數(shù)字電路與邏輯設計課件：邏輯代數(shù)基礎與邏輯門電路

邏輯代數(shù)基礎與邏輯門電路2.1邏輯代數(shù)的基本概念2.2邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則2.3復合邏輯和復合邏輯門2.4邏輯函數(shù)表達式的常用形式2.5邏輯函數(shù)的化簡方法2.1邏輯代數(shù)的基本概念人們在社會生活中，不僅需要計算，也需要推理，需要在許多情況下根據(jù)已有的知識對事情做出判斷和推斷，這就產生了邏輯。邏輯是討論事物的前提（條件）和結論之間所遵循的關系，以及如何得到這樣一種關系。古典邏輯是采用自然語言建立概念、斷言和推理系統(tǒng)。隨著人們對自然現(xiàn)象和社會事物的認識不斷深化，用自然語言來描述事物有時就顯得既不嚴格，也不方便，甚至難以理解。布爾為了使邏輯中的推理能與數(shù)學計算一樣地進行，將代數(shù)符號引入邏輯系統(tǒng)，建立了一個二值運算的邏輯代數(shù)系統(tǒng)。這樣，邏輯推理就轉化為了一種數(shù)學計算。二值邏輯代數(shù)系統(tǒng)是由集合{0，1}和“與”、“或”、“非”三種基本運算構成。

2.1.1邏輯函數(shù)的概念在邏輯代數(shù)系統(tǒng)中，可以用邏輯變量和邏輯函數(shù)來表示用文字描述的邏輯問題。邏輯變量與普通代數(shù)的變量相似，也用A、B、C，x、y、z等字母來表示。所不同的是，普通代數(shù)中變量的取值可以是任意的，而二值邏輯代數(shù)的變量和常量取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。必須指出，這里的邏輯0和邏輯1并不表示數(shù)量的大小，而是代表某個事件的兩種對立狀態(tài)，即兩種對立的邏輯狀態(tài)。例如，它們可以代表事件的真、偽，正、反，開關的通、斷，電平的高、低等。邏輯函數(shù)與普通代數(shù)中的函數(shù)相似，它是隨著自變量的變化而變化的因變量。因此，如果用自變量和因變量分別表示某一事件發(fā)生的條件和結果，那么該事件的因果關系就可以用邏輯函數(shù)來表示。數(shù)字電路是處理輸入變量與輸出之間邏輯關系的運算電路。它可以用邏輯函數(shù)來描述。例如，如圖2-1-1所示，對于某數(shù)字電路，若輸入的三個邏輯變量A、B、C的取值確定后（如A=1，B=1，C=0），經過該數(shù)字電路邏輯運算f處理后，其輸出邏輯變量F的值是0或是1也被唯一確定了，則稱F是三個輸入變量A、B、C的邏輯函數(shù)，并記為F=f(A、B、C)。圖2-1-1具有三個輸入一個輸出的數(shù)字電路

2.1.2真值表真值表是一種描述邏輯換算輸入與輸出對應關系的表格，它列出了邏輯函數(shù)所有可能輸入的取值組合及其對應的輸出值。真值表可以幫助我們理解和分析邏輯函數(shù)的行為。如圖2-1-1所示，如果該數(shù)字電路f的功能是判斷三個輸入A、B、C中邏輯“1”的個數(shù)，當三個輸入邏輯“1”的個數(shù)等于或超過2個時，則讓輸出F為邏輯“1”，否則為邏輯“0”。根據(jù)該功能描述，可以列出圖2-1-1電路所表示的邏輯函數(shù)F=f(A、B、C)中三個輸入A、B、C的所有可能組合與輸出F取值的對應表，如表2-1-1所示，該表即是圖2-1-1電路或其邏輯函數(shù)的真值表。表2-1-1三輸入一輸出數(shù)字電路真值表ABCF00000010010001111000101111011111

從表2-1-1可以看出，真值表以豎線分為左右兩部分，左邊為輸入部分，包括數(shù)字電路的所有輸入變量，右邊為輸出部分，包括所有輸出變量。輸入部分列出了邏輯函數(shù)中所有變量的可能取值組合（三個變量共有8種組合）。如果邏輯函數(shù)有n個輸入變量，那么輸入部分將有2n行，每行代表一種輸入組合。輸出部分列出了根據(jù)電路功能描述每個輸入組合對應的邏輯函數(shù)的輸出取值。輸出部分的列數(shù)與電路的輸出個數(shù)（或邏輯函數(shù)的輸出變量個數(shù)）相等。由于某些數(shù)字電路可能有多個輸出，每個輸出都會對應一個邏輯函數(shù)。

通過觀察真值表中的輸入和輸出部分，可以分析數(shù)字電路或邏輯函數(shù)的行為和規(guī)律，進而推導出邏輯函數(shù)的表達式，或者驗證邏輯函數(shù)的正確性。如從表2-1-1也可以看出該真值表所對應的數(shù)字電路功能是，當三個輸入A、B、C中邏輯“1”的個數(shù)大于等于2個時輸出F為“1”，否則F為“0”。因此，真值表是數(shù)字電路設計和分析的重要工具。2.1.3邏輯代數(shù)的三種基本運算1.邏輯與(AND)

邏輯與（AND）運算的定義：只有當決定一事件結果的所有條件同時具備時，結果才發(fā)生。例如在圖2-1-2所示的串聯(lián)開關電路示意圖中，只有在開關A和B都閉合的條件下，燈F才亮，這種燈亮與開關閉合的關系就稱為邏輯與。如果設開關A、B閉合為1，斷開為0，設燈F亮為1，滅為0，則F與A、B的“邏輯與”關系可以用表2-1-2所示的真值表來描述。

邏輯代數(shù)的三種基本運算包括：邏輯與（AND）、邏輯或（OR）、邏輯非（NOT），它們可以由相應的單元電路來實現(xiàn)，這樣的單元電路稱為邏輯門。圖2-1-2邏輯與的示意圖表2-1-2邏輯與（AND）真值表

AB

F000110110001與邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A·B

在邏輯代數(shù)中，將與邏輯稱為與運算或邏輯乘。符號“·”表示邏輯乘，在不致混淆的情況下，常省去符號“·”。在有些文獻中，也采用∧、∩及&等符號來表示邏輯乘。實現(xiàn)邏輯與的單元電路稱為與門，其邏輯符號如圖2-1-3所示。其中圖2-1-3（a）為特定外形符號，圖2-1-3（b）為矩形輪廓符號。這兩種符號都是IEEE/ANSI（電氣與電子工程師協(xié)會/美國國家標準協(xié)會）認定的圖形符號，且與IEC（國際電工協(xié)會）標準相兼容。其中圖2-1-3（a）表示的特定外型符號被普遍使用，也是國際通用符號。（a）特定外形符號

（b）矩形輪廓符號圖2-1-3與門邏輯符號對于兩個邏輯變量的邏輯與運算表達式F=AB，如果已知輸入變量A和B的波形，則可以根據(jù)邏輯與運算的邏輯功能畫出表達式輸出變量F（兩輸入與門的輸出端）的波形，如圖2-1-4所示。邏輯波形中，邏輯“1”用高電平表示，邏輯“0”用低電平表示。圖2-1-4兩變量邏輯與運算波形圖2.邏輯或(OR)圖2-1-5或邏輯示意圖

邏輯或（OR）運算的定義：決定事件結果的所有條件中，只要有一個條件滿足，結果就會發(fā)生。例如，圖2-1-5所示的并聯(lián)開關電路中，只要開關A、B中有一個閉合，燈F就亮，這種燈亮與開關閉合的關系稱為邏輯或。F與A、B的邏輯或關系可以用表2-1-3所示的真值表來描述。表2-1-3或邏輯真值表

AB

F000110110111或邏輯可以用邏輯表達式表示為F=A+B

或邏輯也稱為或運算或邏輯加。符號“+”表示邏輯加。有些文獻中也采用∨、∪等符號來表示邏輯加。

實現(xiàn)邏輯或的單元電路稱為或門，其邏輯符號如圖2-1-6所示，其中圖（a）為特定外形符號，也是國際通用符號，圖（b）為矩形輪廓符號。(a)特定外形符號

（b）矩形輪廓符號

圖2-1-6或門邏輯符號對于兩個邏輯變量的邏輯或運算表達式F=A+B，如果已知輸入變量A和B的波形，則可以根據(jù)邏輯或運算的邏輯功能畫出表達式輸出變量F（兩輸入或門的輸出端）的波形，如圖2-1-7所示。圖2-1-7兩變量邏輯或運算波形圖3.邏輯非(NOT)

非運算(邏輯反)是邏輯的否定：當條件具備時，結果不會發(fā)生；而條件不具備時，結果一定會發(fā)生。例如，在圖2-1-8所示的開關電路中，只有當開關A斷開時，燈F才亮，當開關A閉合時，燈F反而熄滅。燈F的狀態(tài)總是與開關A的狀態(tài)相反。這種結果總是同條件相反的邏輯關系稱為非邏輯。非邏輯的真值表如表2-3所示，其邏輯表達式為通常稱A為原變量，A為反變量。

圖2-1-8非邏輯示意圖AF0110表2-1-4非邏輯運算真值表

實現(xiàn)邏輯非的單元電路稱為非門（或反相器），其邏輯符號如圖2-1-9所示。其中圖（a）為特定外形符號，也是國際通用符號，圖（b）為矩形輪廓符號。(a)特定外形符號

（b）矩形輪廓符號圖2-1-9非門邏輯符號根據(jù)邏輯非運算表達式，如果已知輸入變量A的波形，則可以畫出F（非門的輸出端）的波形，如圖2-1-10所示。圖2-1-10邏輯非運算波形圖2.2邏輯代數(shù)的公式和規(guī)則2.2.1邏輯代數(shù)基本公式

1.變量和常量公式

邏輯變量的取值只有0和1，根據(jù)三種基本運算的定義，可推得以下關系式。0-1律：A·0=0A+1=1自等律：A·1=AA+0=A重疊律：A·A=AA+A=A互補律：A·A=0A+A=12.與普通代數(shù)相似的定律

交換律A·B=B·AA+B=B+A結合律(A·B)·C=A·(B·C)(A+B)+C=A+(B+C)分配律A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)

以上定律可以用真值表證明，也可以用公式證明。例如，證明加對乘的分配律A+BC=(A+B)(A+C)。證：(A+B)(A+C)=A·A+A·B+A·C+B·C=A+AB+AC+BC=A(1+B+C)+BC=A+BC因此有A+BC=(A+B)(A+C)3.邏輯代數(shù)中的特殊公式

反演律(DeMorgan定律)：還原律：表2-2-1反演公式證明真值表AB0001101111101110100010002.2.2化簡公式1.合并公式

公式1：公式2：

A+AB=AA(A+B)=A

證： A+AB=A(1+B)=A·1=A

該公式說明，在一個與或表達式中，如果某一乘積項的部分因子(如AB項中的A)恰好等于另一乘積項(如A)的全部，則該乘積項(AB)是多余的。

證：公式1-1：公式1-2：公式2-1：公式1-2：2.吸收公式

該公式說明，在一個與或表達式中，如果一個乘積項(如A)取反后是另一個乘積項(如的因子，則此因子是多余的。

證：推論：

該公式及推論說明，在一個與或表達式中，如果兩個乘積項中的部分因子互補(如AB項和AC項中的A和A)，而這兩個乘積項中的其余因子(如B和C)都是第三個乘積項中的因子，則這個第三項是多余的。表2-2-2邏輯代數(shù)的基本公式和化簡公式列表

2.2.3三個重要規(guī)則

1.代入規(guī)則任何一個邏輯等式，如果將等式兩邊所出現(xiàn)的某一變量都代之以同一邏輯函數(shù)，則等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。由于邏輯函數(shù)與邏輯變量一樣，只有0、1兩種取值，所以代入規(guī)則的正確性不難理解。運用代入規(guī)則可以擴大基本定律的運用范圍。例如，已知A+B=A·B(反演律)，若用F=B+C代替等式中的B，則可以得到適用于多變量的反演律，即2.反演規(guī)則

對于任意一個邏輯函數(shù)式F，如果將其表達式中所有的算符“·”換成“+”，“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，則所得到的結果就是。稱為原函數(shù)F的反函數(shù)，或稱為補函數(shù)。反演規(guī)則是反演律的推廣，運用它可以簡便地求出一個函數(shù)的反函數(shù)。例如：若則若則

運用反演規(guī)則時應注意兩點：①不能破壞原式的運算順序——先算括號里的，然后按“先與后或”的原則運算。②不屬于單變量上的非號應保留不變。

3.對偶規(guī)則

對于任何一個邏輯函數(shù)，如果將其表達式F中所有的算符“·”換成“+”,“+”換成“·”，常量“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則得出的邏輯函數(shù)式就是F的對偶式，記為Fd(或F*)。例如：以上各例中F′是F的對偶式。不難證明F也是F′對偶式。即F與F′互為對偶式。

任何邏輯函數(shù)式都存在著對偶式。若原等式成立，則對偶式也一定成立。即，如果F=G,則F*=G*。這種邏輯推理叫做對偶原理，或對偶規(guī)則。必須注意，由原式求對偶式時，運算的優(yōu)先順序不能改變，且式中的非號也保持不變。觀察前面邏輯代數(shù)基本定律和公式，不難看出它們都是成對出現(xiàn)的，而且都是互為對偶的對偶式。例如，已知乘對加的分配律成立，即A(B+C)=AB+AC，根據(jù)對偶規(guī)則有，A+BC=(A+B)(A+C)，即加對乘的分配律也成立。2.3復合邏輯和復合邏輯門2.3.1常用復合邏輯運算和復合邏輯門1.與非邏輯(NAND)

與非邏輯運算是與運算和非運算的組合，即(a)2輸入與非門(b)3輸入與非門圖2-3-1與非門的邏輯符號或非邏輯運算是或運算和非運算的組合，即

與或非邏輯運算是與、或、非三種運算的組合，即2.或非邏輯(NOR)3.與或非邏輯(AND-OR-NOT)(a)或非門符號(b)與或非門符號圖2-3-2或非門和與或非門的邏輯符號

同或邏輯與異或邏輯相反，它表示當兩個輸入變量相同時輸出為1；相異時輸出為0?！咽峭蜻\算的符號。

異或門符號(b)同或門符號圖2-3-3異或門和同或門的邏輯符號表2-3-1異或邏輯和同或邏輯真值表由定義和真值表可見，異或邏輯與同或邏輯互為反函數(shù)，即

不僅如此，它們還互為對偶式。如果，G=A⊙B，不難證明F*=G,G*=F。因此可以將“

”作為“⊙”的對偶符號，反之亦然。由以上分析可以看出，兩變量的異或函數(shù)和同或函數(shù)既互補又對偶，這是一對特殊函數(shù)。

表2-3-2異或、同或運算常用公式此外，(A的個數(shù)為偶數(shù))(A的個數(shù)為奇數(shù))在實際應用中，基本邏輯門電路（與、或、非、與非、或非）除了使用標準符號之外，還經常使用與其邏輯功能相同的等效邏輯符號，這種方法可以用來對邏輯電路進行變換或化簡。前面所學的反演公式（即德?摩根定理）提供了一種變換邏輯運算符號的方法，利用該定理可以將任何與(AND)形式的邏輯門和或（OR）形式的邏輯門互換。2.3.2常用邏輯門的等效符號

將圖2-3-5（b）中的非門用小圓圈表示，則可畫出與非門等效符號如圖2-3-4(c)所示，其輸入端的小圓圈表示非運算。

(a)標準與非門

(b)與非門等效電路

(c)標準與非門等效符號圖2-3-5與非門及其等效符號

同理，在其它邏輯門標準符號的基礎上，只要利用德?摩根定理改變其運算符號（或變與，與變或，反相器除外），并用小圓圈表示非運算，就可得到相應的等效符號。圖2-3-6列出了各種邏輯門和反相器的標準符號和等效符號。圖2-3-6各種邏輯門和反相器的標準符號和等效符號由于與門、或門、非門、與非門、或非門、與或非門、異或門和同或門這八種邏輯門的輸出端僅有兩種狀態(tài)，邏輯1（高定平），邏輯0（低電平），在實際使用時，應注意它們的輸出端都不能直接連接在一起。如圖2-3-7所示的兩個與非門的輸出端連接在一起的方式是很危險的，在加電后非常容易出現(xiàn)邏輯門的損壞。但是，本節(jié)介紹的集電極開路門和三態(tài)門在一定條件下的輸出端則可以連接在一起。2.3.3集電極開路門和三態(tài)門圖2-3-7輸出端錯誤連接圖1.集電極開路門（OC門）

集電極開路門又稱OC(OpenCollector)門，如圖2-3-8（a）所示為OC與非門邏輯符號，符號中的菱形記號表示是OC輸出結構的邏輯門。該邏輯門的內部電路輸出端晶體管的集電極與電源之間是開路的，因此，在使用時需要外接合適的電阻RL到電源上（稱為上拉電阻），以保證在輸出為高電平時，輸出端能夠穩(wěn)定為邏輯高電壓。多個OC門的輸出端才可以直接連接，并且可以共享外接的上拉電阻RL，如圖2-3-8（b）是兩個OC與非門輸出端連接的應用。(a)OC與非門的邏輯符號(b)兩個OC與非門輸出端并接圖2-3-8OC與非門的邏輯符號及應用

圖2-3-8（b）中只要有一個門的輸出為低電平，則F輸出為低，只有所有門的輸出為高電平，F(xiàn)輸出才為高，因此相當于在輸出端實現(xiàn)了“線與”(Wired-AND)的邏輯功能，輸出表達式為2.三態(tài)門三態(tài)（Three-State）門，簡稱TS門。普通邏輯門的輸出只有兩種狀態(tài)，即邏輯0和邏輯1，這兩種狀態(tài)都是低阻輸出。三態(tài)門除了上述兩種狀態(tài)以外，還有第三種狀態(tài)——高阻態(tài)（High-impedanceState，HI-Z），這時輸出端相當于懸空。三態(tài)緩沖門的邏輯符號如圖2-3-9所示，符號中的倒三角“▽”記號表示邏輯門是三態(tài)輸出，EN為使能控制端，EN輸入端有小圓圈表示低電平有效（若沒有小圓圈則表示高電平有效）。(a)低電平使能三態(tài)緩沖門

(b)高電平使能三態(tài)緩沖門圖2-3-9兩種控制模式的三態(tài)緩沖門符號

由于三態(tài)門有使能控制端，所以其功能描述與普通邏輯門也不相同。圖2-3-9（a）三態(tài)緩沖門的真值表如表2-3-3所示，表中的“X”表示輸入變量為“0”或“1”中的任意邏輯值都可以，即輸入為任意值。其輸出函數(shù)表達式可寫成

圖2-3-9（b）三態(tài)緩沖門的真值表如表2-3-4所示，其輸出表達式可寫成表2-3-3低電平使能三態(tài)緩沖門真值表表2-3-4高電平使能三態(tài)緩沖門真值表ENA

F00011X01Z（高阻）ENA

F10110X01Z（高阻）多個三態(tài)門的輸出端可以直接連接，圖2-3-10是兩個三態(tài)緩沖門輸出端連接的應用。圖中當EN=0時，低電平使能的三態(tài)門工作輸出為A，高電平使能的三態(tài)門不工作輸出懸空，則F輸出為。當EN=1時，低電平使能的三態(tài)門不工作輸出懸空，高電平使能的三態(tài)門工作輸出為B，則F輸出為。因此相當于在輸出端實現(xiàn)了“線或”(Wired-OR)的邏輯功能，輸出表達式為圖2-3-10兩種三態(tài)緩沖門的應用另外，圖2-3-9所示的三態(tài)門電路可以實現(xiàn)在同一個公用通道上輪流傳送2個不同的信息，當該電路擴展到n個三態(tài)門時，可以實現(xiàn)在同一個公用通道上輪流傳送n個不同的信息。普通邏輯門的輸出端串接上三態(tài)緩沖門，同樣可以實現(xiàn)“線或”運算。如圖2-3-11所示，將兩個串接了三態(tài)緩沖門的與門輸出端直接相連，輸出表達式為圖2-3-11兩個串接了三態(tài)緩沖門的與門輸出端直接相連2.4邏輯函數(shù)表達式的常用形式

邏輯門是實現(xiàn)邏輯函數(shù)的基本單元器件，如果選擇實際器件的功能和型號不同，則邏輯函數(shù)表達式的形式也不相同，因此必須將邏輯函數(shù)式變換成符合相應邏輯門的形式。在邏輯代數(shù)中，與、或、非是三種最基本的邏輯運算，用與、或、非三種運算符和邏輯變量可以構成任何邏輯函數(shù)，因此稱與、或、非邏輯運算符是一組完備集。但是與、或、非三種運算符并不是最好的完備集，因為用它實現(xiàn)一個函數(shù)時需要用三種不同規(guī)格的邏輯門。實際上從德?摩根定律可見，有了“與”和“非”便可得到“或”，有了“或”和“非”便可得到“與”，因此“與非”、“或非”、“與或非”運算中的任何一種都能單獨實現(xiàn)“與、或、非”運算。這三種復合運算的每一種都是完備集，而且實現(xiàn)函數(shù)只需要一種規(guī)格的邏輯門，這會給設計帶來許多方便。2.4.1邏輯運算的完備性例2-4-1僅用“與非”門分別實現(xiàn)與、或、非三種基本運算，并分別畫出實現(xiàn)的連接圖。例2-4-1僅用“與非”門分別實現(xiàn)與、或、非三種基本運算，并分別畫出實現(xiàn)的連接圖。任何一個邏輯函數(shù)式都可以通過邏輯變換寫成以下五種形式：與或式或與式與非與非式或非或非式與或非式2.4.2邏輯函數(shù)表達式的常用形式圖2-4-3邏輯函數(shù)的五種電路形式(a)與或式(b)或與式(c)與非—與非式(d)或非—或非式(e)與或非式2.4.3邏輯函數(shù)的兩種標準形式

n個變量的最小項是n個變量的“與項”，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。兩個變量A、B可以構成四個最小項——

，三個變量A、B、C可以構成八個最小項——

，可見n個變量的最小項共有2n個。

任何一個邏輯函數(shù)表達式的形式有多種，但標準形式只有兩種，即標準與或式和標準或與式，并且這兩種標準表達式都是唯一的，它們和邏輯函數(shù)真值表有著嚴格的對應關系。1.最小項表2-4-1三變量邏輯函數(shù)的最小項最小項具有以下性質：①n變量的全部最小項的邏輯和恒為1，即②任意兩個不同的最小項的邏輯乘恒為0，即③n變量的每一個最小項有n個相鄰項。例如，三變量的某一最小項有三個相鄰項：。這種相鄰關系對于邏輯函數(shù)化簡十分重要。2.標準與或式——最小項表達式如果在一個與或表達式中，所有與項均為最小項，則稱這種表達式為最小項表達式，或稱為標準與或式、標準積之和式。例如：是一個三變量的最小項表達式，它也可以簡寫為

任何一個邏輯函數(shù)都可以表示為最小項之和的形式：只要將真值表中使函數(shù)值為1的各個最小項相或，便可得出該函數(shù)的最小項表達式。由于任何一個函數(shù)的真值表是惟一的，因此其最小項表達式也是惟一的。表2-4-2真值表ABCF00000101001110010111011101101011

從真值表可知，當A、B、C取值分別為001、010、100、111時，F(xiàn)為1，因此最小項表達式由這四種組合所對應的最小項進行相或構成，即表2-4-3三變量邏輯函數(shù)的最小項與最大項3.最大項

n個變量的最大項是n個變量的“或項”，其中每一個變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。

n個變量可以構成2n個最大項。最大項用符號Mi表示(見表2-10)。與最小項恰好相反，對于任何一個最大項，只有一組變量取值使它為0，而變量的其余取值均使它為1。例如，或項僅和變量取值101對應，故用M5表示。最大項具有以下性質：①n變量的全部最大項的邏輯乘恒為0，即②n變量的任意兩個不同的最大項的邏輯和必等于1，即③n變量的每個最大項有n個相鄰項。例如，三變量的某一最大項有三個相鄰項：

變量數(shù)相同，編號相同的最小項和最大項之間存在互補關系，即例如：4.標準或與式——最大項表達式在一個或與式中，如果所有的或項均為最大項，則稱這種表達式為最大項表達式，或稱為標準或與式、標準和之積表達式。如果一個邏輯函數(shù)的真值表已給出，要寫出該函數(shù)的最大項表達式，可以先求出該函數(shù)的反函數(shù)，并寫出的最小項表達式，然后將再求反，利用mi和Mi的互補關系便得到最大項表達式。例如，已知表2-4-4的真值表，可得表2-4-4函數(shù)F真值表ABCFF0000010100111001011101111010010110100101可見，最大項表達式是真值表中使函數(shù)值為0的各個最大項相與。

得出結論：任何一個邏輯函數(shù)既可以用最小項表達式表示，也可以用最大項表達式表示。如果將一個n變量函數(shù)的最小項表達式改為最大項表達式時，其最大項的編號必定都不是最小項的編號，而且這些最小項的個數(shù)和最大項的個數(shù)之和為2n。2.5邏輯函數(shù)的化簡方法1.并項法利用公式AB+AB=A將兩項合并成一項，并消去互補因子。如：2.5.1代數(shù)化簡法2.吸收法利用吸收律

A+AB=A、和吸收(消去)多余的乘積項或多余的因子。如：3.配項法利用重疊律A+A=A、互補律A+A=1和吸收律AB+AC+BC=AB+AC先配項或添加多余項，然后再逐步化簡。如：(添多余項AB)(去掉多余項AB)2.5.2卡諾圖化簡法

在邏輯函數(shù)的真值表中，輸入變量的每一種組合都和一個最小項相對應，這種真值表也稱最小項真值表。卡諾圖就是根據(jù)最小項真值表按一定規(guī)則排列的方格圖。

表2-5-1三變量最小項1.卡諾圖的構成圖2-5-2四變量、五變量K圖圖2-5-1三變量K圖

由圖2-5-2可以看出，K圖具有如下特點：①

n變量的卡諾圖有2n個方格，對應表示2n個最小項。每當變量數(shù)增加一個，卡諾圖的方格數(shù)就擴大一倍。②卡諾圖中任何幾何位置相鄰的兩個最小項，在邏輯上都是相鄰的。由于變量取值的順序按格雷碼排列，保證了各相鄰行(列)之間只有一個變量取值不同，從而保證畫出來的最小項方格圖具有這一重要特點。所謂幾何相鄰，一是相接，即緊挨著；二是相對，即任意一行或一列的兩頭；三是相重，即對折起來位置重合。所謂邏輯相鄰，是指除了一個變量不同外其余變量都相同的兩個與項。

例如圖2-5-2(b)五變量K圖中，m5在幾何位置上與m4、m7、m1、m13、m21相鄰，因此與相鄰，此外還與和 分別相鄰，即m5有五個相鄰項?？梢娍ㄖZ圖也反映了n變量的任何一個最小項有n個相鄰項這一特點?？ㄖZ圖的主要缺點是隨著輸入變量的增加圖形迅速復雜，相鄰項不那么直觀，因此它只適于用來表示6個以下變量的邏輯函數(shù)。2.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法(1)給出邏輯函數(shù)的最小項表達式（與或標準式）

只要將構成邏輯函數(shù)的最小項在卡諾圖上相應的方格中填1，其余的方格填0(或不填)，則可以得到該函數(shù)的卡諾圖。也就是說，任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填1的那些最小項之和。

圖2-5-3F1的卡諾圖(2)邏輯函數(shù)為一般與或式將一般與或式中每個與項在卡諾圖上所覆蓋的最小項都填1，其余的填0（或不填），就可以得到該函數(shù)的卡諾圖。例如，用卡諾圖表示函數(shù)時，先確定使每個與項為1的輸入變量取值，然后在該輸入變量取值所對應的方格內填1。F2表達式中有四個與項，分別為當ABCD取值為100x時，與D無關，=1，使得F2=1，因此在對應ABCD為1000和1001的方格m8，m9處填1；當ABCD取值為00x1時，與C無關，=1，使得F2=1，因此在對應ABCD為0001和0011的方格處填1；BC：當ABCD=×11×時，與A、D無關，BC=1，使得F2=1，對應的四個方格(m6、m7、m14、m15)處填1；D：當ABCD=×××1時該與項為1，對應八個方格(m1、m3、m5、m7、

m9、m11、m13、m15)處填1。

F2的k圖如圖2-5-4所示。由于F2不一定是最簡式，因此按照每個與項為1分別填對應的方格時，可能會有重復的方格。另外，畫一般與或式邏輯函數(shù)的卡諾圖，也可以先通過代數(shù)法將表達式變?yōu)樽钚№棻磉_式，利用最小項表達式畫卡諾圖；或者先畫出一般與或式表達式的真值表，再由真值表畫卡諾圖。圖2-5-4F2的卡諾圖(3)邏輯函數(shù)為最大項表達式（或與標準式）只要將構成邏輯函數(shù)的最大項在卡諾圖相應的方格中填0，其余的方格填1即可。也就是說，任何一個邏輯函數(shù)都等于其卡諾圖上填0的那些最大項之積。例如，函數(shù)只需在三變量卡諾圖中將M0、M2、M4、M7對應的方格處填0，F(xiàn)3的卡諾圖如圖2-5-5所示。注意：在卡諾圖中最大項的編號與最小項編號一致，但對于輸入變量的取值是相反的。另外，也可以由最大項表達式先寫出最小項表達式，再由最小項表達式畫函數(shù)的卡諾圖。圖2-5-5F3的卡諾圖圖2-5-6F4的卡諾圖(4)邏輯函數(shù)的一般或與式將一般或與式中每個或項在卡諾圖上所覆蓋的最大項處都填0，其余的填1即可。例如，將函數(shù)填入卡諾圖時，先確定使每個或項為0時輸入變量的取值，然后在該取值所對應的方格內填0。當ABC=10×時，該或項為0，對應兩個方格(M4、M5)處填0。當ABC=×00時，該或項為0，對應兩個方格(M0、M4)處填0。F4的K圖如圖2-5-6所示。3.卡諾圖合并規(guī)律

在卡諾圖中，凡是幾何位置相鄰的最小項均可以合并。兩個相鄰最小項合并為一項，消去一個互補變量。在卡諾圖上該合并圈稱為單元圈，它所對應的與項由圈內沒有變化的那些變量組成，可以直接從卡諾圖中讀出。例如，圖2-5-7(a)中m1、m3合并為，圖2-5-7(b)中m0、m4合并為。任何兩個相鄰的單元K圈也是相鄰項，仍然可以合并，消去互補變量。因此，如果K圈越大，消去的變量數(shù)就越多。

圖2-5-7(c)、(d)表示四個相鄰最小項合并為一項，消去了兩個變量，合并后積項由K圈對應的沒有變化的那些變量組成。圖2-5-7(c)中m0、m1、m4、m5合并為，圖2-5-7(d)中m0、m2、m8、m10合并為，m5、m7、m13、m15合并為BD，m12、m13、m15、m14合并為AB。圖2-5-7(e)表示八個相鄰最小項合并為一項，消去了三個變量，即

（6）每一個圈1的卡諾圈合并，可以根據(jù)圈內沒有變化的變量寫出對應的與項。取值為1在與項中用原變量表示，取值為0在與項中用反變量表示。

對最小項圈卡諾圖寫出的最簡與或式就是所有卡諾圈所對應的與項相或，如圖2-5-7（d）卡諾圖化簡后的最簡與或式為。圖2-5-7最小項合并規(guī)律4.卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)

（1）得到最簡與或式在卡諾圖上以最少的卡諾圈數(shù)和盡可能大的卡諾圈覆蓋所有填1的方格，即滿足最小覆蓋，就可以求得邏輯函數(shù)的最簡與或式。化簡的一般步驟是：①畫出邏輯函數(shù)的K圖。②先從只有一種圈法的最小項開始圈起，K圈的數(shù)目應最少(與項的項數(shù)最少)，K圈應盡量大(對應與項中變量數(shù)最少)。③將每個K圈寫成相應的與項，并將它們相或，便得到最簡與或式。圈Ｋ圈時應注意，根據(jù)重疊律(A+A=A)，任何一個1格可以多次被圈用，但如果在某個K圈中所有的1格均已被別的K圈圈過，則該圈為多余圈。為了避免出現(xiàn)多余圈，應保證每個K圈內至少有一個1格只被圈一次?！纠?-5-5】求F=∑m(1,3,4,5,8,10,11,12,13)的最簡與或式。解：

①畫出F的卡諾圖。如圖2-5-8（a）所示，變量按照ABCD順序排列。

(a)(b)

圖2-5-8例2-5-5的卡諾圖②圈卡諾圈。用卡諾圈覆蓋所有1格后的卡諾圖如圖2-5-8(b)所示。根據(jù)化簡原則，首先選擇圈四個1格m4,m5,m12,m13的卡諾圈，該圈的與項為，然后用最少的卡諾圈覆蓋剩下的4個1格，圈2個1格m1,m3的卡諾圈的與項為、圈2個1格m8,m10的卡諾圈的與項為。可見一共只要用三個卡諾圈即可覆蓋全部的1格。③寫出最簡式?！纠?-5-6】

求的最簡與或式。

解：①畫出F的K圖。給出的F為一般與或式，將每個與項所覆蓋的最小項都填1，K圖如圖2-5-9所示。圖2-5-9例2-5-6的卡諾圖(a)(b)(c)②畫K圈化簡函數(shù)。③寫出最簡與或式。本例有兩種圈法，都可以得到最簡式。按圖2-5-9(b)圈法：按2-5-9(c)圈法：該例說明，邏輯函數(shù)的最簡式不是唯一的。

（2）得到最簡或與式

任何一個邏輯函數(shù)既可以等于其卡諾圖上填1的那些最小項之和，也可以等于其卡諾圖上填0的那些最大項之積，因此，如果要求出某函數(shù)的最簡或與式，可以在該函數(shù)的卡諾圖上合并那些填0的相鄰項。這種方法簡稱為圈0合并，其化簡步驟及化簡原則與圈1合并類同，只要按圈逐一寫出或項，然后將所得的或項相與即可。但需注意，或項由K圈對應的沒有變化的那些變量組成，當變量取值為0時寫原變量，取值為1時寫反變量?！纠?-5-7】求的最簡或與式。

解：

①畫出F的卡諾圖，如圖2-5-11所示。②圈卡諾圈，合并0格。其規(guī)律與圈1相同，即滿足卡諾圈的數(shù)目應最少，卡諾圈應盡可能大。本例用三個卡諾圈覆蓋了所有0格。③寫出最簡或與式。圖2-5-11例2-5-7的卡諾圖為了避免圈0的卡諾圈寫或項的時候出錯，可以采用下面的步驟利用卡諾圖化簡得到函數(shù)的最簡或與式：（1）畫出原函數(shù)反函數(shù)的卡諾圖。在原函數(shù)卡諾圖中填1的方格，在反函數(shù)的卡諾圖中填0或不填；在原函數(shù)卡諾圖中填0的方格，在反函數(shù)卡諾圖中填1;（2）在反函數(shù)卡諾圖中對1格圈卡諾圈，得到反函數(shù)的最簡與或式;（3）反函數(shù)最簡與或式再取反，即可得到原函數(shù)的最簡或與式?！纠?-5-8】利用上述方法重做例2-5-7。解：①畫出F的反函數(shù)的卡諾圖。原函數(shù)F的卡諾圖如圖2-5-11所示，反函數(shù)的卡諾圖如圖2-5-12所示。

圖2-5-12例2-5-7反函數(shù)

2.5.3具有無關項的邏輯函數(shù)及其化簡1.具有無關項的邏輯函數(shù)

邏輯問題分為完全描述和非完全描述兩種。如果對于輸入變量的每一組取值，邏輯函數(shù)都有確定的值，則稱這類函數(shù)為完全描述邏輯函數(shù)。如果對于輸入變量的某些取值組合邏輯函數(shù)值不確定，即函數(shù)值可以為0，也可以為1(通常將函數(shù)值記為?或×)，那么這類函數(shù)稱為非完全描述的邏輯函數(shù)。

無關項發(fā)生在以下兩種情況：①由于某種條件的限制(或約束)使得輸入變量的某些組合不可能出現(xiàn)，因而在這些取值下對應的函數(shù)值是“無關”緊要的，它可以為1，也可以為0。