人教版八年級數(shù)學(xué)常見題型專練：三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6種題型）（原卷版）

第02講三角形的高、中線、角平分線與穩(wěn)定性（6

種題型）

O【知識梳理】

一、三角形的三條重要線段

三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角

的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不

同的角度弄清這三條線段，列表如下:

線段

三角形的高三角形的中線三角形的角平分線

名稱

三角形一個內(nèi)角的平分線

從三角形的一個頂點向它的三角形中，連接一個頂

文字與它的對邊相交，這個角

對邊所在的直線作垂線，頂點和它對邊中點的線

語言的頂點與交點之間的線

點和垂足之間的線段.段.

段.

AAA

圖形\cB2c

語言2

DDD

作圖過點A作ADJ_BC于點D.取BC邊的中點D,連接作NBAC的平分線AD,交

語言AD.BC于點D.

AAA

標(biāo)本Lc

圖形\C

DDD

1.AD是z^ABC的高.1.AD是△ABC的中線.

1.AD是4ABC的角平分

2.AD是4ABC中BC邊上的2.AD>AABC中BC邊

線.

|R1.上的中線.

符號2.AD平分/BAC,交BC于

3.ADXBC于點D.1

語言3.BD=DC=-BC點D.

4.ZADC=90°,ZADB=2

1

90°.4.點D是BC邊的中點.3.N1=N2=-/BAC.

2

(或NADC=NADB=90°)

推理因為AD是4ABC的高，所因為AD是4ABC的中因為AD平分/BAC,所以

語言以ADXBC.

(或NADB=/ADC=90°)線，所以BD=DC=L1

Z1=Z2=-ZBAC.

22

BC.

用途1.線段垂直.1.線段相等.

角度相等.

舉例2.角度相等.2.面積相等.

注意1.與邊的垂線不同.

——與角的平分線不同.

事項2.不一定在三角形內(nèi).

三角形的三條高（或它們的一個三角形有三條中一個三角形有三條角平分

重要

延長線）交于一點.線，它們交于三角形內(nèi)線，它們交于三角形內(nèi)一

特征

一點.點.

二、三角形的穩(wěn)定性

三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)

定性.

要點詮釋：

（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個內(nèi)角不會改變，大小固定指三條邊長不改變.

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用.例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它

就堅固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條（或兩條）木板，構(gòu)成一個三角形，就可以使柵欄門不

變形.大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個道理.

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的

各個角的大小可以改變.四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動掛架，伸縮尺.有時我們

又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變

形.

i【考點剖析】

題型一、三角形的高

例1.如圖，△ABC中AB邊上的高是（

A.線段ADB.線段ACC.線段CDD.線段BC

【變式1】小華在電話中問小明：“已知一個三角形三邊長分別為4,9,12,如何求這個三

角形的面積？”小明提示：“可通過作最長邊上的高來求解小華根據(jù)小明的提示作出的圖

形正確的是（

【變式2】如圖，過回ABC的頂點A,作BC邊上的圖，以下作法正確的是（）

例2.如圖，在△ABC中，AC=8,BC=4,高BD=3,試作出BC邊上的高AE,并求AE的

例3.如圖，△ABC的三條高A。、BE、CF相交于點0.

（1）在△BOC中，0B邊上的高是,0C邊上的高是,BC邊上的高是.

（2）在△AOC中，。4邊上的高是,0C邊上的高是,AC邊上的高是.

（3）在中，0A邊上的高是,0B邊上的高是,邊上的高是.

題型二、三角形的中線

例4.B。是△ABC的中線，4B=5,BC=3,△ABO和△BC。的周長的差是.

【變式1]已知B。是△ABC的一條中線，△A8D與△BC。的周長分別為21,12,貝l]AB-BC

的長是—.

例5.如圖所示，CD為￡\ABC的AB邊上的中線，4BCD的周長比4ACD的周長大3cm,BC

=8cm,求邊AC的長.

例6.SAABC中，AB=AC,AC邊上的中線BD把4ABC的周長分為12cm和15cm兩部分,

求三角形的各邊長.

題型三、三角形的三條重要線段

例7.已知△A8C,如圖，過點A畫△ABC的角平分線4。、中線和高線AF.

例8.在△ABC中，線段4P,AQ,AR分別是BC邊上的高線，中線和角平分線，則（）

A.APWAQB.AQWARC.AP>ARD.AP>AQ

【變式】如圖，在△ABC中，ZBAC=90°,A。是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD

于點G,交BE于點H,下面說法正確的是（）

①八ABE的面積=4BCE的面積；

②4FG=NAGF；

③/FAG=2/ACF；

④AF=FB.

C.①②③D.③④

題型四：三角形面積

例9.若△ABC中，/ACB是鈍角，是BC邊上的高，若40=2,BD=3,C0=l,則△ABC

的面積等于

【變式1】如圖所示，在^ABC中，D、E分別為BC、AD的中點，且=4,貝IS陰影為

【變式2】如圖，AD為I3ABC的中線，BE為I3ABD的中線.

(1)猜想：回ABD與回ADC的面積有何關(guān)系？并簡要說明理由；

(2)在EIBED中作BD邊上的高；

(3)若IBABC的面積為40,BD=5,則EIBDE中BD邊上的高為多少？

題型五：重心

例10.(2022秋?湖北恩施?八年級校考階段練習(xí))71BC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,

點A,B,C,P均在格點上，則點P是,ABC的()

I--T一--1--「一T-1

A.三條內(nèi)角角平分線的交點B.三條中線的交點

C.三條高的交點D.無法確定

【變式】（2022秋?八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格由邊長相同的小正方形組成，點

AB、C、D、E、尸、G在小正方形的頂點上，貝U的重心是點.（從

D、E、F、G中選擇）

例11.如圖所示，木工師傅在做完門框后，為防止變形常常像圖中那樣釘上兩條斜拉的木

板條（即AB、CD）,這樣做的數(shù)學(xué)道理是什么？

【變式1】如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長四短）構(gòu)成的幾個連續(xù)的菱形（四

條邊都相等），每一個頂點處都有一個掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且使用，你知道它能

收縮的原因和固定方法嗎？

【變式2】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條.那么要使五邊形木

架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變

形.又至少要釘多少根木條？

【過關(guān)檢測】

一、單選題

1.（2023秋?八年級課時練習(xí)）下列說法中錯誤的是（）

A.三角形的高、中線、角平分線都是線段B.三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部

C.銳角三角形的三條中線一定交于同一點D.三角形的三條高交于同一點

2.（2023秋?廣東汕頭,八年級統(tǒng)考期末）如圖，若CD是，ABC的中線，AB=2Q,則3D=

（）

3.（2023秋?河北保定,八年級統(tǒng)考期末）如圖，CD,CE,C尸分別是AABC的高、角平

分線、中線，則下列各式中錯誤的是（）

A.AB=2BFB.ZACE^-ZACBC.AE=BED.CDLBE

2

4.（2023春?廣東東莞?八年級校聯(lián)考期中）三角形的下列線段中能將三角形的面積分成相

等的兩部分的是（）

A.三角形的中線B.三角形的角平分線C.三角形的高D.以上答案均正確

5.（2023秋?遼寧葫蘆島?八年級統(tǒng)考期末）下列四個圖形中，線段BE是AABC的高的是

（）

6.（2022秋,內(nèi)蒙古通遼?八年級?？计谥校┤切稳龡l（）的交點叫做三角形的重心

A.高B.角平分線C.外角角平分線D.中線

7.（2023秋?浙江湖州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，是「A5C的中線，E是AD的中點，連

結(jié)BE,CE.若ABC的面積是8,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4B.5C.5.5D.6

二、填空題

8.（2023秋?湖南株洲?八年級校考期末）如圖，AO是‘ABC的中線，已知△ABD的周長

為16cm,AB比AC長3cm,則ACD的周長為

9.（2023秋?八年級課時練習(xí)）如圖，A3是△ACE的邊上的高；在△AEC中,

CD是上的高，8還是，的高；EF是的邊上

10.（2023秋?八年級課時練習(xí)）如圖，AD,AE分別是J1BC的高和中線，已知

A￡>=5cm,CE=6cm,貝/ABC的面積為.

11.（2023春?浙江?八年級專題練習(xí)）如圖，在.ABC中，已知點。，E,歹分別為邊

BC,AD,CE的中點，且ABC面積等于8cm2,則△麻戶的面積等于cm2.

12.（2023秋?浙江臺州?八年級統(tǒng)考期末）如圖，BD是ABC的中線，G是上的一點,

且3G=2G￡>,連接AG,若的面積為6,則圖中陰影部分的面積是.

13.（2023秋?四川眉山?八年級統(tǒng)考期末）如圖，AO是的中線，已知的周長為

30cm,AB比AC長4cm,則ACD的周長為.

A

14.（2023秋?湖南郴州?八年級校聯(lián)考期末）如圖，在ABC中，已知點￡＞、E、尸分別為

BC、AD.CE的中點，若ABC的面積為4m2,則陰影部分的面積為cm2

15.（2023春?江西萍鄉(xiāng)?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在RZEIABC中，fflC=90°,平分13cA8,

CD=3,AB=12,則EAB。的面積為.

c

三、解答題

16.（2023秋?安徽宣城?八年級統(tǒng)考期末）如圖，一ABC的兩條中線AM、8N相交于點

O,已知...ABC的面積為14,8OM的面積為3,求四邊形MOVO的面積.

BC

17.（2023秋?八年級課時練習(xí)）在銳角；ABC中，AB=U,AC=10,BE、CO分別是

_ABC的邊AC、AB上的高，RBE=6,求CD的長.

18.（2023春?黑龍江綏化?八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知AD,/店