三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（學(xué)生版）-2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義

第20講三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

知識(shí)梳理

1、基本性質(zhì)

設(shè)三次函數(shù)為：f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>b、c>deR且。20),其基本性質(zhì)有：

性質(zhì)1：①定義域?yàn)镽.②值域?yàn)榛?，函?shù)在整個(gè)定義域上沒(méi)有最大值、最小值.③單

由于三次函數(shù)在高考中出現(xiàn)頻率最高，且四次函數(shù)、分式函數(shù)等都可轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)

解決，故以三次函數(shù)為例來(lái)研究根的情況，設(shè)三次函數(shù)〃》)="3+*2+“+或0h0)

其導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù):/'(x)=3ax2+2bx+c(a0),

2

判別式為：△=46-12ac=4(〃-3ac),設(shè)/''(x)=0的兩根為玉、x2,結(jié)合函數(shù)草圖易

得：

(1)若V一3acV0,則/(%)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(2)若?_3">0，且/(%1)■/(%2)>0,則f(x)=0恰有一個(gè)實(shí)根；

(3)若/-3℃>0,且/(占)?/(%)=0，則〃x)=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根;

(4)若尸-3ac>0，且/(%1)?/(無(wú)2)<0,則/(%)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根.

說(shuō)明:(l)(2)/(x)=0含有一個(gè)實(shí)根的充要條件是曲線y=〃x)與無(wú)軸只相交一次，即

/(x)在R上為單調(diào)函數(shù)(或兩極值同號(hào))，所以〃-3℃40(或〃-3℃>0,且

(5)〃x)=0有兩個(gè)相異實(shí)根的充要條件是曲線y=〃x)與無(wú)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)且其中之

一為切點(diǎn)，所以/-3℃>0,且無(wú)2)=0；

(6)/(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)根的充要條件是曲線y=/(x)與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，即

“X)有一個(gè)極大值，一個(gè)極小值，且兩極值異號(hào).所以〃-3℃>0且/

性質(zhì)3：對(duì)稱(chēng)性

(1)三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線，且對(duì)稱(chēng)中心是；,/(-—))；

3a3。

(2)奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù).

2、常用技巧

(1)其導(dǎo)函數(shù)為r(x)=3Q%2+26x+c=0對(duì)稱(chēng)軸為％=—~,所以對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)

3a

也就是導(dǎo)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，可見(jiàn)，>=/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)中心在導(dǎo)函數(shù)》=/<％)的對(duì)稱(chēng)軸上，

且又是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是二階導(dǎo)為零的點(diǎn)；

(2)y=/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若y=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(冽,〃)對(duì)稱(chēng)，則>=/<x)圖象關(guān)

于直線％=加

對(duì)稱(chēng).

(3)若y=/(%)圖象關(guān)于直線x=加對(duì)稱(chēng)，則y=f(%)圖象關(guān)于點(diǎn)(加,0)對(duì)稱(chēng).

(4)已知三次函數(shù)/(x)=Q%3+b%2+°x+d的對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)為升,若/(%)存在兩個(gè)

極值點(diǎn)X],X2,則有了(再)一/(%)=_g(再=2/,(/).

X]-%223

必考題型全歸納

題型一：三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

例1.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(x)=x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則。的取值范圍是

()

A.(-8,-2)B.(-8,-3)C.(-4,-1)D.(-3,0)

例2.(2024?江蘇揚(yáng)州?高三校考階段練習(xí))設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/'(同=-/+3》+0.

(1)求的極值；

(2)是否存在實(shí)數(shù)。，使得方程/(力=0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根?若存在，求出實(shí)數(shù)。的值；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

例3.(2024?四川綿陽(yáng)?高三四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)

f(x)=ax3+bx2-3x(a,beR),且/(x)在x=1和x=3處取得極值.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)gQ)=〃x)+f,若g(x)=〃x)+f有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)，的取值范圍.

變式1.(2024?天津河西?高三天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知/'口)=加+阮2-4°,

(3,b￡R.

(1)當(dāng)〃=6=1,求歹=/(%)的極值；

(2)當(dāng)a=0,6=2,設(shè)g(x)=f-lnx+l,求不等式〃x)<g(x)的解集；

(3)當(dāng)。>0時(shí)，若函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的值.

變式2.(2024?河北保定?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=/-3x2+3》.

(1)求函數(shù)/(x)的圖象在點(diǎn)x=0處的切線方程；

(2)若/(x)-lV尤3十根在無(wú)可0,2]上有解，求機(jī)的取值范圍；

(3)設(shè)了'(X)是函數(shù)“X)的導(dǎo)函數(shù)，廣(x)是函數(shù)/'(X)的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)廣(x)的零點(diǎn)為

%，則點(diǎn)卜。,/(無(wú)。))恰好就是該函數(shù)/(x)的對(duì)稱(chēng)中心.試求

)

//11/2)…+/J[[200]108^)+//2卜001]90J的值.

變式3.(2024?山西太原?高三太原市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí))已知三次函數(shù)

“X)=d+bx2+ex+或見(jiàn)瓦ce火)過(guò)點(diǎn)(3,0),且函數(shù)/(%)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線恰好是直線

y=0.

⑴求函數(shù)/(x)的解析式；

⑵設(shè)函數(shù)g(x)=9x+"-l,若函數(shù)y=/(x)-g(x)在區(qū)間[-2,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)加的

取值范圍.

變式4.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(》)=；/+依，g(尤)=-x?-a(aeR).

⑴若函數(shù)尸(x)="X)-g(x)在xe[1,+⑹上單調(diào)遞增，求a的最小值；

(2)若函數(shù)G(無(wú))=〃尤)+g(尤)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求。的取值范圍.

題型二：三次函數(shù)的最值、極值問(wèn)題

例4.(2024?云南?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/。)=-；/+/+2"，g(x)=gx?-4.

(1)若函數(shù)/(x)在(0,+e)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)G(x)=〃x)ig(x).若0<。<2,G(x)在［1,3］上的最小值為1(a),求的零點(diǎn).

例5.(2024?高三課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)/(>)=-:/+/+2"，g(x)=1x2-4.

(1)若函數(shù)/(x)在(0,+“)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)設(shè)G(x)=〃x)-g(x).若0<a<2,G(x)在［1,3］上的最小值為-g,求G(x)在［1,3］上取

得最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x值.

例6.(2024?江蘇常州?高三常州市北郊高級(jí)中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)人x)=V-°必-/x+i,

其中tz>0.

(1)當(dāng)。=1時(shí)，求加)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵若曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線與〉軸的交點(diǎn)為(0,b),求6+/的最小值.

變式5.(2024?廣東珠海?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(無(wú))=；彳3-辦2+(/一1卜+6(a,

6eR),其圖象在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方程為x+y-3=0.

(1)求。，6的值；

(2)求函數(shù)〃x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

⑶求函數(shù)〃x)在區(qū)間［-2,5］上的最大值.

變式6.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(》)=r-or?-x,aeR,且/'(1)=0.

⑴求曲線尸/(x)在點(diǎn)(-1D)處的切線方程；

⑵求函數(shù)在區(qū)間［0,引上的最大值.

變式7.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/。)=/+3加2+5+1在(-8,0)上是增函數(shù),

在(0,2)上是減函數(shù)，且/(x)=0的一個(gè)根為-6

(1)求。的值；

(2)求證：/(x)=0還有不同于-6的實(shí)根玉、而，且花、-6、4成等差數(shù)列；

(3)若函數(shù)/(x)的極大值小于16,求/⑴的取值范圍

變式8.(2024?浙江寧波?高三效實(shí)中學(xué)?？计谥?已知函數(shù)"x)=gx3一。/+僅+2口+1(其

中a>0).

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)不，蒞，求〃%)+/(々)的取值范圍.

題型三：三次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

例7.(2024?陜西商洛?高三?？茧A段練習(xí))已知三次函數(shù)

/(x)=^-x3-(4m-l)x2+(15加2一2加-7卜+2在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是()

A.m<2或m>4B.—4<m<—2C.2<m<4D.2<m<4

例8.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))三次函數(shù)/⑴=冽/在(_QO,+8)上是減函數(shù)，則加的

取值范圍是()

A.m<0B.m<1C.m<0D.m￡1

1_i_1|

例9.(2024?江西宜春?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=§/-亍g(x)=__wx)m

是實(shí)數(shù).

(1)若/(x)在區(qū)間(2,+oo)為增函數(shù)，求m的取值范圍；

(2)在(1)的條件下,函數(shù)〃(x)=/(x)-g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

變式9.(2024?陜西榆林?高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知三次函數(shù)4%)="3+法-3在

尤=1處取得極值，且在(0,-3)點(diǎn)處的切線與直線3x+y=0平行.

(1)求/㈤的解析式；

(2)若函數(shù)gG)=/(x)+加x在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增，求機(jī)的取值范圍.

變式10.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(力=33-|2依+4］在［1,2］上單調(diào)遞增，則“

的取值范圍為.

題型四：三次函數(shù)的切線問(wèn)題

例10.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=d-x.

⑴求曲線在點(diǎn)/（，，/⑺）處的切線方程；

⑵設(shè)常數(shù)。＞0,如果過(guò)點(diǎn)尸（凡⑼可作曲線了=〃x）的三條切線，求加的取值范圍.

例11.（2024?江西?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/@）=尤3-3/+尤-1.

（1）求曲線＞=〃x）在點(diǎn)尸（/，/⑺）處的切線方程；

（2）設(shè)必＞1,若過(guò)點(diǎn)。（八〃）可作曲線y=/（力的三條切線,證明：-2加＜"＜/（+）.

例12.（2024,江蘇,IWJ三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/'（x）=/辦~+（a—l）x+2（aeR）,/（x）滿

足〃x）+/（r）=4,已知點(diǎn)M是曲線y=/（x）上任意一點(diǎn)，曲線在“處的切線為/.

（1）求切線/的傾斜角a的取值范圍；

⑵若過(guò)點(diǎn)P（L〃?）（切力g）可作曲線＞=/（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

變式11.（2024?安徽?高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)/口）=-*3一關(guān)2+3+3,在x=0處取得

極值.

（1）求冽的值;

（2）若過(guò)（2/）可作曲線y=/（x）的三條切線，求/的取值范圍.

變式12.（2024?陜西西安?高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)“到=辦3-樂(lè)2在點(diǎn)（］,/⑴）處的切

線方程為3x+y-l=0.

（1）求實(shí)數(shù)。，6的值；

（2）若過(guò)點(diǎn)（T加）（加片-4）可作曲線了=/（x）的三條切線，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

變式13.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（工廠；%3+a?+樂(lè)+4。＜0）在％=0處取得極值

-1.

（1）設(shè)點(diǎn)/（-（-。）），求證：過(guò)點(diǎn)A的切線有且只有一條，并求出該切線方程；

（2）若過(guò)點(diǎn)（0,0）可作曲線了=/（力的三條切線，求。的取值范圍；

⑶設(shè)曲線二/⑺在點(diǎn)國(guó)八由卜仁/仁川工產(chǎn)堵處的切線都過(guò)點(diǎn)僅⑼，證明：

/'（西）”5）.

題型五：三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

例13.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）給出定義：設(shè)/'（X）是函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù)，尸G）是

函數(shù)了=/*)的導(dǎo)函數(shù).若方程/"(》)=0有實(shí)數(shù)解天=%,則稱(chēng)為函數(shù)y=/(x)的

“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/(x)=a?+蘇+cx+d\a^0)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”

也是函數(shù)了=/（元）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心.若函數(shù)〃X）=X3-3X2,貝1J

/f—V1+-??+/f-V/f—1=（）

U023J（2023）（2023）（2023）（2023）

A.-8088B.-8090C.-8092D.-8096

例14.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)y=d+3x2+x的圖象C上存在一定點(diǎn)P滿足：

若過(guò)點(diǎn)P的直線/與曲線C交于不同于P的兩點(diǎn)”(西，必),N(x2,%),就恒有必+%的定值

為先,則比的值為.

例15.(2024?新疆?統(tǒng)考二模)對(duì)于三次函數(shù)/⑴=爾+加+s+dg*0),給出定義：設(shè)

/'("是y=/(x)的導(dǎo)數(shù),O(x)是v=/(x)的導(dǎo)數(shù)，若方程姒x)=0有實(shí)數(shù)解外,則稱(chēng)點(diǎn)

仁,/■(無(wú)。))為曲線了=/(無(wú))的“拐點(diǎn)”，可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”.設(shè)函數(shù)

12）（2022）

g（x）=2x3-3x2+4x-3,則g.2023尸…+g[2023）

2023

變式14.(多選題)(2024?江蘇南京?高三南京市江寧高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末)對(duì)于三次函數(shù)

f(x)^ax3+bx2+cx+d(a^0),給出定義：/⑺是函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，/"(x)是函數(shù)

/'(X)的導(dǎo)數(shù)，若方程f"(x)=0有實(shí)數(shù)解％,則稱(chēng)(％)(%))為函數(shù)尸f(x)的“拐點(diǎn)”.某同

學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱(chēng)中心，且“拐點(diǎn)”

749

就是對(duì)稱(chēng)中心.若函數(shù)/'(x)=：x3-f_i2x+7，則下列說(shuō)法正確的是()

147

A.“X)的極大值為冬

0

B./(尤)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

C.點(diǎn)'/J是/(x)的對(duì)稱(chēng)中心

1232023

D.f+f+■■■/=4046

2024202420242024

變式15.（多選題）（2024?廣東佛山?高三南海中學(xué)?？计谥校┒x：設(shè)尸（x）是“X）的導(dǎo)

函數(shù)，尸（x）是函數(shù)/⑺的導(dǎo)數(shù).若方程/'"（月=0有實(shí)數(shù)解%,則稱(chēng)點(diǎn)（％J（x。））為函數(shù)

了=/（無(wú)）的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖像

的對(duì)稱(chēng)中心，已知函數(shù)/（切=公3+質(zhì)2+*附片（））的對(duì)稱(chēng)中心為（1,1）,則下列說(shuō)法中正確

的有（）

A.a=-,Z?=-1

3

B.函數(shù)/（x）有三個(gè)零點(diǎn)

C.過(guò)口:可以作兩條直線與y=/（x）圖像相切

D.若函數(shù)“X）在區(qū)間（"6,。上有最大值，貝l］0</V3

變式16.（多選題）（2024?安徽阜陽(yáng)?高三安徽省太和中學(xué)?？几?jìng)賽）定義：設(shè)/（無(wú)）是/（x）

的導(dǎo)函數(shù)，/"（X）是函數(shù)/'（X）的導(dǎo)數(shù)，若方程一（力=。有實(shí)數(shù)解%,則稱(chēng)點(diǎn)（%,/（%））為

函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)

圖像的對(duì)稱(chēng)中心.己知函數(shù)/（X）=ax3+bx2+^abR0）的對(duì)稱(chēng)中心為（1,1）,則下列說(shuō)法中正

確的有（）

A.a=-,b=~l

3

198199

B.f的值是199.

looTooToo

C.函數(shù)/（x）有三個(gè)零點(diǎn)

D.過(guò),1,；［可以作三條直線與y=/（x）圖像相切

題型六：三次函數(shù)的綜合問(wèn)題

例16.（2024?全國(guó),高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（xjud+bf+cx+d在（-oo,0］上是增函數(shù),

在［0,2］上是減函數(shù)，且方程〃x）=0有3個(gè)實(shí)數(shù)根，它們分別是。，/，2,則4+加的

最小值是()

A.5B.6C.1D.8

例17.(2024?陜西西安?高三西安中學(xué)校考期中)已知函數(shù)/(可=辦3+6尤2+S+4(。/0),

廣(x)=g(x),給出下列四個(gè)結(jié)論，分別是：①a>0；②在&上單調(diào)；③/(x)有唯一

零點(diǎn)；④存在%,使得g(x0)<0.其中有且只有一個(gè)是錯(cuò)誤的，則錯(cuò)誤的一定不可能是()

A.①B.②C.③D.④

例18.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知/(x)=/-6x?+9無(wú),a<b<c,且

/(?)=/(6)=/(c)?0,現(xiàn)給出如下結(jié)論：

①〃x)Vl；②〃尤)23；③〃0)〃1)<0；

@/(0)/(3)>0;⑤%<4.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

變式17.(2024?黑龍江大慶?高三大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀?已知

a

f{x}=尤3--x2+6x-abc,a<b<c,(a)=f(b)=/(c)=0,現(xiàn)給出如下結(jié)論：

①/(O)/⑴>0;②/(0)/⑴<0;③/(0)〃2)>0；@/(0)/(2)<0.

其中正確結(jié)論的序號(hào)為()

A.②③B.①④C.②④D.①③

變式18.(2024?湖北?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)>=「(力的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)

圖形的充要條件是函數(shù)V=1(x)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)了=/(力的

圖象關(guān)于點(diǎn)尸(。乃)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)>=/(x+a)-6為奇函數(shù).已知函數(shù)

f(尤)=苫3+ax2+bx+\.

⑴若函數(shù)y=/（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（T,2）,求函數(shù)y=/（x）的解析式.

（2）由代數(shù)基本定理可以得到：任何一元〃（"wN*）次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式/（x）在復(fù)數(shù)集中可以分解

為〃個(gè)一次因式的乘積.進(jìn)而，一元〃次多項(xiàng)式方程有〃個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)）.如設(shè)實(shí)

系數(shù)一元二次方程。2-+%為+g=0（%H。），在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為毛，入2，貝!］方程

出/+%X+4=0可變形為02（尤-占）（尤-苫2）=0,展開(kāi)得：的無(wú)？-%（玉尤2）尤+%玉X2=0則有

a］

Xy+X2-------

%=-%伍+七）即,。2

〃0—〃2再工2

XX--

a2

類(lèi)比上述推理方法可得實(shí)系數(shù)一元三次方程根與系數(shù)的關(guān)系，

①若。=0,方程/（X）=左在復(fù)數(shù)集內(nèi)的根為玉、X2、x3,當(dāng)林［0』時(shí)，求町+宕+后的最

大值；

②若0=-3,6=-2,函數(shù)y=/（x）的零點(diǎn)分別為占、4、%，求士■+!+4■的直

再x2x3

變式19.（2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（力=尤3+而+5+1在（-叱0］上為增函數(shù),

在［0,6］上為減函數(shù)，且方程/（無(wú)）=0的三個(gè)根分別為1,國(guó),％.

（1）求實(shí)數(shù)6的取值范圍；

（2）求尤；-4尤］尤2+x：的取值范圍.

變式20.（2024?貴州貴陽(yáng)?高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）給出定義：設(shè)/（X）是函數(shù)＞=/（x）

的導(dǎo)函數(shù)，/是函數(shù)了=/（X）的導(dǎo)函數(shù)，若方程廣。）=0有實(shí)數(shù)解％,則稱(chēng)為

函數(shù)y=〃x)的.“固點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)/(x)=/+6尤2+s+d("0)都有“固

點(diǎn)”，且該“固點(diǎn)”也是函數(shù)y=/(x)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心.根據(jù)以上信息和相關(guān)知識(shí)回答下列問(wèn)

題：已知函數(shù)f(x)=x3+(3a-3)x2+(6a-9a2)x—5a(aeR).

⑴當(dāng)。=—l時(shí)，試求產(chǎn)〃x)的對(duì)稱(chēng)中心.

⑵討論/(x)的單調(diào)性；

(3)當(dāng)a=2時(shí)，/(》)=加有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根玉<%〈尤3,當(dāng)年-十取得最大值時(shí)，求相的

值.

題型七：三次函數(shù)恒成立問(wèn)題

例19.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知三次函數(shù)JU)的導(dǎo)函數(shù)/(力=-3/+3且〃0)=-1,

g(x)=xlnx+—(tz>1).

x

(1)求/(%)的極值；

(2)求證：對(duì)任意再e(0,+oo),都有/(xjVg?).

例20.(2024?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)。為實(shí)數(shù)，函數(shù)/'(X)=x'-3x?+a,g(x)=xlnx.

(1)求的極值;

⑵對(duì)于V再Vx2el,e,都有/(占)*優(yōu))，試求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

e

例2L(2024?四川瀘州?高三瀘州老窖天府中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知三次函數(shù)

f(x)=爾+加—3x(a,b,cGR).

(1)若函數(shù)/(X)在點(diǎn)處的切線方程是y+2=0,