幾何最值問題4種類型（費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）（原卷版）

重難點(diǎn)突破14幾何最值問題4種類型

（費(fèi)馬點(diǎn)、胡不歸模型、阿氏圓模型、瓜豆原理）

重難點(diǎn)題型突破

證明過程及結(jié)論

與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

費(fèi)馬點(diǎn)

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)常見題型解讀（5種）

幾

何

模型解讀

最胡不歸模型

值

問

兩點(diǎn)在圓外

題令

兩點(diǎn)在圓內(nèi)

4阿氏圓模型

當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用"胡不歸模型"求解

種求PA+kPB的最小值問題時(shí)

類當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用"阿氏圓模型"求解

型

【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件（”一定兩動(dòng)、定角、定比"）;

瓜豆原理結(jié)論證明

重難點(diǎn)題型突破

題型01費(fèi)馬點(diǎn)

【基礎(chǔ)】費(fèi)馬點(diǎn)概念：三角形內(nèi)部滿足到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)，稱為費(fèi)馬點(diǎn).

結(jié)論:

1）對(duì)于一個(gè)各角不超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)是對(duì)各邊的張角都是120°的點(diǎn)；對(duì)于

2）有一個(gè)角超過120°的三角形，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn).

（注意：通常涉及費(fèi)馬點(diǎn)的試題中三角形的最大頂角小于120°）

【解題思路】運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉(zhuǎn)60°構(gòu)造等邊三角形，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

得出最短長(zhǎng)度.

結(jié)論證明過程：

情況一：當(dāng)aABC各角不超過120°時(shí)，

將AAPB繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到AAPB

貝!JAAPBeAA'P'BBP=BP'AP=AP'NA'P'B=/APB

而NP，BP=60°貝ijAP'BP為等邊三角形

NBPP'=/P'BP=NBP'P=60°

：PA+PB+PC=P'A'+PP'+PCWA'C

.,.當(dāng)A，、P\P、C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC的最小值為AC

此時(shí)NBPC=180°-ZBPP'=12O°

NAPB=NAPB=180°-ZBPZP=120°

NAPC=360°-ZAPB-ZBPC=120°

情況二（僅需理解）：當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角不小于120°時(shí),

延長(zhǎng)BA至C使得AC=AC,做NC'AP'=NCAP,

并且使得AP'=AP,PC'=PC,則△APC之△APC

VZBAC^120°

ZPAP'=180°-ZBAP-ZC'AP'=1800-ZBAP-ZCAP=180°-NBACW

2/32P'

B

60°

等腰三角形PAP中，AP2PP

...PA+PB+PC》PP'+PB+PC>BC'=AB+AC（（只有當(dāng)P、A重合時(shí)取等號(hào)））

所以，當(dāng)有一內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，所求的P點(diǎn)就是鈍角的頂點(diǎn).

【費(fèi)馬點(diǎn)的作法】（當(dāng)^ABC各角不超過120。）

D

A

/\X-x

*

F

作法：1）如圖，分另Ij以AABC中的AB、AC為邊，作等邊AADB、等邊AAEC

2）連接CD、BE,則AADC經(jīng)AABE（手拉手模型）

3）記CD、BE交點(diǎn)為P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).

4）以BC為邊作等邊ABCF,連接AF,必定經(jīng)過點(diǎn)P,且BE=AF=CD.

【擴(kuò)展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費(fèi)馬點(diǎn)結(jié)論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側(cè)作等邊三角形，連接DC、EB,交點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)P為費(fèi)馬點(diǎn).

圖形結(jié)論

等腰三角形A①NAPB=/BPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③4BCP為等腰三角形；

?△ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

等邊三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=/APC=120°；

③AABP、AACP,Z\BCP全等；

W④點(diǎn)P是垂心，是aABC各邊的高線的交點(diǎn)；

⑤點(diǎn)P是4ABC各邊的中線的交點(diǎn)；

3/32

⑥點(diǎn)p是內(nèi)心，是在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線的

交點(diǎn)；

⑦AABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三頂點(diǎn)的距離之和為AP+BP+CP,且點(diǎn)P

V

為費(fèi)馬點(diǎn)時(shí)和最??；

②NAPB=NBPC=/APC=120°

Bc

【進(jìn)階】

加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)模型概述：前面學(xué)的PA+PB+PC最小值的費(fèi)馬點(diǎn)問題線段前面系數(shù)都是1,如果現(xiàn)在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數(shù)不是1,那么此類題目就叫做“加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)”.

【關(guān)鍵】系數(shù)的改變只是影響了旋轉(zhuǎn)角度的改變，依然考的是旋轉(zhuǎn).

已知：在RtZ^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,ZkABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,連接PA,PB,PC

A

4/32

△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得ACDE

此時(shí)4PCE為等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,則當(dāng)B、P、E、D

四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求，在Rt^BFD

中有勾股定理可得BD=V5F*2+FD2=V91

△CAP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得4CDE

此時(shí)4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+V5PC=ED+PB+PE,則當(dāng)

B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BD長(zhǎng)度即為所求,

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

760+30V3

思路：原式=2(PA+知B+遺PC)

22

1)將PC邊繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°,然后過點(diǎn)P作PFLCE于

點(diǎn)F,則PF=遑PC2)利用三角形中位線來處理；3)

PA前的系數(shù)是1,不需要轉(zhuǎn)化，所以旋轉(zhuǎn)APCB.

過程：ABCP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過

點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，即

PF=^pc,過點(diǎn)F作FG〃DE,貝?。軫G=-PB,則當(dāng)A、P、

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，AG長(zhǎng)度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V341原式

=2(PA+|PB+^PC)=2734

過程：AACP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得ACDE,然后過

點(diǎn)P作PFLCE于點(diǎn)F,此時(shí)4PCE為等邊三角形，即

PF+gpc,過點(diǎn)F作FG〃DE,貝ijFG=-AP,則當(dāng)B、P、

22

F、G四點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，BG長(zhǎng)度即為所求，在Rt

△BCG中有勾股定理可得BG=JCG+AC?=7.5,原式=4

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（工PA+PB+避PC）=26

22

備注：若變形后的系數(shù)不是特殊值，則可借助位似的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

【費(fèi)馬點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2022?廣東廣州?統(tǒng)考一模）如圖，在ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,點(diǎn)P是A3邊上一動(dòng)點(diǎn)，作PDLBC

于點(diǎn)。，線段上存在一點(diǎn)。，當(dāng)Q4+Q3+QC的值取得最小值，且4。=2時(shí)，貝U9=.

2.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知矩形48C。，AB=4,BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC

邊上任意一點(diǎn)，則MA+MO+ME的最小值為.

3.（2021?遼寧丹東?統(tǒng)考中考真題）已知：到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)稱為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如

果ATIBC是銳角（或直角）三角形，則其費(fèi)馬點(diǎn)尸是三角形內(nèi)一點(diǎn),且滿足NAPB=乙BPC=1PA=120。.（例

如：等邊三角形的費(fèi)馬點(diǎn)是其三條高的交點(diǎn)）.若AB=AC=小,BC=2W,尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，貝UP4+

PB+PC=；若48=2舊,8。=2,4C=4,尸為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，則P2+PB+PC=.

4.（2022下?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期中）【問題背景】17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國(guó)律師皮耶?德?費(fèi)

馬，提出一個(gè)問題：求作三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)，使它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)

馬點(diǎn)”.

如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，將AAPC繞點(diǎn)2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到則可以構(gòu)造出等邊△APP'得4P=

PP',CP=CP',所以P4+PB+PC的值轉(zhuǎn)化為「「'+「8+「￡，的值，當(dāng)B,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，線段BC

的長(zhǎng)為所求的最小值，即點(diǎn)P為△4BC的“費(fèi)馬點(diǎn)”.

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c'

(1)【拓展應(yīng)用】

如圖i,點(diǎn)p是等邊AaBC內(nèi)的一點(diǎn)，連接pa,PB,PC,將APAC繞點(diǎn)a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△ap'c'.

①若尸4=3,則點(diǎn)P與點(diǎn)P'之間的距離是；

②當(dāng)P4=3,PB=5,PC=4時(shí)，求NAP，C，的大??；

(2)如圖2,點(diǎn)P是A4BC內(nèi)的一點(diǎn)，且NB4c=90。，AB=6,AC=2V3,求24+PB+PC的最小值.

5.(2023?湖北隨州?統(tǒng)考中考真題)1643年，法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條

直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面上到這二個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托

里拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營(yíng)”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請(qǐng)補(bǔ)充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數(shù)，④處填寫該三角

形的某個(gè)頂點(diǎn))

當(dāng)小4BC的三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，

如圖1,將AAPC繞，點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到△A得C,連接PP，，

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由PC=P'C,LPCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP'=PC,y.P'A'=PA,i^PA+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當(dāng)B,P,P',A在同一條直線上時(shí)，P4+P8+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時(shí)的

P點(diǎn)為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)”，且有N4PC=乙BPC=乙4PB=③；

已知當(dāng)△力BC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。時(shí)，“費(fèi)馬點(diǎn)”為該三角形的某個(gè)頂點(diǎn).如圖3,若N84C2120。,

則該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)，為④點(diǎn).

(2)如圖4,在AaBC中，三個(gè)內(nèi)角均小于120。，且AC=3,BC=4,41c8=30。，已知點(diǎn)尸為△ABC的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求P4+PB+PC的值；

(3)如圖5,設(shè)村莊A,B,C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站尸沿直線向A,B,C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由中轉(zhuǎn)站尸到村莊A,B,C的鋪設(shè)成本分別為。

元/km,。元/km,&a元/km,選取合適的尸的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為元.(結(jié)果用

含a的式子表示)

6.(2021上?江蘇蘇州?八年級(jí)蘇州工業(yè)園區(qū)星灣學(xué)校?？计谥?背景資料：在已知A/IBC所在平面上求一點(diǎn)

P,使它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.這個(gè)問題是法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬1640年前后向意大利物理學(xué)家托

里拆利提出的，所求的點(diǎn)被人們稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”.如圖1,當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)P在AABC

內(nèi)部，當(dāng)41PB=NAPC=乙CPB=120。時(shí)，則PA+PB+PC取得最小值.

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(1)如圖2,等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù)，為了

解決本題，我們可以將AABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到AACP，處，此時(shí)AACP，三AABP這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，

將三條線段P4PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出乙4PB=；

知識(shí)生成：怎樣找三個(gè)內(nèi)角均小于120。的三角形的費(fèi)馬點(diǎn)呢？為此我們只要以三角形一邊在外側(cè)作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點(diǎn)與△ABC的另一頂點(diǎn)，則連線通過三角形內(nèi)部的費(fèi)馬點(diǎn).請(qǐng)同學(xué)們探索以下問

題.

(2)如圖3,△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。，在AaBC外側(cè)作等邊三角形△ABB1連接CB，,求證：CB'^AABC

的費(fèi)馬點(diǎn).

(3)如圖4,在RTA2BC中，ZC=90°,AC=1,Z.ABC=30°,點(diǎn)尸為A4BC的費(fèi)馬點(diǎn)，連接2P、BP、CP,求

P4+PB+PC的值.

(4)如圖5,在正方形ABCD中，點(diǎn)E為內(nèi)部任意一點(diǎn)，連接4E、BE、CE,且邊長(zhǎng)4B=2；求4E+BE+CE的

最小值.

7.(2022?山東德州?統(tǒng)考一模)若一個(gè)三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點(diǎn)所對(duì)三角形三邊的張

角均為120。，此時(shí)該點(diǎn)叫做這個(gè)三角形的費(fèi)馬點(diǎn).如圖1,當(dāng)△ABC三個(gè)內(nèi)角均小于120。時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)尸在

△ABC內(nèi)部，此時(shí)N4PB=乙BPC=NCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

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(1)如圖2,等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數(shù).為

了解決本題，小林利用“轉(zhuǎn)化”思想，將△繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處，連接PP',此時(shí)AZCP'三△4BP,

這樣就可以通過旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段出，PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出N4PB=.

(2)如圖3,在圖1的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)BP,在射線8尸上取點(diǎn)D,E,連接AE,AD.使AD=AP,乙DAE=APAC,

求證：BE=PA+PB+PC.

(3)如圖4,在直角三角形ABC中，^ABC=90°,AACB=30°,4B=1,點(diǎn)P為直角三角形ABC的費(fèi)馬

點(diǎn)，連接AP,BP,CP,請(qǐng)直接寫出24+PB+PC的值.

8.(2021?河南鄭州?鄭州外國(guó)語中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))閱讀材料：平面幾何中的費(fèi)馬問題是十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)

家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題.1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)

家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了下面這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請(qǐng)求托里拆

利幫忙解答：給定不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A,B,C,求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最短的點(diǎn)尸的位置.托

里拆利成功地解決了費(fèi)馬的問題.后來人們就把平面上到一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C距離之和最小的

點(diǎn)稱為的費(fèi)馬-托里拆利點(diǎn)，也簡(jiǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)或托里拆利點(diǎn).問題解決：

(1)費(fèi)馬問題有多種不同的解法，最簡(jiǎn)單快捷的還是幾何解法.如圖1,我們可以將A8PC繞點(diǎn)8順時(shí)針

旋轉(zhuǎn)60。得到連接P。，可得ABP。為等邊三角形，故PD=PB,由旋轉(zhuǎn)可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，B4+P2+PC的最小值與線段_的長(zhǎng)度相等；

(2)如圖2,在直角三角形內(nèi)部有一動(dòng)點(diǎn)P,/BAC=90°,ZACB=30°,連接B4,PB,PC,若AB=2,

求PA+PB+PC的最小值；

(3)如圖3,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4,ZABC=60°,平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)E,在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，始終有/BEC=90。，

連接AE、DE,在△&￡>￡內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P,使得P4+PD+PE最小，若存在，請(qǐng)直接寫出E4+PD+PE的

最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

10/32

A

9.（2020.江蘇南通?南通市新橋中學(xué)?？家荒＃?）【操作發(fā)現(xiàn)】

如圖1,將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)50。，得到AAOE,連接則NA8O=度.

（2）【解決問題】

①如圖2,在邊長(zhǎng)為近的等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,ZAPC=90°,ZBPC=120°,求AAPC的面積.

②如圖3,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若PB=1,B4=3,ZBPC=135°,

則PC=.

（3）【拓展應(yīng)用】

如圖4是A,B,C三個(gè)村子位置的平面圖，經(jīng)測(cè)量4B=4,BC=3V2,ZABC=75°,P為△ABC內(nèi)的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，連接E4,PB,PC.求E4+P3+PC的最小值.

【加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2021.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙4c8=30。,3。=6,4。=5,在△ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P,

連接P4PB、PC.（加權(quán)費(fèi)馬點(diǎn)）求：

(2)PA+PB+魚PC的最小值

(3)P2+PB+V5PC的最小值;

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(4)2P4+PB+gPC的最小值

(5)工PA+PB+且PC的最小值;

(6)2P4+4PB+2百PC的最小值

(7)4P4+2PB+2gPC的最小值;

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

題型02胡不歸模型

【模型介紹】從前有一位姓胡的小伙外出學(xué)習(xí)，某天不幸得知老父親病危的消息，便立即決定回家.小伙子

略懂?dāng)?shù)學(xué)常識(shí)，考慮到“兩點(diǎn)之間線段最短”的知識(shí)，雖然他所在求學(xué)的地方與家之間布滿了砂石，但他

還是義無反顧的踏上了歸途.當(dāng)他趕到家時(shí)，老人剛咽了氣，小伙子追悔莫及失聲痛哭.鄰居告訴小伙子說，

老人彌留之際不斷念叨著“胡不歸？胡不歸？…”之后的歲月，小伙子不斷的反思：如果我當(dāng)時(shí)先沿著驛

道走一段距離，再通過砂石區(qū)域回家，是否能見到父親最后一面呢？如果可以，他應(yīng)該沿著驛道走多遠(yuǎn)再

通過砂石區(qū)域回家呢？這就是流傳千百年的“胡不歸問題.

如圖，A是出發(fā)點(diǎn)，B是目的地，直線m是一條驛道，而驛道靠目的地一側(cè)全是砂石，為了選擇合適的

路線，假設(shè)通過驛道速度為vl米/秒，通過砂石區(qū)域速度為v2米/秒(vl>v2),小伙子需要在直線m上

選取一點(diǎn)C,再折往至B,求點(diǎn)C在何處時(shí)，用時(shí)最短(A-C-B)?

由題目可知A、B為定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線m上運(yùn)動(dòng)，求tAC+tBC的最小值.

^、=tAC+tBC，+叱+因?yàn)関l,v2為定值，所以只需求BC+豈"的最小值即可，因此需

要在圖中構(gòu)造出長(zhǎng)度為恐AC的替換線段.因?yàn)関l>v2,所以設(shè)"=sina,則在AC外側(cè)作/CAM=a,過點(diǎn)C

%%

作CELAM,則嶗=^=sina,所以CE="4C,原問題轉(zhuǎn)化為工(BC+CE)的最小值，顯然垂線段最短，即

過點(diǎn)B作AM的垂線，與直線m的交點(diǎn)C即為所求點(diǎn).

12/32

【解題關(guān)鍵】在求形如“PA+KPB”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPB相等的線段，將“PA+KPB”

型問題轉(zhuǎn)化為“PA+PC”型.（若k>1,則提取系數(shù)，轉(zhuǎn)化為小于1的形式解決即可）.

【胡不歸模型專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2023上?四川樂山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，Z.BAC=90°,ZS=60°,AB=4,若。是BC邊

上的動(dòng)點(diǎn)，則24。+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

2.（2022?遼寧鞍山?統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖像與無軸交于A、

C兩點(diǎn)，與無軸交于點(diǎn)C（3,0）,若P是無軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,-1）,連接尸。，則/PD+PC的最

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|企

3.（2022.內(nèi)蒙古鄂爾多斯.統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,ADLBC,垂足

為D,P為線段上的一動(dòng)點(diǎn)，連接尸8、PC.則以+2PB的最小值為.

13/32

4.（2023?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中,^ACB=90°,^ABC=30°,AC=4,按下列步

驟作圖：①在AC和上分別截取45、AE,使力。=AE.②分別以點(diǎn)。和點(diǎn)E為圓心，以大于抄E的長(zhǎng)為

半徑作弧，兩弧在NB4C內(nèi)交于點(diǎn)M.③作射線力M交BC于點(diǎn)E若點(diǎn)尸是線段4F上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CP,

則CP+的最小值是

5.（2020?陜西?模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形48CD是菱形，42=8,且乙43c=60。，M為對(duì)角線BD（不含8

點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，則AM+抑/的最小值為

6.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考中考真題）如圖，O。是等邊三角形A8C的外接圓，其半徑為4.過點(diǎn)B作

于點(diǎn)E,點(diǎn)P為線段BE上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與8,E重合），貝UCP+：8P的最小值為

7.（2023下?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系，力（1,1）,直線/:y=[x+l經(jīng)過點(diǎn)H在直

線，上運(yùn)動(dòng)，求最小值.

14/32

8.(2022?四川成都?四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))拋物線y="+bx+百分別交無軸于點(diǎn)

4(1,0),8(-3,0),交y軸于點(diǎn)C,拋物線的對(duì)稱軸與無軸相交于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段OC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N為

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)線段MN,NC在數(shù)量上有何關(guān)系，請(qǐng)寫出你的理由;

(3)在N移動(dòng)的過程中，OM+//C是否有最小值，如果有，請(qǐng)寫出理由.

9.(2022下?重慶?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知，在正方形A8C。中，點(diǎn)E,歹分別為上的兩點(diǎn)，連接BE、CF,

并延長(zhǎng)交于點(diǎn)G,連接。G,H為CF上一點(diǎn)、,連接88、DH,4GBH+乙GED=90°

(1)如圖1,若以為CF的中點(diǎn)，且4F=2DF,DH=當(dāng),求線段A8的長(zhǎng);

(2)如圖2,若BH=BC,過點(diǎn)2作B/1CH于點(diǎn)/,求證：BI+^-DG=CG；

(3)如圖2,在(1)的條件下，尸為線段(包含端點(diǎn)A、D)上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP,過點(diǎn)B作BQ1CP于點(diǎn)

Q,將ABCQ沿8C翻折得△BCM,N為直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN,當(dāng)ABCM面積最大時(shí)，直接寫出彳AN+

MN的最小值.

10.(2021?四川綿陽?統(tǒng)考三模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=|尤+2與無軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)

C.拋物線y=a/+b尤+c的對(duì)稱軸是尤=—|且經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)8.

15/32

(1)求二次函數(shù)>=加+法+。的表達(dá)式；

⑵點(diǎn)尸為線段A2上的動(dòng)點(diǎn)，求AP+2PC的最小值；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)過點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A,M,N為頂點(diǎn)的二角形與△ABC

相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

11.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線"：y=Rx+百和直線8y=

+b相交于y軸上的點(diǎn)8，且分別交x軸于點(diǎn)A和點(diǎn)C.

(1)求△ABC的面積；

(2)點(diǎn)E坐標(biāo)為(5,0),點(diǎn)尸為直線。上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸為y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)EF+CF最小時(shí)，點(diǎn)/

的坐標(biāo)，并求出此時(shí)PF+^OP的最小值.

12.(2019?四川綿陽?統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，將二次函數(shù)y=a/(a>0)的圖象向右平移1個(gè)

單位，再向下平移2個(gè)單位，得到如圖所示的拋物線,該拋物線與％軸交于點(diǎn)48(點(diǎn)2在點(diǎn)8的左側(cè)),。4=1,

經(jīng)過點(diǎn)4的一次函數(shù)y=kx+b(k豐0)的圖象與y軸正半軸交于點(diǎn)C,且與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D,A4BD的

面積為5.

16/32

(1)求拋物線和一次函數(shù)的解析式；

(2)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)E在一次函數(shù)的圖象下方，求/4CE面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)P為無軸上任意一點(diǎn)，在(2)的結(jié)論下，求+的最小值.

13.(2019?湖南張家界?統(tǒng)考中考真題)已知拋物線y=a/+c(a40)過點(diǎn)力(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，與y

軸交于點(diǎn)C,OC=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)過點(diǎn)A作AM18C,垂足為求證：四邊形為正方形；

(3)點(diǎn)尸為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4PBe面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(4)若點(diǎn)。為線段OC上的一動(dòng)點(diǎn)，問：力Q+：QC是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在,

請(qǐng)說明理由.

題型03阿氏圓模型

【模型由來】已知平面上兩點(diǎn)A、B,則所有滿足PA=k?PB(kWl)的點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)軌跡最

先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”，又稱阿波羅尼斯圓.

【模型解讀1】如圖1所示，。。的半徑為r,點(diǎn)A、B都在。0外，P為。0上的動(dòng)點(diǎn)，已知r=k?OB.連

17/32

接PA、PB,則當(dāng)PA+kPB的值最小時(shí)，P點(diǎn)的位置如何確定?

思路：如圖2,在線段0B上截取0C,使OC=k?r（即吆=k=匕）且NBOP=NCOP,則可說明△BPO

OP0B

與△PCO相似，即署=k.故本題求PA+kPB的最小值可以轉(zhuǎn)化為PA+PC的最小值，其中A與C為定點(diǎn)，P

為動(dòng)點(diǎn)，故當(dāng)A、P\C三點(diǎn)共線時(shí)，PA+kPB的最小值為線段AC的長(zhǎng).

具體步驟：

1：連接動(dòng)點(diǎn)至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)分別與圓心相連接），即連接OP、0B；

2：計(jì)算連接線段OP、OB長(zhǎng)度；

3：計(jì)算兩線段長(zhǎng)度的比值OP/OB="k"；

4：在0B上截取一點(diǎn)C,使得OC/OP=OP/OB構(gòu)建母子型相似：

5：連接AC,與圓0交點(diǎn)為P,即AC線段長(zhǎng)為PA+K*PB的最小值.

【模型解讀2】如圖點(diǎn)A,B在。。上，。41OB,OA=0B=12,點(diǎn)C是。4的中點(diǎn)，D在。B上，0D=10,

點(diǎn)尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則2尸。+尸。的最小值______,PC+3產(chǎn)。的最小值________.

18/32

A

【詳解】解：如圖1,延長(zhǎng)04到E,使。4=AE,連接PE、0P,

??CAny—?、1.八.[p.?OP10C1.OP0C1

.0A=0P,。為0A中點(diǎn)，.??一=—=—,

0E20P2OE0P2

ZC0P=ZP0E,:.△OCPs^OPE,—=

OEPE2

：.PE=2PC,...ZPC+PD=PE+P瓦即當(dāng)E、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，2PC+PD有最小值,

最小值為j。方2+。02=V242+102=26；

如圖2,延長(zhǎng)。3到R使0F==,連接PROP,

"：OD=lO,OP==OA=n,=

-ZD0P=ZP0F,:.△ODPS△OPF,.琮=箓=|,沙,

...PC+^PD=PC+PF,即當(dāng)C、P、P三點(diǎn)共線時(shí)，PC+^PD有最小值,

最小值為力。62+。尸2==15.6.

【模型總結(jié)】

對(duì)于阿氏圓而言：當(dāng)系數(shù)kVl的時(shí)候，一般情況下，考慮向內(nèi)構(gòu)造。

19/32

當(dāng)系數(shù)k>l的時(shí)候，一般情況下，考慮向外構(gòu)造。

【注意事項(xiàng)】針對(duì)求PA+kPB的最小值問題時(shí)，當(dāng)軌跡為直線時(shí)，運(yùn)用“胡不歸模型”求解；

當(dāng)軌跡為圓形時(shí)，運(yùn)用“阿氏圓模型”求解.

【阿氏圓模型專項(xiàng)訓(xùn)練】

1.（2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在昭AASC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為

半徑作。C,尸為。C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,則:AP+BP的最小值為（）

2.（2023?陜西咸陽??？既＃┤鐖D，在菱形ABC。中，對(duì)角線47、BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E、P分別是?！?、OC

上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=4,尸是EF的中點(diǎn)，連接。P、PC、PD,若AC=12,BD=16,貝IPC+^PD的最小

4

值為.

3.（2022?四川瀘州?四川省瀘縣第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，A8為。。的直徑，AB=2,點(diǎn)C與點(diǎn)D在4B的

同側(cè)，且4D14B,BC1AB,AD=1,BC=3,點(diǎn)P是。。上的一動(dòng)點(diǎn)，則乎PD+PC的最小值為.

20/32

C

D

4.（2022上?浙江.九年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，2（0,4）,B（4,0）,P是第一象限內(nèi)一動(dòng)

點(diǎn)，OP=2,連接4P、BP,則BP+^aP的最小值是.

5.（2020?江蘇常州?統(tǒng)考一模）如圖，在O。中，點(diǎn)A、點(diǎn)B在。。上，AAOB=90°,。4=6,點(diǎn)C在。力上,

且。C=24C,點(diǎn)。是。8的中點(diǎn)，點(diǎn)M是劣弧48上的動(dòng)點(diǎn)，貝UCM+2DM的最小值為.

6.（2021.全國(guó).九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)切圓記為。O,尸是。。上一動(dòng)點(diǎn)，則魚出

+PB的最小值為.

7.（2021.全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知正方ABC。的邊長(zhǎng)為6,圓B的半徑為3,點(diǎn)尸是圓B上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，貝UP?！淖畲笾禐?

21/32

AD

IB）C

8.（2020?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，乙B=90。,AB=CE=2,以點(diǎn)8為圓心作圓8與4C相

切，點(diǎn)P為圓8上任一動(dòng)點(diǎn)，貝UPA+'PC的最小值是________.

C

9.（2018?甘肅天水?校聯(lián)考一模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,。：8的半徑為2,點(diǎn)P是。B上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD-|PC的最大值為____.

.D

二

Aco

10.（2023下?江蘇宿遷?九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）圖1圖2圖3

JX

圖4圖5

22/32

【問題呈現(xiàn)】如圖1,ZAOB=90°,。4=4,。8=5,點(diǎn)P在半徑為2的。。上，求|4P+BP的最小值.

【問題解決】小明是這樣做的：如圖2,在0A上取一點(diǎn)C使得OC=1,這樣可得箓=[=:，又因?yàn)?/p>

ZCOP=ZPOA,所以可得△COPSAPOA,所以生="=工，得CP=工2「所以工+BP=CP+BP.

APOA222

又因?yàn)镃P+BP>CB70c2+OB2,所以〃P+BP最小值為.

2-

【思路點(diǎn)撥】小明通過構(gòu)造相似形（圖3）,將同P轉(zhuǎn)化成”，再利用"兩點(diǎn)之間線段“最短“求出CP+8P的

最小值.

【嘗試應(yīng)用】如圖4,ZAOB=6Q°,OA=10,。8=9,點(diǎn)P是半徑為6的。。上一動(dòng)點(diǎn)，求4P+；BP的最小

值.

【能力提升】如圖5,ZABC=120°,BA=BC=8,點(diǎn)。為平面內(nèi)一點(diǎn)且切9=3CD,連接AD,則△A8O面

積的最大值為

11.（2022?廣東惠州?統(tǒng)考一模）如圖1,拋物線y=a/+bx-4與％軸交于人、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,其

中點(diǎn)a的坐標(biāo)為（-1,。），拋物線的對(duì)稱軸是直線x=|.

圖1圖2

⑴求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使四邊形2BPC的面積為16,若存在，求出點(diǎn)P的

坐標(biāo)若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）如圖2,過點(diǎn)B作BF1BC交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)F,以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作OC,點(diǎn)Q為OC上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，求字BQ+FQ的最小值.

4

23/32

12.(2021.全國(guó).九年級(jí)專題練習(xí))如圖，RtAABC,NACB=90。，AC=BC=2,以C為頂點(diǎn)的正方形CDEP

(C、D、E、尸四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列)可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且8=/，連接ARBD

(1)求證：△BDCWXAFC

(2)當(dāng)正方形。跖有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出80+爭(zhēng)⑦的值；

(3)直接寫出正方形?！晔D(zhuǎn)過程中，8。+也。的最小值.

13.(2017下?江蘇鹽城?九年級(jí)階段練習(xí))如圖1,拋物線y=ax2+(a+3)x+3(a*0)與無軸交于點(diǎn)力(4,0),

與y軸交于點(diǎn)8,在無軸上有一動(dòng)點(diǎn)E(zn,0)(0＜小＜4),過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線于點(diǎn)N,交拋物

線于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM±AB于點(diǎn)M.

(2)設(shè)APMN的周長(zhǎng)為G，AAEN的周長(zhǎng)為。2，若篙=，求機(jī)的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段OE繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到。E',旋轉(zhuǎn)角為a(0。＜a＜90。)，連接E%、

E'B,求E2+|OB的最小值.

14.(2021?全國(guó)?九年級(jí)專題練習(xí))如圖1,在R72A8C中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圓C的半徑為

2,點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,BP,求：

@AP+^BP,

24/32

@2AP+BP,

?^AP+BP,

④4P+3BP的最小值.

15.（2021上.江蘇宿遷.九年級(jí)校考期末）問題提出：如圖①，在RtA4BC中，4。=90。，C8=4,C4=6,

0c的半徑為2,P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP,求的最小值.

（1）嘗試解決:為了解決這個(gè)問題,下面給出一種解題思路:如圖①，連接CP,在CB上取一點(diǎn)D,使CD=1,

則啜=S=3又乙PCD=&BCP,所以APCDS^BCP.所以段=（="

CrCDZDrCr2

所以PD=|PB,所以4P+：BP=4P+PD.

請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：NP+[BP的最小值為________；

（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求]4P+BP的最小值

（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，Z.COD=90°,0c=6,0A=3,0B=5,P是CB上一點(diǎn)，

求2P4+PB的最小值.

AC

k

Bu

圖①圖①備用圖圖②

16.（2019?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-5x+5與x軸,y軸分別交于A,

C兩點(diǎn)，拋物線y=x?+bx+c經(jīng)過A,C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B

圖1圖2

25/32

（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC,當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC

面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2,若P點(diǎn)是半徑為2的。B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+^PA的值

最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由.

題型04瓜豆原理

【模型介紹】在幾何雙動(dòng)點(diǎn)問題中，當(dāng)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)滿足一定條件時(shí)，這兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律會(huì)出現(xiàn)“種

線得線、種圓得圓”的關(guān)聯(lián)性，這種關(guān)聯(lián)性，形象地用中國(guó)一句俗語“種瓜得瓜、種豆得豆”來形容，取

名為“瓜豆原理”.

【條件】瓜豆原理運(yùn)用滿足的三個(gè)條件（”一定兩動(dòng)、定角、定比”）；

①有一個(gè)定點(diǎn)、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（從動(dòng)點(diǎn)）因另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（主動(dòng)點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)而隨之運(yùn)動(dòng)；

②兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)所連線組成的夾角是定角；

③兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的比值是定值.

【模型一】如圖，點(diǎn)O是定點(diǎn)，點(diǎn)A、B是動(dòng)點(diǎn)，NAOB=a且"=k,如果A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線，那么

證明過程：如下圖，假設(shè)此時(shí)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，,且滿足NA，OB=a,=k

所以/AOA=/BOB\—=—,=k因此△AOA，S/^BOB'.../CtAA=/OBB，，—,=k

...點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)過程中，BB5與OB5的夾角始終保持不變，且夾角與/OAA，相等，所以點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是一

條直線.

直線BB，與直線AA，的夾角為a（8字模型自行證明）