三角恒等變換（六種題型）-2025年高考數(shù)學熱點、重難點題型專項訓練（解析版）

第06講三角恒等變換（六種題

型）

題型一：已知角求三角函數(shù)值

一、單選題_________

1.（2022秋?江蘇揚州.高三校考階段練習）‘白血"°=（）

代-tan20°

A.4B.3C.氈D.-

234

【答案】D

【分析】利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，誘導公式和輔助角公式直接求解.

［詳解］Jl-sin^O。_cos70°?cos20°_sin20°?cos20°_/的。_,

tan200-V3cos200-sin20°-2sin（20°+120°）2sin40°~4

故選：D.

2.（2023?全國?高三專題練習）利用誘導公式可以將任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0。~90。之

間角的三角函數(shù)值，而這個范圍內(nèi)的三角函數(shù)值又可以通過查三角函數(shù)表得到.下表為部分

銳角的正弦值，則tan1600。的值為（）（小數(shù)點后保留2位有效數(shù)字）

a10°20°30°40°50°60°70°80°

sina0.17360.34200.50000.64270.76600.86600.93970.9848

A.-0.42B.-0.36C.0.36D.0.42

【答案】B

【分析】利用誘導公式化簡得原式=-包1工即得解.

sin70

sin20

【詳解】解：tan1600°=tan(4x3600+160°)=tan160°=-tan20=-

cos20

sin200.3420

-0.36

sin700.9397

故選：B

3.（2023春?江蘇南京?高三南京市寧海中學?？茧A段練習）_一2cosl00=（）

2sin10"

A.日B.y/2C.73D.2

【答案】A

【分析】利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結(jié)果.

【詳解】

cosl00-4sinl00cosl0°cosl00-2sin20°cosl00-2sin30o-10-

cos10°-ir.o

--------------2cosl0二

2sin10°2sin10°2sin10°2sinl0°

cos10°-coslO0-A/3sinlO°j百

2sin10°2

故選：A.

4.（2022?全國?高三專題練習）AABC中,A=3B=9C,

cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA=(

1

ABcD.

-z-4-I3

【答案】B

【分析】首先求出c=A，再運用三角函數(shù)積化和差公式，得到角為等差數(shù)列的余弦和,

即可求解.

jr

【詳解】?「△ABC中,A=3B=9CA+5+C=7i,則C=A，

/.cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA

=；[cos(A+B)+cos(A-B)+cos(C+B)+cos(B-C)+cos(A+C)+cos(A一C)]

=g[cos2C+cos4C+cos6C+cos8C+cosIOC+cosl2C]

12兀4兀6兀8K10K12K

cos——+cos——+cos——+cos——+cos------Fcos------

2131313131313

「.兀2KI.3兀71

Xsin-cossin------sin——

1321313

.兀4兀I.5兀.3兀

sin——cossin------sin——

131321313

.716兀1(.77兀1.5兀

sin——cos——=—sin------sm

131321313

.兀8兀if.9K.7兀

sin——cos——=—sin------sin

131321313

.71IOTCli<.1171.9K]

sin--cos-------~z—sin------sin——

1313<1313J

7112K1?<.13K,II71

sin--cos-二一sin------sin-----

1313-21L1313

上述各式相加得,

2兀4兀6兀8兀107112711..71I.7T

sin—cos--------FCOS--------FCOS-------FCOS------FCOS---------FCOSsin萬一sin————sin——

131131313131313213213

,,2兀6兀8兀107112K

故cos——+COS------FCOS——+COS——+COS----------FCOS---------

故原式=_]

4

故選：B.

【點睛】本題考查了三角恒等變換求值，對角為等差數(shù)列的余弦和一般乘以角的正弦累加

即可，對于積化和差公式sinAcos5=g[sin(A+B)+sin(A-B)],

cosAcosB=^[cos(A-B)+cos(A+B)]一定要做到熟練運用.

jrQTT47r

5.(2022.河南?校聯(lián)考模擬預測)已知a=cos巴，b=cos—,c=cos—,且計算可知

777

a-b-c=~.有下述四個結(jié)論：

2

①。+2。2=1，@a2+b2+c2=^-,

4

③abc=——,④(Q+1)(O+1)(C+1)=L

88

其中所有正確結(jié)論的編號是()

A.①③B.①④C.②④D.①②③

【答案】D

【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式和誘導公式推導出a+2c2=1,b=2a2-l,c=2b2-l,從

而得至IJ/+廿+。2=3，a-b-c^,利用正弦二倍角公式推導出。歷=-：，在此基礎(chǔ)

428

上，推導出(Q+1)(A+1)(C+1)W：.

8

【詳解】tz=cos-cos=-2cos2+1=-2c2+1,所以〃+2(?=1；

777

b=cos-=2cos2——1=la1—1,c=-=2cos2——1=2b2-1,

7777

所以Q_0_c=_2(/+o2+c2)+3=g,Q2+/+C2T

c.兀7i2兀4兀

8sin—cos—cos——cos一

JI2兀4兀1

abc=cos—cos——cos——7777

7778

8sin78sin7

〃+l=—2C?+2,b+l=2a2c+l=2b2,

所以(Q+1)伍+l)(c+l)=—8/Z72c==

所以①②③正確,

故選：D.

二、多選題

6.（2023?全國?高三專題練習）下列四個等式正確的是（）

A.tan25°+tan20°+tan25°tan20°=1

B.sin210+sin220+sin23。+…+sin289°=45

c4萬■4TT1

C.cos----sin—=—

882

sin10°cos10°

【答案】AD

【分析】根據(jù)兩角和的正切可判斷A的正誤，根據(jù)同角的三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導公式

可判斷B的正誤，根據(jù)倍角公式可判斷C的正誤，根據(jù)輔助角公式可判斷D的正誤.

（。+。。）=含念黑＞，

【詳解】.22521

tan250+tan200+tan25°tan20°=1,所以A正確;

:設(shè)A=sin21°+sin22。+sin?3。+…+sin289°,

則A=cos289°+cos288°+cos287°+…+cos21°,

而sin?a+cos2a=1,故2A=89即A==,故B錯誤.

2

471.47C\27C.211?冗.2萬、

cos----sin—=cos——I-sin—cos-----sin—

88V88人88）

22

=cos^-sin-=cos-=^,所以C錯誤，

8842

<iR\

l「2-cosl0°--sinl0°

16_cos10。-6sin10。_122J

sin10°cos10°sin10°cos10°sin10°cos10°

2（sin30°cos10°-cos30°sin100）2sin20°

-10-mo―Q-1.-4，所以D正確，

—x2sinl0coslO—sin20

22

故選：AD.

7.（2023?湖南株洲?統(tǒng)考一模）已知sinl5。是函數(shù)

3

/（%）=4/+即：+/龍2+平+?0（?4,4，?2，?1，%?Z,%#0）的零點，則下列說法正確的是

A.幺=16B./(cosl5°)=0

?0

C.f(-x)=f(x)D?「3

【答案】ABC

【分析】設(shè)sinl5o=x0,由16父-16年+1=0可得/(司=164/-16%￡+%,再根據(jù)選項

依次判斷正誤即可.

【詳解】sin15°=sin(45°-30°)==x0

2

xl=k^a,4片一2=—6，(4^-2)=3,

艮［116尤:一16元;+1=0,

所以要使與為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式16/-16/+1.

由/(%)=。4%4+。3九3+。2/+%%+%中x的最高次數(shù)為4,sinl5。是它的一個零點，

4242

因此/(%)=+//+的/+%%+a0=a0(16x-16x+1)=I6aox-16d50x+a。,

即a4=16a0,a3=0,a2=-16%,%=0.

對A選項，幺="氏~=16,是正確的；

〃o〃0

對B選項，

42222

f(cos150)=a0(16cos150-16cos150+1)=a0[(4cos15°-2)-3=a0[(2cos300)-3]=0

,是正確的；

4242

對C選項，/(-x)=16?o(-x)-16a0(-x)+aQ=16?0x-IGc^x+a0=/(x),是正確的；

對D選項，〃力=164%4_16%/+4=4[(4尤2-2)2-3,當%>0時，"尤)最小值為

-3%,當/<0時，/(尤)無最小值，因此D選項是錯誤的.

故選：ABC.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解題關(guān)鍵在于將含有無理數(shù)的平方根式通過兩次平方化成有理

數(shù)，得到含有無理數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.

題型二：已知三角函數(shù)值求角

一、單選題

(4、cos3

1.(2023秋?湖南長沙?高三長沙一中?？茧A段練習)若a￡0,不，「^=石，則

I211+tana8

叵D.1

20I

【答案】C

【分析】將cos2a用1-tan%替換后,解方程解出a即可.

1+tana

cos2a3

【詳解】因為ae

1+tan2a8

sin2cr-cos2ac1-tan2a

可得3(1+tan?a)=8x=8x------------

si.n7a+cos2a1+tana

可得3(l+tan2a『=8-8tan2a,

解得tan2a=；,因為所以tana=#,

所以a=￡,

6

所以cos[a+kJ=cos§=1.

故選：C.

StanOL]

2.（2022?全國?高三專題練習）已知a,6e（0,7t）,sin（?-/?）=-,茄/'=一“貝!1。+尸=

（）

A.-7TB.兀C.—itD.—7C

666

【答案】C

【分析】先利用三角函數(shù)的符號確定角a、B、a+4的范圍，再利用兩角差的正弦公

式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系的商數(shù)關(guān)系得到關(guān)于sinacos6和cosasi”的方程組，再利用兩

角和的正弦公式求出sin（a+夕）=-1,進而結(jié)合角a+力的范圍進行求解.

【詳解】因為a,〃￡（0,兀），^j=-^＜0,

所以0＜a＜m，m＜用＜?；?＜尸＜],^＜0＜兀；

TTJT

若0＜a＜5,5＜尸＜兀，貝IJ一兀＜2—尸＜0,

此時sin（a-0＜O（舍）；

若0＜/?＜],]＜1＜兀，則0＜1—/＜兀，

此時sin（a-0＞。（符合題意），

TTTT

所以?！词?,5＜。＜兀，

即。+夕￡

因為sin(a—")=，且黑?1

'76tanp4

5lsmcrcos/71

所以sinacos#-cosasin/7=一且-----；--=---

6coscrsinp4

12

解得sincrcos/?=—,cosasin/7=——,

63

則sin(</+￡)=_：,

所以C+夕=?7兀.

O

故選：C.

3.（2022秋.廣東梅州?高三五華縣水寨中學?？茧A段練習）已知廣皿石,則。=

1-cose1ali

（）

A.BB.-gC.百D.-y/3

33

【答案】C

【分析】由Jin。后易得cosdwl,sin（0+工］=且，從而可求出凡即可得出答

1-cos。I3）2

案.

【詳解】解：因為7^咯；=君，

1-COS”

所以1-cos夕W0,即COS6W1,

所以sin8=^3-V3cos0，

即sin0+^3cos6-2sin18+g二省,

所以sin,+?)=[,

所以6+工=工+2%%或—+2k兀,

333

77

所以8=2k?；颉?2左乃，keZ,

當6=2左"時，cos3=1,不合題意，舍去,

JTj

當6=F2k7T時，cos0=—,

32

所以tan0=y/3.

故選：C.

二、填空題

TT

4.（2022秋?天津西青?高三統(tǒng)考期末）在等腰直角三角形MC中，NC=5,點尸在三角形

內(nèi)，滿足蘇+JI而+(2&+2)定=6,貝!|/4PB=.

【答案】y

【分析】延長AP、BP、CP,與對邊分別交于點。、E、F,利用條件可得

AF-.FB=^2A,AE:EC=(2+2&):1,進而可得4E=M,ZA￡F=K，延長CF至點G,使得

O

BG〃AC,利用兩角和的正切公式可得加FJ,進而得〃蘭,即求

【詳解】如圖，延長AP、BP、CP,與對邊分別交于點。、E、F.

?：PA=PF+FA,PB=PF+FB,

(FA+V2FB)+[(1+揚而+(2+2y/2)PC]=0

一J2

FA+42FB=0,AF:FB=s/2:l,-,-AF=^^AB'

2IT

???AE=豐萬AC，又在等腰直角三角形ABC中，zc=-,

延長C方至點G,使得BG//AC.則m二七=下.

AC-/\r72,

記NEBC=a,』GCB=/3.

CFCF11

則tana=±==—t^B=-=

人」CBAE+EC3+2夜”母

jr

.?.tan(a+0=lnN5尸產(chǎn)=a+/?=—=>4E、尸、尸四點共圓,

4，

3萬

:.ZAPE=ZAFE=——,

8

ZAPB=—.

8

、57r

故答案為：—

o

三、解答題

5.(2022秋?河北保定?高一保定市第三中學校考期末)己知0<a<]-TT,-jjr</?<0,

儂小",網(wǎng)鴻卜個

(1)求cos(tz+S的值；

(2)求sin6的值：

⑶求的值.

【答案】(1)還；

9

⑵一!;

嗚

【分析】⑴同角三角函數(shù)平方關(guān)系求得可?+胃，M十紅手，再由

吟+小小爭]及差角余弦公式求值即可?

(2)由誘導公式、二倍角余弦公式可得sin〃=cos弓-尸)=2cos2。-，)-1,即可求值.

(3)由(1)及和角正余弦公式求cosa、sina,由(2)及平方關(guān)系求cos/?,最后應(yīng)用

差角余弦公式求cos(&-6)，結(jié)合角的范圍求1-/?.

兀兀B71

【詳解】⑴由題設(shè),<—

4了一萬2

「(r/?7tB717t/?.7t7tB5J3

又cosa+-=cos[(—+a)—(-----)]=cos(_■Fa)cos(------)+sin(——Fa)sin(------)=.

2J4424424429

(2)sin[3=cos弓一夕)=2cos之吁一爭一1=一：.

(3)由cos(—+(x\=^^(cosa-sina}=—,則cosa-sina=,

UJ233

f71AV2/.\2^24

由sm——\-a=——(cosa+sina)=---,貝Ucosa+sma=—,

UJ233

?，?cosa=4+3,sin<z=-—―,又sin￡=一<，一彳則cos(3=?母,

66323

/o九

***cos(?-=cosacos/3+sinasin[3-,ffi]0<a—[3<n,故。一夕=1.

6.(2022.山東日照.統(tǒng)考一模)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

b=3,sinA+asinB=2y/3.

⑴求角A;

(2)若asinA+csinC=6sin5,求xABC的面積.

【答案】(l)g;

⑵*

4

【分析】(1)根據(jù)正弦定理可得asin3=bsinA,再由三角恒等變換即可求得A；

(2)根據(jù)題意和正弦定理可得6+02=18,利用余弦定理可求得。，結(jié)合三角形面積公式

計算即可.

(1)

因為sinA+osinB=256=3,

由正弦定理，得asin3=bsinA,

所以sinA+3sinA=2,得sinA=,

2

又0<A<g,所以A=W；

⑵

由⑴知，A=|,

asinA+csinC=6sin5,

由正弦定理，得/+/=6>=i8,

由余弦定理,W=Z？2+c2—2bc-cosAf

BP18-C2=9+c2-6c-=9+c2-3c

2f

整理，得2c2-3c—9=0,由c>0得c=3,

此時a=3,貝[|a=6=c,

所以SAABC—besinA=—x3x3x.

2224

7.（2022.四川瀘州?四川省瀘縣第四中學校考模擬預測）已知函數(shù)

/（無）=g-2cosxcos[x+g],在“1BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

/（C）=1.

（1）求c；

（2）點。為AB邊中點，且C￡）=A/7.給出以下條件：①a=2；②c=2氐<b）.

從①②中僅選取一個條件，求6的值.

rr

【答案】(1)c=-；(2)①6=4;②A=4.

【分析】（1）利用二倍角公式，和差角公式將式子進行整理化簡，得出最簡形式

/(x)=sin^2x-^j,以及〃C)=sin12CqJ=l,求出C=；

（2）選①，利用。為邊的中點，向量加法的平行四邊形法則，平方后得到關(guān)于b的方

程，求出b=4；

選②，則用余弦定理得到12=/+〃一融，由（1）nCD=^a2+b2+ab,解出

b=4b=2

a2+b2=20,ab=8,以及〃二2或

a=4

7171

【詳解】解：（1）-2cosxcosx+---2cosx|cosxcos--sinxsin—

l3.233

=A/3sinxcosx—cos2x+—

2

V3.-1+cos2x1

=----sin2x---------------1—

222

=—sin2x--cos2x

22

=sinf2x-^-

/(C)=sin2C--=1

vo<c<^-

..._￡<2C_￡<11￡

666

62

(2)若選①

VCD=1(C4+CB)

兩邊平方得：CD2+2CACB+CB2

413J,

解得6=4或b=-6(舍去)

：.b=4；

若選②

由。2=〃+/-2abeosC

得：12=a2+b2—ab

由(1)CD=-yJa2+b2+ab

2

解得：a2+b2=20,ab=S

b=4b=2

解得:”2或

a=4

由c<b,得b=4

（若同時選①②的不給分）

【點睛】（1）二倍角公式，和差角公式要熟練掌握，特別注意2C-g的范圍；

（2）選擇①或者②，就要根據(jù)條件的特點來列方程解決問題,注意條件信息的準確應(yīng)用.

8.（2023?全國?高三專題練習）已知函數(shù)/（x）=sin2x+sinxcosx,向量西=（sinx,-l）,

b=（1,2cosx）.

⑴若刃必，求/1+的值；

（2）當〃力=0時,若向量口（的夾角為6,求COS26.

【答案】（1）1

(2)g或1

TT

【分析】（1）利用向量平行的坐標表示求得x=再利用倍角公式與輔助角公式化簡

/（X）,最后將》=析-；代入即可求得小+的值;

（2）由〃x）=0推得x=航或x=分類討論兩種情況得到sinx與cos尤的值，進而

利用向量的數(shù)積量運算求得商，5的夾角。的余弦值，從而求得cos2夕

【詳解】（1）Va=（sinx,-l）,5=（1,2cosx）,allb>

2sinxcosx+l=0,BPsin2%=—1,

2x=2kn-早kGZ),即1=左GZ),

1-cos2x1.小

由題意，得/(%)=sin2x+sinxcosx=-------------F—sin2x=

222

以+絹變

_V|sin3兀+Lsinf2H+—711+—=

-24224222

（2）由（1）知咚sinf2x-71-|+|-

4

令〃x)=0,得2x-—兀j+—=0，BPsin|2x~~兀__V|

424—2'

故2無一;=2E-；（左wZ）或=2碗一吃（左￡Z）,

即尤=E（左cZ）或%=也一：（左eZ）,

①當犬=E（左￡Z）時，

當左為偶數(shù)時，^=（0,-1）,5=（1,2）；當女為奇數(shù)時，^=（0-1）,5=（1,-2）；

八500±2,23

此時3"而=齊赤7=土百故儂2。=2儂2。-1=寸

②當％=左兀-；（女￡Z）時,

當上為偶數(shù)時，B=（l,應(yīng)）當上為奇數(shù)時,

B=(1,-0)；

止匕時cos0-a,i='-----—=±1,故cos20=2cos20-1=1;

同正麗xg

3

綜上：cos29的值為g或1.

9.（2021?全國?高三專題練習）解方程：8X3-6X-1=0.

.t-0-.i.TC5zr7TC

【谷條】M=COS—,X=COS——,X.=cos——.

9/9909

【分析】因為本題是要解方程，而不是估值，所以思路比較靈活.首先，通過放縮法可以得

至!Jx>l時，8X3-6X-1>0,x<-1時，BP8X2-6X-1<-3<0,進而可以判斷—14x01,

然后設(shè)x=cos6,解出方程即可.

【詳解】先對x進行估值：

當x〉l時，8%3—6兀=2%（4%2—3）>2]（4?—3）>1,從而8/一6%—1〉0

當x<—1時，8/—6x=2x（4f一3）<2x[4（—l）—3^<—2,即8丁_6%—1<—3<0.

故有-LWxWl,令x=cos，，則有8cos38-6cose-l=0.

因為cos28=2cos23-1,所以cos3夕=cos（2夕+夕）=（2cos?8—1）cos8—sin23sin0

=（2cos26,-1）cos6,-2sin26cos8=（2cos2夕一1）COS8-2（1-COS2夕）cos?=4cos36—3cos6，

所以2cos39一1=0,cos39=；,±（neZ）,x=cos6=cosnji±,

而它是一個周期函數(shù)，〃只要取0、1、2即可.

因此原方程的解為：石=cos2，x=cos—,x=cos—.

92z9339

【點睛】本題思路比較特殊，如果僅僅針對高考，不建議過度深挖；但是，本題的想法非

常新穎，如果作為拓展題，應(yīng)當是非常好的.

題型三：已知三角函數(shù)值求函數(shù)值

一、單選題

1.（2021?全國?統(tǒng)考高考真題）若tan6=—2,則即用+sm2”）=（）

sin0+cos0

6226

A.——B.——C.-D.-

5555

【答案】C

【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關(guān)系配方化簡，然后增添分母

（l=sin20+cos2^）,進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入tan6=-2即可得到結(jié)果.

【詳解】將式子進行齊次化處理得:

sin^(1+sin20)sin。卜ir?^+cos2e+ZsinOcos。)

=sine(sine+cos。)

sin6+cos0sin9+cos0

sin9(sine+cos。)_tan^+tan^_4-2_2

sin2+cos26^1+tan261+45

故選：C.

【點睛】易錯點睛：本題如果利用tan。=-2,求出sindcos。的值，可能還需要分象限討

論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論.

2.（2020.全國?統(tǒng)考高考真題）已知sine+sin[+3=l,則sin[e+W=（）

A.|B.且C.-D.-

2

332

【答案】B

【分析】將所給的三角函數(shù)式展開變形，然后再逆用兩角和的正弦公式即可求得三角函數(shù)

式的值.

【詳解】由題意可得：sin0+—sin^+^-cos^=l,

22

貝！J：—sin^+^-cos^=1,^-sin0+—cos^=^-,

22223

從而有：sin3cos—+cossin—=,

663

即‘巾+高=冬

故選：B.

【點睛】本題主要考查兩角和與差的正余弦公式及其應(yīng)用，屬于中等題.

3.（2022?全國?高三專題練習）若sin2a=cos2l,則cos2a的值為（）

313

A.--B.——C.0D.-

525

【答案】D

【分析】結(jié)合二倍角公式化簡可求tana=g,再結(jié)合萬能公式可求cos2a.

【詳解】因為。sin2a=cos2a,所以cosawO且2sinacosa=cos2a，

21_1

解得tana=',所以cos2a=cos2a-sir?。1-tana_4_3

21+tan2a［十工5

4

故選：D

4.(2022?全國?高三專題練習)己知sina=亞，cos(c-￡)=巫，且0＜。＜芬,

7v754

。＜￡＜彳，則si”=()

A9A/15R11A/10「岳n710

35353535

【答案】A

【解析】易知sin/?=sin(a-(a-6))，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cosa和

sinQ-⑶，分別在sin(a-/)=孚和-半兩種情況下，利用兩角和差正弦公式求得

sin尸，結(jié)合夕的范圍可確定最終結(jié)果.

【詳解】?.?sina=^^＜走且0＜&＜9，0＜a＜—,cosa=Vl-sin26Z=-.

72447

又0<分--<a-[3<?，sin(cr-y0)=±d1-cos?(丁一尸)=+—1^-.

當sin(0一月)=時,

smj3=sin^a-^a-/3^=sinacos^a-/3)-cosasm^a-/3)=&叵又更-又苴5_=—苴

???0＜分＜尋，，sin，＞。，；.sin/=-反不合題意，舍去;

435

當55々--)=-半，同理可求得sin

符合題意.

綜上所述:sin”誓

故選：A.

【點睛】易錯點睛：本題中求解cosa時，易忽略sina的值所確定的a的更小的范圍，從

而誤認為cosa的取值也有兩種不同的可能性，造成求解錯誤.

5.(2023?全國?高三專題練習)己知。＜a＜￡＜2萬，函數(shù)=55苗(工-小，若

/(0)=/(尸)=1，則cos(尸-￡)=()

232333

A.—B.——C.-D.--

252555

【答案】B

【分析】由己知條件，結(jié)合三角函數(shù)的性TT質(zhì)可27r得9?TT＜￡＜7TT?,從而利用

6336

71

cos(^-a)=coscr--即可求解.

71=o,0〈尤<2］，則％=9或%=多,

【詳解】解：令/（x）=5sinX--

66

712%

令/(%)=5sinX--=5,0<x<27r,貝！Jx=

又0<av尸<2萬，

匚匚］、?"242九八7〃.7t1,sin嶗1

所以:<a<，——<p<——,sin6Z--

o336~55

rj-t、j八TCTCTC7C

因為0<CX---<一—<pn-------<,

62f26

712"2A/6

所以cosa

~~r

所以

(/?-?)=cos卜一?7171

COSCOSa-+sisi

fT-?6T

2A/62A/61123

X1-—X—=---,

5-5-----5525

故選：B.

二、填空題

6.（2022?全國?高三專題練習）已知點尸。"）是>軸上到A（l,l）,3（2,4）距離和最小的點,

TT1TT

且cos(a-；)=一,則sin(2&-0)的值為（用數(shù)據(jù)作答）.

3mo

【答案】-3##-0.5

【分析】求出點A關(guān)于y軸的對稱點A1求出直線A3與y的交點即得加值，再利用誘導

公式及二倍角公式計算作答.

【詳解】依題意，點A關(guān)于y軸的對稱點A'（T，D,則經(jīng)過點A18的直線斜率

4-1

k=r=1

2-(T

直線A3的方程為y=%+2,于是得點4（0,2）,

此時有歸A|+|他|=|丹川+舊3H4同，由兩點之間線段最短知，點片（0,2）是y軸上到

4（1,1）,3（2,4）距離和最小的點,

兀1

因此，m=2,cos(a,則

兀兀兀兀9JT|

sin(2cr--)=sin[2(a-j)+—]=cos2(a--)=2cos2(a-y)-l=-—,

所以sin（2o-*的值為-g.

故答案為：-萬

【點睛】關(guān)鍵點睛：給值求值問題，將所求值的角用已知值的角表示，再借助三角變換公

式求解.

71

7.（2023?山東?日照一中?？寄M預測）已知函數(shù)/（x）=2cosX+?cosX--+sinx,

若對任意實數(shù)X,恒有則COS（4-%）=

【答案】4

【分析】對“幻進行化簡得到/Q）=-2sin2x+sin尤+1,根據(jù)正弦函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性

91

得到/(%)=-2=-,進而確定sinq=-l,sin%=“cosq=0,利用兩角差的

余弦公式得到cos（4-%）.

p.

【詳解】/(x)=2cos趴x-gcos需—+sinx

4

P.

=-2sin|-7cos|—+sinx

4

=cos2尤+sinx=-2sin2尤+sin尤+1

Qsinx?[1,1]

對任意實數(shù)x,恒有/（區(qū)卜/⑺^〃生）

9

則/(%)=-21(2)=&

gpsin%=-1,sin%=；

\cosG=0

\cos(〃i-a2)=cos〃icos。？+sin〃isin。？=0+；?(-1)

【點睛】本題的關(guān)鍵在于“變角”將cos