數(shù)學(xué)游戲與數(shù)學(xué)文化課件：美的密碼

黃金分割與優(yōu)選法游戲活動(dòng)-猜數(shù)

游戲的規(guī)則：一人隨機(jī)寫一個(gè)某范圍內(nèi)數(shù)字，另一人猜，出題的人根據(jù)對方猜的數(shù)字告訴他正確答案比它大還是小，繼續(xù)猜，直到猜中為止。比比誰猜中所用次數(shù)最少。

二分法

這個(gè)方法要點(diǎn)是每次都取在搜索范圍的中點(diǎn)，將搜索范圍對分為兩半，所以這個(gè)方法也稱為對分法.用這種方法做試驗(yàn)的效果每次可以縮小一半范圍.

蒸饅頭是日常生活中常做的事情，為了使蒸出的饅頭好吃，就要放堿，如果堿放少了，蒸出的饅頭就發(fā)酸；堿放多了，饅頭就會(huì)發(fā)黃且有堿味.如果你沒有做饅頭的經(jīng)驗(yàn)，也沒有人可以請教，就要用數(shù)學(xué)的方法迅速找出合適的堿量標(biāo)準(zhǔn).優(yōu)選法

假如我們是煉鋼工人，鋼中的含碳量太多了是生鐵，如果沒有一點(diǎn)含碳量是熟鐵，介于中間的是鋼，鋼在什么情況下強(qiáng)度最高呢？

假設(shè)在一噸鋼材里面

含炭量由1000克到2000克。那么到底多少含量才能煉出最好的鋼來？

在實(shí)踐中有許多最優(yōu)化問題，問題目標(biāo)與因素之間沒有明確的表達(dá)式，或有些表達(dá)式很復(fù)雜，難以用函數(shù)求極值的方法解決，只能通過實(shí)驗(yàn)找出有關(guān)因素的最佳點(diǎn)。用最少的試驗(yàn)次數(shù)找到“最佳點(diǎn)”的方法稱為優(yōu)選法。

優(yōu)選法的應(yīng)用在我國從70年代初開始，首先由我們數(shù)學(xué)家華羅庚等推廣并大量應(yīng)用,優(yōu)選法也叫最優(yōu)化方法。優(yōu)選法單因素雙因素單峰情形多峰情形0.618法分?jǐn)?shù)法對分法縱橫對折法單峰情形從好點(diǎn)出發(fā)法平行線法雙因素盲人爬山法分批試驗(yàn)法盲人爬山法0.618優(yōu)選法0.618優(yōu)選法

假設(shè)在一噸鋼材里面

含炭量由1000克到2000克。那么到底多少含量才能煉出最好的鋼來？（誤差不得超過1克）

方法1

煉鋼時(shí)里面分別加入炭1000克，1002克，…，1000克，做1千次試驗(yàn)，就能發(fā)現(xiàn)最佳方案。方法2

二分法：取1000克2000克的中點(diǎn)1500克。再取進(jìn)一步二分法的中點(diǎn)1250克與1750克，分別做兩次試驗(yàn)。如果1750克處效果較差，就刪去1750克到2000克的一段，如果1250克處效果較差，就刪去1000克到1250克的一段。再在剩下的一段中取中點(diǎn)做試驗(yàn)，比較效果決定下一次的取舍，這種“二分法”會(huì)不斷接近最好點(diǎn)，而且所用的試驗(yàn)次數(shù)與上法相比，大大減少。

表面上看來，似乎這就是最好的方法。但華羅庚證明了，每次取中點(diǎn)的試驗(yàn)方法并不是最好的方法；每次取試驗(yàn)區(qū)間的0.618處去做試驗(yàn)的方法，才是最好的。試驗(yàn)方法中，利用黃金分割常數(shù)確定試點(diǎn)的方法叫做黃金分割法，也叫做0.618法.黃金分割點(diǎn)的再生性華羅庚的0.618優(yōu)選法介紹x21382x1161810002000

x1＝1000＋0.618×(2000－1000) ＝1618(g)，

x2＝1000＋2000－x1＝1382(g).x1＝?。?.618×(大－小)，x2＝?。螅瓁1或小＋大－中間以后的點(diǎn)都是“大加小減去中間”，如比較第一、二次試驗(yàn)結(jié)果，如果第二試點(diǎn)x2是好點(diǎn)，則去掉x1以外較短部分，剩余部分中選第三試點(diǎn)x3，計(jì)算如下：

x3＝1000＋1618－1382＝1236(g)

x21382x1161810002000比較第二、三次試驗(yàn)結(jié)果，如果第二試點(diǎn)x2仍是好點(diǎn)，則去掉x3以外較短部分，剩余部分中選第四試點(diǎn)x4。一直進(jìn)行下去，直到達(dá)到我們滿意的精確度。x4＝1236＋1618－1382＝1472(g)x21382x116181000x31236

注意，每次去掉的都是效果較差點(diǎn)以外的短區(qū)間，保留下的是效果較好的部分，而每次留下區(qū)間的長度是上次區(qū)間長度的0.618倍。因此，剩余搜索區(qū)間的長度按0.618的k次方倍逐次減小，以指數(shù)函數(shù)的速度迅速趨于0。所以，“0.618法”可以較快地找到滿意的點(diǎn)。

斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21，34,…用分?jǐn)?shù)列確定試點(diǎn)的方法叫做分?jǐn)?shù)法.分?jǐn)?shù)法

分?jǐn)?shù)法也稱斐波那契法?？梢宰C明，分?jǐn)?shù)數(shù)列中的項(xiàng)是黃金比的近似數(shù)。分?jǐn)?shù)法基本思想是用適當(dāng)?shù)臐u近分?jǐn)?shù)Fn/Fn+1代替0.618，然后按類似黃金分割法的操作原理選取試點(diǎn).即先用漸近分?jǐn)?shù)確定第一個(gè)試點(diǎn)，后續(xù)試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.分?jǐn)?shù)法適用于實(shí)驗(yàn)范圍是是一些不連續(xù)的、間隔不等的點(diǎn)組成，或試驗(yàn)點(diǎn)只能取某些特定數(shù)，或由于某種條件的限制，只能做一定次數(shù)實(shí)驗(yàn)的情況。分?jǐn)?shù)法的應(yīng)用條件例在測試某設(shè)備的線路中，要選一個(gè)電阻，但測試者手里只有阻值為0.5KΩ，1KΩ，1.3KΩ，2KΩ，3KΩ，5KΩ，5.5KΩ等七種阻值不等的定值電阻，如何解決？分?jǐn)?shù)法的具體操作

阻值間隔不均勻，電阻個(gè)數(shù)不是斐波那契數(shù).把這些電阻由小到大排序，并在兩端各增加一個(gè)虛點(diǎn)，使因素范圍湊成8格.阻值0.511.32355.5排序012345678

這樣，把阻值優(yōu)選變?yōu)榕帕行蛱?hào)優(yōu)選，用漸近分?jǐn)?shù)3/8代替0.618確定試點(diǎn)，第1個(gè)試點(diǎn)選取3KΩ的電阻，第2個(gè)試點(diǎn)選取1.3KΩ的電阻.后續(xù)試點(diǎn)可以用“加兩頭，減中間”的方法來確定.0.618這個(gè)“黃金比”和斐波那契數(shù)列能產(chǎn)生“優(yōu)選法”，這告訴我們，美的東西與有用的東西之間，常常是有聯(lián)系的。

單因素優(yōu)選法如0.618法、分?jǐn)?shù)法、對分法等，它們的區(qū)別在于試驗(yàn)點(diǎn)的選擇方法不同，如對分法是每次選取實(shí)驗(yàn)范圍的中點(diǎn)做實(shí)驗(yàn)，而且必需能判斷每次實(shí)驗(yàn)結(jié)果是“好”還是“壞”，以決定留下哪一半范圍繼續(xù)做實(shí)驗(yàn)。對于實(shí)驗(yàn)范圍大，實(shí)驗(yàn)次數(shù)多的情況，可以采取分批實(shí)驗(yàn)以加快實(shí)驗(yàn)進(jìn)度，可減少實(shí)驗(yàn)代價(jià)。（1）調(diào)酒師為了調(diào)制一種雞尾酒，每100kg烈性酒中需要加入檸檬汁的量在1kg到2kg之間，尋找它的最佳（2）用實(shí)驗(yàn)方法，找出蒸饅頭時(shí)合適的放堿量。（3）在配置某種清洗液時(shí)，需要加入某種材料.經(jīng)驗(yàn)表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的錐形量杯計(jì)量加入量，該量杯的量程分為15格，每格代表10ml，用試驗(yàn)法找出這種材料的最優(yōu)加入量。請你選擇適當(dāng)?shù)膬?yōu)選方法25最優(yōu)化數(shù)學(xué)

生活和生產(chǎn)中提出了大量的優(yōu)化問題，它們共同的追求目標(biāo)是：最多、最快、最好、最省。這發(fā)展成一門“最優(yōu)化數(shù)學(xué)”，包括規(guī)化論（線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、幾何規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)