山東省濱州市2023-2024學(xué)年高一年級(jí)上冊(cè)1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高一數(shù)學(xué)試題

2024.1

本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在

答題卡對(duì)應(yīng)位置“條形碼粘貼處”.

2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；

如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要

求作答無效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)符合題目要求.

1.命題“VxeR,的否定為()

A.3%gR,x3+1>0B.3xeR,x3+l<0

C.VxeR,x3+l>0D.HxeR,x3+l>0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)命題的否定即可求解.

【詳解】命題"X/xeR,/+1<。”的否定為：R,%3+1>。，

故選：D

2.已知。={xwZ卜3V>V3},A={-3,-2,1},B={0,1,2},則2()

A.{-1,0,1}B.{-1,3}C.{-1,1,3}D.{-1,0,1,3}

【答案】B

【解析】

【分析】利用集合的基本運(yùn)算計(jì)算即可.

【詳解】由。={xeZ|—3K無<3}={-3,-2,-1,0,1,2,3},

AB={-3,-2,l}{0,1,2}={-3,-2,0,1,2},

所以電（AB）={-1,3}.

故選：B.

3.ua=-"是“tantz=—"的條件

63

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.即不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：若［=工，則陋若tana=3,則門=太丁?三,推不出a==.所以"1=工

6’嗡由3666

是“tana=避「成立的充分不必要條件.故選A.

3

考點(diǎn)：充分必要條件.

4.若函數(shù)y=log“％（a>o,且awl）圖象如圖所示，則下列函數(shù)與圖象對(duì)應(yīng)正確的為（）

【答案】D

【解析】

【分析】利用函數(shù)》=1。8。%經(jīng)過點(diǎn)（4,—2）,求出。=；,并代入選項(xiàng)，借助基本初等函數(shù)逐一判斷即可.

【詳解】從函數(shù)y=log。％（。>0,且awl）的圖象可知：該函數(shù)經(jīng)過（4,—2）,

所以—2=log.4,即々-2=4,解得a=；,

對(duì)于選項(xiàng)A:丁=優(yōu)=1；］,由指數(shù)函數(shù)可知y=［3］在定義域上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B:y=當(dāng)x>。時(shí)，則y=?,

由累函數(shù)可知y=JI在（0,+。）上單調(diào)遞增且圖象靠近x軸，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)c：該函數(shù)為y=i°ga（f）T°gi（f）,可看成丁二地產(chǎn)的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，對(duì)稱后在

22

（-8,0）單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)D：y=x〃=￡=?，由幕函數(shù)可知y=4在（Q+e）上單調(diào)遞增且圖象靠近無軸，故選項(xiàng)D

正確.

故選：D.

5.若函數(shù)/（x）=3a，TT（a>o,且awl）的圖象恒過定點(diǎn)尸（相,“），則函數(shù)g（x）=log"（尤2-mx—6）

的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.（^o,-2）B.1一°0，；C.（3,-KO）D.p+co^j

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解定點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/'（%）=3。1—1">0且awl）,

令x—1=0,求得x=l,y=2,可得它的圖象恒過定點(diǎn)（1,2）,

所以m=1,〃=2.

對(duì)于函數(shù)g(x)=log2(x2-X-6，則，二一％一6>0,

/.x<-2,或%>3,故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|%<-2或%>3}.

函數(shù)g（x）=log,一九一6）的單調(diào)遞增區(qū)間，即/=d_X_6在定義域內(nèi)的增區(qū)間，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，％=爐—X—6>0在定義域內(nèi)的增區(qū)間為（3,y）,

故選：C

713

6.已知,sina——-,則cosa的值為（）

4

D.遞

A0r3V2

101010

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)同角關(guān)系以及和差角公式即可求解.

/JI\兀717171

【詳解】由于&C0,5,所以a—，所以cos]a-1>0,

4454

由sin"371=|可得coscj7C4

445

V271V2.71411V2

故cos=——cosa------sina--------X—=--------，

2~~2~~2510

故選：A

7.已知x>0,y>0,且x+3y-孫=0,若%+3y〉加之+加恒成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.(-oo,-3M4,+oo)B.(<3)

D.(-°o,-4]U[3,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】將問題轉(zhuǎn)化為（彳+3”^>>+加，利用“1”的代換以及基本不等式求解（元+3y）1nl”，從而得到

m2+m<12,求解不等式，即可得到答案.

【詳解】因?yàn)椴坏仁絰+3y〉加2+^恒成立，

則(x+3y)血口>nv+m,

31

因?yàn)閤>0,y>0,由x+3y-孫=0可得一+—=1,

%V

所以x+3y=(x+3y)(3+!)=為+2+622,曳?2+6=12,

xyxy丫％y

9yx

當(dāng)且僅當(dāng)上=—,即x=6,y=2時(shí)取等號(hào)，

%y

故(％+3丁焉=12,

所以加2+m<12，即加2+根—12<0，解得—4vmv3,

則實(shí)數(shù)加的取值范圍是(-4,3).

故選：B.

8.已知函數(shù)/(X+1)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，對(duì)任意為，%e(l,-H?),%，都有

±/(%)+石/'(%2)<%/'(玉)+%2/'(%2)一實(shí)數(shù)“，萬，C滿足&+1-0,log?3—])_0,

tanc-f-|j=0(―]<c<1),則/(a),以b),/(c)的大小關(guān)系為()

A./(a)</(/?)</(c)B./(^)</(?)</(c)

C./(c)</(/?)</(a)D./(c)</(?)</(/?)

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)(馬—%)"(%)—/(%)]<0可得/(X)在(1，+。)單調(diào)遞增，結(jié)合對(duì)稱性可得函數(shù)的單調(diào)性，

進(jìn)而根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可求解.

【詳解】由占，%?1,+8)，%產(chǎn)々，馬/(石)+%/(/)<&/&)+々/(々)可得

(x2-^)[/(^)-/(x2)]<0,故/(%)在(1,+⑹單調(diào)遞增，

由于/（X+1）是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，故/（尤）的圖象關(guān)于1=1對(duì)稱，故/（尤）在（—8,1）單調(diào)遞減,

由于函數(shù),=向1—1%］單調(diào)遞增，故由向T—

0可得〃=0,

函數(shù)尸（b）=log2（b—1）U單調(diào)遞增，故尸（2）=—（；］<0，*3）=1—11）>0可得

阻2,3）,

兀

I在-烏<c<烏單調(diào)遞增,兀“〉0,g（0）=-l<0,故

由于函數(shù)g（c）=—=1-

22g

C￡（O,J則2—C￡（2—71

4

所以1<2—c<2—a<b,故/（2—c）</（2—a）</0）,即

故選：D

【點(diǎn)睛】函數(shù)零點(diǎn)的估計(jì)，往往需要結(jié)合零點(diǎn)存在定理和函數(shù)的單調(diào)性來進(jìn)行判斷，后者需結(jié)合基本初等

函數(shù)的性質(zhì)來處理，另外取點(diǎn)時(shí)注意以函數(shù)值容易計(jì)算為主旨.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目

要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.若a<b<0,c>0則下列不等式中正確的為（）

aa+c

A.B.a2>ab>b2C.D.-<----

abbabb+c

【答案】BC

【解析】

【分析】利用作差法及不等式的性質(zhì)逐一判斷即可.

【詳解】因?yàn)閍<b<0,c>0,所以/?一〃>0,">0,

對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)楣えD工=2二9>0,所以,>工，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

ababab

對(duì)于選項(xiàng)B:因?yàn)?。/?=。（。一/?）>0,所以a?>ab，

因?yàn)閍/?—/=/?（。一））>0,所以口匕〉/,

所以片〉〃/?）〃，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于選項(xiàng)C:因?yàn)?---\b-\—]二(〃—------=(ci—bj\1H-----|<0,

b\a)ab\ab)

所以—</?H—,故選項(xiàng)C正確;

ba

,.,a+ca(〃+c)b-a(Z?+c)(Q+c)Z?-a(b+c)c(b-a)

對(duì)于選項(xiàng)D:因?yàn)?-----

b+cb(Z?+c)Z?伍+c)Z?(b+c^b

由于b+c的正負(fù)性不確定，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤;

故選：BC.

10.已知基函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)則下列說法正確的為()

A./(%)為偶函數(shù)B.7(%)為增函數(shù)

C.若/(x)<2,則x<4D,若。<玉5,則/叫號(hào)

【答案】BD

【解析】

【分析】由已知點(diǎn)坐標(biāo)先求出函數(shù)解析式，然后結(jié)合基函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

【詳解】設(shè)哥函數(shù)/(x)=x°,由于圖象經(jīng)過點(diǎn)

所以(工］=-,即。=,，

⑷22

所以=/,

故)⑺在定義域［0,+8)上單調(diào)遞增，B正確;

“X)為非奇非偶函數(shù)，A不符合題意；

當(dāng)/(尤)=?V2,解得0WxW4,故C正確;

當(dāng)。<尤1<%時(shí)，

7

故選：BD

11.下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的為()

A.f(x)=底，g(x)=(正)

B.f(x)=x,g(x)=3啕*

C./(尤)=Jx+2-y/2-x,g(x)=J"/

D./(x)=2|x|+l,g(t)=2肝+1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同即可逐一判斷.

【詳解】對(duì)A,兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R,且/⑺二療二羽且⑴式6)、》,

對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)，A正確；

對(duì)B,/(耳=］定義域?yàn)镽,8(力=3.，的定義域?yàn)?0,+“)，

故兩個(gè)函數(shù)的定義域不相同，不是同一函數(shù)，B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,兩個(gè)函數(shù)的定義域均為［—2,2］,丁)=后工.萬7=,

故兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)，C正確；

對(duì)于D,兩個(gè)函數(shù)的定義域都為R,且g?)=2，產(chǎn)+1=2，+1,

對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)，D正確；

故選：ACD.

12.函數(shù)/(x)=2sin(a)x+0)(0<tyW2,—的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的為

()

A./(%)的最小正周期是兀

B./（%）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

C.將函數(shù)/（%）的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)J個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)g（x）的圖象，則g（x）是奇

6

函數(shù)

八/、兀2兀

D./（X）在y上單調(diào)遞減

【答案】ABD

【解析】

7兀

【分析】根據(jù)已知圖象可確定相關(guān)參數(shù)，求得函數(shù)/（九）解析式，進(jìn)而判斷A;將》=五代入函數(shù)中解析式

求得其值，即可判斷B；根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的平移變換規(guī)律可得平移后的解析式，可判斷C;利用正弦函

數(shù)的單調(diào)性可判斷D.

【詳解】因?yàn)?(x)=2sin(@x+0)經(jīng)過(0,—1),所以/(O)=2sin0=—1,

即sin0=_《，因?yàn)開g<o<g,所以夕=一$,所以/(x)=2sin71

CDX------

22266

"I?！薄?）經(jīng)過IB71。）’所以/71.7171

又因?yàn)椤▁)=2si]2sin69X---=--0--,-

1212(126

①兀71

即sin0,所以幺竺一二=配(keZ),即0=12左+2,(左eZ),

126126

=2.故/(1)=2$11112元—2).

因?yàn)?＜口＜2,所以口

冗冗

對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)椤?2,所以7=臼2=?2=兀,故選項(xiàng)A正確;

CD2

對(duì)于選項(xiàng)B:將x=［代入函數(shù)/（x）=2sin（2x-S）,可得:

12

7兀2sinf2x---

=2sin7i=0,

12126

五,。）對(duì)稱，故選項(xiàng)B正確;

故"X）的圖象關(guān)于點(diǎn)

對(duì)于選項(xiàng)C：將/（力的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，

6

得至ijg(x)=/[x+￡j=2sin211+￡]一￡=2sin[2x+￡j

令2%+巴=kn.keZ,貝|犬=@一--,keZ,

6212

(knjr\

所以g(x)的對(duì)稱中心為[]"一五,。)%eZ,

在對(duì)稱中心中無坐標(biāo)原點(diǎn)，故g(x)不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

對(duì)于選項(xiàng)D:對(duì)于/(x)=2sin]2x-%■),令t=2x-%,

712兀~1c兀兀7兀JI7兀

因?yàn)楣ぁ?所以，=2%-二￡—，而y=2sinZ'在，￡—單調(diào)遞減,

62626

所以/(X)在1,y上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

,、f/(x+3),x<0/、

13.已知函數(shù)/(x)=<；'("2則/一2=______.

''log2(x+l),x>0

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(%)的解析式，可得/(-2)=〃-2+3)=〃1),計(jì)算即可.

,、\/(x+3),x<0

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=；I(二八，

log2(x+l),%>0

所以〃_2)=〃_2+3)=/(l)=k)g22=l.

故答案為：L

14.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)會(huì)徽(圖1)名為“潮涌”，錢塘江和錢江潮頭是會(huì)徽的形象核心，象征著新時(shí)代中國(guó)

特色社會(huì)主義大潮的涌動(dòng)和發(fā)展，也象征亞奧理事會(huì)大家庭團(tuán)結(jié)攜手、緊密相擁、永遠(yuǎn)向前.圖2是會(huì)徽抽

象出的幾何圖形.設(shè)AD的長(zhǎng)度是4，的長(zhǎng)度是小幾何圖形A3CD的面積為4,扇形30c的面積為

s2,若4=24,$2=2,貝ijS]=.

AD

)90)A*Ur)G*nm

Hangzhou2022'、、、//

O

圖1圖2

【答案】6

【解析】

【分析】由弧長(zhǎng)比可得10Al=2|。3|,結(jié)合扇形面積公式得答案.

【詳解】設(shè)N5OC=cr,由3=2,得^^=端=2,^\OA\=2\OB\,

l21051a\OB\

112

222

s^-alOA\--a\OB\_?0A|2_|0Bp_4|OB|-|OB|_

貝！J-z-%一—J.

邑l-pM

故S[=3'=6

故答案為：6.

15.一元二次不等式16日?+8日-3<0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立，實(shí)數(shù)上的取值范圍為

【答案】(-3,0)

【解析】

【分析】利用二次不等式恒成立的條件得到關(guān)于左的不等式組，解之即可得解.

【詳解】因?yàn)?6日2+8履—3<0是一元二次不等式，所以左W0，

又16^+8丘-3<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立，

所以《A=64^2-4X16^X(-3)<0,解得與〈左<0,

則上的取值范圍是(一3,0).

故答案為：(—3,0).

4

xH---4,x>0,

x

16.已知函數(shù)/(%)=<若存在實(shí)數(shù)/,使得方程/(尤)-1=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

--4,x<0,

3工

石,々,馬,乙,且西<々<退<%.則t的取值范圍為,------的取值范圍為.

演+X4

【答案】①.(0,3]②.(1,7]

【解析】

.2百

【分析】結(jié)合函數(shù)圖像，即可求出/的取值范圍；利用/(Xj=/(X2)=/(X3)=/(X4)=/，將一一表

%3+14

示成關(guān)于r的表達(dá)式，借助，￡(0,3],利用單調(diào)性即可解決.

4

xH---4,%>0,

【詳解】畫出函數(shù)〃x)=■的圖象如圖所示:

——4,%<0,

3工

要使得方程/(%)T=0有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根和%，退,4,

只需/(九”/有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即M=/(X),%=/的圖象有四個(gè)交點(diǎn),

結(jié)合圖象可知：re(0,3]，

因?yàn)閤1<x2<x3<x4,所以xr<x2<0<x3<x4f

所以/(%)=/(9)=/(思)=/(%)，

1,1”4”4”

即zr-4=77--4=蒼+——4=%+——4=r,

1

33巧x3x4

所以1—4=4—二=/,即3再=/一,3也=:，

313A24+z4T

而43，工4是％----4=%的兩根，即x—(4+。x+4=0,

X

A=(4+r)2-16>0

因?yàn)?￡(0,3],滿足<%3+%4=4+%>0，所以巧+羽=4+/,

x3x4=4>0

12

3%2-2畫3%2?32%14—/

t+418

---------二—1----

x3+x44+%4+tr-4/—4

QQ

令y=-l-六,因?yàn)?（0,3],則y=-1-六在/e（0,3]單調(diào)遞增,

oq為一2七

所以y=—1—73r(1，刀，故^^(5.

故答案為：（0,3]；（1,7].

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，己知角戊的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)

P(5,-12).

(1)求sina+cosa的值;

(2)求的值.

7

【答案】（1）——

13

12

⑵——

5

【解析】

【分析】（1）利用三角函數(shù)的定義可求得sina、cosa的值，即可得出sina+cosa的值;

（2）由三角函數(shù)的定義求出tanc的值，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可求得所求代數(shù)式的值.

【小問1詳解】

解：設(shè)點(diǎn)？(5,—12)與原點(diǎn)的距離為「，貝1Jr=^52+(-12)2=13.

,.125

所CC以I，sina=---，cosa=一,

1313

.1257

所以，sinoc+cosoc-----1---=----.

131313

【小問2詳解】

12

解：由條件得tana=——.

sin(27i-a)cos|--ar|

(-sina)(-sina)

則---------------------J—

）=（一cosatanacosa

cos（兀一a）tan（—兀+a）sin+cr'7

sin2a12

=------------=一tana=——.

sinacosa5

f4-x

18.己知集合4={可一<7（尤<a+l},B=\x---->1>.

x+l,

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求Au5；

（2）若AB=A，求。的取值范圍.

【答案】（1）=1<尤<2}

1'

（2）\aa<—>

、2.

【解析】

【分析】（1）當(dāng)。=1時(shí)，求出集合AB,利用交集的定義可求得集合AUB；

（2）由題意可得403,分4=0、AW0兩種情況討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的不等式

（組），綜合可得出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

解：當(dāng)a=l時(shí)，A=1<x<21,

,4-x4-x(x+l)-(4-x)=^^<0,解得—1<X<3,則8=

由---->1可得1------=-i----L―--<-=

x+1x+lX+1x+l2〔2J

因此，=vx<2}.

【小問2詳解】

解：因?yàn)锳5=A,所以

當(dāng)A=0時(shí)，-aNa+1,得a?---，滿足題意；

2

—a<〃+1

當(dāng)A/0時(shí)，貝！J<—1，解得—<Q<一,

22

3

a+l<-

[2

綜上所述，a的取值范圍是<aa<—>.

、2,

19.已知函數(shù)/Xx）=3：+5/,且/⑺為奇函數(shù).

%■+1

（1）求實(shí)數(shù)/,判斷函數(shù)人尤）的單調(diào)性，并根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的判斷;

（2）若/（2m—+1）<0恒成立，求實(shí)數(shù)冽的取值范圍.

【答案】（1）/⑴在[-1』]上單調(diào)遞增，證明見解析

（2）[0,|）.

【解析】

【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義求出方，判判單調(diào)性，再利用單調(diào)函數(shù)的定義推理證明.

（2）利用（1）的結(jié)論，脫去法則求解不等式即得.

【小問1詳解】

由/⑺是定義在[T1]上的奇函數(shù)，得Vxe[-1,1],/（-%）+于（x）=0,

—3x+5t3x+5/八3x

即/、2盧=7=0,于是1O/=O,解得/=0,貝【J/（%）="—

（-x）+1X+1x2+l

函數(shù)〃九）在[-1,1]上單調(diào)遞增，證明如下:

Vxpx2e[-1,1],且玉<%2，則/（為）—一~

（x：+l）（后叫

3（九2-x）（xx-1）

112由-1?X1%?1，得X2—>0，X1X2-1<O，（X；+1）（考+1）〉0,

（才+1）（考+1）

于是/（石）一/（々）<。，即/X，）<一（九2），

所以函數(shù)在［T,l］上是單調(diào)遞增函數(shù).

【小問2詳解】

由（1）知，函數(shù)/（元）是定義在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù),

則/（2〃?-1）+/（m—1）＜0恒成立，即/（2m-l）＜—/（m—1）恒成立，

2

亦即/（2〃?-1）＜/（1—〃2）恒成立，因此—lW2m—1＜1—加41,解得0＜根＜§,

2

所以加的取值范圍是?！欤?

20.近來，流感病毒肆虐，某學(xué)校對(duì)教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中

的含藥量y（毫克）與時(shí)間“小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與，的函數(shù)關(guān)系為〉=m。'（。＞0且awi）.

根據(jù)圖中提供的信息，求:

（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）與時(shí)間/（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為確保學(xué)生健康安全，藥物釋放過程中要求學(xué)生全部撤離，藥物釋放完畢后，空氣中每立方米含藥

量不超過0.15毫克時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)入教室.那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過多少小時(shí)后，學(xué)生才能進(jìn)

入教室.（精確到0.1小時(shí)）（參考值：In2no.69,ln3?1.10,ln5?1.61）

4t,Q<t<-

2

【答案】（1）y=＜

2

（2）2.4小時(shí)

【解析】

【分析】（1）當(dāng)OWfW」時(shí)，設(shè)y=H,當(dāng)。〉工時(shí)，設(shè)y=用儲(chǔ)（a＞0且awl）,將相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入

22

函數(shù)解析式，求出參數(shù)的值，綜合可得出y關(guān)于/的函數(shù)解析式；

（2）分析函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)工時(shí)，解不等式y(tǒng)V0.15,即可得出結(jié)論.

2

【小問1詳解】

解：當(dāng)OV/V；時(shí)，設(shè)丁=笈，將(g,2)代入y=比得2=;左，解得左=4,此時(shí)，y=今；

當(dāng)％〉g時(shí)，設(shè)y=機(jī)儲(chǔ)(〃>0且awl),將I；：］、(1,1)代入y=加儲(chǔ)得<2=移>，

1—TTZ^Z

"J(、

解得,"一7,此時(shí)，=4~.

4t,Q<t<^

綜上：y=<

4w,r>-

2

【小問2詳解】

4t,Q<t<-

2在o,11上單調(diào)遞增，在D，+"］上單調(diào)遞減,

解：因?yàn)楹瘮?shù)y=<

2

2

133

當(dāng)時(shí)，令4j<0.15=五，Ml-r<log4—=log43-log420,

則］一/Vlog43—log45—1,即此2+log45-log43,

In5-ln3

所以，r>2+?2.4.

ln4

所以，從藥物釋放開始，至少經(jīng)過2.4小時(shí)后學(xué)生才能進(jìn)入教室.

71

21.已知函數(shù)/(%)=J5sinCOXH---,(?！?),/(%)圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心的距離為￡.

6

(1)求函數(shù)/(尤)的解析式和單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若將函數(shù)/(x)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)J個(gè)單位

6

兀

長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，求函數(shù)/z(%)=(sinx+cos%)?g(^^0,-上的最大值.

【答案】(1)f(-^)—A/SSIH+—j,——+ku.—+kit(A:eZ).

⑵1+—.

2

【解析】

【分析】(1)利用周期求出。=2,借助三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)增區(qū)間；

(2)通過三角函數(shù)圖象的變換求出g(x),代入化簡(jiǎn)/z(x)=(sinx+cosx>g(x),借助三角函數(shù)的性質(zhì)求

出最值即可.

【小問1詳解】

T7127r

由題意知，一二—,則7=兀=——，得G=2

22co

所以/(X)=3sin+巳J

TTTTTT

由---F2hi<2x+—<—+2kn,keZ,

262

兀71

得---FkitVxV—1~kit,keZ,

36

JT兀

所以/(九)的單調(diào)遞增區(qū)間為一§++E(左eZ).

【小問2詳解】

將函數(shù)/(%)圖像上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，

得y二也sin,再向右平行移動(dòng)四個(gè)單位長(zhǎng)度，得g(x)=&sinx.

7i(x)=V2sinx(sinx+cosx)=^2sin2x+A/2sinXCOSX

1-cos2xsin2x兀)A/2

一H-----

4J2

因?yàn)?4x〈巴，則—二K2x—二V型,

44

所以04sin[2%-—^+^-<1+^-,

I22

當(dāng)且僅當(dāng)2x—：=/時(shí)，即％=個(gè),此時(shí)入⑴在0片上有最大值為1+*.

22.己知函數(shù)/(%)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)與和非零實(shí)數(shù)。，使得/(毛+。)=/(毛)+/(。)成立，則稱函

數(shù)了(%)為?！鞍楹秃瘮?shù)”.

(1)判斷是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)/(x)=工為?！鞍楹秃瘮?shù)”？若存在，請(qǐng)求出。的范圍；若不存

在，請(qǐng)說明理由;

(2)證明：函數(shù)/(%)=x2+sinx+l在［0,+“)上為"兀伴和函數(shù)”；

(3)若函數(shù)=在(0,+8)上為“1伴和函數(shù)”，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】(1)不存