解答題壓軸題二次函數(shù)與幾何圖形綜合（解析版）

專題20解答題壓軸題二次函數(shù)與幾何圖形綜合(解析版)

模塊一2022中考真題集訓

類型一二次函數(shù)中的最值問題

(1)自變量范圍與最值問題

1.(2022?紹興)已知函數(shù)y=-X2+6X+C(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點(0,-3),(-6,-3).

⑴求Zbc的值.

(2)當-4W無W0時，求/的最大值.

(3)當加WxWO時，若夕的最大值與最小值之和為2,求加的值.

思路引領(lǐng)：(1)將圖象經(jīng)過的兩個點的坐標代入二次函數(shù)解析式解答即可；

(2)根據(jù)x的取值范圍，二次函數(shù)圖象的開口方向和對稱軸，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)判定y的最大值即可

(3)根據(jù)對稱軸為x=-3,結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，分類討論得出〃?的取值范圍即可.

解：(1)把(0,-3),(-6,-3)代入y=-/+6x+c,

得b=-6,c=-3.

(2)---6x-3=-(x+3)2+6,

又：-4WxW0,

.?.當x=-3時，y有最大值為6.

(3)①當-3<mW0時，

當x=0時，y有最小值為-3,

當x=%時，y有最大值為-加2-6加-3,

-m--6m-3+(-3)=2,

.,.m=-2或機=-4(舍去).

②當機W-3時，

當x=-3時y有最大值為6,

的最大值與最小值之和為2,

最小值為-4,

-("+3)2+6=-4,

=-3-Viong=-3+V10(舍去).

綜上所述，加=-2或一3-

總結(jié)提升：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，正確分類討論得

出m的取值范圍是解題關(guān)鍵.

2.（2022?安順）在平面直角坐標系中，如果點。的橫坐標和縱坐標相等，則稱點尸為和諧點.例如：點

11

（1,1）,（萬，-）,（一五，一五），...都是和諧點.

（1）判斷函數(shù)y=2x+l的圖象上是否存在和諧點，若存在，求出其和諧點的坐標；

c人55

（2）若二次函數(shù)y=aN+6x+c（Q#0）的圖象上有且只有一個和諧點（5，—

①求。，。的值；

1

②若IWxW機時，函數(shù)＞="2+6/+°+了（Q￥O）的最小值為-1,最大值為3,求實數(shù)加的取值范

圍.

思路引領(lǐng)：（1）設(shè)函數(shù)y=2x+l的和諧點為（x,x）,可得2x+l=x,求解即可；

（2）將點（■|，I"）代入y=ax2+6x+c,再由oy2+6x+c=x有且只有一個根，A=25-4ac=0,兩個方程

聯(lián)立即可求0、c的值；

②由①可知y=-/+6x-6=-（x-3）2+3,當x=l時，y=-l,當x=3時，y=3,當x=5時，y=-

1,則3WaW5時滿足題意.

解：（1）存在和諧點，理由如下，

設(shè)函數(shù)y=2x+l的和諧點為（x,x）,

??2x+1~~x,

解得x=-L

???和諧點為（7,-1）;

z-x55r

（2）①???點（萬，萬）是二次函數(shù)y=a/+6x+c（aWO）的和諧點，

525

=—6Z+15+C,

Z4

2525

c=

4Z

,二次函數(shù)y=aX2+6x+c（〃/0）的圖象上有且只有一個和諧點，

ax2+6x+c=x有且只有一個根，

/.A=25-4ac=0，

25

②由①可知y=-X2+6X-6=-(x-3)2+3,

二拋物線的對稱軸為直線x=3,

當x=l時，y=-1,

當x=3時，y=3,

當x—5時,y--1,

,/函數(shù)的最大值為3,最小值為-1；

當3W?iW5時，函數(shù)的最大值為3,最小值為-1.

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，理解定義，并與二次函

數(shù)的性質(zhì)結(jié)合解題是關(guān)鍵.

（2）胡不歸問題

3.（2022?淮安）如圖（1）,二次函數(shù)y=-/+6x+c的圖象與x軸交于48兩點，與y軸交于C點，點8

的坐標為（3,0）,點C的坐標為（0,3）,直線/經(jīng)過8、C兩點.

（1）求該二次函數(shù)的表達式及其圖象的頂點坐標；

（2）點P為直線/上的一點，過點尸作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于點M,再過點M作y軸

1_

的垂線與該二次函數(shù)的圖象相交于另一點N,當尸〃=產(chǎn)乂時，求點尸的橫坐標；

（3）如圖（2）,點C關(guān)于x軸的對稱點為點。，點P為線段上的一個動點，連接NP,點0為線段

/尸上一點，且N0=3P。，連接。0,當34P+4。。的值最小時，直接寫出。0的長.

思路引領(lǐng)：（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

（2）設(shè)尸G,-什3）,則M（f,-a+2什3）,NC2-t,-a+2什3）,則尸“=儼-3小MN=\2-2t\,由

°1

題意可得方程|/2-3H=習2-2t\,求解方程即可；

(3)由題意可知0點在平行于8c的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點為G,由。G〃8C,求出點G(2,

3

0),作/點關(guān)于G0的對稱點4,連接4。與4P交于點0,則34?+4。。=4(D0+/P)=4

CDQ+AQ)利用對稱性和/。8c=45°,求出4(2,3),求出直線。4的解析式和直線。G的

解析式，聯(lián)立方程組篇2,可求點°(*再求。0=巨萼.

解：(1)將點B(3,0),C(0,3)代入y=-X2+6X+C,

.(-9+3b+c=0

TC=3'

解得｛肩,

??y=-%2+2X+3,

*?y=~X2+2X+3--(x-1)2+4,

???頂點坐標(1,4)；

(2)設(shè)直線5。的解析式為

.(3k+b=0

,,(b=3'

解得憶J,

?"?y=~x+3,

設(shè)尸(f,-f+3),則Af(/,-3+2什3),N(2-3-冽2+3),

：.PM=\t2-3$MN=\2-2t\,

1

,:PM=^MN,

、1

：.\^-3t\=~\2-2t\,

解得/=1+應(yīng)或f=l-&或t=2+百或t=2一百，

：.P點橫坐標為1+&或1-&或2+百或2-V3：

(3)VC(0,3),。點與C點關(guān)于x軸對稱，

：.D(0,-3),

令了=0,則-/+2X+3=0,

解得x=-1或x=3,

：.A(-1,0),

J.AB=4,

???/。=3尸0,

???Q點在平行于BC的線段上，設(shè)此線段與x軸的交點為G,

J.QG//BC,

.AQAG

9t~AP=~BA9

.3AG

：.AG=3f

：.G(2,0),

?：OB=OC,

：.ZOBC=45°,

作4點關(guān)于G0的對稱點4,連接4。與/尸交于點。，

???4。=4。

：.AQ+DQ=AQ+DQ^AyD,

3

???34尸+4。0=4(。0+/尸)=4(00+40)N44'。，

4

*：ZQGA=ZCBO=45°,AALQG,

???NH/G=45°,

??ZG=4G,

AZAA1G=45°,

???N4G4=90°,

???H(2,3),

設(shè)直線的解析式為y=Ax+b,

.(b=-3

??l2k+b=3'

解得吐3,

.\y=3x-3,

同理可求直線QG的解析式為y=-x+2,

聯(lián)立方程組

解得

V=—

V4

53

"Q(74X

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，利用軸對稱求最短距離

的方法，解絕對值方程，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

45

4.（2022?梧州）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-不-4分別與x,y軸交于點/,B,拋物線

3lo

j<~+bx+c恰好經(jīng)過這兩點.

（1）求此拋物線的解析式;

（2）若點C的坐標是（0,6）,將△NC。繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到叫點/的對應(yīng)點是點

E.

①寫出點E的坐標，并判斷點E是否在此拋物線上;

3一

②若點尸是歹軸上的任一點，求三。+即取最小值時，點尸的坐標.

思路引領(lǐng)：(1)根據(jù)直線解析式可得點/、3的坐標，代入二次函數(shù)解析式，解方程即可；

5Q1

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得￡(6,3),當x=6時，y=—x62-TX6-4=3,可知點￡在拋物線上;

loZ

Z0HP333

②過點后作期交y軸于P,垂足為HsmZABO=—=—=~,則/"=pP,得言BP+EP

/IJDDrbbb

HP+PE,可知印斗尸E的最小值為的長，從而解決問題.

4

解：(1),直線V=-下-4分別與X,?軸交于點4B,

，當x=0時，y=-4；當y=0時，x=-3,

：.A(-3,0),B(0,-4),

拋物線y=踵/+云+。恰好經(jīng)過這兩點.

...扃*(-3)2-36+c=0,

?(二一4

解得#=-5,

(2)①：將△/(%＞繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF,

Z(9CF=90°,CF=CO=6,EF=AO=3,防〃y軸，

：.E(6,3),

51

當x=6時，y=-x62--x6-4=3,

loZ

...點E在拋物線上；

②過點“作即，/瓦交y軸于P,垂足為〃,

\'A(-3,0),B(0,-4),

：.OA=3,05=4,

：.AB=5,

AOHP3

VsinZ^O=-=—=

3

：.HP=-BP,

3

：.-BP+EP=HP+PEf

???當E,P,H三點共線時，HP+PE有最小值，最小值為的長，

作EG，)軸于G,

?；NGEP=NABO,

tanZGEP=tan/ABO,

.PG_AO

,?麗=壽

?竺1

9

，尸G=5，

93

:.OP=--3=-,

3

：.P(0,

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角函數(shù)，兩

3

點之間、線段最短等知識，利用三角函數(shù)將鏟P轉(zhuǎn)化為坂的長是解題的關(guān)鍵.

c11

5.(2022?濟南)拋物線卜=姓2+7-?6與x軸交于/。，0),B(8,0)兩點，與y軸交于點C,直線＞=

4

質(zhì)-6經(jīng)過點左點尸在拋物線上，設(shè)點尸的橫坐標為a.

(1)求拋物線的表達式和，，人的值；

(2)如圖1,連接ZC,AP,PC,若△4PC是以CP為斜邊的直角三角形，求點尸的坐標；

1

(3)如圖2,若點尸在直線上方的拋物線上，過點尸作垂足為。，求CQ+pQ的最大

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可求解；

1_110A

(2)作尸軸交于跖XTSRPM=-m--—m+6,AM—m-3,通過證明△C。4s利用

44C/C

PM，一

求加的值即可求P點坐標；

3

(3)作PNJ_x軸交5c于N,過點N作軸交于E,通過證明△尸紗62k5。0,求出0N=g尸N,

4551113

PQ=-PN,再由△C7VEs/^C5O,求出CN=]EN=]m,貝UCQ+=?尸N=一1(加一彳)2+

169

不不，即可求解.

16

.11

解：(1)將8(8,0)代入y=an2+丁^-6,

4

646Z+22-6=0,

1

???。=一7

111

?“=一不+7?6，

1。11

當y=0時，一不2+—?-6=0,

解得f=3或￡=8(舍)，

/./=3,

*：B(8,0)在直線歹=區(qū)-6上,

???8左-6=0,

3

解得左=I；

(2)作軸交于跖

??,尸點橫坐標為加,

.111

:?P(m,—~rm2+-m-6),

44

111

PM=-m91——m+6,AM=m-3,

44

在RtACO^和RtAAMP中，

*：ZOAC+ZPAM=90°，ZAPM+ZPAM=90°，

：.ZOAC=/APM,

：./\COA^AAMP,

OZPM

—,BPOA*MA=CO*PM,

1c11

3(m-3)=6m2——m+6),

解得加=3(舍)或加=10,

7

：.P(10,--)；

(3)作尸N_Lx軸交于N,過點N作NE_Ly軸交于E,

11131

.PN=~~m2+~m-6-(~m-6)=~~m2+2m,

4444

?尸N_Lx軸,

.PN//OC,

.ZPNQ=ZOCB,

?Rt△尸。NsRtZ\50C,

PNNQPQ

BC~OC~OB'

?05=8,OC=6,5C=10,

34

.QN=~PN,PQ=~PN,

由ACNEsACBO,

55

：.CN=-EN=-m,

44

11

：.CQ+-PQ=CN+NQ+~PQ=CN+PNf

151c113113169

2n2n

/.CQ+~PQ==—7m+-m=—7(m--)+一

上2上44444216

圖2

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

類型二二次函數(shù)中的面積問題

6.（2022?內(nèi)蒙古）如圖，拋物線y=ox2+x+c經(jīng)過5（3,0）,D（-2,-|）兩點，與x軸的另一個交點為

A,與y軸相交于點C.

（1）求拋物線的解析式和點C的坐標；

（2）若點〃在直線5c上方的拋物線上運動（與點2,C不重合），求使面積最大時M點的坐標,

并求最大面積；（請在圖1中探索）

（3）設(shè)點0在y軸上，點P在拋物線上，要使以點N,B,P,。為頂點的四邊形是平行四邊形，求所

有滿足條件的點P的坐標.（請在圖2中探索）

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)作直線8C,過M點作兒軸交8C于點N,求出直線8c的解析式，設(shè)M(加，-|m2+m+|),

1313327

則--m+T),S^MBC^^'MN'OB=--(7w--)2+T7-再求解即可；

zzzq/io

13

(3)設(shè)。(0,力，P(m,--m2+m+-),分三種情況討論：①當為平行四邊形的對角線時；②

當為平行四邊形的對角線時；③當NP為平行四邊形的對角線時；根據(jù)平行四邊形的對角線互相平

分，利用中點坐標公式求解即可.

5、

解：(1)將8(3,0),￡>(-2,--)^Ky=ax1+x+c,

(9Q+3+c=0

|4Q-2+c=—-

I2

3

令x=o,則y=5,

3

：.C(0,-)；

(2)作直線5C,過〃點作MN〃丁軸交BC于點N,

設(shè)直線BC的解析式為歹=區(qū)+兒

(3k+b=0

?*=一

解得｛32,

r=2

13

-y=-2x+2

設(shè)Af(加，一,加2+根+5)，則N(加，——m+-

1，3

/.MN=_萬加+/，

13327

'-S^MBC=yMN-OB=--(m--)2+—>

Z4-Z±O

327

當加=5時，△MBC的面積有最大值77，

zlo

315

此時Af(-,—)；

乙o

1c3

(3)令y=0,則-牙：2+工+5=0,

解得x=3或x=-1,

：.A(-1,0),

設(shè)。(0,t),P(m,—~m2+m

①當45為平行四邊形的對角線時，加=3-1=2,

3

：.P(2,~)；

②當4。為平行四邊形的對角線時，3+加=-1,

解得m=-4,

21

:?P(-4,

③當AP為平行四邊形的對角線時,m-1=3,

解得冽=4,

5

???尸(4,--)；

3215

或(-4,--)或(4,

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分

類討論是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?淄博)如圖，拋物線y=-/+bx+c與x軸相交于4,3兩點(點/在點2的左側(cè))，頂點。(1,

4

4)在直線/：y——x+t_t,動點尸(m,n)在x軸上方的拋物線上.

(1)求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式：

(2)過點尸作尸軸于點M,PN11于點、N,當1＜加＜3時，求尸M+PN的最大值；

(3)設(shè)直線4P,8P與拋物線的對稱軸分別相交于點E,F,請?zhí)剿饕?,F,B,G(G是點E關(guān)于x

軸的對稱點)為頂點的四邊形面積是否隨著尸點的運動而發(fā)生變化，若不變，求出這個四邊形的面積；

若變化，說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)利用頂點式求解，可得結(jié)論；

(2)如圖，設(shè)直線/交x軸于點T,連接尸7,BD,BD交PM于點、J.設(shè)尸(m,-w2+2m+3).四邊形

115

DT8P的面積=△尸￡＞7的面積+△尸的面積=5XD7X/W+5X=5(PM+PN),推出四邊形

O7KP的面積最大時，PM+PN的值最大，求出四邊形。竊P的面積的最大值，可得結(jié)論；

(3)四邊形4ESG的面積不變.如圖，設(shè)尸("?，-m2+2m+3),求出直線4P,8尸的解析式，可得點

E,尸的坐標，求出尸G的長，可得結(jié)論.

解：(1):拋物線的頂點。(1,4),

,可以假設(shè)拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4=-，+2x+3；

(2)如圖，設(shè)直線/交x軸于點7,連接尸7,BD,BD交PM于■點、J.設(shè)尸(怙-m2+2m+3).

4

點。（1,4）在直線/：y=-^x+t_b,

4

.*.4=~+6

8

??t—

48

直線DT的解析式為V=+§，

令歹=0，得到x=-2,

：.T(-2,0),

???OT=2,

?:B(3,0),

：?OB=3,

:?BT=5,

"7=<32+42=5,

：.TD=TB,

■:PMLBT,PN1DT,

115

，四邊形。竊尸的面積=/\尸。7的面積+ZYP37的面積=5XZ)7XPN+5X竊義P"=5(PM+PN),

四邊形DTBP的面積最大時，PM+PN的值最大，

,:D(1,4),B(3,0),

直線BD的解析式為y=-2x+6,

?.J(加，-2加+6),

PJ—-冽2+4冽-3,

??,四邊形DTBP的面積=△。變的面積+45QP的面積

11c

=-x5X4+-x(一加2+4機-3)X2

=-m2+4m+7

=-(m-2)2+11

V-1<0,

???冽=2時，四邊形。疊尸的面積最大，最大值為11,

222

???弘什川的最大值=工乂11=無~；

48

解法二：延長〃尸交直線/與點“，易得直線/：y=-x+-,

48

:.H(加，~m+§)設(shè)直線/交x軸于點C,交y軸于點L,

：.C(-2,0),L(0,

10

/.CL=—,

3

sinZCLO=

由LO//HM,

：.ZNHM=ZCLO,

3

：.sinZNHM=-9

4821

J.PH=-m+-+m2-2m-3=nr—~m—~,

3

：.PN=~PH,

321222

*.PM+PN=-m1+2m+3+~=~~(m-2)24--

2

v--<o,

22

???冽=2時，尸A什PN的值最小，最小值為w；

(3)四邊形/用G的面積不變.

理由：如圖，設(shè)尸(冽，-m2+2m+3)，

???/(-1,0),B(3,0),

直線AP的解析式為y=-(冽-3)x-加+3,

：.E(1,-2m+6),

,:E,G關(guān)于x軸對稱,

：.G(1,2m-6),

直線P8的解析式y(tǒng)=-(機+1)x+3(m+1),

：.F(1,2m+2),

GF=2m+2-(2m-6)=8,

11

四邊形AFBG的面積=-xABXFG=5X4X8=16.

總結(jié)提升：本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

學會構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題.

類型三二次函數(shù)與角度問題

8.(2022?范澤)如圖，拋物線y=ax2+6x+c(aWO)與x軸交于/(-2,0)、B(8,0)兩點，與y軸交于

點C(0,4),連接NC、BC.

(1)求拋物線的表達式；

(2)將沿NC所在直線折疊，得到△ADC,點3的對應(yīng)點為。，直接寫出點。的坐標，并求出

四邊形04DC的面積;

(3)點P是拋物線上的一動點，當/PC8=/48C時，求點P的坐標.

思路引領(lǐng)：(1)利用待定系數(shù)法解答即可;

(2)過點。作無軸于點E,利用軸對稱的性質(zhì)和三角形的中位線的性質(zhì)定理求得線段OK,DE,

則點。坐標可得；利用四邊形04DC的面積=Sc+%4mSUDC=S“BC，利用三角形的面積公式即

可求得結(jié)論;

(3)利用分類討論的思想方法分兩種情況討論解答：①當點尸在上方時，利用平行線的判定與性

質(zhì)可得點C,尸的縱坐標相等，利用拋物線的解析式即可求得結(jié)論②當點尸在2C下方時，設(shè)PC交x

軸于點X,設(shè)HB=HC=m,利用等腰三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理求得加值，則點〃坐標可求；利

用待定系數(shù)法求得直線PC的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立即可求得點P坐標;

解：(1):拋物線y="2+bx+c(aWO)與x軸交于/(-2,0)、B(8,0)兩點，與y軸交于點C(0,

4),

(4a-2b+c=0

?，.，64a+8b+c=0,

lc=4

1

解得:

二17

c=4

1r3

拋物線的表達式為V=--X2+亍+4

(2)點。的坐標為(-8,8),理由:

將△/BC沿4C所在直線折疊，得到△4DC,點3的對應(yīng)點為。，如圖,

過點。作。軸于點E,

(-2,0)、B(8,0),C(0,4),

：.OA=2f05=8,OC=4.

tOA1OC1

9~OC=2f~OB=2f

.OAOC

^~OC=~OB'

VZAOC=ZCOB=90°,

J△AOCsdCOB,

：.ZACO=ZCBO.

9：ZCBO+ZOCB=90°,

AZACO+ZOCB=90°,

AZACB=90°,

??,將△4BC沿4C所在直線折疊，得到△/OC,點6的對應(yīng)點為。,

:?點、D,C,5三點在一條直線上.

由軸對稱的性質(zhì)得：BC=CD,AB=AD.

VOCLAB,DELAB,

：.DE//OC,

???OC為的中位線，

：?OE=OB=8,DE=2OC=8,

：.D(-8,8)；

由題意得：SMCD=S“BC，

?'.四邊形OADC的面積=5404(7^立4￡)0

=SAOAGSAABC

11

=-xOC^OA+-XAB9OC

11

=-x4X2+-x10X4

=4+20

=24；

：.PC//AB,

???點C,P的縱坐標相等，

???點。的縱坐標為4,

人e173

令歹=4,則一/2+千+4=4,

解得：％=0或%=6,

：.P(6,4)；

/PCB=NABC,

：.HC=HB.

設(shè)HB=HC=m,

：?OH=OB-HB=8-m,

在RtACOH中,

OU+O停=C*

42+(8-m)2=加2,

解得：m=5,

：.OH=3,

：.H(3,0).

設(shè)直線PC的解析式為y=fct+小

.Cn=4

,?I3fc+n=

解得:尸V.

In=4

4

.*.y=—

’T3X+4.

4一

y=——x+4

??3，

y—~~7X2+—x+4

(=34

解得:0二二三”

丫2—Q

綜上，點尸的坐標為（6,4）或（W，一二~）?

總結(jié)提升：本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，待定系數(shù)法，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，拋物線上點的坐

標的特征，一次函數(shù)圖象上點的坐標的特征，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用點的坐標表示

出相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵.

1、

9.（2022?鞍山）如圖，拋物線y=-]x2+6x+c與x軸交于/（-1,0）,2兩點，與y軸交于點C（0,2）,

連接BC.

（1）求拋物線的解析式.

（2）點P是第三象限拋物線上一點，直線網(wǎng)與了軸交于點D,△BCD的面積為12,求點尸的坐標.

（3）在（2）的條件下，若點￡是線段8c上點，連接OE,將△。仍沿直線OE翻折得到△OE9,當直

線與直線BP相交所成銳角為45°,時，求點方的坐標.

備用圖

思路引領(lǐng)：(1)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；

(2)先由△3DC的面積求出。。的長，從而確定。點坐標為(0,-4),再由待定系數(shù)法求出直線8。

的解析式，直線AD與拋物線的交點即為所求；

1

(3)當夕在第一象限時，由/OD8=45°,可知￡b〃CD,求出直線8c的解析式，可設(shè)EG,--

什2),在RtZXOAB沖，377=416—產(chǎn)，貝U=416—產(chǎn)+m-2,在RtzXBAE中，由勾股定理得

_____11

(，16-產(chǎn)+萬—2)2=(4-02+(--/+2)2,求出/的值即可求8坐標；當⑶在第二象限時，B'G//x

1

軸，可得四邊形802E是平行四邊形，則8G-4,-亍+2),由折疊的性質(zhì)可判斷平行四邊形是

菱形，再由2￡=。2,可得J(4一t)2+(一?1t+2)2=4,求出/的值即可求9坐標.

1°

解：(1)將/(-1,0),C(0,2)代入y=-亍2+及+以

,,|---h+c=0,

I2

解得R=2,

U=2

193

??y=~2X+矛+2;

1C3

(2)令y=0,貝1)一萬工2+亍+2=0,

解得x=-1或x=4,

：.B(4,0),

???。5=4,

1

X4X

?,-5ABCD=2(2+8)=12，

：.OD=4f

：.D(0,-4),

設(shè)直線5。的解析式為

.(b=-4

,?l4k+b=0'

解得憶1

??y^x-4,

(y=x—4

聯(lián)立方程組［y=_*+|比+2，

解得限展或｛；片，

.”(-3,-7)；

(3)如圖1,當夕在第一象限時，

設(shè)直線BC的解析式為了=心+〃，

.(b'=2

??14玄+"=0'

解得卜'=一'

ibf=2

1

??y——~x+2,

1

設(shè)￡(K—~t+2),

1

：.OH=t,￡〃=一5什2,

,:D(0,-4),B(4,0),

：.OB=OD,

：.ZODB=45°,

??,直線與直線5尸相交所成銳角為45°,

:?EB〃CD,

由折疊可知，OB，=BO=4,BE=B，E,

在RtZkOHS，中，8'〃=Jl6T2,

________1________1

**?B'E=V16—12-(-萬什2)=V16—t2+5,-2,

:?BE=716-t2+2,

_____11

在RtzX3/ffi?中，(J16-產(chǎn)+歹2)2=(4-t)2+(--r+2)2,

解得/=±管,

???0WK4,

.4V5

..1=---,

.Q等哈

如圖2,當⑻在第二象限，/BGB'=45°時,

VZABP=45°，

???EG〃x軸,

??,將△（?即沿直線OE翻折得到

:?BE=B'E,OB=OB',/BOE=/B'OE,

：./BOE=NB'EO,

；?B'E〃B'O,

?:B'E=BO,

???四邊形"。5￡是平行四邊形,

；?B'E=4,

1

「?5,(％-4,一萬葉2),

由折疊可知OB=OB'=4,

???平行四邊形是菱形,

:?BE=OB,

J(4-t)2+(―"11+2)2=4,

解得(=4+—或％=4———,

??,OW0,

8V5

?.?I一—4~~,

?W-噌等

綜上所述：8的坐標為（等，等）或（-等，管）.

方法2：在Rt^BC。中，BC=2心CO：OB：5C=1：2：瓜

與無軸和y軸的夾角都是45°,AP與BE的夾角為45°,

.?.3￡〃x軸或9￡〃N軸,

當B'E//y軸時，延長B'E交x軸于F,

J.B'FLOB,

?:NCBA=NOB'E,

:.△OB'FsACBO,

：.OF：FB'-.80=1：2：V5.

\'OB=OB'=4,

."。=等“=喑

"（等等）;

當B'E//x軸時，過9作B'FVx中交于F,

：.B'F±OF,B'E//OB,

,:B'E和BE關(guān)于OE對稱，OB和。夕關(guān)于OE對稱,

:.BE〃OB',

,?ZFOB'=ZOBC,

MOB'FsABCO,

；.B'F：FO：08'=1：2：V5.

：OB=OB'=4,

冊等吁喑

綜上所述：8坐標為（管，等）或（-等，寫）.

Br

圖1

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，折

疊的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

類型四二次函數(shù)與圓綜合

10.(2022?揚州)如圖是一塊鐵皮余料，將其放置在平面直角坐標系中，底部邊緣在X軸上，且48=

8成;，外輪廓線是拋物線的一部分，對稱軸為y軸，高度OC=8d〃?.現(xiàn)計劃將此余料進行切割：

(1)若切割成正方形，要求一邊在底部邊緣上且面積最大，求此正方形的面積；

(2)若切割成矩形，要求一邊在底部邊緣上且周長最大，求此矩形的周長；

(3)若切割成圓，判斷能否切得半徑為3曲的圓，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)先根據(jù)題意求出拋物線的解析式，當正方形的兩個頂點在拋物線上時正方形面積最大,

先根據(jù)GH=2OG計算H的橫坐標，再求出此時正方形的面積即可；

1、

(2)由(1)知：設(shè)--f2+8)(f>0),表示矩形即G"的周長，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值

即可；

(3)解法一：設(shè)半徑為3面的圓與相切，并與拋物線相交，設(shè)交點為N,求出點N的坐標，并計算

點N是圓M與拋物線在了軸右側(cè)的切點即可.

解法二：計算MV2,配方法可得結(jié)論.

解法三：同解法二得跖V2,利用換元法可解答.

解：(1)如圖1,由題意得：A(-4,0),B(4,0),C(0,8),

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+8,

把8(4,0)代入得：0=16a+8,

1

??a=—―,

???拋物線的解析式為：j=-p2+8,

???四邊形瓦文?"是正方形，

：.GH=FG=2OG,

1.

設(shè)”(/,一萬及+8)(r>0),

1。

，一萬於+8=2,，

解得：-2+2代，益=~2-2V5(舍)，

J此正方形的面積二方^二(2。2=4於=4(-2+2V5)2=(96-32而)dm2；

1.

(2)如圖2,由(1)知:設(shè)一萬戶+8)。>0),

1

二矩形的周長=2網(wǎng)升268=4什2(--r2+8)=-?2+4f+16=-(f-2)2+20,

:-1<0,

.?.當/=2時，矩形EFG”的周長最大，且最大值是20而；

(3)解法一：若切割成圓，能切得半徑為3加的圓，理由如下：

如圖3,N為OM上一點，也是拋物線上一點，過N作OM的切線交了軸于。，連接過點N作NP

A.y軸于P,

則TW=OM=3,NQLMN,

設(shè)N("?,-5，/+8),

由勾股定理得：PM^PN2-^MN2,

：.m2+(-|OT2+8-3)2=32,

解得：加i=2&,加2=_2V2(舍)，

：.N(2V2，4),

：.PM=4-3=1,

PMMN1

?：COSZNMP=—=-^=~,

：.MQ=3MN=9,

：.Q(0,12),

設(shè)。N的解析式為：y=kx+b,

.(b=12

,，l2V2/c+b=4,

?(k=-2A/^

?,U=12'

???0N的解析式為：丁=-2缶+12,

—亍2+8=-2A/^X+12,

丁-2V2x+4=0,

1

△=(-2V2)2-4X-X4=0,即此時N為圓M與拋物線在y軸右側(cè)的唯一公共點，

???若切割成圓，能切得半徑為3dm的圓.

1.

解法二：如圖3,取點M(0,3),在拋物線上取點N(冽，一萬加2+8),且o〈加V4,

11

貝?。葸?加2+(--2_3)2-(2,)2+%

Zm+8=4m8

二當機=2五時，AW有最小值為3,此時拋物線上除了點N,“(點N,M關(guān)于y軸對稱)外，其余各

點均在以點加r((),3)為圓心，3而為半徑的圓外(鐵皮底部邊緣中點。也在該圓上)，

二若切割成圓，能切得半徑為3切?的圓.

1、

解法三：如圖3,取點M(0,加)，在拋物線上取點N(°,-5a2+8),且0<〃<4,

1

22

則MN=cr+(-5a2+8-m),

11

令則(—/+8-加)2=—(y+2m-14)2+15-2m,

解的最小值是15-2m,

當兒W的最小值=。河=%時，O。與拋物線相切，此時OM最大，

V15-2m-m,

:.m=-5(舍)或3,

若切割成圓，能切得半徑為3dm的圓.

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)與圓，四邊形的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解

析式，圓的切線的性質(zhì)，矩形和正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強，并與方程相結(jié)合解

決問題是本題的關(guān)鍵.

11.（2022?鹽城）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習簿的橫線上取點。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個間距畫同心

圓，描出了同心圓與橫線的一些交點，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點的位置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點，所描的點都在某二次函數(shù)圖象上.

圖1圖2備用圖

【分析問題】

小明利用已學知識和經(jīng)驗，以圓心。為原點，過點。的橫線所在直線為x軸，過點。且垂直于橫線的直

線為y軸，相鄰橫線的間距為一個單位長度，建立平面直角坐標系，如圖2所示.當所描的點在半徑為5

的同心圓上時，其坐標為（-3,4）或（3,4）.

【解決問題】

請幫助小明驗證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點尸（0,〃?），〃，為正整數(shù)，以。尸為直徑畫OM,是否存在所描的點在O"上.若存

在，求加的值；若不存在，說明理由.

思路引領(lǐng)：【分析問題】根據(jù)題意可知：該點的縱坐標為4,利用勾股定理，即可求出該點的橫坐標，進

而可得出點的坐標；

【解決問題】設(shè)所描的點在半徑為〃（"為正整數(shù)）的同心圓上，則該點的縱坐標為（"-1）,利用勾股

定理可得出該點的坐標為（-怎二L1）或（收二L1）,結(jié)合點橫、縱坐標間的關(guān)系，可得出

1、1

該點在二次函數(shù)了=亍2_萬的圖象上，進而可證出小明的猜想正確；

【深度思考】設(shè)該點的坐標為（±仿［二I，〃-1），結(jié)合O"的圓心坐標，利用勾股定理，即可