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文檔簡介
4/4導數(shù)概念知多少導數(shù)這部分內容越來越受到重視,但在解題過程中,由于對概念認識不清,對性質理解不透,難免犯這樣那樣的錯誤,本文對導數(shù)的概念進一步加以辨析,以期更好的理解和掌握.一、導數(shù)概念的理解1.是函數(shù)y=在以與為端點的區(qū)間上的平均變化率,而則是函數(shù)y=在點的變化率,它反映了函數(shù)隨自變量而變化的快慢程度,如果不存在,稱函數(shù)在x點不可導;若存在,則稱此極限值為函數(shù)在該點的導數(shù).2.在導數(shù)定義中,令,則有,當時,有,于是和是等價的.3.與是不同的,是常數(shù)的導數(shù)為0,在解題過程中要注意書寫。.4.在導數(shù)的定義中,增量的形式是多種多樣的,但不論選擇哪一種形式,相應的也必須選擇相應的形式,如將變?yōu)椋瑒t,只有這樣.5.“函數(shù)在一點處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”三個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別:①在點x0處的導數(shù)是這一點x0到x0+△x的變化率的極限,是一個常數(shù).②的導數(shù)是函數(shù)y=在區(qū)間(a,b)內每一點都可導,對開區(qū)間內任意點一個確定的x,都對應著一個確定的導數(shù)y=.根據(jù)函數(shù)的定義,在開區(qū)間(a,b)內就構成了一個新的函數(shù),就是函數(shù)y=的導函數(shù)y=.③導函數(shù)就是導數(shù),是特殊的函數(shù):先定義f(x)在x0處可導、再定義f(x)在開區(qū)間(,b)內可導、最后定義f(x)在開區(qū)間的導函數(shù),這是一個遞進的過程.④y=f(x)在x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值,表示這也是求f′(x0)的一種方法.6.導函數(shù)y=與原來的函數(shù)y=有相同的定義域(a,b).7.可導與連續(xù)的關系①若函數(shù)在點處可導,則在處連續(xù)證明:在點處可導,即=所以==從而得,故y=f(x)在點x處連續(xù).②函數(shù)y=f(x)在x處連續(xù),但在該點卻不一定可導.例如,函數(shù)y=∣x∣={在x=0處連續(xù),但在該點不可導.∵=0;|x|=|x|=|x|=0;=.∴=|x|在點x=0處連續(xù).又∵函數(shù)=|x|在點x=0及其附近有意義;=====;∴=-1,=1,即不存在,所以=|x|在點x=0處不可導.③函數(shù)y=在點x處有定義、有極限、連續(xù)、可導是四個不同的概念,它們之間的關系是:在點x處有定義,不一定在x處連續(xù);但在點x處連續(xù),一定在點x處有定義,即在點x處有定義是在點x處連續(xù)的必要而不充分的條件.在點x處連續(xù),則在點x處一定有極限,且=;但在點x處有極限,不一定在點x處連續(xù),即在點x處連續(xù)是在點x處有極限的充分而不必要的條件.在點x處連續(xù)是在點x處可導的必要而不充分的條件.二、典型剖析例1設函數(shù)在處可導,求的值.剖析:在導數(shù)的定義中,增量的形式是多種多樣的,但不論選擇哪一種形式,相應的也必須選擇相應的形式,如將變?yōu)?,則,只有這樣.解:∵在處可導,∴.例2設函數(shù)(a、b、c是兩兩不等的常數(shù)),則++=________.解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc,∴(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca.又(a)=(a-b)(a-c),同理(b)=(b-a)(b-c), (c)=(c-a)(c-b).代入原式中得值為0.跟蹤訓練:1.若函數(shù)f(x)=2x2-1的圖象上一點(1,1)及鄰近一點(1+Δx,1+Δy),則等于()A.4B.4x C.4+2ΔxD.4+2Δx22.對任意x,有(x)=4x3,f(1)=-1,則此函數(shù)為()A.f(x)=x4-2 B.f(x)=x4+2C.f(x)=x3 D.f(x)=-x43.若存在,則=。4.已知,又,且,,則求。參考答案1.C解析:Δy=2(1+Δx)2-1-1=2Δx2+4Δx
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