導數(shù)概念知多少

4/4導數(shù)概念知多少導數(shù)這部分內容越來越受到重視，但在解題過程中，由于對概念認識不清，對性質理解不透，難免犯這樣那樣的錯誤，本文對導數(shù)的概念進一步加以辨析，以期更好的理解和掌握．一、導數(shù)概念的理解1．是函數(shù)y=在以與為端點的區(qū)間上的平均變化率，而則是函數(shù)y=在點的變化率，它反映了函數(shù)隨自變量而變化的快慢程度，如果不存在，稱函數(shù)在x點不可導；若存在，則稱此極限值為函數(shù)在該點的導數(shù)．2．在導數(shù)定義中，令，則有，當時，有，于是和是等價的．3．與是不同的，是常數(shù)的導數(shù)為0，在解題過程中要注意書寫。．4．在導數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪一種形式，相應的也必須選擇相應的形式，如將變?yōu)椋瑒t，只有這樣．5．“函數(shù)在一點處的導數(shù)”、“導函數(shù)”、“導數(shù)”三個概念既有聯(lián)系又有區(qū)別：①在點x0處的導數(shù)是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數(shù)．②的導數(shù)是函數(shù)y=在區(qū)間(a，b)內每一點都可導，對開區(qū)間內任意點一個確定的x，都對應著一個確定的導數(shù)y=．根據(jù)函數(shù)的定義，在開區(qū)間(a，b)內就構成了一個新的函數(shù)，就是函數(shù)y=的導函數(shù)y=．③導函數(shù)就是導數(shù)，是特殊的函數(shù)：先定義f(x)在x0處可導、再定義f(x)在開區(qū)間（，b）內可導、最后定義f(x)在開區(qū)間的導函數(shù)，這是一個遞進的過程．④y=f(x)在x0處的導數(shù)就是導函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，表示這也是求f′(x0)的一種方法．6．導函數(shù)y=與原來的函數(shù)y=有相同的定義域(a，b)．7．可導與連續(xù)的關系①若函數(shù)在點處可導，則在處連續(xù)證明：在點處可導，即=所以＝＝從而得，故y=f(x)在點x處連續(xù)．②函數(shù)y=f(x)在x處連續(xù)，但在該點卻不一定可導．例如，函數(shù)y=∣x∣={在x=0處連續(xù),但在該點不可導．∵=0；|x|=|x|=|x|=0；=．∴=|x|在點x=0處連續(xù)．又∵函數(shù)=|x|在點x=0及其附近有意義；=====；∴=－1，=1，即不存在，所以=|x|在點x=0處不可導．③函數(shù)y=在點x處有定義、有極限、連續(xù)、可導是四個不同的概念，它們之間的關系是：在點x處有定義，不一定在x處連續(xù)；但在點x處連續(xù)，一定在點x處有定義，即在點x處有定義是在點x處連續(xù)的必要而不充分的條件．在點x處連續(xù)，則在點x處一定有極限，且=；但在點x處有極限，不一定在點x處連續(xù)，即在點x處連續(xù)是在點x處有極限的充分而不必要的條件．在點x處連續(xù)是在點x處可導的必要而不充分的條件．二、典型剖析例1設函數(shù)在處可導，求的值．剖析：在導數(shù)的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪一種形式，相應的也必須選擇相應的形式，如將變?yōu)?，則，只有這樣．解：∵在處可導，∴．例2設函數(shù)（a、b、c是兩兩不等的常數(shù)），則++=________.解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又（a）=（a－b）（a－c），同理（b）=（b－a）（b－c）， （c）=（c－a）（c－b）.代入原式中得值為0.跟蹤訓練：1．若函數(shù)f（x）=2x2－1的圖象上一點（1，1）及鄰近一點（1+Δx，1+Δy），則等于（）A.4B.4x C.4+2ΔxD.4+2Δx22．對任意x，有（x）=4x3，f（1）=－1，則此函數(shù)為（）A.f（x）=x4－2 B.f（x）=x4+2C.f（x）=x3 D.f（x）=－x43．若存在，則＝。4．已知,又,且，,則求。參考答案1．C解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx