人教版七年級數(shù)學(xué)常考壓軸題：絕對值化簡的四種考法（含答案及解析）

專題01絕對值化簡的四種考法

目錄

解題知識必備..........................................

壓軸題型講練..........................................

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值.............................................1

類型二、分類討論化簡...................................................2

類型三、幾何意義化簡絕對值.............................................3

類型四、非負(fù)性化簡絕對值...............................................4

壓軸能力測評（13題）...................................................5

x解題知識必備??

1.絕對值的意義

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做。的絕對值，記作時(shí).

2.絕對值的性質(zhì)

a,a>0

絕對值表示的是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故有非負(fù)性向之0,即：|a|=0,a=0.

-a,a<0

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等.

3.絕對值與數(shù)的大小

1）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù).

2）理解：絕對值是指距離原點(diǎn)的距離.

所以：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而?。粌蓚€(gè)正數(shù)，絕對值大的大.

??壓軸題型講練X

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值

【典例1］有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，且|a|=|c|.

IIII>

ba0c

⑴用“V〃連接這四個(gè)數(shù)：0,a,b,c；

(2)填空：a+b_O,b+c_O(填入“>"、"("或"=")；

(3)化簡:\a+b\—21al—\b+c\.

【變式1-1】數(shù)。，b,。在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|-。|+g-。|的結(jié)果為()

a0bc

A.-CL+b—cB.—CL-bcC.a+b-cD.CL-b+c

【變式1-2】已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c|+也一c|一|a-b|+2b.

ba0c

【變式1-3］如圖，數(shù)軸上點(diǎn)2,B,C,。分別表示有理數(shù)a,b,c,0,

CBOA

cbQa

(1)若點(diǎn)B是線段4C的中點(diǎn)，且a=3,c=-5,貝防=;

(2)若點(diǎn)A在原點(diǎn)。右側(cè)，點(diǎn)3,C在原點(diǎn)。左側(cè)，且。4>0B,化簡|a+b|+|b+c|—|a—c|.

類型二、分類討論化簡

【典例2】請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：

⑴已知a,。是有理數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，則六=；當(dāng)b<0時(shí)，則白=.

\a\~\b\~

(2)已知a,b,c是有理數(shù)，a+b+c=0,abc<0,求咨+等+的值.

\a\\b\|c|

⑶已知a,b,c是有理數(shù)，當(dāng)abc去0時(shí)，求卷+白+白的值.

⑷\b\|c|

【變式2-1】如果a,6,c為非零有理數(shù)且a+b+c=O,那么含+白+卷+器的所有可能的值為（

\a\\b\|c|\abc\

A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2

【變式2-2］已知a、b為有理數(shù)，abHO,且用=幽+黑，當(dāng)a、b取不同的值時(shí)，M的值等于（）

a\b\

A.±5B.0或±1C.0或±5D.土1或±5

【變式2-3］如果ab40,那么含+白+R的值是（）

\a\\b\\ab\

A.±1或3B.-1或3C.1或3D.±1或-3

類型三、幾何意義化簡絕對值

【典例3】閱讀下列材料，回答問題.

經(jīng)過有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，我們知道|5-3|可以表示5與3之差的絕對值，同時(shí)也可以理解為5與3兩個(gè)數(shù)

在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，我們可以把這稱之為絕對值的幾何意義.同理，|5-（-2）|可以表示5

與-2之差的絕對值，也可以表示5與-2兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.試探究：

I___I_____I_______I_____I_____I___I_____I_____I_____I_____II_____I_____I_____I?

-7-6-5-4-3-2-101234567

⑴|4-1|表示數(shù)軸上_與_所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

⑵|久-5|表示數(shù)軸上有理數(shù)尤所對應(yīng)的點(diǎn)到一所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；|x+2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的

點(diǎn)到一所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

⑶利用絕對值的幾何意義，請找出所有符合條件的整數(shù)x,使得忱+2|+忱-2|=4.這樣的整數(shù)x有一.

【變式3-1】同學(xué)們都知道，|5-（-2）|表示5與-2之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所

對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

試探索：

（1）^15-（-2）|=.

（2）找出所有符合條件的整數(shù)x,使得+5|+|久-2|=7這樣的整數(shù)是.

⑶由以上探索猜想對于任何有理數(shù)久，lx+3|+|x-6|是否有最小值？如果有寫出最小值（請寫清楚過程），

如果沒有說明理由.

【變式3-2】點(diǎn)4、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,2、B兩點(diǎn)之間的距離表示為4B,在數(shù)軸上2、B兩點(diǎn)

之間的距離AB=\a-b\.利用數(shù)形結(jié)合的思想回答下列問題：

------1-------1-----------1——>

a0b

⑴數(shù)軸上表示2和10兩點(diǎn)之間的距離是一數(shù)軸上表示2和-10的兩點(diǎn)之間的距離是」

(2)數(shù)軸上表示x和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為」

⑶若x表示一個(gè)有理數(shù)，|x-1|+|x+3|有最小值嗎？若有，請求出最小值，若沒有寫出理由.

⑷若x表示一個(gè)有理數(shù)，求|x+4|+|x-5|+|x+6|的最小值.

【變式3-3】在學(xué)習(xí)了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進(jìn)行變化應(yīng)用：

A

―?-------1----------------1——>

a0b

應(yīng)用一：點(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,A、2兩點(diǎn)之間的距離表示為A3,在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之

間的距離48=\a-b\.

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示久和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為；數(shù)軸上表示久和-3的兩點(diǎn)之間的距離表示為

⑵若方表示一個(gè)有理數(shù)，則|久-l|+|x+4|的最小值=,滿足條件的所有整數(shù)x的和為

⑶請寫出當(dāng)x=時(shí)，|x+2|+|x—1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值為.

⑷規(guī)律應(yīng)用

工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個(gè)工作臺A、B、C、D、E、F、G、H、I,一只配件相應(yīng)該

放在工作處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是米.

類型四、非負(fù)性化簡絕對值

【典例4】若有理數(shù)加，"滿足|2m-1|+（n-2/=0,則Hiji等于（）

A.-1B.1C.2D.-2

【變式4-1］若|a-4|+(b+5產(chǎn)=0則a-b=.

【變式4-2］若(2a-I/與21b-3|互為相反數(shù)，貝|心=

【變式4-3】已知|久+2|+。-3)2=0,求儀的值為.

??壓軸能力測評”

1.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡網(wǎng)-|b-a|+|1-a|的結(jié)果為()

h0a1

A.l-2aB.l-2bC.1D.2b—2a

2.若a+b+c〉0,abc<0,則回+回+回=()

abc

A.1B.-1C.0D.3

3.若6+3)2與仍一1|互為相反數(shù)，則().

A.a=-3,b=-1B.a=-3,b=1C.a=3,b=1D.a=3,b=-1

4.下列說法中正確的是()

A.若|〃|二|。|,則〃=bB.若|Q|二|〃|,則a,b互為相反數(shù)

C.。的絕對值一定是負(fù)數(shù)D.若一個(gè)數(shù)小于它的絕對值，則這個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)

5.若1〈無<2,則曰一曰+圖的值是()

x-21-xx

A.-3B.-1C.2D.1

6.|x-l|+|x-2|+|x-3|+…+\x-2021|的最小值是()

A.1B.1010C.1021110D.2020

7.若有理數(shù)a、6、c在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖，化簡：|a-c|++c|-|a-=

__I___________I_I________??

ac0b

8.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示:

>

0a\

b_2,|c|2(填“>"或"<")

(2)化間：|—a—1|——2|++c|.

9.綜合與探究：已知點(diǎn)力，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,A,B兩點(diǎn)之間的距離表示為4B,貝U4B=\a-b\,

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示1和5的兩點(diǎn)之間的距離為一，數(shù)軸上表示1和-2的兩點(diǎn)之間的距離為二

(2)數(shù)軸上表示x和3的兩點(diǎn)之間的距離為,數(shù)軸上表示久和-1的兩點(diǎn)之間的距離為二

⑶若x表示一個(gè)有理數(shù)，且x位于-4到2之間，求-2|+1％+引的值；

(4)|x-4|+|x+l|+|x+7|的最小值是一

10.【閱讀理解】

(1)如圖所示，|1-3|或13-1|可以表示在同一條數(shù)軸上1所對應(yīng)的點(diǎn)與3所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.根據(jù)以

上信息，在同一條數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)與-1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離可表示為(只寫一種).

【探索發(fā)現(xiàn)】

(2)若有理數(shù)a,-1,5在同一條數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)分別為P,A,B,求P4+PB的值，當(dāng)P4+PB的值最

小時(shí)，點(diǎn)P在什么位置？

【聯(lián)系拓廣】

(3)直接寫出|尤+l|+|x-2|+|x+4|+|x-5|的最小值________.

2個(gè)單位長度

A

一7-6-5-4-3-2-101234567

11.先閱讀，后探究相關(guān)的問題

【閱讀】15-2|表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；|5+2|

可以看做15-(-2)|,表示5與-2的差的絕對值，也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距

離.

A

ABAAA1.fl..AB,

-5-4-3-2-I0123456

(1汝口圖，先在數(shù)軸上畫出表示點(diǎn)4.5的相反數(shù)的點(diǎn)S再把點(diǎn)A向左移動(dòng)1.5個(gè)單位，得到點(diǎn)C,則點(diǎn)2和點(diǎn)

C表示的數(shù)分別為和,B,C兩點(diǎn)間的距離是；

⑵若點(diǎn)A表示的整數(shù)為無，則當(dāng)尤為時(shí)，|%+6|與|乂一2|的值相等；

⑶要使代數(shù)式忱+1|+|%-2|取最小值，相應(yīng)的x的取值范圍是.

12.若數(shù)軸上M,N兩點(diǎn)分別表示數(shù)m與數(shù)?1,則M,N兩點(diǎn)之間的距離是MN=-n|,例如|2-(一1)|表示2

和-1在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

4OBG

么A」

(1)已知點(diǎn)4B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為a,b,且|a+3|+(6-2/=0.

①a=,b=.

②P是數(shù)軸上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)尸表示的數(shù)是%,求|x+1|+|x-2|的最小值.

(2)某條街上有3家新開的自習(xí)室小東的哥哥小浩是大學(xué)生，小浩參與了大學(xué)生創(chuàng)業(yè)計(jì)劃，在政府的

支持下，小浩想在自習(xí)室附近開設(shè)一家復(fù)印店，為來自習(xí)室學(xué)習(xí)的學(xué)生提供方便，復(fù)印店記為點(diǎn)P.如圖，

小東家在。處，自習(xí)室2在小東家西邊50米處，B在小東家東邊150米處，C在小東家東邊200米處.請問：

小浩把復(fù)印店開設(shè)在什么地方，復(fù)印店到三個(gè)自習(xí)室和家的距離之和最小，即P4+PB+PC+P。的值最?。?/p>

最小值為多少？

13.閱讀下面的材料：

根據(jù)絕對值的幾何意義，我們知道|5-3|表示5、3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離；|5+3|=|5-(-3)|,

所以|5+3|表示5、-3在數(shù)軸上對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；|5|=|5-0|,所以⑸表示5在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到

原點(diǎn)的距離.一般地，點(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,那么A、8兩點(diǎn)之間的距離可以表示為|4B|=

\a-b\.

回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示6與-9的兩點(diǎn)之間的距離是；數(shù)軸上表示尤與2的兩點(diǎn)之間的距離是.

(2)若|x—3|=3,則x=.

(3)滿足|x+2|+|x—3|=5的整數(shù)尤有個(gè).

(4)當(dāng)a=時(shí)，代數(shù)式+a|+|x-，的最小值是3.

專題01絕對值化簡的四種考法

目錄

解題知識必備...........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

壓軸題型講練...........................................錯(cuò)誤!未定義書簽。

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值.............................................1

類型二、分類討論化簡...................................................3

類型三、幾何意義化簡絕對值.............................................3

類型四、非負(fù)性化簡絕對值..............................................10

壓軸能力測評（13題）..................................................11

x解題知識必備??

1.絕對值的意義

絕對值：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做。的絕對值，記作時(shí).

2.絕對值的性質(zhì)

a,a>0

絕對值表示的是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故有非負(fù)性時(shí)沙，即：同=0,0=0.

-a,a<0

互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)絕對值相等.

3.絕對值與數(shù)的大小

3）正數(shù)大于0,0大于負(fù)數(shù).

4）理解：絕對值是指距離原點(diǎn)的距離.

所以：兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小；兩個(gè)正數(shù)，絕對值大的大.

??壓軸題型講練”

類型一、利用數(shù)軸化簡絕對值

【典例1］有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)位置如圖所示，且|a|=|c|.

IIII?

ba0c

⑴用〃V〃連接這四個(gè)數(shù)：0,a,b,c；

(2)填空：a+b_O,b+c_O(填入“>"、"("或"=")；

(3)化簡：|a+6|-21al—\b+c|.

【答案】⑴6<a<0<c

(2)<,<

(3)0

【分析】本題考查有理數(shù)的大小比較、數(shù)軸、絕對值：

(1)根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小即可判斷；

(2)根據(jù)數(shù)軸和相反數(shù)的性質(zhì)可得答案；

(3)利用絕對值的性質(zhì)即可解決問題.

解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題.

【詳解】(1)解：根據(jù)數(shù)軸得：b<a<0<c；

(2)解：由數(shù)軸可得，b<a<0<c,|a|=|c|,

?1-a+b<0,Z?+c<0；

故答案為：<,<;

(3)解：由圖可知：a<0,a+b<0,b+c<0,a+c=0,

二原式=-a—b+2a+6+c

—a+c,

=0.

【變式1-1】數(shù)a,b,c在數(shù)軸上對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡|-。|+也-。|的結(jié)果為()

_*'：『___A

a0bC

A.—a+b-cB.-a—b+cC.a+b—cD.a-6+c

【答案】B

【分析】此題考查了運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)和絕對值化簡的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用以上知

識進(jìn)行變形、求解.運(yùn)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)和絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡、計(jì)算.

先確定a,b,c的符合以及大小，然后再取絕對值即可.

【詳解】解：由題意得，a<0<b<c,二—a>0,b—c<0,

*'?|—a|+\b-c\—a—(b—c)—a—b+c,

故選：B.

【變式1-2］已知a、b、c的大致位置如圖所示：化簡|a+c|+|b-c|-|a-b|+2b.

IIII>

b670c

【答案】2c+2b

【分析】

此題考查絕對值，關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸和絕對值化簡解答.先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置，確定它們所表示的數(shù)

的和的大小關(guān)系，再根據(jù)有理數(shù)的加減法法則判斷正負(fù)，利用絕對值的意義化去絕對值符號，加減得結(jié)論.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：c>O>a>b,

?1-a+c>O,b—c<O,a—b>0,

*'?|a+c|+—c\—\ci—+2b=a+c+c—b—(a—b)+2b

=a+c+c—b—a+6+2b

=2c+2b.

【變式1-3］如圖，數(shù)軸上點(diǎn)a,B,C,。分別表示有理數(shù)a,b,c,0,

CBOA

cb0a

(1)若點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，且a=3,c=-5,貝帕=;

⑵若點(diǎn)A在原點(diǎn)。右側(cè)，點(diǎn)8,C在原點(diǎn)O左側(cè)，且。4>0B,化簡|a+b|+|b+c|-|a-c|.

【答案】(1)一1

(2)0

【分析】(1)本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)距離關(guān)系，根據(jù)終端兩線段列式求解即可得到答案；

(2)本題根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值，根據(jù)數(shù)軸得到數(shù)字關(guān)系得到式子的正負(fù)，化簡絕對值即可得到答案；

【詳解】(1)解：回點(diǎn)B是線段4c的中點(diǎn)，數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C,。分別表示有理數(shù)a,b,c,0,

勖二］(a+c)=］x(3—5)=-1,

故答案為：-1；

(2)解：由數(shù)軸可得，

c<b<0<a,

WA>OB,

0|a|>\b\,

團(tuán)a+b>0,b+cVOa—c>0,

回|a+b|+|b+c|-|CL-c|=a+b—b—c—(a—c)=a+b—b—c—a+c=0.

類型二、分類討論化簡

【典例2】請利用絕對值的性質(zhì)，解決下面問題：

⑴己知所。是有理數(shù)，當(dāng)a>0時(shí)，則含=：當(dāng)b<0時(shí)，則白=.

\a\~\b\~

⑵已知a,b,c是有理數(shù)，a+b+c=0,abc<0,求管+管+吃^的值?

\a\\b\\c\

⑶已知4,b,c是有理數(shù)，當(dāng)abc。0時(shí)，求含+白+白的值.

\a\\b\|c|

【答案】(1)1;-1

(2)-1

⑶3或一3或1或一1

【分析】本題考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法：

(1)直接根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可；

(2)a+b+c=0,abc<0可知三個(gè)數(shù)中必需有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，可設(shè)a>0,b>0,c<0解答；

(3)分a,6,c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)或三個(gè)都為

負(fù)數(shù)四種情況討論即可.

【詳解】(1)解：回a>0,|a|=a,

「aay

\a\=-a=1；

勖<0,

0|h|=-b,

bby

0—=—=—1.

伊|-b

故答案為：1,—1；

(2)解：團(tuán)a+b+c=0,abc<0,

國三個(gè)數(shù)中必需有兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)，可設(shè)a>0,b>0,c<0

團(tuán)a=—(b+c),b——(a+c),c——(a+b),

回原式=型+型+二=-1-1+1=-1;

ab-c

(3)解：由題意得：a,b,c三個(gè)有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)或兩個(gè)正數(shù)，一個(gè)負(fù)

數(shù)或三個(gè)都為負(fù)數(shù).

①當(dāng)a,b,c都是正數(shù)，即a>0,b>0,c>0時(shí)，

則：n+^+n=~+?+￡=1+1+1=3:

\a\\b\\c\abc

②當(dāng)a,b,。有一個(gè)為正數(shù)，另兩個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0,h<0,c<0,

則：言+卷+三=2+?+/=1+(—1)+(-1)=-1;

\a\1blic1abc

③當(dāng)a,b,c有兩個(gè)為正數(shù)，一個(gè)為負(fù)數(shù)時(shí)，設(shè)a>0,b>0,c<0,

則.A_|__L_p—

人.|a|十回十|c|

=1+1-1

=1；

④當(dāng)a,b,c三個(gè)數(shù)都為負(fù)數(shù)時(shí),

則.A_|_A_p—

'、」.|a|十回十|c|

=-1-1-1

=-3；

綜上所述：卷+白+白的值為3或-3或1或-1.

\a\\b\\c\

【變式2-1】如果a,6,c為非零有理數(shù)且a+b+c=O,那么含+白+卷+唔的所有可能的值為(

\a\\b\|c|\abc\

A.0B.1或-1C.2或-2D.0或-2

【答案】A

【分析】根據(jù)題意確定出a,b,c中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：加、b、c為非零有理數(shù)，且a+6+c=0

0a>b、c只能為兩正一負(fù)或一正兩負(fù).

①當(dāng)a、b、c為兩正一負(fù)時(shí)，設(shè)a、6為正，c為負(fù),

原式=1+1+(-1)+(-1)=0,

②當(dāng)a、b、c為一正兩負(fù)時(shí)，設(shè)a為正，b、c為負(fù)

原式1+(-1)+(-1)+1=0,

綜上，/+言+三+陪的值為0,

\a\\b\|c|\abc\

故答案為：0.

【點(diǎn)睛】此題考查了絕對值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-2］已知a、b為有理數(shù)，ab手0,且時(shí)=綱+言，當(dāng)a、b取不同的值時(shí)，M的值等于()

aI匕I

A.±5B.0或±1C.0或±5D.土1或土5

【答案】D

【分析】本題考查了絕對值的含義，分四種情況討論即可得到結(jié)果，不重不漏是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：Blab豐0,

EI當(dāng)a>0,b>0時(shí)，用=網(wǎng)+g=3+2=5,

a網(wǎng)

當(dāng)。>0,/?<0時(shí)，”=綱+名=3—2=1,

a\b\

當(dāng)a<0,6>0時(shí)，M=—+=-3+2=-1,

a\b\

當(dāng)。<0,6<0時(shí)，M=幽+3=-3-2=-5,

a\b\

回M的值等于±1或±5,

故選：D.

【變式2-3］如果必40,那么含+白+g的值是()

|a|\b\\ab\

A.±1或3B.-1或3C.1或3D.±1或-3

【答案】B

【分析】本題考查的絕對值的應(yīng)用，以及化簡求值.根據(jù)abHO,即。、6全為正數(shù)時(shí)，或。、6為一正一負(fù)

時(shí)，或隊(duì)。全負(fù)時(shí)分類討論計(jì)算即可.

【詳解】解：??,abW0,

?,?設(shè)a>0,6>0時(shí)，

高+小黑="1+1=3,

a>0,b<0或a<0,b>0時(shí),

a,b,ab..a,b,ab.,.

向+而+兩=lTTw=f或而+而+向=-L+wl—1=-L

a<0,b<0時(shí),

a,b,ab..,..

A----------------=—1—1+1=—1,

|a|網(wǎng)\ab\

綜上可得：言+焉+黑=3或—1,

3網(wǎng)\ab\

故選：B.

類型三、幾何意義化簡絕對值

【典例3】閱讀下列材料，回答問題.

經(jīng)過有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，我們知道|5-3|可以表示5與3之差的絕對值，同時(shí)也可以理解為5與3兩個(gè)數(shù)

在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離，我們可以把這稱之為絕對值的幾何意義.同理，|5-(-2)|可以表示5

與-2之差的絕對值，也可以表示5與-2兩個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.試探究：

I___I_______I___I_______I_____I___II_____I_____I_____I_____I_____I_____I_____I?

-7-6-5-4-3-2-101234567

⑴|4-1|表示數(shù)軸上_與_所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

⑵|久-5|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到一所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；|x+2|表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的

點(diǎn)到一所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.

⑶利用絕對值的幾何意義，請找出所有符合條件的整數(shù)x,使得|x+2|+|久-2|=4.這樣的整數(shù)x有

【答案】⑴4,1

(2)5，-2

(3)-2,-1,0,1,2

【分析】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對值的意義等知識，

(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，進(jìn)行作答即可；

(2)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，進(jìn)行作答即可；

(3)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離，得到x在-2到2之間，卜+21+lx-2|=4,即可得出結(jié)論.

掌握兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：|4-1|表示數(shù)軸上4與1所對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離；

(2)|x-5|表示數(shù)軸上有理數(shù)尤所對應(yīng)的點(diǎn)到5所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

lx+2|表示數(shù)軸上有理數(shù)X所對應(yīng)的點(diǎn)到-2所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；

(3)|x+2|+|x-2|=4表示x到—2之間的距離與x到2之間的距離的和為4,

團(tuán)一2至IJ2之間的是巨離為4,

甌在一2到2之間，

國這樣的整數(shù)x有一2,-1,0,1,2.

【變式3-1】同學(xué)們都知道，|5-(-2)|表示5與-2之差的絕對值，實(shí)際上也可理解為5與-2兩數(shù)在數(shù)軸上所

對應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.

試探索：

⑴求15-(-2)|=.

(2)找出所有符合條件的整數(shù)X,使得憂+5|+|x-2|=7這樣的整數(shù)是.

⑶由以上探索猜想對于任何有理數(shù)萬,|久+3|+|x-6|是否有最小值？如果有寫出最小值(請寫清楚過程)，

如果沒有說明理由.

【答案】⑴7；

(2)-5<-4、—31-2、—1>0、1、2；

⑶有最小值，最小值是9.

【分析】

本題考查了數(shù)軸與絕對值，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，理解用絕對值表示兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)絕對值的性質(zhì)即可求解；

(2)由|x+5|+|x—2|=|x—(—5)|+|%—2|可得|久+5|+—21表示x到一5的距離與無至2的距離之和*

根據(jù)2-(-5)=7即可得到久一定在一5至屹之間，進(jìn)而可求解；

(3)由|x+3|+|x-6|=|x-(-3)1+|x-6|可得|久+3|+|x-6|表示的是x到—3的距離與x到6的距離之和,

進(jìn)而可得當(dāng)x位于-3和6之間時(shí)，區(qū)-(-3)|+反-6|的值最小，即為-3到6的距離，即可求解；

【詳解】(1)

解:|5-(-2)|=|5+2|=7,

故答案為：7；

(2)

解：0|x+5|+|x-2|=\x—(—5)|+|x—2|,

0|x+5|+|x-2|表示x到一5的距離與％到2的距離之和，

02-(-5)=7,

盟一定在-5到2之間，

團(tuán)符合條件的整數(shù)x有一5、一4、—3、一2、一1、0、1、2,

故答案為：—5、—4、—3、—2、—1、0、1、2；

(3)解：忱+3|+忱-6|有最小值,最小值是9.

理由如下：

0|x+3|+|x-6|=|x—(—3)1+|x-6|,

0|x+3|+|x-6|表示的是久到-3的距離與x到6的距離之和，

當(dāng)x位于—3和6之間時(shí)，忱一(一3)|+上一6|的值最小,即為—3到6的距離，

0|x+3|+|x-6|有最小值為6-(-3)=9.

【變式3-2】點(diǎn)4、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,4、B兩點(diǎn)之間的距離表示為2B,在數(shù)軸上力、B兩點(diǎn)

之間的距離AB=\a-b\.利用數(shù)形結(jié)合的思想回答下列問題：

------1--------1------------1——>

a0b

⑴數(shù)軸上表示2和10兩點(diǎn)之間的距離是一，數(shù)軸上表示2和-10的兩點(diǎn)之間的距離是一

⑵數(shù)軸上表示式和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為」

⑶若方表示一個(gè)有理數(shù)，+|久+3|有最小值嗎？若有，請求出最小值，若沒有寫出理由.

⑷若光表示一個(gè)有理數(shù)，求|久+4|+|x-5|+|x+6|的最小值.

【答案】⑴8；12

(2)1%+2|

(3)比一1|+優(yōu)+3|有最小值,最小值為4

(4)11

【分析】本題主要考查的是數(shù)軸、絕對值，理解絕對值的幾何意義是解題的關(guān)鍵.

(1)依據(jù)在數(shù)軸上A、3兩點(diǎn)之間的距離AB=|a—b|求解即可；

(2)依據(jù)在數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)之間的距離4B=|a-b|求解即可；

(3)根據(jù)題意可得-1|+|x+3|表示數(shù)軸上x和1的兩點(diǎn)之間與x和-3的兩點(diǎn)之間距離和，即可；

(4)根據(jù)題意可得|x+4|+|x-5|+|x+6|表示數(shù)軸上x和-4的兩點(diǎn)之間，x和5的兩點(diǎn)之間與x和-6的

兩點(diǎn)之間距離和，即可.

【詳解】(1)解:|10-2|=8；|2-(-10)1=12；

故答案為：8；12.

(2)數(shù)軸上表示x和-2的兩點(diǎn)之間的距離表示為-(-2)|=|%+2|；

故答案為:|x+2|.

(3)解:|久一1|+|x+3|有最小值,

根據(jù)題意得：|x-l|+|x+3|表示數(shù)軸上龍和1的兩點(diǎn)之間與X和-3的兩點(diǎn)之間距離和，

01-(-3)=4,

回氏-1|+反+3|有最小值，最小值為4；

(4)解：根據(jù)題意得：反+4|+|%-5|+卜+6|表示數(shù)軸上工和一4的兩點(diǎn)之間，x和5的兩點(diǎn)之間與x和

-6的兩點(diǎn)之間距離和，

團(tuán)當(dāng)x=—4時(shí)，有最小值,最小值為5-(—4)+(—4)—(—6)=11.

【變式3-3】在學(xué)習(xí)了數(shù)軸后，小亮決定對數(shù)軸進(jìn)行變化應(yīng)用:

A

—?-------1----------------1——?

a0b

應(yīng)用一：點(diǎn)A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a,b,A、8兩點(diǎn)之間的距離表示為A8,在數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)之

間的距離48=\a-b\.

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

⑴數(shù)軸上表示x和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為；數(shù)軸上表示》和-3的兩點(diǎn)之間的距離表示為

(2)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則|尤-l\+\x+4］的最小值=,滿足條件的所有整數(shù)x的和為

⑶請寫出當(dāng)x=時(shí)，|x+2|+|久一1|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值為.

⑷規(guī)律應(yīng)用

工廠加工車間工作流水線上依次間隔2米排著9個(gè)工作臺A、B、C、D、E、F、G、H、I,一只配件相應(yīng)該

放在工作處，能使工作臺上的工作人員取配件所走的路程最短，最短路程是米.

【答案】⑴|x—6|；|x+3|

(2)5,-9

(3)-2,8

⑷E,40

【分析】本題考查有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)、絕對值：

(1)根據(jù)數(shù)軸上A、8兩點(diǎn)之間的距離ZB=|a-b|計(jì)算便可；

(2)當(dāng)x在表示數(shù)-4與1的兩點(diǎn)及兩點(diǎn)之間時(shí)，|x-1|+|x+4|的值最小，求出此時(shí)的值便可；

(3)根據(jù)絕對值的幾何意義可知，當(dāng)x=-2Ht,|x+2|+|x-l|+|x|+|x+4|+|x+3|有最小值8；

(4)以E點(diǎn)為原點(diǎn)，2米為一個(gè)單位長度，A、B、C、。、E、F、G、H、/依次在數(shù)軸上排列，根據(jù)絕對

值的意義，幾何數(shù)軸上點(diǎn)的特點(diǎn)可知當(dāng)x=0時(shí)，|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x—2|+|x|+|x+2|+

|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40；

【詳解】(1)解：數(shù)軸上表示久和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為反-6|；

數(shù)軸上表示x和-3的兩點(diǎn)之間的距離表示為|x-(-3)|=|x+3|,

故答案為：伏一6|；|%+3|

(2)解：當(dāng)一時(shí)，—1|++4|取最小值，

其最小值為：|%-l|+|x+4|=l-x+x+4=5,

滿足條件的整數(shù)x的和為一4-3-2-1+04-1=-9

故答案為：5,—9；

(3)解：|x+2|+|x-l|+|x|+|x+4|+|x+3|表示數(shù)軸上有理數(shù)尤所對應(yīng)的點(diǎn)到—4,一3,—2,1所對應(yīng)的

點(diǎn)的距離之和，

回當(dāng)x=—2時(shí)，比+2|+|*—1|+|久|+氏+4|+|*+3|有最小值，最小值為8,

故答案為：一2,8；

(4)以E點(diǎn)為原點(diǎn)，2米為一個(gè)單位長度，A、B、C、D、E、F、G、H、/依次在數(shù)軸上排列，

則A點(diǎn)表示的數(shù)為-8,2點(diǎn)表示的數(shù)為-6,C點(diǎn)表示的數(shù)為-4,。點(diǎn)表示的數(shù)為-2,尸點(diǎn)表示的數(shù)為2,

G點(diǎn)表示的數(shù)為4,4點(diǎn)表示的數(shù)為6,/點(diǎn)表示數(shù)為8,

設(shè)配件箱應(yīng)該放在數(shù)軸上表示無的數(shù)的位置，

當(dāng)1%—8|+|x—6|+|x-4|+|x—2|+\x\+|x+2|+|x+4|+|x+6|+\x+8|有最小值時(shí),工作臺上的

工作人員取配件所走的路程最短，

回當(dāng)％=0時(shí),|x-8|+|x-6|+|x-4|+|x-2|+\x\+|%+2|+|x+4|+|x+6|+|x+8|有最小值40,

回配件箱應(yīng)該放在工作臺￡處，最短路程為40米，

故答案為：E,40；

類型四、非負(fù)性化簡絕對值

【典例4】若有理數(shù)"滿足|2m一+(7?-2)2=0,則nm等于()

A.-1B.1C.2D.-2

【答案】B

【分析】此題考查了非負(fù)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用該知識進(jìn)行求解.先運(yùn)用非負(fù)數(shù)的

性質(zhì)求得加，〃的值，再代入求解.

【詳解】解：12127n-1|+(n-2)2=0,

02m—1=0,71—2=0,

解得：爪=|，n=2,

Emn=2X2=1,

2

故選：B.

【變式4-1］若|a-4|+(6+5)2=0則a-b=.

【答案】9

【分析】本題考查絕對值非負(fù)性的知識，解題的關(guān)鍵是掌握絕對值非負(fù)性的應(yīng)用，根據(jù)題意，則｛:；：二;，

解出a,b,即可.

【詳解】0|a-4|+(6+5)2=O,

團(tuán)a—b=4—(—5)=9.

故答案為：9.

【變式4-2］若（2a—與2|b—3|互為相反數(shù)，則盧=.

【答案w

【分析】本題考查相反數(shù)的概念及絕對值的知識.根據(jù)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的和為0,可得（2a-I/與

2g-3|的和為0,再根據(jù)絕對值和偶次方的非負(fù)性即可分別求出a,b.

【詳解】?；（2。-1）2與2|匕一3|互為相反數(shù)

*'?（2a-1）2+2|b—3|=0

??,（2a-I）2>0,2\b-3|>0

2a-1=0,2\b-3\=0

???a=-,b=3

2

、=C）3..

故答案為：

o

【變式4-3］已知+2|+（y—3￥=0,求%，的值為.

【答案】-8

【分析】本題考查絕對值的非負(fù)性，代入求值，先根據(jù)絕對值得非負(fù)性求出x,y的值，然后代入解題即可.

【詳解】解：由題可得：x+2=0,y—3=0,

解得x=-2,y=3,

既'=（一2>=-8,

故答案為：-8.

??壓軸能力測評“

1.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡網(wǎng)-仍-￡1|+|1-￡1|的結(jié)果為（）

~h0~a-1?

A.1—2aB.l-2bC.1D.2b-2a

【答案】A

【分析】本題考查了利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，化簡絕對值.熟練掌握利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，化

簡絕對值是解題的關(guān)鍵.

由數(shù)軸可知，Z?<0<a<1,貝！Jb—a<0,1—a>0,根據(jù)仍|—|b-a|+|l—a|=-b+6—a+1-a,

計(jì)算求解即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可知，b<0<a<l,

團(tuán)b-aVO,1-a>0,

回—也一+11—a|=—b+b—a+1—CL—1-2a,

故選：A.

2.若a+6+c>0,abc<0,貝i］回+回+回=()

abc

A.1B.-1C.0D.3

【答案】A

【分析】本題主要考查了正負(fù)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用以及絕對值的化簡問題.

【詳解】解：團(tuán)a+b+c>0,且abcV0,

回a,b,c三個(gè)數(shù)中有兩個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，

回回+回+回=1,

abc

故選：A.

3.若3+3)2與|匕-1|互為相反數(shù),則().

A.a=-3,b——1B.a=-3,b—1C.a=3,b=1D.a=3,b=—1

【答案】B

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義、絕對值的非負(fù)性等知識點(diǎn)，熟練掌握絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相反數(shù)的定義及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列出方程求出a、b的值即可.

【詳解】解：回(。+3)2與g-1|互為相反數(shù)，

0(a+3)2+|fo-1|=0,

IBa+3=0,b—1=0,

Ea=-3,b=1.

故選B.

4.下列說法中正確的是()

A.若|a|=|6|,則a=6B.若|a|=|b|,則a,b互為相反數(shù)

C.。的絕對值一定是負(fù)數(shù)D.若一個(gè)數(shù)小于它的絕對值，則這個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)

【答案】D

【分析】由絕對值的含義結(jié)合相反數(shù)的特點(diǎn)可判斷A,B,由絕對值的非負(fù)性可判斷C,D,從而可得答案.

【詳解】解：若|。|=|6|,貝lja=±b,故A不符合題意；B不符合題意；

。的絕對值一定是非負(fù)數(shù)，故C不符合題意；

若一個(gè)數(shù)小于它的絕對值，則這個(gè)數(shù)一定是負(fù)數(shù)，描述正確，故D符合題意；

故選D

【點(diǎn)睛】本題考查的是絕對值的含義，相反數(shù)的含義，絕對值非負(fù)性的理解，有理數(shù)的大小比較，掌握"絕

對值的含義"是解本題的關(guān)鍵.

5.若l<x<2,則邑W—0+里的值是()

x-21-xx

A.-3B.-1C.2D.1

【答案】D

【分析】本題主要考查了絕對值，代數(shù)式的化簡求值問題，在解絕對值時(shí)要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的

正負(fù)性，再去掉絕對值符號，解題的關(guān)鍵是在解絕對值時(shí)要考慮到絕對值符號中代數(shù)式的正負(fù)性，再去掉

絕對值符號.

【詳解】El<x<2,

Ex—2<0,%—1>0,%>0,

團(tuán)原式=士1一匚+工

x-21-xx

X—1

=-1-----------+1

-（X-1）

=-1+1+1,

=1,

故選：D.

6.|x-l|+|x-2|+|x-3|+???+\x-2021|的最小值是（）

A.1B.1010C.1021110D.2020

【答案】C

【分析】尤為數(shù)軸上的一點(diǎn)，I尤；|+|x-2|+|x-3|+…|尤-2021|表示：點(diǎn)x到數(shù)軸上的2021個(gè)點(diǎn)（1、2、3、...2021）

的距離之和，進(jìn)而分析得出最小值為：