蘇科版九年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略：難點探究之解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的綜合壓軸題三種模型（解析版）

專題12難點探究專題：解直角三角形應(yīng)用與特殊幾何圖形的

綜合壓軸題三種模型全攻略

寧幫【考點導(dǎo)航】

目錄

I

【典型例題】.............................................................................1

【類型一解直角二角形應(yīng)用與特殊二角形的綜合】............................................1

【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】............................................8

【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】.............................................14

【典型例題】

【類型一解直角三角形應(yīng)用與特殊三角形的綜合】

例題：（2023秋?福建泉州?九年級校考階段練習(xí)）中國傳統(tǒng)建筑屋頂設(shè)計是中國古代建筑之瑰寶.常見的屋

頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)?如圖1的古代建筑屋頂，被

稱為"懸山頂"，它的側(cè)視圖呈軸對稱圖形，如圖2所示，已知屋檐E4=6米，屋頂E到支點C的距離EC=5.4

米，墻體高CF=3.5米，屋面坡角/ECD=28。.（參考數(shù)值：sin28°?0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53）

⑴求房屋內(nèi)部寬度FG的長；

⑵求點A與屋面FG的距離.

【答案】⑴9.5米

（2）3.2米

【分析】（1）如圖，過E作交于CA點0,交尸G于點X,則產(chǎn)G,運用三角函數(shù)解直角

三角形可得COx4.752，然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=2CO“9.5，然后再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解

答;

（2）如圖，過A作4，及7,交EH于點/.再解直角三角形可得以,E。的長，然后再求得E”，最后根

據(jù)m=EH—EI,即可解答.

【詳解】（1）解：如圖，過E作即rLCD,交于8點。，交尸G于點兒則￡7/，打?，

則在RtATEO中，CO=CE.cos/ECO=5.4xcos280g4.752（米），

回AECD是等腰三角形，

回CD=2CO79.5（米）.

回四邊形CDG尸是矩形，

回FG=CD=9.5（米）；

（2）解：如圖，過A作A/_LEW,交EH于點/.

在RtAE4/中，EZ=AE-sinZ￡4Z=6xsin28°~2.82（米），

在RtZXECO中，EO=CE-sinZECO=5.4xsin28°?2.538（米），

^\EH=EO+OH=EO+CF=6.038（米），

^IH=EH-EI=3.218~3.2（米）,

即點A到屋面FG的距離約為3.2米.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用三角

函數(shù)解直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?重慶沙坪壩?九年級重慶八中?？茧A段練習(xí)）露營愛好者在露營時為遮陽和防雨會借助垂直于地

面的樹干A3搭建一種"天幕"，其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支撐桿。，用繩子拉

直CE后系在樹干AB上的點A處，使得A,C,E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點A的高度可控制"天幕”的開合，

若CE=CF=3米，CD_LEF于點。

（參考數(shù)據(jù)：sin75°?0.966,cos75。a0.259,tan75。=3.732）

c

AO

B

D

圖1圖2

⑴天晴時打開"天幕"，若NACF=150。，求遮陽寬度所；（結(jié)果保留一位小數(shù)）

⑵下雨時收攏"天幕"，NAC/由150。減小到120。，求點。下降的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】⑴5.8米

⑵0.7米

【分析】（1）根據(jù)三線合一求出NACO=75。，解直角三角形求出E。，可得EF；

（2）解直角三角形求出0C,過點E'作E'H_LCD交CD于點H,再解直角三角形求出CH,根據(jù)

OH=CH-OC求解即可.

【詳解】（1）解：0CE=CF,且

13a）平分/ACF,EF=2EO,

0ZACF=150°,

0ZACO=-ZACF=75°,

2

在RtACEO中，EO=CE-sinZACO,

團CE=3米，

回￡0=3x0.966=2.898米，

則EF=2EO=5.796仁5.8米，

故遮陽寬度呼為5.8米.

C

A

A'

~BD

（2）13在Rt^CEO中，OCCE-cosZACO,

回00=3x0.259=0.777米，

當ZACF從150°變?yōu)?20。，

如圖所示：CE旋轉(zhuǎn)到CE',

則CE'=CE=3,

過點E‘作E'"LCD交8于點反，貝|/E'm=60°,

團在Rt^E'CH中，CE=CE'cos60°,

13cH=1.5米，

^OH^CH-OC,

回O"=1.5-0.777=0.723仁0.7米，

回。點下降到H點的距離為0.7米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于抽象出直角三角形并正確

的運算.

2.(2023春?海南?？?九年級?？谝恢行？计谥?油紙傘有著逾千年的歷史，被列入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名

錄；在一次活動中，小文了解了油紙傘文化的內(nèi)涵，決定進行設(shè)計傘的實踐活動.小文依據(jù)黃金分割的美

學(xué)設(shè)計理念，設(shè)計了中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)(其中空”0.618)：傘柄始終平分/BAC,

AH

AB=AC=20cm,當NB4C=120。時，傘完全打開，此時/3DC=90。.

(l)ZBAD=,ZADB^；

⑵求線段AD的長；(結(jié)果保留整根號)

⑶請問最少需要準備多長的傘柄？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：退亡1.732)

【答案】⑴60。，45°；

(2)(10+10A/3jcm

(3)72cm

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得NBAO=NC4O=g/8AC=60。，再證明AAm三AACO(SAS),然后

利用全等三角形的性質(zhì)可得NADB=ZADC=|ZBDC=45°,即可解答；

(2)過點B作9_LAD,垂足為E,先在RtZVlBE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AE,3E的長，再

在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，然后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答；

(3)利用黃金分割的定義，進行計算即可解答.

【詳解】(1)解：(1)平分NBAC,NB4c=120。,

ABAD=ACAD=-ZBAC=60°,

2

AB=AC,AD=AD,

AAB?？誂AC￡>(SAS),

ZADB=ZADC=-ZBDC=45°,

2

故答案為：60°；45°；

(2)解：(2)過點8作5E_LAD,垂足為E,

在RtAABE中，NBAE=60°,AB=20cm,

/.BE=ABxsin60°=20x(=10>/3(cm),

AE=ABxcos60°=20x—=10(cm),

2

在RtABED中，DE=BE=io73(cm),

tan45°

AD=AE+DE=(10+10V3)cm,

線段AD的長為（10+10若）cm；

DH

(3)角麻(3)???一?0.618,

AH

AH-AD%0618

AH

.AH=(10-10A/3)

-0.618,

AH

解得：AH=72,

：.最少需要準備72cm長的傘柄.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握銳角三角函數(shù)

的定義，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?河南周口?校聯(lián)考二模）"工欲善其事，必先利其器"，如圖所示的是釣魚愛好者的神器"晴雨傘”,

其截面示意圖是軸對稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支桿AD,用繩子拉直AC后系在樹干尸。上的點E處

(PQ1DQ),使得A,C,E在一條直線上，通過調(diào)節(jié)點E的高度可控制"晴雨傘"的開合，"晴雨傘"

AC=AB=2m,于點。，支桿4D與樹干尸。的橫向距離DQ=3m.

⑴天晴時打開"晴雨傘"，若Na=60。，求遮陽寬度8C.

⑵下雨時收攏"晴雨傘"，使由120。減少到106。，求點E下降的高度.(結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù):

sin53°~0.80,cos53°~0.60,tan53°?1.33,A/3?1.73)

【答案】⑴3.46m

(2)0.53m

【分析】(1)在RSAOC中利用銳角三角函數(shù)的定義求出OC的長即可解答；

(2)過點￡作跖工相)于點/，得斯=OQ=3m,再在RSAE尸中銳角三角函數(shù)的定義可得AF=旦

tana

最后求出ZBAC=120°和ZBAC=106°時AF的長即可解答.

【詳解】(1)解：由對稱性可知5C=2OC,AB=AC=2m,ZAOC=90°,

在Rt^AOC中，ZOAC=a=60°f

「?

團sina=oc,

AC

0OC=AC-sina=2xsin60°?1.73m,

團BC=2OCx3.46m,

答：遮陽寬度BC為3.46m；

(2)解：如圖，過點E作EF/AD于點尸，

團NDFE=90。，

BAD1DQ,EQLDQ,

^\ZADQ=ZEQD=90°,

團ZDFE=ZADQ=ZEQD=90°,

回EF=DQ=3m,

EF

在Rt^AET^中，團tana=,

AF

EF3r-

當NBAC=120。時，AF=——=-7==V3?1.73m,

tan60°V3

EF

當NB4C=106。時，A/二-----?2.26m,

tan53°

團點E下降的高度為2.26-1.73=0.53m,

答：點E下降的高度為0.53m.

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當

的輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?浙江紹興?統(tǒng)考三模）圖1是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力.圖2

是支架與電腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖，已知AC,互相平分于點O,AC=BD=26cm,若

⑴求CO的長.

（2）求點。到底架CE的高。尸（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）.

【答案】⑴13cm

⑵7.8cm

【分析】（1）根據(jù)題意得出。4=6?=OC=OD=13cm,由NCOZ）=NAOB=60°,證明4103與△COD均

是正三角形，即可得出答案；

（2）在Rt^CD尸中，利用正弦定義求解即可.

【詳解】（1）解：AC=3D=26cm,AC,8?；ハ嗥椒钟邳cO,

?二OA=OB=OC=OD=13cm,

???ZCOD=ZAOB=60°f

???AAO3與△COD均是正三角形，

CD=13cm.

DF

(2)解：在Rt^CD尸中，sinZDCF=—,

即。尸=CD?sinZDCF=13xsin37°近3x0.6=7.8(cm),

答：點。到底架CE的高為7.8cm.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

二角函數(shù)的定義，準確計算.

【類型二解直角三角形應(yīng)用與特殊四邊形的綜合】

例題：(2023春?江西南昌?九年級南昌市第二十八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí))某景區(qū)草地上豎立著一個如圖(1)

所示的雕塑，現(xiàn)將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖(2)所示的圖形,矩形由CG可由矩形ABCD

繞點C旋轉(zhuǎn)得到，點E在AD上，延長即交尸G于點連接BE,CH.

圖⑴圖⑵

(1)判斷四邊形的形狀并給予證明；

⑵若點G在水平地面上，A3與水平地面平行，/BCE=48°,AB=3cm,BC=4cm,求點A到水平地面的

距離.(結(jié)果精確到0.1m.)參考數(shù)據(jù)：

sin48°~0.75,cos48°?0.67,tan48°?l.lLcos24°?0.91,tan24°?0.45

【答案】⑴平行四邊形，見解析

(2)6.3m

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)結(jié)合矩形的性質(zhì)推出CG=CD=EF,利用AAS證明AEDCGHFE,得到EH=EC,

據(jù)此可證明四邊形是平行四邊形；

(2)延長AH交水平地面于點M,連接GM.利用正切函數(shù)求得AE的長，得到/G=AD,推出

GH=AE=1.35,再根據(jù)余弦函數(shù)求得的長，據(jù)此即可求解.

【詳解】(1)解：四邊形3石是平行四邊形.

證明：團四邊形FECG是矩形，

0ZF=9O°,CG=EF,FG//EC,

出/CED=/EHF,

團四邊形ABC。是矩形，

團/￡。。=90。=/方，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得CG=CD,

國CG=CD=EF,

團A￡DC^A//FE(AAS),

⑦EH=EC,

由旋轉(zhuǎn)得EC=BC,

^\EH=BC,

0EH〃BC,

回四邊形出RC為平行四邊形；

(2)解：如圖，延長交水平地面于點連接GM.

回/5CE=48。，BC=CE,

0ZEBC=66°,

團ZABE=90°-NCBE=24°,

0AE=AB-ABE?3x0.45=1.35,

由(1)知FH=ED,EH=BC=4,

又FG=AD,

團G〃=AE=1.35,

由平行線的性質(zhì)知NGHM=/CED=NBCE=48°，

回HM=GH-cos/GHM名1.35x0.67?0.90,

^\AM=AE+EH+HM=1.35+4+0.90^6.3,

即點A到水平地面的距離約為6.3m.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)和判定，利用三角函數(shù)解直角三角形等，解題的關(guān)鍵

是：（1）掌握等腰三角形中等邊對等角；（2）通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?江西九江?九年級統(tǒng)考期中）圖1是某校教學(xué)樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現(xiàn)將這兩個正方

形轉(zhuǎn)化為平面圖形得到圖2,并測得正方形ABCD與正方形EFG”的面積相等，且M=100cm,8〃砂，

⑴判斷四邊形跳G8的形狀，并說明理由.

⑵求CG的長.（參考數(shù)據(jù)：sin25°?0.42,cos25°?0.91,tan25°~0.47）

【答案】⑴四邊形CFE。是菱形，詳見解析

（2）182cm

【分析】（1）先證明四邊形CEED是平行四邊形，再證明NFCG=NFGC=25。，從而得CF=FG=EF,即

可得出結(jié)論；

（2）作RVf_LCG于點M,解Rt^FGM,即可求解.

【詳解】（1）解:四邊形CFED是菱形，

理由：??,正方形ABCD與正方形EFG”的面積相等，

:.CD=EF,

-.■CD//EF,

回四邊形CEED是平行四邊形，

:.NEFC=ZCDE=140°,

ZCFG=360°-ZEFG-ZEFC=130°,

:.NFCG=180°-ZCFG-NCGF=25°=Z,CGF,

：.CF^FG=EF=100cm,

回四邊形CEED是菱形.

（2）解：作在于點M,

A

cos25°=-----,得GA/a91cm,

100

.-.CG=2GA1=2x91=182cm.

【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，解直角三角形，熟練掌握正方形的性

質(zhì)、菱形的判定、正確求解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

2.（2023,山東青島?統(tǒng)考二模）如圖1,一吸管杯放置在水平桌面上，矩形ABCD為其橫截面，OE為吸管，

其示意圖如圖2所示，AD^20cm,AB=6cm,ZEOB=36°.將杯子繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使OE與

水平線CM平行（如圖3）.

⑴杯子與水平線CM的夾角ZBCM=

⑵由圖2到圖3,點A的位置是升高了還是下降了？變化了多少厘米？（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):

sin36°?0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)

【答案】⑴54

(2)點A的位置是下降了0.3厘米

【分析】（1）過點B作3尸〃根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解;

(2)過點A作AGJ_CM于點G,延長AD交的延長線于點H,在中，tanZZ)CH=—,在

AQ

RtzJMG中，ZHAG=90°-ZH=36°,cos/HAG=—,求得AG,即可求解.

AH

【詳解】(1)解：如圖所示,

圖3

過點3作3尸〃CM,

S1OE//BF,ZEOB=ZOBF=36°,

SZFBC=ZBCM,

0ZABC=ZABF+ZFBC=90°,

0ZBCM=NFBC=90°-36°=54°；

(2)如圖所示，

/E

圖2圖3

過點A作AGLOW于點G,延長也交MC的延長線于點H,

^\AD//BC,

^\ZH=ZBCM=54°9

◎/DCH=36。,

在Rt^HDC中，tanZDCH=—,

DC

?DH=DCtanZDCH=6tan36°,

回AH=AD+OH=20+6tan36。，

在Rt/Ji4G中，Z/MG=90°-ZH=36°,cos/HAG=—,

AH

0AG=AHxcos36°=（20+6tan36°）cos36°,

?（20+6x0.73）x0.81?19.7,

020-19.7=0.3cm；

點A的位置是下降了0.3厘米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

3.（2020?江西贛州?統(tǒng)考一模）如圖⑴是一個晾衣架的實物圖，支架的基本圖形是菱形，MN是晾衣架的一

個滑槽，點尸在滑槽上、下移動時，晾衣架可以伸縮,其示意圖如圖（2）所示，己知每個菱形的邊長均

為20cs,且AB=CD=CP=DM=20cm.

圖⑴

⑴當點尸向下滑至點N處時，測得/DCE=60。時

①求滑槽的長度；

②此時點A到直線DP的距離是多少？

（2）當點P向上滑至點M處時，點A在相對于⑴的情況下向左移動的距離是多少？

（結(jié)果精確到0.01cm,參考數(shù)據(jù)V2°1.414,石?1.732）

【答案】（1）①14.6cm；②60cm；（2）43.9cm

【分析】（1）①作CHJ_DN于由—DCE=60。得出CH=1cD=10cm,NH=DH=^202-102=104（cm）,

進而求出MN；

②點A到直線DP的距離是6CH=6x10=60cm；

（2）當點P向上滑至點M處時，ACMD是等邊三角形，作CGLDM于G,求CG,即可求出結(jié)果.

【詳解】解：（1）①當點尸向下滑至點N處時，如圖1中，作CHLDN于

???/DCE=60°,

/./DCN=180°—NDCE=120°，

?.?CD=CP=20cm,即CD=CN=20cm,

NCDN=1(180°-/DCN)=30°,

CH=1CD=10cm,NH=DH=7202-102=1073(cm),

MN=DN-DM=2DH-DM=20&-20-14.6cm.

滑槽MN的長度為14.6cm.

②根據(jù)題意，點A到直線。尸的距離是6cH=6xl0=60cm.

(2)當點P向上滑至點M處時，如圖2中，ACMD是等邊三角形,

NCDM=60°,

作CG_LDM于G,則CG=CD-sin60。=20x#=10右(cm),

此時點A到直線DP的距離是6CG=6xl04=60/，

60\/3-60?43.9cm，

團點A在相對于⑴的情況下向左移動的距離是43.9cm.

【點睛】此題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，找到對應(yīng)長度是關(guān)鍵.

【類型三解直角三角形應(yīng)用與其他知識的綜合】

例題：（2023秋?山東威海?九年級山東省文登第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）圖1是某越野車的側(cè)面示意圖，折

線段A3C表示車后蓋，已知=BC=0.6m,ZABC=123°,該車的高度力O=1.7m.如圖2,打開

后備箱，車后蓋ABC落在AB'C'處，A9與水平面的夾角N3'AD=27。.（結(jié)果精確到0.01m,參考數(shù)據(jù)：

sin27°a0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510,5/3?1.732)

B'

⑴求打開后備箱后，車后蓋最高點3'到地面/的距離；

⑵若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C'處經(jīng)過，有沒有碰頭的危險？請說明理由.

【答案】⑴車后蓋最高點3'到地面的距離為2.15m

⑵沒有危險

【分析】（1）作5'ELAD，垂足為點E,先求出"E的長，再求出的長即可；

（2）過C'作。尸_L8E,垂足為點尸，先求得/AB'E=63。，再得到NCE尸=/AB'C'—NAB'E=60。，再求

得B'F=B'C-cos60°=0.3m,從而得出C到地面的距離為2.15-0.3=L85（m）,最后比較即可.

【詳解】（1）如圖，作垂足為點E,

在放ATWE中,

?;NB'AD=27°,AB'=AB^lm,

B'E

sin27°=

AB''

B'E=AB'sm27°?1x0.454=0.454m,

???平行線間的距離處處相等,

..B'E+AO=0.454+1.7?2.154?2.15m,

答：車后蓋最高點3'到地面的距離為2.15m.

（2）沒有危險，理由如下：

如圖，過C'作C尸，氏E,垂足為點b，

B'

:'、、、ED

o1

■.■ZB'AD=27°,ZB'EA=90°,

:.ZAB'E=63。,

ZAB'C'=ZABC=123°,

ZC'B'F=ZAB'C-ZAB'E=60°,

在RtAB'bC中，BrC'=BC=0.6m,

ffF=B'C'-cos60°=0.3m.

平行線間的距離處處相等，

:.C'到地面的距離為2.15-0.3=1.85m.

,.-1.85>1.8,

，沒有危險.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.在日常生活中我們經(jīng)常使用訂書機，如圖，A3是訂書機的托板，壓柄8C繞著點B旋轉(zhuǎn)，連接桿OE的

一端點。固定，點E從A向B滑動，在滑動過程中，DE的長保持不變，己知8￡>=5j5cm.

C

⑵現(xiàn)將壓柄BC從圖1的位置旋轉(zhuǎn)到與底座AB垂直，如圖2所示，求在此過程中點E滑動的距離.

【答案】⑴56cm

(2)(15-5A/3jcm

【分析】(1)過點。作DP,AB交AB與點P,在RM8DP中，通過解直角三角形可求出。P、8尸的長度,

在RtADEP中，利用勾股定理可求出。E的長度；

（2）在RtADBE中，利用勾股定理可求出BE的長度，結(jié)合（1）中BE的長度即可求出答案.

【詳解】（1）解：在圖1中，過點。作DPLAB交A3與點尸，

在Rt^BDP中，DP=BD-sinZABC=BD-sin45°=5,BP=BDcosZABC=BD-cos45°=5,

在Rt△。石尸中，ZDPE=90°,DP=5,EP=BE-BP=10,

^DE=^DM2+EM2=575cm，

即連接桿DE的長度為56cm；

(2)解：在RUDBE中，NDBE=90°,BD=5垃cm,DE=5非cm,

團BE=yjDE2-BD2=5?cm，

團在此過程中點E滑動的距離為（15-5石）cm,

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.

2.（2023秋?河北石家莊?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1,某款線上教學(xué)設(shè)備由底座，支撐臂A2,連桿BC,

懸臂C。和安裝在。處的攝像頭組成.如圖2是該款設(shè)備放置在水平桌面上的示意圖，已知支撐臂AS

AB=18cm,BC=40cm,CD=44cm,固定ZABC=148。，可通過調(diào)試懸臂8與連桿BC的夾角提高拍攝效果.

⑴當懸臂。與桌面/平行時，NBCD=°

（2）問懸臂端點C到桌面/的距離約為多少？

⑶已知攝像頭點D到桌面/的距離為30cm時拍攝效果較好,那么此時懸臂。與連桿3C的夾角/3CZ）的度

數(shù)約為多少？（參考數(shù)據(jù)：sin58°?0.85,cos58°~0.53,tan58°?1.60）

【答案】⑴58。

(2)52

(3)28°

【分析】(1)作出對應(yīng)的圖，關(guān)鍵平行線的性質(zhì)即可求解;

(2)過。作CE_L/與/父于E,過3作3尸_LCE與CE父于尸，可推出四邊形正為矩形，EF=AB；在

Rt^CB尸中解出。尸，即可求解；

(3)過。作。DNICE,在RtADOV中解出NOCZV即可求解.

【詳解】(1)解：如圖：當懸臂8與桌面/平行時，作〃/

???ZABC=148°=NEBA+NCBE

/.ZCBE=148°-90°=58°

QBE",懸臂CD也與桌面平行

0BE//DC

.\ZBCD=ZCBE=58°

故答案為：58°

(2)解：過。作。石_1/與/交于E,過3作3尸_LCE與CE交于尸

MAE

圖2

團四邊形巫I為矩形

0Z2=9O°,EF=AB=18

0ZABC=148°

團Nl=58。

在RtACBF中ZCFB=90°

sinZl=—=0.85

CB

團CB=40

0CF=34

團CE=CF+EF=34+18=52

(3)解：過。作DN.LCE,DM=NE=30

^\CN=CE-NE=22

在RtADCTV中ZDCN=90°

小…CN1

cosZDCN==—

CD2

ZDCN=6Q°

0Z1=58°

0Z3=32°

0ZZ）CB=60°-32°=28°

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的實際應(yīng)用.作垂線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

3.（2023?江西吉安??？寄M預(yù)測）一抽紙紙筒被安裝在豎直墻面上，圖1是其側(cè)面示意圖，其中鉆

AB//CE//DF,AD//EF//BC,紙筒蓋CMP可以繞著點C旋轉(zhuǎn)，關(guān)閉時點尸與點尸重合，CM±PM,

AB=30cm,DF=6cm,CM=EF=7cm.

⑴若/3CN=150。，求紙筒蓋關(guān)閉時點尸運動的路徑長;

⑵如圖2,當一卷底面直徑為10cm的圓柱體紙巾恰好能放入紙筒內(nèi)時，求紙筒蓋要打開的最小角NPC尸的

1177

度數(shù).（參考數(shù)據(jù)：sinll.54°?—,cos78.46°?—,sinl6.26°?一,cos73.74°?一）

552525

【答案】⑴紙筒蓋關(guān)閉時點P運動的路徑長弓25萬cm

⑵紙筒蓋要打開的最小角NPCF的度數(shù)約為23.08°

【分析】(1)根據(jù)補角的定義及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知/PB=NMC"=30。，再利用勾股定理及弧長公式即可解

答;

(2)根據(jù)銳角三角函數(shù)及角的倍數(shù)關(guān)系即可解答.

【詳解】(1)解：如圖1,延長交于點連接CP、CF,

0ZBCM=150°,

回/MCH=30°,

回紙筒蓋CMP可以繞著點C旋轉(zhuǎn)，關(guān)閉時點P與點尸重合，CMA.PM,

回/PCF=ZMC"=30°,

團點P的運動軌跡是以點C為圓心，CP長為半徑的PF，

ECE=AB-Z)F=30-6=24cm,EF-7cm,

團在RtZXCEF中,

CF=y/CE2+EF2=7242+72=25(cm),

“廠30x%x2525(、

回PF=-------------二—乃(cm)；

1806v7

25

答：紙筒蓋關(guān)閉時點P運動的路徑長L?cm；

6

P

圖1

(2)解：如圖2,連接OC.

團CF=CP=25cm,OF=OP=5cm,

國/OCF=/OCP,CO.LFP.

0sinZOCP=—

CP255

0sinll.54°?1,

團NOCP比11.54。，

0ZPCF=2Z.OCP工23.08°,

答：紙筒蓋要打開的最小角/PCF的度數(shù)約為23.08°.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，補角的定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)

鍵.

4.（2023?河南南陽?校聯(lián)考三模）如圖1是某工廠生產(chǎn)的某種多功能兒童車，根據(jù)需要可變形為滑板車或三

輪車，圖2、圖3是其示意圖，已知前后車輪半徑相同，車桿A3的長為60c〃z,點。是A2的中點，前支撐

板DE=30cm,后支撐板EC=40cm,車桿A3與所成的N/RC=53。.

圖1圖2圖3

⑴如圖2,當支撐點E在水平線上時，支撐點E與前輪軸心8之間的距離助的長；

⑵如圖3,當座板DE與地面保持平行時，問變形前后兩軸心BC的長度有沒有發(fā)生變化？若不變，請通過

計算說明；若變化，請求出變化量.（參考數(shù)據(jù)：sin53°?4-,cos53°?3|,tan53°?4-）

【答案］⑴36g

⑵變化了，長度增加了4cm.

【分析】（1）如圖1,過點。作于點孔由題意知3D=DE=30cm,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得

到結(jié)論；

（2）如圖2,過點。作3c于過點E作EN_LBC于點N,由題意知四邊形。EM0是矩形，求得

MN=DE=30cm,解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：如圖1,過點。作。尸，歷于點R

由題意知BD=DE=30cm,

3

^\BF=BDcosZABC=30x-=18（cm）,BF=EF,

0BE=2BF=36（cm）.

（2）如圖2,過點。作于M,過點片作硒，3c于點N,

由題意知四邊形是矩形,

0MN=DE=30cm,

在RtA。創(chuàng)1中，

34

BM=BDcosZABC=30x二=18(cm),EN=DM=BDsinZABC=30x=24(cm),

在Rt“W中，CE=40cm,

回由勾股定理可得CN=yJCE2-EN2=A/402-242=32(cm),

則3C=18+30+32=80(cm),

原來3c=36+40=76(cm),

80-76=4(cm),

回變形前后兩軸心BC的長度增加了4cm.

【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合題意構(gòu)建出合適的直角三角形，并熟練掌

握三角函數(shù)的應(yīng)用.

5.（2023春?浙江嘉興?九年級?？茧A段練習(xí)）某種落地燈如圖1所示，A3為立桿，其高為84cm；BC為支

桿，它可繞點8旋轉(zhuǎn)，其中3C長為54cm；OE為懸桿，滑動懸桿可調(diào)節(jié)CZ）的長度.支桿3C與懸桿DE

之間的夾角N3C￡＞為60。.

⑴如圖2,當支桿8C與地面垂直，且8的長為50cm時，求燈泡懸掛點。距離地面的高度；

⑵在圖2所示的狀態(tài)下，將支桿BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)20。，同時調(diào)節(jié)CD的長（如圖3）,此時測得燈泡懸

掛點。到地面的距離為90cm,求CD的長.(結(jié)果精確到1cm,參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.34,cos20°?0.94,

tan20°?0.36,sin40°?0.64,cos40°0.77,tan40°~0.84)

【答案】⑴燈泡懸掛點。距離地面的高度為113cm

(2)CD的長為58cm

【分析】(1)利用銳角三角函數(shù)可求CP的長，即可求解；

(2)由銳角三角函數(shù)可求CN的長，由線段和差關(guān)系可求的長，CM的長，由銳角三角函數(shù)可求8的

長.

【詳解】(1)過點。作。尸±BC于F,

卜，

B

A—

圖2

^\ZFCD=60°,NCFD=90。,

團FC=CDxcos60°=50xg=25(cm),

^\FA=AB+BC-CF=84+54-25=113(cm),

答：燈泡懸掛點。距離地面的高度為113cm；

(2)如圖3