集合與常用邏輯用語-高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)典例分析及重難突破

專題一集合與常用邏輯用語

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)典例分析及重難突破

?典例分析

考查方式

集合是每年高考的必考內(nèi)容，以選擇題為主，難度較低，主要考查元素與集合間的關(guān)系、

集合之間的基本關(guān)系、集合的基本運算（高頻考法），通常會穿插不等式、函數(shù)等知識一起考

查，角度靈活多變，解題時需要注意基礎(chǔ)知識的靈活運用.

常用邏輯用語相關(guān)的考題主要考查充分、必要條件的判定，全稱量詞命題與存在量詞命題

的否定，常以其他知識（如三角函數(shù)、數(shù)列、向量等）為載體命題.

高考真題

1.[2023年新課標(biāo)I卷]已知集合/={—2,—1,0,1,2},7V={x|x2-x-6>0},則必N=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.[2023年新課標(biāo)H卷]設(shè)集合A={0,—a},5={l,a—2,2a—2},若則a=()

A.2B.lC.-D.-l

3

3.[2024年新課標(biāo)]|卷]已知集合4=卜|-5<S<5},B={—3,—1,0,2,3},則AB=()

A.{-1,0}B.{2,3}C.{-3,-l,0}D.{-1,0,2)

4.[2022年新高考H卷]已知集合4={-1,1,2,4},收1},則AB=()

A.{-1,2}B.{1,2}C.{1,4}D.{-1,4}

5.[2022年新高考I卷偌集合加=口|4<4},N={x|3尤訓(xùn)，則MN=()

A.{x[04尤<2}尤<2:

C.{x|3<x<16}尤<16,

6.[2024年新課標(biāo)H卷]已知命題2:VxeR,|x+l|>l,命題">0,x3=x，WJ()

A.p和q都是真命題B.—p和q都是真命題

C.p和—iq都是真命題D.—p和—都是真命題

參考答案

1.答案：C

解析：因為N={x|J—x—620}={削或2},所以MN={—2},故選C.

2.答案：B

解析：依題意，有a—2=0或2a—2=0.當(dāng)a—2=0時，解得a=2,止匕時A={0,—2},8={1,0,2},

不滿足當(dāng)2a-2=0時，解得。=1,此時A={0,-1},5={1,-1,0},滿足AqB.所以a=l,

故選B.

3.答案：A

解析：方法一：因為A={x[—5<d<5}={%|—為<x<狗},B={-3,-1,0,2,3),所以

A3={-1,0},故選A.

方法二：因為(—3)3=—27<—5,(—1)3=—le(—5,5),03=0e(-5,5),23=8>5,33=27>5,

所以—leA,OeA,-3^A,2gA,3^A,所以A3={—1,。}，故選A.

4.答案：B

解析：通解：由I尤一1|41,M-l<x-l<l>解得04x42,所以3={尤|04尤42},所以AB={1,2},

故選B.

優(yōu)解：因為所以4e4B,故排除C,D；又—1走B,所以TeAB,故排除A.故選B.

5.答案：D

解析：通解(直接法)因為M={x|五<4},所以M={x|0Wx<16};因為N={x|3x21},所以

所以MN=，gvx<16，，故選D.

光速解(特取法)觀察選項進(jìn)行特取，取x=4,則4wM,4eN,所以4e(MN),排除A,

B；取x=l,則leM,leN,所以N),排除C.故選D.

6.答案：B

解析：法一：因為VxeR,|x+l|?O,所以命題p為假命題，所以「p為真命題.因為V=x,

所以d_%=o,所以_])=0,即x(x+i)(x—i)=0,解得尤=-1或％=0或兀=1,所以*>0,

使得x3=x,所以命題q為真命題，所以r為假命題，所以.和q都是真命題，故選B.

法二：在命題p中，當(dāng)％=-1時，|x+i|=o,所以命題p為假命題，為真命題?在命題q中，

因為立方根等于本身的實數(shù)有-1,0,1,所以m%>0,使得％3=x,所以命題q為真命題，F(xiàn)

為假命題，所以-1P和q都是真命題，故選B.

?重難突破

1.已知集合4={乂爐—x=0},B={0,-l,-2},則Al、3=()

A.{0}B.{0,l}C.{0,-1,-2)D.[0,1,-1,-2)

2.命題p:Vx>2,x2-l>0,則命題p的否定形式是()

A.Vx>2,x2-l<0B.Vx<2,x2-l>0

C.Bx>2,x2-l<0D.Bx<2,x2-l<0

3.設(shè)集合4=[卜*>2卜5=卜|&<9卜則AB=()

A.{x|ln2<x<3}B.{x|ln2<x<81}

C.卜p<x<81}D.>o}

4.“加<1”是“函數(shù)/(x)=(x-m)2在區(qū)間[L+8)上為增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知命題“*eR,f_3+根<0”是假命題，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[0,4]B.(O,4)C.[0,2]D.(O,2)

6.定義：如果集合u存在一組兩兩不交（兩個集合的交集為空集時，稱為不交）的非空真子集

A，4，...，4,eN*）,且AAAg=u,那么稱子集族{A，4，、4}構(gòu)成集合。的一個

上劃分.已知集合/={xeN|x2_6x+5<0}，則集合/的所有劃分的個數(shù)為（）

A.3B.4C.14D.16

7.已知a力eR,則是的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

8.4={1,%,訓(xùn),3={1,%2,24，若4=5，則實數(shù)x的取值集合為（）

9.如圖，已知全集"=!<,集合A=H（2x-3>（x+l）K0},5={小〉。},則圖中陰影部分表

或或

A.{小《一1}C.J%|%<0xD.Jx|%<0x>g

10.命題''對任意的加目-1,1],總存在唯一的xe[0,3],使得d—2x-am-1=0”成立的充分

必要條件是（）

A.—2<a<2B.—1<Q<1C.0vav1D.—Ivavl

IL集合A={1,2/},B={a2\tzeA）,C=AB,C中元素的和為6,則C中元素的積為（）

A.lB.-lC.8D.-8

12.已知有限集人=也,知…4}（"22,“eN）,如果A中的元素%（i=1,2,...,"）滿足

a1+a,+...+an^aixa2x...xan,就稱A為“完美集”.①集合/1-6-1+6｝是“完美集”;

②若q、生是兩個不同的正數(shù)，且{%，4}是“完美集”，則4、4至少有一個大于2；③二元“完

美集”有無窮多個；④若見為正整數(shù)，則“完美集”A有且只有一個，且〃=3；上列結(jié)論是

真命題的個數(shù)為（）

A.lB.2C.3D.4

13.（多選）設(shè)全集。={—1,0,1,2,3,4},集合A={0,l,2},B={2,4},C={—1,3}，則（）

A.集合A的真子集個數(shù)是7B.AB={0,l,2,4}

L（簿）=0D.B^^C

14.（多選）下列四個結(jié)論中正確的是（）

A.3%,yeR,%2+_y2-4x+2y+5=0

B.命題“VxeR,3d—2%—1<0”的否定是“七°eR,3x；—2%-120”

un（（

C.a>b是a>b+r的充分不必要條件

D.“Y〉y3，，的充要條件是“X>y”

15.（多選）大數(shù)據(jù)時代，需要對數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，檢索過程中有時會出現(xiàn)笛卡爾積現(xiàn)象，而

笛卡爾積會產(chǎn)生大量的數(shù)據(jù)，對內(nèi)存、計算資源都會產(chǎn)生巨大壓力，為優(yōu)化檢索軟件，編程人

員需要了解笛卡爾積.兩個集合A和5,用A中元素為第一元素，3中元素為第二元素構(gòu)成有

序?qū)Γ羞@樣的有序?qū)M成的集合叫作A與8的笛卡兒積，又稱直積，記為Ax9即

=且yc5}.關(guān)于任意非空集合“，N,T,下列說法錯誤的是（）

A.MXN=NXMB.（"XN）XT="X（NXT）

C.MX（^IT）U（MxA^）l（MxT）D.Mx（N\T）=（MxN）（MxT）

16.設(shè)集合4={》|/-x-6<0}，B^{x\-a<x<a},若則實數(shù)。的取值范圍是

17.已知命題q：3%eR,mx2+1<0；命題q：VxeR,x?+znr+l>0.若p,q都是假命題，

則實數(shù)m的取值范圍是.

18.樹德中學(xué)對高一強(qiáng)基班的學(xué)科培優(yōu)進(jìn)行了調(diào)查.調(diào)查結(jié)果顯示：參加物理培優(yōu)的有60人，參

加數(shù)學(xué)培優(yōu)的有80人，參加化學(xué)培優(yōu)的有50人，三科培優(yōu)都參加的有24人，只選擇兩科培

優(yōu)參加的有22人，不參加其中任何一科培優(yōu)的有15人，則接受調(diào)查的高一強(qiáng)基班學(xué)生共有

__________人.

19.已知集合4={》|/+7%+12<0}，集合6={幻1—2機(jī)<大<2帆}其中尤€4是尤€5的充分不必

要條件，則機(jī)的取值范圍是.

20.設(shè)集合〃=[2,3,/—3/。+2+7],N={a—1,3}，已知4e/且4eN，則。的取值集合為

21.已知集合4=卜卜3<x<5},B={x\2a+l<x<2a+7].

(1)當(dāng)a=l時，求A8，AB;

(2)若AB=0，求。的取值范圍.

22.已知p：關(guān)于x的方程/_2依+"2+a_3=o有實數(shù)根，q:m-l<a<m+5.

(1)若命題"是真命題，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若2是q的必要不充分條件，求實數(shù)冽的取值范圍.

23.已知全集為R,>^A={x|m-l<x<2m-l},集合8={%|%2+%—6<。}.

(1)右加=2，求AB)A；

(2)若AB=B，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

24.設(shè)集合4={%卜2+3x+2=。},B=+(m+l)x+m=oj;

(1)用列舉法表示集合A;

(2)若xeB是xcA的充分條件，求實數(shù)機(jī)的值；

(3)求AB,A「B.

25.定義：若任意以“eA(m,〃可以相等)，都有1+/加W0,則集合5=1%%=小士2,私

1+mn

稱為集合A的生成集；

(1)求集合A={3,4}的生成集B；

⑵若集合4=他,2},A的生成集為3,3的子集個數(shù)為4個，求實數(shù)。的值;

(3)若集合A=(—1,1),A的生成集為3,求證4=5.

答案以及解析

1.答案：D

解析：依題意，集合A={0』},而3={0,-1,-2},所以A5={0,1,-1,-2}.故選：D.

2.答案：C

解析：命題p:Vx>2,x2-l>0,為全稱量詞命題，則該命題的否定為：3x>2,x2-l<0.

故選：C

3.答案：B

解析：A={x|x>ln2},B={x|0<x<81},故A5={x|ln2<x<81}.故選:B.

4.答案：A

解析：函數(shù)/(x)=(x-m)2在區(qū)間工+oo)上為增函數(shù)，則mW1，則<1”是“mWl”的充

分不必要條件，故"m<l”是“函數(shù)/(X)=(X-m)2在區(qū)間工+00)上為增函數(shù)”的充分不必要

條件，故選：A.

5.答案：A

解析：已知原命題為假命題，那么它的否定“VxeR,f一如+m》0”為真命題.

對于一元二次函數(shù)y=x2-nu+m，要使其對于任意實數(shù)%都大于等于0.

因為y=f-nu+根20怛成立，所以AW0，即療-4wi<0，解得.故選：A.

6.答案：B

解析：依題意，/={尤wN?2-6x+5<()}={尤eN|1<x<5}={2,3,4},

I的2劃分為{{2,3},{4}},{{2,4},{3}},{{3,4},{2}},共3個,

I的3劃分為{{2},{3},{4}卜共1個，

故集合/的所有劃分的個數(shù)為4.故選：B.

7.答案：A

解析：由a>同可知a>0,所以a?〉/??,所以充分性成立，當(dāng)a=-2,〃=1時，滿足

但是a>|切不成立，所以必要性不成立，故選：A.

8.答案：A

11

X二一x二一

x=2yX=X1x=0,由集合元素互異性可知<2

解析：由題意xwl，<;或42或.

J=2y17=01

則實數(shù)X的取值集合為.故選：A.

9.答案：B

解析：依題意，集合A=Jx|—卜而5={小>0卜則AB^{x\x>-1},

由韋恩圖知，圖中陰影部分表示的集合為即(AB)={x[x<-1}.故選：B

10.答案:D

解析：由x2-2%-々加一1=0得％2-2x=am+1；

①當(dāng)〃=0時，am+l=l,貝！]%2-21=1,解得x=l土啦,

因為1+0?O,3],1—后史[0,3],滿足題意；

②當(dāng)a>0時，〃加+1$—,

若存在唯一的X￡[0,3],使得％2_2%=初+1成立，

貝I]y=/一2%與y=a加+1有且僅有一個交點,

在平面直角坐標(biāo)系中作出2%在[0,3]上的圖象如下圖所示,

由圖象可知：當(dāng)0v劭1+1V3時，2%與y=〃加+1有且僅有一個交點,

所以，\1-a>0,解得此時，0<a<l；

l+tz<3

③當(dāng)a<0時，+,

由②同理可得+解得：a>-l,則—l<a<0.

1—a?3

綜上所述：原命題成立的充要條件為-1<a<1.故選：D.

11.答案：D

解析：因為A={1,2,/},B={a-\a^A},所以4eB,『eB,所以leC,4eC,2eC,

teC,產(chǎn)eC.若/=1,則/=1（舍去）或/=-1,此時C={1,2,4,-1},符合題意，所以C中

的元素的積為Ix2x4x（—1）=—8；若產(chǎn)=2,則"行或f=—JL止匕時C={1,2,4,JI}或

{1,2,4,-夜},與已知C中的元素和為6不符;若產(chǎn)=，貝卜=0或/=1（舍去），此時C={1,2,4,0},

與已知C中的元素和為6不符；若『=4,則/=—2或￡=2（舍去），此時C={1,2,-2,4},與

已知C中的元素和為6不符；若/wl,2,4,r,則。={1,2,4",/},則1+2+4+/+產(chǎn)=6,即

/+。+1=0,止匕時A=l—4=—3<0,所以該方程無解.綜上，C中元素的積為-8.故選D.

12.答案：D

解析：對于①中，卜1—+卜1+=-2,1—-^3^—1+-\/3j=—2,

集合/1-g,-1+百}是“完美集"，所以①正確；

對于②中，若見、的是兩個不同的正數(shù)，且{%,4}是''完美集"，

設(shè)％+4=%?%=。>0，

根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系知，%和的相當(dāng)于VTx+f=0的兩根，

由A=產(chǎn)-4f>0,解得/>4或/<0（舍去），所以a「g〉4，又q,%均為正數(shù)，

所以%、%至少有一個大于2,所以②正確；

對于③中，由②知，一元二次方程爐—沅+/=0,當(dāng)/取不同的值時，q，出的值是不同的，

所以二元“完美集”有無窮多個，所以③正確；

對于④，不妨設(shè)A中％<。2<。3<…<4，

a

由01a2"'n=q+a2T-------卜a”<nan,得axa2■■■an_x<n,

當(dāng)〃=2時，即有q<2,所以q=l,于是1+4=。2，%無解，

即不存在滿足條件的“完美集”；

當(dāng)〃=3時，q%<3，故只能q=l,4=2，求得4=3，

于是''完美集"A只有一個，為{1,2,3}.

當(dāng)〃之4時，由01a2…4-1?lx2x3x…x（〃一l）,即有〃>lx2x3x…x（〃一l）,

事實上，1x2x3x…x（“一1）2（〃一1）（〃-2）=A?—3〃+2=（九一2）~—2+〃>/，矛盾，

所以當(dāng)“24時不存在完美集A,所以④正確.

故選：D.

13.答案：ABD

解析：對于A選項，集合A的元素個數(shù)為3,則集合A的真子集個數(shù)是23_1=7,A對；

對于B選項,因為A={0,l,2},5={2,4},則5={0,1,2,4},B對;

對于C選項,因為全集。={-1,0,1,2,3,4},集合（={0,1,2},C={-1,3}）

則令4={—1,3,4［外。={0,1,2,4卜則（楸）（/）={4bC錯;

對于D選項，由C選項可知，因為5={2,4},eC={0/，2,4},則5口距C,D對.

故選：ABD

14.答案：ABD

解析：對于A,由/+J_4x+2y+5=（x-2）2+（y+1）?=0，解得x=2，y=―］，即*=2，y=—1，

f+產(chǎn)―4x+2y+5=0，故A正確；對于B,根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題可知，

命題“VxeR，3必—2x-1<0”的否定為：“可?R，3焉-2%-120”，故B正確；對于C,

若a>b,貝1Ja>Z?+l不一定成立，令。=1，b=Q.5>滿足。>6，但。=1，/?+1=1.5，a<b+i

即a>b#a>Z>+l;反之，若a>/?+l，由Z?+l>/?，可得a>b，即a>Z?+lna>Z?.所以"a>b"

是“a>b+l”的必要不充分條件，故C錯誤；對于D,由于丁=爐是R上的增函數(shù)，所以

x3>y3=x>y.所以“》3〉y3”的充要條件是“x>y”，故D正確.故選：ABD.

15.答案:ABC

解析：對于A,若河={1},N={1,2}，則MxN={(l,l),(l,2)}，A^xM={(l,l),(2,l)}-

MxN手NxM，A錯誤；

對于B,若〃={1},N={2}，T={3}，則MXN={(1,2)},(MXN)XT={((1,2),3)},

而Mx(NxT)={(l,(2,3))},(MxN'xT豐Mx(NxT)，B錯誤；

對于C,若〃={1},N={2}，T={3}，則Mx(NT)={(1,2),(1,3)}>

MXN={(1,2)}>MXT={(1,3)}>MX(NT)=(MxN)(MXT),C錯誤；

對于D,任取兀素wAfx(NT)，則尤e"且yeNT,則yeN且yeT,

于是(％,y)eMxN且(x,y)eAfxT，即(x,y)e(MxN)(MxT)，

反之若任取兀素(x,y)e(MxN)(MxT)，則(x,y)eA/xN且(x,y)GAfxT，

因止匕xe",yeN且yeT,即且yeNiT,

所以(x,y)eMx(NT),即Mx(NT)=(MxN)(MxT),D正確.故選：ABC

16.答案:[3,+oo)

解析：由題意得4=5|爐—x—6<0}={戈|—2<x<3}，A^B，

所以「心―2,則BPaG[3,+00).

a>3

17.答案：[2,+oo)

解析：命題p的否定X/xeR,如？+1>0為真命題，當(dāng)爪=0時恒成立，當(dāng)機(jī)/0時，可得加>0,

故田.命題q的否命題±eR,f+g+iwo為真命題，所以△=〃/—420,解得機(jī)W—2或

m>2,故范圍是[2,+co).

18.答案：135

解析：由文恩圖可得；參加培優(yōu)的人數(shù)為(60+80+50)-22-2x24=120,

又不參加其中任何一科培優(yōu)的有15人，

所以接受調(diào)查的高一強(qiáng)基班學(xué)生共有120+15=135.

故答案為：135.

19.答案：[,+s]

解析：因為尤eA是xeB的充分不必要條件，所以AU3,因為不等式尤2+7X+12<0的解集為

所以1六1“所以心I，所以加的取值范

1x|-4<x<一3}，所以A={x|-4K%K-3),

圍是1g,+Go].

20.答案：{-2}

解析：因為4￡M，即4￡，2,3,/—3〃,aH---F71,所以〃2—3a=4或Q^---17=4.右/_3a-4，

IaJa

、?、?

則〃=一1或〃=4；若i+—+7=4,即〃2+3〃+2=0,貝UQ=-1或Q二一2.由〃2一3〃與卜7

aa

互異，得Qw—1，故〃=—2或〃=4.又4更N，即4e{。一1,3}，所以Q—lw4且Q—lw3，解得aw5

且.綜上所述，〃的取值集合為{-2},故答案為{-2}.

21.答案：(1)A5=卜|一3vxK9},A3={%[3<]<5}.

(2)(-oo,-5]_[2,+oo)

解析：(1)當(dāng)〃=1時，5={x[3<xK9},而A={%|-3<%<5},

則AB={x|-3<x<9},AB^{x\3<x<5].

(2)由AB=0，得2Q+1N5或2a+7<—3，解得〃22或5，

所以a的取值范圍是(-oo,-5][2,+oo).

22.答案：(l)fl>3

(2)m<-2

解析：(1)因為命題-j?是真命題，則命題p是假命題，

即關(guān)于冗的方程2依+/+〃—3=0無實數(shù)1艮，

因止匕A=4/—4(/+〃—3)<0,解得〃>3，

所以實數(shù)。的取值范圍是〃>3.

(2)由(1)知，若命題p是真命題，貝!Jp:〃K3,

因為命題p是命題q的必要不充分條件，

則{〃|祖-1KQK根+5}是{〃|aK3}的真子集，

因此根+5?3，解得加<-2,

所以實數(shù)m的取值范圍是加V—2.

23.答案：(1){x|2<x<3};

(2)m<—

2

解析：(1)B=x2+x-6<01=^x|-3<x<2j,

當(dāng)機(jī)=2時'A=1x|l<x<31,A5={目-3Vx<3},>21,

A03={x[2<%<3};

(2)AB=B，/.AoB,

當(dāng)A=0時，m-1>2m—i>解得根<0；

m-1<2m-1,

當(dāng)Aw0時，sm-1>-3,解得04加<一；

2

2m—1<2,

綜上，m<—?

2

24.答案：(1)A={-1,-2}

(2)m=2

(3)答案見解析

解析：(1)集合-={小2+3%+2=0}={-1,-2},SPA={-l,-2};

(2)由已知A={-1,—2}，5={x,+(m+l)x+7〃=o}={x[x+l)(x+m)=o},

若xeB是xeA的充分條件，則3口A，

情形一：若機(jī)=1，則5={-1}RA={-1,-2}，故機(jī)=1滿足題意；

情形二：若m=2，則5=A，故m=2滿足題意；

情形二：若帆/1且則存在-加G_B，但-ni史A，這與30A矛盾，故此情形不符合題

思；

綜上所述，滿足題意的機(jī)的值為1或2；

(3)A={-1,-2),

情形一：當(dāng)機(jī)=1時，B={x|(x+l)(x+m)=0}={-l},止匕時AB={—1,—2},AB={-1};

情形二：當(dāng)機(jī)=2時，3=卜卜+1)(%+加)=。}={—1,—2},此時AB=1,—21>

AB={-l,-2］；

情形三：當(dāng)"http://I且機(jī)/2