案】（1），（2）或【解析】【分析】（1）由的周長為8，可得，，即可得橢圓方程，再根據(jù)離心率公式求解即可；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，不滿足題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立，從而得的面積為，則，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值即可；【小問1詳解】解：由題可知，所以．所以，解得．所以的標(biāo)準(zhǔn)方程是．又，所以離心率．【小問2詳解】解：由（1）可知F2當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線．與橢圓方程聯(lián)立得．設(shè)Ax因為直線過橢圓內(nèi)的定點，所以均能保證，則．因為與的角平分線交于點，所以點到的距離均為．所以的面積為．所以．所以．又．