人教版八年級數(shù)學上冊 第十四章 整式的乘法與因式分解（知識歸納+題型突破）（解析版）

第十四章整式的乘法與因式分解（知識歸納+題型突破）

課標要求

1.理解并掌握同底數(shù)幕的乘法.

2.理解并掌握乘法公式的基本運算.

3.理解并掌握因式分解.

基礎知識歸納

一、同底數(shù)曷的乘法性質

。叫"=45（其中〃〃都是正整數(shù)）,即同底數(shù)鬲相乘，底數(shù)不變,指數(shù)相加.

要點詮釋：（1）同底數(shù)嘉是指底數(shù)相同的事，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.

（2）三個或三個以上同底數(shù)曷相乘時，也具有這一性質，

即am-an-ap=am+n+p（m,n,p都是正整數(shù)）.

（3）逆用公式：把一個累分解成兩個或多個同底數(shù)鬲的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指

數(shù)之和等于原來的帚的指數(shù)。即。小"=。匕"（加，〃都是正整數(shù)）.

二、曷的乘方法則

（相（其中加，〃都是正整數(shù)）.即鬲的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：（（屋yyna""（a#o,機,〃,0均為正整數(shù)）

（2）逆用公式：。.二,"『二,"『，根據(jù)題目的需要常常逆用鬲的乘方運算能將某些帚變形，從而解

決問題.

三、積的乘方法則

（abY=an-bn（其中〃是正整數(shù)）.即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的鬲相乘.

要點詮釋：⑴公式的推廣：3公）"=廢2"?。"（"為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：逆用公式適當?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更

注意事項

(1)底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.

⑵同底數(shù)嘉的乘法時，只有當?shù)讛?shù)相同時，指數(shù)才可以相加指數(shù)為1,計算時不要遺漏.

(3)鼻的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)鬲的乘法中是指數(shù)相加.

(4)積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.

(5)靈活地雙向應用運算性質，使運算更加方便、簡潔.

(6)帶有負號的鬲的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習慣.

四、單項式乘單項式

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它

們的指數(shù)作為積的一個因式.

要點詮釋：

(1)單項式的乘法法則的實質是乘法的交換律和同底數(shù)鬲的乘法法則的綜合應用.

(2)單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘

法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)帚的乘法，按照"底數(shù)不變，指數(shù)相加”

進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.

(3)運算的結果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.

(4)三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.

五、單項式與多項式相乘的運算法則

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

即m(a+b+c)—ma+mb+me

要點詮釋：(1)單項式與多項式相乘的計算方法，實質是利用乘法的分配律將其轉化為多個單項式乘單項

式的問題.

(2)單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

(3)計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.

(4)對混合運算，應注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結果.

六、多項式與多項式相乘的運算法則

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即

(a+Z?)(m+〃)=am+an+bm+bn

要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應該等于兩個多項式的項數(shù)之

積.多項式與多項式相乘的最后結果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：

(x+a)(x+Z?)=x2+(a+b^x+ab

七、平方差公式

平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

要點詮釋：在這里，。力既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.

抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又

有“相反項”，而結果是‘相同項”的平方減去‘相反項"的平方.常見的變式有以下類型：

(1)位置變化：如(。+與(-〃+。)利用加法交換律可以轉化為公式的標準型

(2)系數(shù)變化：如(3x+5y)(3x-5y)

⑶指數(shù)變化：如(/+"2)(加一*

(4)符號變化:ta(-a-b^a-b)

(5)增項變化：如("?+"+p)(7〃一〃+p)

(6)增因式變化:如(。-6)(。+6)(。2+/;2)(。4+/)

八、完全平方公式

完全平方公式：(<7+/?)2=a2+2ab+b2(a-b)?=a1-2ab+b~

兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.

要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加(或

減)這兩數(shù)之積的2倍以下是常見的變形：

a2+b~=(?+Z?)2-2ab=^a-b^+2ab

(a+b)-=(?-/?)"+4ab

九、添括號法則

添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里

的各項都改變符號.

要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正

確.

十、補充公式

(x+p\x+q)-x2+{p+q)x+pq;(a±/?)(?2+ab+b2)-a3+b3;

(a+bf-a3±3a2b+3ab2+b3;(a+b+c)2-a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

十一、因式分解

把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.

要點詮釋：(1)因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式

分解的結果只能是整式的積的形式.

(2)要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.

(3)因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運

算.

十二、公因式

多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.

要點詮釋：(1)公因式必須是每一項中都含有的因式.

(2)公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.

(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項

中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

十三、提公因式法

把多項式用口+”仍+而分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式加，另一個因式是

(a+B+c),即活。+第3+a。=用，(a+b+c),而(a+3+c)正好是幽a+超+法除以加所得的商，這

種因式分解的方法叫提公因式法.

要點詮釋：(1)提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，

即/wa+Mb+ac(a+6+c).

(2)用提公因式法分解因式的關鍵是準確找出多項式各項的公因式.

(3)當多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出"一”號，使括號內的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多

項式的各項都要變號.

(4)用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變

為：”+「或"-1",不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.

十四、公式法——平方差公式

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：

a2-b2=（a+Z?）（a-Z?）

要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.

（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩

個數(shù)（整式）的差的積.

（3）套用公式時要注意字母。和b的廣泛意義，6可以是字母，也可以是單項式或多項式.

十五、公式法——完全平方公式

兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方.

即a2+2ab+b2=（a+b）~a2—2ab+b~=（a-Z?y

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形如儲+2仍+〃2,a-2ab+b的式子叫做完全平方式.

要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；

（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是

兩數(shù)的和（或差）的平方.

（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

（4）套用公式時要注意字母。和b的廣泛意義，。、6可以是字母，也可以是單項式或多項式.

重要題型

【考點一同底數(shù)幕相乘】

例題：（2023春?陜西西安?七年級統(tǒng)考階段練習）計算尤2.三的結果是（）

A.x3B.x4C.XsD.x6

【答案】C

【分析】直接利用同底數(shù)哥的乘法運算法則計算得出答案.

【詳解】解：必子3=釬3=尤5,

故選：C.

【點睛】本題考查同底數(shù)幕的乘法：同底數(shù)的塞相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.掌握同底數(shù)幕的乘法運算法

則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023春?陜西榆林?七年級統(tǒng)考期末)計算-尤4.(一無5)的結果是()

92020

A.xB.一無?C.xD.-x

【答案】A

【分析】利用同底數(shù)暴的乘法法則計算即可.

【詳解】解：-x4\-x5)=x4-x5=x4+5=x9.

故選：A.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法法則，正確使用同底數(shù)幕相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加是關鍵.

2.(2023?上海?七年級假期作業(yè))計算下列各式，結果用事的形式表示.

(1)-(-?)3-(-?2)(-?)3；⑵(X-y)2(y-x)3;(3)(X-2y)2(x-2y)"一(x-2＞廣.

【答案】⑴/

⑵(y-城

(3)(龍一2y廣3

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)塞乘法的運算法則計算即可；

(2)根據(jù)同底數(shù)幕乘法的運算法則計算即可；

(3)根據(jù)同底數(shù)累乘法的運算法則計算即可。

【詳解】(1)解:原式

(2)解：原式=(y-xr-(y-x)3=(y-4；

(3)解：原式=(x-2y)2+m~t+m+2=*+3.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕相乘的計算，底數(shù)不變，指數(shù)相加；同時涉及到多重負號的化簡，看’

號的個數(shù)決定運算結果的符號，奇負偶正.

【考點二同底數(shù)乘法的逆用】

例題：(2023春?江西吉安?七年級統(tǒng)考期中)若""=2,屋=6,則產"=.

【答案】12

【分析】逆用同底數(shù)塞的乘法，即可求解.

【詳解】解：?.""=2,/=6,

?*.am+n=a"'-an=2x6=12,

故答案為：12.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握同底數(shù)累的乘法的運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?廣東佛山?七年級校考階段練習）已知V"=2,x"=3,貝鼠"*"=.

【答案】6

【分析】把原式化為無再代入計算即可.

【詳解】解：：V"=2,x"=3,

"+"=x".x"=2x3=6,

故答案為：6

【點睛】本題考查的是同底數(shù)累的乘法的逆運算，熟記運算公式是解本題的關鍵.

2.（2023春?廣東深圳?七年級?？计谀┘褐?和=2,3"=4,則3*"的值為.

【答案】8

【分析】根據(jù)3附"=3*3"進行求解即可.

【詳解】解：：3"=2,3"=4,

...3"""=37=2x4=8,

故答案為：8.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)哥乘法的逆運算，熟知3"+"=3叫3"是解題的關鍵.

【考點三塞的乘方運算】

例題：（2023春?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末）計算（蘇丫=.

【答案】m6

【分析】根據(jù)募的乘方進行計算即可.

23

【詳解】（m）=根2*3=加6,

故答案為：

【點睛】本題考查累的乘方，熟練掌握（腔）"=。皿’是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?河北唐山?七年級統(tǒng)考期中）計算：a4-（a2）3=

【答案】a

【分析】根據(jù)募的乘方和同底數(shù)哥的乘法進行計算即可求解.

【詳解】解：?4-(a2)3=?4?a6屋，

故答案為：a10.

【點睛】本題考查了幕的乘方和同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握幕的乘方和同底數(shù)幕的乘法是解題的關鍵.

2.(2023春?江蘇南京?七年級南京市百家湖中學?？茧A段練習)計算(蘇『的結果是.

【答案】a17

【分析】根據(jù)幕的乘方及同底數(shù)幕的乘法可進行求解.

【詳解】解：a，.㈤4=小〃2=/7；

故答案為37.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)幕的乘法及幕的乘方，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

3.(2023春?七年級單元測試)化簡：(1)(-%2)4=；(2)p)4.(-a)3=.

【答案】尤s

【分析】(1)利用幕的乘方運算法則進行計算即可；

(2)利用累的乘方和同底數(shù)幕乘法運算法則進行計算即可.

【詳解】解：⑴(一一)4=鏟4=%8；

故答案為：X8；

(2)(片)a)，=/.(—/)=—a"；

故答案為：-

【點睛】本題主要考查了累的運算，解題的關鍵是熟練掌握塞的乘方和同底數(shù)塞乘法運算法則.

【考點四塞的乘方的逆用】

例題：(2023春?安徽六安?七年級統(tǒng)考期末)如果a"=5,/"+"=75,則屋=

【答案】3

【分析】根據(jù)公式，得j+"==75,代入計算即可.

【詳解】Vam=5,a2m+"=75,a2m+n=(am)2.a",

故答案為：3.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，積的乘方的逆運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?廣東茂名?七年級統(tǒng)考期中）若5,=2,5y=3,貝心工+?>=.

【答案】18

【分析】利用同底數(shù)累的乘法和幕的乘方逆運算法則解答即可.

【詳解】解：=5'.52了=5口（5>）2=2x32=18；

故答案為：18.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法和幕的乘方，熟練掌握運算法則、正確變形是解題關鍵.

2.（2023春?廣東佛山?七年級校聯(lián)考期中）已知2x+5y-3=2,則甲-32>=.

【答案】32

【分析】根據(jù)幕的乘方的逆用，同底數(shù)幕的乘法的逆用的運算法則進行計算即可.

【詳解】解：???2x+5y-3=2,

2x+5y=5,

4x-32-v=⑵廣⑵），=22x-25y=22x+5y=2‘=32,

故答案為：32.

【點睛】本題考查了哥的乘方的逆用，同底數(shù)塞的乘法逆用，熟練掌握它們的運算法則是解題的關鍵.

【考點五積的乘方運算】

例題：（2023春?重慶南岸?七年級統(tǒng)考期末）計算：（3x）2=.

【答案】9/

【分析】根據(jù)積的乘方運算法則計算即可.

【詳解】解：Ox）?=9x2,

故答案為：9x2.

【點睛】本題考查了募的運算，解題關鍵是熟練掌握積的乘方運算法則，準確進行計算.

【變式訓練】

2

1.（2023春?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末）計算:

【答粒斤

【分析】根據(jù)積的乘方計算法則求解即可.

故答案為：—a2.

4

【點睛】本題主要考查了積的乘方計算，熟知相關計算法則是解題的關鍵.

2.(2022春?七年級單元測試)計算：3X2-%3+%-(-X2)2=.

【答案】4x5

【分析】先計算累的乘方和積的乘方，再算同底數(shù)累的乘法，最后合并.

【詳解】解：3x2-x3+x-(-%2)2

—3X2-X3+X-X4

=3x5+x5

故答案為：4尤5.

【點睛】本題考查了整式的混合運算，涉及了塞的乘方和積的乘方，同底數(shù)累的乘法，合并同類項，解題

的關鍵是掌握相應的運算法則.

【考點六積的乘方的逆用】

2023

4

例題：(2023春?江蘇揚州?七年級校考期末)計算0.752儂x的結果是

【答案】.4

【分析】根據(jù)累的乘方的運算法則及同底數(shù)嘉乘法的運算法則即可解答.

【詳解】解:

4

故答案為-1；

【點睛】本題考查了積的乘方、幕的乘方，同底數(shù)幕相乘，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?江西撫州?七年級南城縣第二中學?？茧A段練習）計算：（-8）2023x0.1252024=

【答案】-0.125

【分析】先把原式變形為（-8）2°23X0.1252023XQ125,再利用積的乘方的法則進行求解即可.

【詳解】解：（-8）2°23X0.1252024

=(-8)2023X0.1252023X0.125

=(-8X0.125)2023X0.125

=(-1)2023X0.125

故答案為：-0.125.

【點睛】本題主要考查積的乘方，解答的關鍵是對積的乘方的法則的掌握與靈活運用.

2.（2023春?山東濟南?七年級?？茧A段練習）若a=2023,匕=圭，則代數(shù)式/°23功皎3的值是

【答案】1

【分析】運用乘的乘方逆運算法則對6g.后必進行變形，再將°,6的值代入求值即可.

【詳解】解：。2。23坊2023=（"）2023

當a=2023,6=^—時,

2023

2023

原式=(2023x」—

(2023

=1

故答案為：1

【點睛】本題考查了積的乘方逆運算，解決本題的關鍵是熟練掌握積的乘方運算法則.

【考點七同底數(shù)幕的除法】

例題：（2023?天津河東?統(tǒng)考二模）計算丁:元的結果是

【答案】尤2

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕除法運算后直接得出答案.同底數(shù)募相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.

【詳解】」…鏟』2,

故答案為：X2.

【點睛】本題主要考查同底數(shù)累的除法，熟練掌握這一運算法則或公式是解題關鍵.

【變式訓練】

1.(2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模)計算：m6^(-m)2=.

【答案】m4

【分析】先算乘方，再根據(jù)同底數(shù)幕相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減即可解答.

【詳解】解：根6+(—加＞_+_/5-2_相4.

故答案為：.

【點睛】本題主要考查了同底數(shù)幕相除、乘方等知識點，正確運用同底數(shù)幕除法法則是解題的關鍵.

2.(2023春?浙江?七年級專題練習)計算：

(1)m94-m7=__;

(2)(—a)6+(-a)~=；

(3)(x-y)6+(y-xy+(x-y)=.

【答案】m2a4-U-j)2

【分析】(1)根據(jù)同底數(shù)幕的除法進行計算即可求解；

(2)根據(jù)同底數(shù)嘉的除法進行計算即可求解；

(3)根據(jù)同底數(shù)暴的除法進行計算即可求解.

【詳解】(1)/+/=n?T.=m2

故答案為：機2.

(2)(-0)6+(-4=(-。產=/,

故答案為：=a4.

⑶(x-y)6H-(y-x)34-(x-y)

=(尤一V)6+尤—y)/+(尤—y)

=-(》-廣

=-(x-y)2,

故答案為：-(x-y)2.

【點睛】本題考查了同底數(shù)累的除法，熟練掌握同底數(shù)嘉的除法的運算法則是解題的關鍵.

【考點八同底數(shù)塞除法的逆用】

例題：（2023春?四川成都?七年級成都實外?？计谥校┤?山=3,4"=8,則23%*+3的值是

【答案】27

【分析】根據(jù)同底數(shù)累的乘法，同底數(shù)累的除法，募的乘方，可得答案.

【詳解】解：：2"=3,4"=8,

=（2m）3-^4"x23,

=33-8x8,

=27.

故答案為：27.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的除法，同底數(shù)塞的乘法，熟記法則并根據(jù)法則計算是解題關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?江蘇南京?七年級統(tǒng)考期末）若3,=2,9，=5,則332，=.

Q

【答案】I

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的除法法則和事的乘方變形，代入運算即可.

【詳解】解：：3*=2,9,=5,

32

33x-2y=33x^32v=（3-v）+（32），=23+9,=23+5=1

Q

故答案為：—.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的除法，塞的乘方，解答本題的關鍵是掌握運算法則的逆用.

2.（2023春?江西吉安?七年級統(tǒng)考期末）己知2"=2，2?=6,2。=3,貝!|2"+＞。=.

【答案】4

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘除的逆運算把所求式子變形，即可求解.

【詳解】解：：2"=2，2』，2。=3,

...T+B-C=2J2,2°=2X6+3=4,

故答案為：4.

【點睛】本題考查了同底數(shù)哥的乘除的逆運算，解題關鍵是結合已知把所求式子適當變形，用哥的運算求

解.

【考點九計算單項式乘單項式】

例題：（2023?上海?七年級假期作業(yè)）計算：（3a）2."=.

【答案】9a5

【分析】根據(jù)積的乘方及單項式乘以單項式運算法則，進行運算，即可求得結果.

【詳解】解：（3a）2-a3=9a2a3=9a5,

故答案為：9o5.

【點睛】本題考查了積的乘方及單項式乘以單項式運算法則，熟練掌握和運用各運算法則是解決本題的關

鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?陜西寶雞?七年級統(tǒng)考期末）計算2/.（一5/）的結果是（）

A.104B.-10（z5C.-3a6D.-10a6

【答案】B

【分析】根據(jù)單項式乘以單項式進行計算即可求解.

【詳解】解：2a3-（-5a2）=TO*=-10a5,

故選:B.

【點睛】本題考查了單項式乘以單項式，熟練掌握單項式乘以單項式的運算法則是解題的關鍵.

2.（2023春?湖南益陽?七年級統(tǒng)考期末）計算：2X2.（-5A/）=.

【答案】-10x3//-10y2x3

【分析】根據(jù)單項式的乘法法則計算即可.

【詳解】原式=-1?！?勿,2.=-雙產，

故答案為：-10x3y2

【點睛】本題考查單項式的乘法，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵.

【考點十利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值】

例題：（2023春?浙江?七年級專題練習）已知單項式3/y3與一2孫2的積為g3y",那么〃?、〃的值為（）

A.m=-6,n=6B.m=-6,n=5

C.m=l,n=6D.m=Ln=5

【答案】B

【分析】按照單項式乘單項式計算單項式3/y3與一2孫2的積，再根據(jù)單項式3尤2y3與一2町。的積為加？y“，即

可求得答案.

【詳解】解：：3工2/*（_2外2）=-6三丫5,單項式3工2〉3與-2個2的積為g3/1,

??tn——6,〃=5,

故選：B

【點睛】此題考查了單項式的乘法運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?七年級課時練習）若加.7%A=14/，則〃，上的值分別為（）

A.3,2B.2,3C.3,3D.2,2

【答案】B

【分析】利用同底數(shù)新的乘法法則將原式變形為7加2+左=14/,從而得到7行14,2+仁5,可得結果.

【詳解】解：,**nx2.7xk=7nx2+k=14x5，

.*.7n=14,2+k=5,

n=2,k=3,

故選B.

【點睛】本題考查了同底數(shù)幕的乘法，解題的關鍵是掌握運算法則.

2.（2023春?浙江?七年級專題練習）若單項式-8尤"?和3孫的積為-24x$y6,則漏的值為（）

A.30B.20C.-15D.15

【答案】B

【分析】根據(jù)單項式乘單項式的計算法則求出a,b,計算成即可.

【詳解】解：x3孫=-Uxa+lyM=一24dy6,

/.a+1=5,b+1=6,

解得。=4,b=5,

"=4x5=20,

故選：B.

【點睛】此題考查了單項式乘單項式，解題的關鍵是掌握單項式乘單項式的運算法則.

【考點十一計算單項式乘多項式】

例題：（2023春?廣東河源?七年級統(tǒng)考期末）計算：3x-（2x2-j）=.

【答案】6x3-3xy/-3xy+6x3

【分析】直接利用單項式與多項式相乘的運算法則計算即可.

【詳解】解：3x-（2x2-y）=6x3-3xy,

故答案為：6x3-3xy.

【點睛】本題考查了單項式乘多項式，單項式與多項式相乘的運算法則：單項式與多項式相乘，就是用單

項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

【變式訓練】

1.（2023春?廣東佛山?七年級統(tǒng)考期末）計算：4a2（3a-l）=.

【答案】12a3-4a2

【分析】根據(jù)單項式乘以多項式的法則，將單項式與多項式的每一項相乘，即可得解.

【詳解】解：原式=12"一4".

故答案為：12好一4/.

【點睛】本題主要考查單項式乘以多項式的運算法則，解決本題的關鍵是要熟練掌握單項式乘以多項式的

運算法則.

2.（2023春?廣西貴港?七年級統(tǒng)考期末）計算：-必?（->+1）=

（答案1ab2-ab

【分析】將多項式拆開，化成最簡形式，式子從最高累到最低暴，計算即可.

【詳解】解：Si）

=-ab?—ab

=ab2—ab.

故答案為：ab2-ab.

【點睛】本題主要考查單項式乘多項式，化成最簡形式求出結果是解題的關鍵.

【考點十二利用單項式乘多項式求字母的值】

例題：（2023春?江蘇?七年級專題練習）已知（T＞（2/-依-1）-2尤3+3d中不含x的二次項，則。=一

【答案】-3

【分析】首先利用單項式乘以多項式去括號，進而得出V的系數(shù)為0,進而求出答案.

【詳解】解:：（-彳＞（2--依-l）-2x3+3Y中不含x的二次項，

,,—2%3++x—2*3+3%2中，。+3=0,

解得：a=-3.

故答案為：-3.

【點睛】此題主要考查了單項式乘以多項式，正確掌握運算法則是解題關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?七年級課時練習）若-5*3（爐+6+5）的結果中不含一項，則。=.

【答案】0

【分析】先利用單項式乘以多項式的法則計算，根據(jù)結果中不含爐項即可確定出。的值.

【詳解】解：一5/（/+奴+5）=—5尤5—50?—25/，

由結果中不含/項，得到-5a=0,即。=0,

故答案為：0.

【點睛】此題考查了單項式乘以多項式，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.注意當要求多項式中不含有

哪一項時，應讓這一項的系數(shù)為0.

2.（2023春?七年級課時練習）若2x（tzx3+廠+6）—3x—2c=2/—5x+6恒成立，貝!]a+b+c=.

【答案】-4

【分析】去括號先根據(jù)合并同類項法則化簡，根據(jù)已知找對應的單項式的系數(shù)相同即可得到答案.

【詳解】解：2x^ax3+x2+b^—3x—2c=2axi+2x3+（2b—3^x—2c,

2元（辦3+x2+6）—3x—2c=2尤3—5尤+6,恒成立,

2a=0,2b—3——5,-2c=6,

:.a=0,b=-1,c=-3,

所以a+b+c=0-l-3=T.

故答案為：-4.

【點睛】本主要考查整式的乘法和合并同類項法則，明確化簡前后單項式的系數(shù)相同是解決問題的關鍵.

【考點十三單項式乘多項式的應用】

例題：(2023春?貴州六盤水?七年級校聯(lián)考階段練習)如圖，大小兩個正方形邊長分別為。、b.

(1)用含6的代數(shù)式陰影部分的面積；

(2)若卜-4|+0-2)2=0,求陰影部分面積.

【答案】⑴;。。+不〃-gab

(2)6

【分析】(1)利用面積作差即可求解；

(2)利用非負數(shù)的性質先求出。，。的值，再將其代入即可求解.

【詳解】(1)解：由題意得，S陰影=；/+62一；6,+6)=；。2+；匕2一；46；

乙乙乙乙乙

(2)解：；,一4|+僅一2)2=0,|a-4|>0,(/?-2)2>0,

|a—4|=0,(匕-2)2=0,

Q—4=0,b—2=0,

a=4,b=2,

111111

.??S阻影=-a19+-b91—一^=-X492+-X292——x4x2=6

陰崽222222

【點睛】本題主要考查列代數(shù)式、非負數(shù)的性質，單項式乘以多項式，根據(jù)圖形正確表示出陰影部分的面

積是解題關鍵.

【變式訓練】

1.(2023?上海?七年級假期作業(yè))王老師家買了一套新房，其結構如圖所示(單位：m).他打算將臥室鋪

上木地板，其他地方鋪地磚.

（1）木地板和地磚分別需要多少平方米？

（2）如果地磚的價格為每平方米無元，木地板的價格為每平方米3x元，那么王老師需要花多少錢？

【答案】（1）木地板需要4"平方米，地磚需要11必平方米

（2）王老師需要花23abx元

【分析】（1）根據(jù)長方形面積公式分別求出臥室的面積，廚房、衛(wèi)生間和客廳的面積之和即可得到答案；

（2）根據(jù)花費=單價x面積進行求解即可.

【詳解】（1）解：臥室的面積是：2b（4a-2a）=4ab（平方米），

廚房、衛(wèi)生間和客廳的面積之和為-2a）+（46-2Z?）a+4b（平方米）

，木地板需要4"平方米，地磚需要11出?平方米；

（2）解：1lab-x+4ab-3x=1labx+12abx=23abx（元）

...王老師需要花23abx元.

【點睛】本題主要考查了單項式乘以多項式和單項式乘以單項式的實際應用，正確計算是解題的關鍵.

2.（2023秋?河北唐山?七年級唐山市第十二中學?？计谀┤鐖D，將邊長為。的小正方形和邊長為b的大正

方形放在同一平面上修

（1）用匕表示陰影部分的面積.（寫最簡結果）

⑵計算當。=2,6=3時，陰影部分面積.

（3）試著說明：白色部分面積與。的大小無關.

【答案】（1）萬々2+56?+萬成

⑵9.5

(3)見解析

【分析】(1)分別求出兩個三角形面積，即可得出答案；

(2)把。、6的值代入，即可求得答案.

(3)根據(jù)題意表示出白色部分的面積即可求解.

【詳解】(1)解：圖中陰影部分的面積：^a(a+b)+^b2

——a1+—b2+—ab.

222

(2)解：當。=2,6=3時，陰影部分的面積為：

ix22+-x32+-x2x3

222

1,1c1,

=—x4+—x9+—x6

222

=9.5

(3)解：白色部分的面積為:〃伍-。)+。2+〃一(；〃2+；。2

=-ab--a2+a2+b2——a2--b2--ab

22222

=-b\

2

白色部分面積與。的大小無關.

【點睛】本題考查了求代數(shù)式的值和列代數(shù)式，整式的加減，能正確表示出陰影部分的面積是解此題的關

鍵.

【考點十四計算多項式乘多項式】

例題：(2023秋?吉林長春?八年級統(tǒng)考期末)計算：x(x+2y)-('-3x)(尤+y).

【答案】4x2+4.xy-y2.

【分析】根據(jù)單項式乘以多項式、多項式乘以多項式運算法則即可求解.

【詳解】解：原式=爐+2孫一孫一9+3/+3孫

=4尤2+4xy-y2.

【點睛】本題考查單項式乘以多項式、多項式乘以多項式運算法則，解題的關鍵是掌握法則，正確計算.

【變式訓練】

1.(2023?上海?七年級假期作業(yè))計算：

(l)(x+3)(x-4)(x2+%一5)；

⑶(3d+2)(5/+2x?+3)-(5/+V+3)(3d+3).

【答案】⑴/-18x?-7x+60

⑵-寸

(3)-2/+/-3

【分析】(1)(2)(3)利用多項式的乘法法則即可求解.

【詳解】(1)解：(x+3)(x-4乂+x—5)

=任一丈一⑵卜?+工一5)

=x4+x3—5d—%3-%2+5x-12x2-12x+60

=X4-18X2-7X+60;

(2)解：3肛(x+y)2-(3/+孫)(孫+3j?)

223

=3孫+2xy+J)_(3%》+10xy+3xy)

=3%+6x2y2+3孫3-3%3y-i。%2y2_3孫3

=-4x2^2；

(3)解：(3x2+2)(5x4+2x2+3)-(5x4+x2+3)(3x2+3)

=(3x2+2)(5x4+X2+3+X2)-(5/+X2+3)(3X2+2+1)

=(3x2+2)(5x4+X2+3)+X2(3d+2)-(5x4+/+3)(3x2+2)-(5x4+x2+3)

=3X4+2X2-5X4-X2-3

=-2X4+X2-3.

【點睛】本題主要考查多項式的乘法法則，用多項式的每一項分別乘另一個多項式的每一項，再進行合并

同類項運算；(3)式計算中注意觀察，運用整體思想，會使計算變得簡單.

2.(2023秋?八年級課時練習)計算下列各式：

⑴(3x-2y)(6x-4y)；⑵(a+b)(3a-26)-6(a—b)；

(3)(y+2)(y-2)-(yf(y+5)；(4)(a-b)(a2+ab+b2).

【答案】(1)18尤2-24孫+8產

（2）3a2-b2

（3）-4y+l

⑷八〃

【分析】（1）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案.

（2）直接利用多項式乘以多項式運算法則、單項式乘多項式運算法則計算得出答案.

（3）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案.

（4）直接利用多項式乘以多項式運算法則計算得出答案.

【詳解】⑴解:（3x-2j）（6x-4y）

=2（3x-2y）（3x-2y）

Rd-24孫+8/

(2)解:(a+b)(3a-?)"(a-2)

=一2ab+3ab—26~—ab+b~

=3a2-b2

(3)解：(y+2)(y-2)-(y-l)(y+5)

=y2-4-(y2+4y-5)

=y2-4-y2-4y+5

=-4y+l

(4)解：(。-。乂〃之+必+。2)

—[3+b+cib^—a2/?—a/?2—Z?

=a3-b3

【點睛】本題考查了整式的乘法，掌握其計算法則是解題的關鍵.

【考點十五（x+p）G+q）型多項式乘法】

例題：（2023春?浙江?七年級專題練習）計算:

（1）（〃+1）（〃+6）（2）（?-1）（?+6）+6)(4)(〃-1)-6)

【答案】⑴儲+7〃+6

(2)〃2+5〃一6

(3)6Z2-5a-6

(4)a?—7〃+6

【分析】(1)根據(jù)多項式乘以多項式進行計算即可求解；

(2)根據(jù)多項式乘以多項式進行計算即可求解；

(3)根據(jù)多項式乘以多項式進行計算即可求解；

(4)根據(jù)多項式乘以多項式進行計算即可求解.

【詳解】(1)解：(。+1)(〃+6)

=4+6々+a+6

=a2+7a+6;

(2)解：(〃-l)(a+6)

—a2+6a—a—6

—Q2+5a—6;

(3)解：(”+1乂〃-6)

—a2—6a+a—6

—a2—5a—6;

(4)解：(。-

—/—6a—a+6

—Q?—7a+6?

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式，熟練掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023春?江蘇?七年級專題練習)探索題：

⑴計算：

(x+3)(x+4)=,

(x—3)(x-4)=,

(x+3)(x-4)=；

⑵發(fā)現(xiàn)：(x+a)(x+b)=；并證明你的發(fā)現(xiàn).

【答案】(1)Y+7x+12,x2—7x+12,x2—x—12

⑵/+5+與%+必，證明見解析

【分析】(1)利用多項式乘多項式的運算法則進行計算.

(2)利用(1)中的計算結果得出結論，再利用多項式乘多項式的運算法則進行證明.

【詳解】(1)解：(x+3)(x+4)=X?+4x+3x+12=x?+7x+12.

(x-3乂彳-4)=x?-4x-3x+12=x?-7x+12.

(x+3)(x—4)=x~-4x+3x—12=—x—12.

故答案分別為：f+7x+12,X2-7X+12,x2-x-n.

(2)解：x2+(a+b)x+ab.證明如下：

(x+a)(無+6)

—X2+ax+bx+ab

=x2+^a+b^x+ab.

【點睛】本題考查了多項式乘多項式的運算法則，還考查了整式乘法的計算規(guī)律問題的處理能力，解題的

關鍵是能準確利用整式乘法法則進行計算和歸納.

2.(2023春?江蘇?七年級專題練習)在運算中，我們如果能總結規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學公式，一定會

提高解題的速度.在解答下列問題中，請?zhí)骄科渲械囊?guī)律.

(1)計算后填空：(x+2)(x+3)=；

(x-l)(x+4)=；

(x-3)(x-2)=；

⑵歸納猜想后填空：(x+a)(x+6)=x?+x+

⑶運用(2)中得到的結論，直接寫出計算結果：(%-2)(%+〃)=.

【答案】(I)》？+5x+6;尤？+3了一4；了?—5尤+6

⑵(a+6),ab

(3)f+(〃-2)x-2〃

【分析】(1)根據(jù)多項式乘以多項式法則進行計算即可；

(2)根據(jù)(1)的結果得出規(guī)律即可；

(3)根據(jù)(尤+］乂］+勾二/+,+勾工+而得出即可.

【詳解】(1)(%+2)(X+3)=Y+5%+6

(x—1)(%+4)=x2+3x-4

(x—3)(%—2)=f—5%+6

故答案為：X2+5x+6;x2+3x—4；x2—5x+6.

(2)(x+6z)(x+/?)=x2+(〃+/?)%+而

故答案為：(a+9,ab.

(3)(九一2)(X+〃)=無之+(〃一2)%—2〃

故答案為：x2+(n-2)x-2n.

【點睛】本題考查了多項式乘以多項式的應用，主要考查學生的計算能力.

【考點十六多項式乘多項式一一化簡求值】

例題：(2023春?浙江金華?七年級統(tǒng)考期末)先化簡，再求值：(4-3G)(l+2a)-3a(l-2a),其中a=g.

【答案】2L+4,5

【分析】根據(jù)整式的混合運算法則先化簡，再將。=:代入求值.

【詳解】(4一3。)(1+2。)—3。(1一2。)

—4+8〃—3d—6a——3d+6/

=2〃+4

*.*a=—

2

.,.原式=2X；+4=5.

【點睛】本題主要考查了整式的混合運算及其求值，正確計算是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2023春?湖南益陽?七年級統(tǒng)考期末)先化簡，再求值：(x-y)(x+3y)-尤(x+2y),其中x=g,y=-2.

【答案】-3y2,-12

【分析】根據(jù)整式的運算法則，將代數(shù)式化成最簡形式，將字母值代入求解.

【詳解】解：原式=尤2-孫+3孫一3y2-尤2-2孫=-3y2.

當>=一2時，原式=_3x(-2)2=-12

【點睛】本題考查整式的運算，求代數(shù)式值，掌握法則是解題的關鍵.

2.(2023?吉林松原?統(tǒng)考二模)先化簡，再求值：(2a+6)(a—6)—2a(a—2b),其中〃=一2,6=3.

【答案】3ab-b1,-27

【分析】先根據(jù)單項式乘多項式和多項式乘多項式進行計算，再合并同類項，最后代入求出答案即可.

【詳解］解:(2a+b)(a-b)-2a(a-2^)

=2a?—2ab+ab—b~—2a2+4ab

=3ab-b2，

當a=_2,6=3時，M^=3X(-2)X3-32=-18-9=-27.

【點睛】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行化簡是解此題的關鍵.

【類型十七利用乘法公式進行簡便運算】

例題：(2023春?廣西北海?七年級統(tǒng)考期中)用簡便方法計算：

(1)100.2x99.8(2)1032

【答案】(1)9999.96

⑵10609

【分析】⑴把原式變形為(100+0.2)x(100-0.2),然后利用平方差公式求解即可；

(2)把原式變形為(100+3)2,然后利用完全平方公式進行求解即可.

【詳解】(1)解：100.2x99.8

=(100+0.2)x(100-0.2)

=1002-0.22

=10000-0.04

=9999.96；

(2)解:1032

=(100+3)2

=1002+2X100X3+32

=10000+600+9

=10609.

【點睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟知完全平方公式和平方差公式是解題的關鍵：

(a±6)~=a2±2ab+b2,^a-b^a+b^)-a2-b2.

【變式訓練】

1.(2023春?北京海淀?七年級?？计谀?用簡便方法計算：20202-40x2020+400.

【答案】4000000

【分析】利用完全平方公式進行變型，計算即可.

【詳解】202()2-40x2020+400

=20202-2x20x2020+202

=(2020—20)2

=20002

=4000000.

【點睛】本題考查對完全平方公式的靈活應用能力，當所求的式子有三項，且滿足完全平方公式的特點,

運用完全平方公式進行求值可簡化運算.

2.(2023春?江蘇常州?七年級統(tǒng)考期中)用簡便方法計算：

(1)101x99

(2)32X22+14X23+10X24

【答案】(1)9999

(2)400

【分析】(1)根據(jù)平方差公式簡化運算即可；

(2)根據(jù)同底數(shù)幕的乘法公式簡化運算即可.

【詳解】⑴101x99

=(100+1)(100-1)

=1002-12

=9999；

(2)32X22+14X23+10X24

=22X(32+14X2+10X22)

=4x(32+28+40)

=4x100

=400.

【點睛】本題考查了平方差公式，同底數(shù)幕的乘法，熟練掌握這些知識是解題的關鍵.

3.(2023春?四川成都?七年級?？茧A段練習)用簡便方法計算.

(1)20012

(2)1232-124x122

(3)186.72-2X186.7X86.7+86.72；

(4)(3+1)(32+1)(34+1)(3S+1).

【答案】(1)4004001

(2)1

(3)10000

【分析】(1)先變形，再利用完全平方公式展開計算；

(2)先變形為123?-(123+1)x(123-1),再利用平方差公式計算即可;

(3)根據(jù)完全平方公式將原式化為(186.7-86.7)2即可；

(4)配上因式;(3-1),連續(xù)使用平方差公式進行計算即可.

【詳解】(1)解:20012

=(2000+1)2

=20002+12+2x2000x1

=4000000+1+4000

=4004001；

(2)1232-124x122

=1232-(123+1)x(123-1)

=1232—(1232一仔)

=123?-123?+『

=1;

(3)186.72-2X186.7X86.7+86.72

=(186.7-86.7)2

=1002

=10000；

(4)(3+l)(32+l)(34+l)(38+l)

十-1X3+1X32+1X3,+1)(35

=1(32-1)(32+1)(34+1)(38+1)

=1(34-1)(34+1)(38+1)

=1(38-1)(38+1)

=；(3f

_316-1

2

【點睛】本題考查平方差公式、完全平方公式，掌握完全平方公式、平方差公式的結構特征是正確解答的

前提.

【類型十八利用乘法公式的變式求值】

例題：(2023春?湖南懷化?七年級?？计谥?己知：(.+6)2=11,①一與？=7.

⑴求a?+b2;

⑵求ab.

【答案】⑴9

(2)1

【分析】(1)先運用完全平方公式(a±6)2=/±2M+〃分別計算，然后聯(lián)立即可解答；

(2)先運用完全平方公式(?！?)2="±2湖+"分別計算，然后聯(lián)立即可解答.

【詳解】(1)解：V(a+b)2=a2+2ab+b2=U?,(a-b)2=a2-2ab+b2=1@

則①+②得：2(Y+/)=18,解得片+〃=9.

(2)解：V(a+bf=a2+2ab+b2=11@,(a-b)2=a2-2ab+b2=7@

則①—②得：4ab=4,解得<vb=l.

【點睛】本題主要考查完全平方公式的應用，掌握完全平方公式(“±6)2=/±2必+〃是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.(2021春.廣東深圳?七年級?？计谥?已知：a—b=6,片+52=20,求下列代數(shù)式的值：

(1)ab；

⑵(a+6)。

【答案】(1)-8

⑵4

【分析】(1)將已知完全平方公式展開，再代入計算即可得到答案；

(2)將所求完全平方式展開后，整體代入計算可得答案.

【詳解】⑴Va-b=6,a2+b2=20,

<7^=1[?2+&2-(17-&)2]=1(20-62)=-8；

(2)ab=-8,a2+b2=20>

(。+6)~=cr+b2+2a&=20—16=4.

【點睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵.

2.(2023春?安徽安慶?八年級安慶市石化第一中學?？计谀?已知°=近+2,b=S■-2,求下列代數(shù)式的

值.

(1)a?++2ab；

(2)?2-/72.

【答案】⑴28

(2)8近

【分析】(1)先求出。+人的值，再根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計算即可；

(2)先算出a-6的值，再根據(jù)平方差公式把原式變形，代入計算，得到答案.

【詳解】(1)解：,/a=\p+2>b=汨-2,

0+6=(近+2)+(A/7-2)=24，

a2+〃+2ab

=(a+h)2

2

=28；

（2）a=yfj+2,b=V7—2,

.?.。+6=（b+2）_（近一2）=4

:.a2-b2=（a+b）（a-b）=2幣x4=85/7.

【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，涉及平方差公式和完全平方公式運算的應用，算出。和。+〃的值代入

變形的原式是解答本題的關鍵.

3.（2023春?遼寧沈陽?七年級?？茧A段練習）已知無+y=3,xy=-4,求：

Wx2+y2

⑵x—y

【答案】（1）17

（2）5或-5

【分析】（1）原式F+y2變形為（入+/丫一2燈，然后把無+y=3,xy=-4,代入計算即可求出結果.

（2）（尤-y）2變形為（x+y）2-4孫,然后把無+>=3,盯=-4,代入計算即可求出平方根即可求解.

【詳解】⑴解：'：x+y=3,xy=-4,

x1+y2=（x+y）2=9+8=17；

（2）解：,.?尤+>=3,xy=-4,

（尤-?=（》+>）2_4孫=9+16=25,

?\x-y=±5.

【點睛】本題考查了完全平方公式，求一個數(shù)的平方根，熟練地運用公式進行變形是解答本題的關鍵.