基本不等式及其應(yīng)用（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第4講基本不等式及其應(yīng)用

知識(shí)梳理

1、基本不等式

如果0>0,6>0,那么而V*,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立.其中，"2叫作a"

22

的算術(shù)平均數(shù)，而叫作a"的幾何平均數(shù).即正數(shù)a"的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何

平均數(shù).

基本不等式1：若a,bwR,則仍，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號(hào)；

基本不等式2:若a,beR+,則“+”4^）（或a+bN2，石），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等

2

號(hào).

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求

最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件.（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一

致.

【解題方法總結(jié)】

1、幾個(gè)重要的不等式

（1）cr>0（（2e7?）,Va>0（a>0）,|a|>0（（2e7?）.

（2）基本不等式：如果則拓（當(dāng)且僅當(dāng)“a=b”時(shí)取

特例：a>0,a+—>2;—+—>2（a,6同號(hào)）.

aba

（3）其他變形：

①/+/2也土宜（溝通兩和a+b與兩平方和a2+b2的不等關(guān)系式）

2

②占廿（溝通兩積而與兩平方和/+/的不等關(guān)系式）

2

③必43-（溝通兩積仍與兩和a+b的不等關(guān)系式）

④重要不等式串：了工了4而4等wU（a,beR+）即

ab

調(diào)和平均值W幾何平均值W算數(shù)平均值W平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）.

2、均值定理

已知x,yeR+-

（x+y^S1

（1）如果x+y=S（定值），貝U"=—（當(dāng)且僅當(dāng)“X=>”時(shí)取"="）.即“和

為定值，積有最大值”.

（2）如果中=尸（定值），則x+y?2標(biāo)=2#（當(dāng)且僅當(dāng)“x=y”時(shí)取即積

為定值，和有最小值

3、常見求最值模型

模型一：mx+—>2y/mn（m>0,n>0）,當(dāng)且僅當(dāng)x=?區(qū)時(shí)等號(hào)成立；

xvm

模型二：mx+---=m(x-a)+--——ma>2y[mn+ma(m>0,z?>0),當(dāng)且僅當(dāng)

x—ax-a

x—a巴時(shí)等號(hào)成立;

m

x

模型三：一一J-c」7(a>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)[I時(shí)等號(hào)成立;

ax+bx+cax+b+-2，ac+bx=\a

x

西開iirm/、mx(n-mx)1,mx+n-mx不，八八八〃、山口

模型四：x(ji-mx)=---------<—?(---------)x2=一(m>0,w>0,0<x<—),當(dāng)且

mm24mm

僅當(dāng)x=」-時(shí)等號(hào)成立.

2m

必考題型全歸納

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

【解題方法總結(jié)】

熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是

否成立進(jìn)行驗(yàn)證.

例1.（2024?遼寧?校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種.利用圖形證明就是一種

方式.現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形金。中，點(diǎn)O為斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。為斜

邊N8上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)4D=a,BD=b,用該圖形能證明的不等式為（）.

B.2ab44^)(a>Q,b>0)

a+b

a+b2

<(a>0,b>0)D.cT+Z>>2\[ab(a>0,/?>0)

2

例2.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知x,y都是正數(shù)，且XWN,則下列選項(xiàng)不恒成立的

是（）

A.x+y>4^yB.—+—>2

2yx

C.D.xy+—>2

x+yxy

例3.（2024?江蘇?高三專題練習(xí)）下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知而W0,求*2的最小值；解答過程：￡+￡3=2；

babaNba

%2+5_____]

②求函數(shù)歹=X—的最小值;解答過程：可化得y=J』+4+/2，22；

VX2+43+4

③設(shè)x>l,求y=x+2~的最小值；解答過程：、=尤+二一22、臣，

x-lx-1Vx-1

當(dāng)且僅當(dāng)x=3即》=2時(shí)等號(hào)成立，把x=2代入2、臣得最小值為4.

x-l\X-1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

題型二：直接法求最值

【解題方法總結(jié)】

直接利用基本不等式求解，注意取等條件.

例4.（2024?河北?高三學(xué)業(yè)考試）若x,yeR+,且x+2y=3,則中的最大值為______.

例5.（2024?重慶沙坪壩?高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若。，b>0,且質(zhì)=a+6+3,

則ab的最小值是.

例6.（2024?天津南開?統(tǒng)考一模）己知實(shí)數(shù)。>0,6>0,。+6=1,則2"+2"的最小值為

題型三：常規(guī)湊配法求最值

【解題方法總結(jié)】

1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例7.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若x>-2,則/（x）=x+—匚的最小值為___________.

x+2

4

例8.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知x>0,則2x+——的最小值為.

2x+l----------------

例9.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若x>l,則*+2x+2的最小值為______

x-1

例10.（2024?上海浦東新?高三華師大二附中校考階段練習(xí)）若關(guān)于X的不等式

1+26+4c

2

x+bx+c>O（b>1）的解集為R,則的最小值為__________.

0-1

題型四：消參法求最值

【解題方法總結(jié)】

消參法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式

進(jìn)行求解.解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！

例11.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)0,6滿足必+%-2=0,則勿+6的最小值

是（）

A.2B.442-2C.473-2D.6

例12.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）若R+,（x-y）z=（xy）3,則'的最小值為

xy

例13.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知x>0,了>0,滿足/+2盯-2=0,則2尤+了的最

小值是.

題型五：雙換元求最值

【解題方法總結(jié)】

若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)

用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系.

1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例14.（2024?浙江省江山中學(xué)高三期中）設(shè)a>0,b>0,若6+b「￡ab=\,則百/一仍

的最大值為（）

A.3+V3B.2A/3C.1+V3D.2+73

4ci-\-b

例15.（2024?天津南開?——模）若Q〉0,b>0,c〉0,a+b+c=2,貝1）-+------的最小

a+bc

值為.

例16.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知a>0,b>0,a+2b=\,則一取到最

3a+46a+3b

小值為?

題型六：“1”的代換求最值

【解題方法總結(jié)】

1的代換就是指湊出1,使不等式通過變形出來(lái)后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為

定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形.

1、根據(jù)條件,湊出“1”,利用乘“1”法.

2、注意驗(yàn)證取得條件.

例17.（2024?安徽蚌埠?統(tǒng)考二模）若直線二+==1（。>0/>0）過點(diǎn)（2,3）,則2a+6的最

ab

小值為.

...一4-261

例18.（2024?河北?iW；二校聯(lián)考階段練習(xí)）己知。>0,6>0,。+2。=3,則------1----的最

a2b

小值為.

111

例19.（2024?湖南衡陽(yáng)?高三校考期中）已知x>：,y>2,且3x+y=7,則^-+--

33x-ly-2

的最小值為.

例20.（2024?山東青島?高三山東省青島第五十八中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)房6滿

41

足—-=1,則a+2A的最小值為.

a+b6+1

題型七：齊次化求最值

【解題方法總結(jié)】

齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用

基本不等式進(jìn)行求解.

nr3c

例21.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正實(shí)數(shù)a,b,c,a+b=3,則竺+彳+上3的最小

babc+1

值為.

例22.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知a,6為正實(shí)數(shù)，S.2a+b=l,則冬+色的最小值

a2b

為.

例23.（2024?天津紅橋?高三天津市復(fù)興中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知x>0）>0,則

2222+2孫2的最大值是.

x+4yX+y------------

題型八：利用基本不等式證明不等式

【解題方法總結(jié)】

類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得

證明.

例24.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知a,Ac都是正數(shù)，求證：

（a+Z?）（b+c）（c+a）>Sabc

例25,（2024?河南?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知x,y,z為正數(shù)，證明:

八、什Crt,I11],—+y2+外

⑴右xyz—2,貝U—I--------1—<----------------------------

xyz2

(2)若2x+y+2z=9,貝ijY+產(chǎn)+z?29.

例26.（2024?四川廣安?高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)/（X）=|2t+I"k+W，若〃x）v3

的解集為.

⑴求實(shí)數(shù)加，〃的值；

17

（2）己知兄6均為正數(shù)，且滿足一++2加=0,求證：16/+6228.

2ab

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題

【解題方法總結(jié)】

1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題.

2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件.

3、注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等.

例27.（2024?全國(guó)?高三專題練習(xí)）首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會(huì)在南昌召開，本屆大會(huì)以“節(jié)

能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國(guó)家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，

把二氧化碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為400噸，最多為

600噸，月處理成本V（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為

y=200X+80000,且處理每噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為100元.

（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？

（2）該單位每月能否獲利？如果獲利，求出最大利潤(rùn)；如果不獲利，則需要國(guó)家至少補(bǔ)貼多

少元才能使單位不虧損？

例28.（2024?貴州安順?高一統(tǒng)考期末）某企業(yè)采用新工藝，把企業(yè)生產(chǎn)中排放的二氧化

碳轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品.已知該單位每月的處理量最少為100噸，最多為600噸，

月處理成本（元）與月處理量x（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為

1,

/（x）=-x2-200x+80000.

（1）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使月處理成本最低？月處理成本最低是多少元？

（2）該單位每月處理量為多少噸時(shí)，才能使每噸的平均處理成本最低？每噸的平均處理成本

最低是多少元？

例29.（2024?湖北孝感?高一統(tǒng)考開學(xué)考試）截至2022年12月12日，全國(guó)新型冠狀病毒

的感染人數(shù)突破44200000人?疫情嚴(yán)峻，請(qǐng)同學(xué)們利用數(shù)學(xué)模型解決生活中的實(shí)際問題.

（1）我國(guó)某科研機(jī)構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進(jìn)入二期臨床試驗(yàn)階段?

己知這種新藥在注射停止后的血藥含量c⑺（單位：mg/L）隨著時(shí)間，（單位：h）.的變

化用指數(shù)模型c（，）=c0e-M描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)左=0.1（單位：仁），剛注射這

種新藥后的初始血藥含量4=2000mg/L,且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于

1000mg/L時(shí)才會(huì)對(duì)新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，求該新藥對(duì)病人有

療效的時(shí)長(zhǎng)大約為多少小時(shí)？（精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：ln2?0.693,ln3?1.099）

（2）為了抗擊新冠，需要建造隔離房間.如圖，每個(gè)房間是長(zhǎng)方體，且有一面靠墻，底面積為物

平方米（。＞0）,側(cè)面長(zhǎng)為x米，且x不超過8,房高為4米.房屋正面造價(jià)400元/平方米，側(cè)

面造價(jià)150元/平方米.如果不計(jì)房屋背面、屋頂和地面費(fèi)用，則側(cè)面長(zhǎng)為多少時(shí)，總價(jià)最低？

題型十：與。+6、平方和、而有關(guān)問題的最值

【解題方法總結(jié)】

利用基本不等式變形求解

例30.（多選題）（2024?重慶?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)。，b滿足/+/=浦+1，則（）

A.a-bN—lB.a—bW2y

3

C.ab>--D.ab<