橢圓與方程講義-2025屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

模塊3橢圓與方程

§第1節(jié)橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)

一、內(nèi)容提要

1.橢圓定義：設(shè)Fi,Fz是平面上的兩個定點，若平面內(nèi)的點P滿足|PFi|+|PF2|=2a(2a>|

F1F2I),則點P的軌跡是以Fi,Fz為焦點的橢圓.

2.橢圓的簡單幾何性質(zhì)：

x2y2y2x2

標(biāo)準(zhǔn)方程/+亞=l(a>b>0)亞+亞=l(a>b>0)

焦點坐標(biāo)FI(-C,0),F2(C,0)F/0,c),F2(0,—c)

焦距IF1F2I=2c,且c2=a2-b2

4

4

圖形X

片。B2

Bz

4

范圍-aWxWa,-bWyWb-bWxWb,-aWyWa

對稱性關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

左、右頂點：A^-a,0),A2(a,0)左、右頂點：BiC-b,0),B2(b,0)

頂點坐標(biāo)

上、下頂點：Bi(0,b),B〃0,—b)上、下頂點：Ai(0,a),A2(0,-a)

長軸長IA1A2I=2a,其中a叫做長半軸長

短軸長出出2|=2b,其中b叫做短半軸長

C

e=-(0<e<1)

離心率a

3.通徑：過橢圓焦點且垂直于長軸的弦叫做通徑(如圖中的兩條藍(lán)色線段)，其長度為十.

二、考點題型

類型I：橢圓定義的運用

【例1】橢圓?+?=1的焦點為Fi，F(xiàn)z，點P在橢圓上，若|PF/=4,則|PF2|=

,F1PF2的大小為:APF1F2的周長為:若延長P0交橢

圓于Q,則|PFi|+|FiQ|=

【變式1】已知Fi,Fz是橢圓C：3+3=1的兩個焦點，點M在C上，則IMF1HMF2I的最大值

為（）

A.13B.12C.9D.6

【反思】涉及橢圓上的點到兩焦點距離的問題，可優(yōu)先往橢圓定義上思考.

【變式2】已知橢圓C：3+9=l的左、右焦點分別為F3F2,A（1,2）,P為橢圓C上的動點，則

|PA|-|PFi|的最小值為.

【反思】涉及橢圓上的點到一個焦點的距離的最值問題，若不易直接求解，則可考慮用橢圓定義,

轉(zhuǎn)化到另一個焦點去分析.

類型n：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)

［例2］橢圓中心在原點,焦點在x軸上,離心率e=押過點（2但⑹，則橢圓的方程為.

【變式1］若方程X?+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓,則實數(shù)k的取值范圍為.

【反思】對于橢圓，若焦點在x軸，則在其標(biāo)準(zhǔn)方程中，X?的分母大；若焦點在y軸，則y2的

分母大.

【變式2】已知橢圓口馬+息=1白>13>0）的離心率"Ai,Az分別為C左、右頂點，B為C

azbz3

的上頂點，若西?限=-1,則C的方程為（）

A.@+片=1B.^+^=lC.^+^=lD.y+y2=1

18169832

§第2節(jié)橢圓的焦點三角形相關(guān)問題

一、內(nèi)容提要

橢圓上一點與兩焦點形成的三角形稱為焦點三角形，焦點三角形問題常用橢圓的定義求解，

但除定義外，可能還需結(jié)合圖形（如等腰、等邊、直角三角形，矩形，平行四邊形等）的幾何性

質(zhì)才能求解問題，因此本節(jié)將歸納高考中橢圓常見的圖形和幾何條件的處理思路.

二、考點題型

類型I:焦點三角形中的特殊圖形

【例1】設(shè)F1,F2為橢圓?+?=1的兩個焦點，P為橢圓上一點，△PF』2為直角三角形，且I

PF1I>|PF2|,貝I］霜的值為.

【反思】解析幾何小題中對直角的常見翻譯方法有：①勾股定理；②斜率之積為-1;③向量數(shù)

量積等于0；④斜邊上的中線等于斜邊的一半等.選擇合適的方法前應(yīng)先預(yù)判計算量.

【變式】已知橢圓C:\+《=l（a>b>0）的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,P為橢圓C上一點，0

為原點，若（同一而）?（呵+而）=0,且|PFj=2|PF2|,則橢圓C的離心率為.

【反思】橢圓焦點三角形已知（或可求得）三邊比值求離心率，用公式e=來算.

IPF1+IPF2I

【例2】已知Fi,Fz為橢圓C:黃+。=1的兩個焦點，過原點的直線交橢圓C于P,Q兩點，且|

164

PQ|=|FiFz|,則四邊形PFiQFz的面積為.

【反思】當(dāng)題目出現(xiàn)過原點的直線與橢圓交于P,Q兩點時，就隱含了四邊形PFQF2是平行四邊

形，若還滿足對角線長度相等或某個頂角為90。，則為矩形.

類型II:定義與中點相關(guān)

【例3】已知點T(2近，—2)在橢圓E。+"=l(a>b>0)上，點M與橢圓E的焦點不重合，

點M關(guān)于橢圓E的左、右焦點的對稱點分別為A和B,若線段MN的中點P總在橢圓E上，且|AN

|+|BN|=16,則橢圓E的離心率為.

【反思】若條件中出現(xiàn)中點，尤其是涉及多個中點時，可考慮應(yīng)用中位線的性質(zhì).

【變式】已知點P在橢圓馬+言=l(a>b>0)上，F(xiàn)i是橢圓的左焦點，線段PF1的中點在圓

azbz

X2+y2=a2-b2±,記直線PF1的斜率為k,若k=g,則橢圓的離心率為()

A.V2-1B.—C.—D.-

222

【反思】中點除了可用于構(gòu)造中位線之外，利用中線垂直于底邊反推等腰三角形也是一種用法.

類型m：定義與解三角形相關(guān)

【例4］已知橢圓C:\+、=l(a>b>0)的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,P為C上的一點，且

NF1PF2=60°,|PFi|=3|PF2|,則橢圓C的離心率為()

【變式】已知Fi,Fz為橢圓1+3=l(a>b>0)的左、右焦點，橢圓的離心率為M為橢圓

azbz2

上的一動點，貝吐F1MF2的最大值為()

A5

【總結(jié)】①橢圓中涉及角度，常用余弦定理處理;②最大張角結(jié)論：當(dāng)M在橢圓上運動時,

NF1MF2的最大值必定在短軸端點處取得.

類型IV：定義與綜合幾何性質(zhì)

【例5】已知橢圓C的焦點為網(wǎng)(一1，0),F2(l-0),過F2的直線與C交于A,B兩點，若IAF2I=2|

FzB|,|AB|=|BFi|廁C的方程為()

A.日+y2=iB.^+^=lC.^+^=lD.^+^=l

2)324354

【反思】當(dāng)解析幾何中出現(xiàn)共線線段比例式的時候，可以考慮利用相似化斜邊比例為直角邊比例.

【例6】橢圓C:9+?=l的左、右焦點分別為Fi，F(xiàn)2,過￡作傾斜角為三的直線交橢圓于點M

(M在x軸上方)，連接MF?,再作NF1MF2的角平分線/,點Fz在/上的投影為點N,0為原點，則

0N1=()

A.1B.—C.—D.l

222

【反思】遇到角平分線+垂線的情況，可考慮構(gòu)造等腰三角形，這種輔助線不常見，但可以留個

印象.

【例7】若P是橢圓三+馬=1上一點，F(xiàn)i，F(xiàn)z是橢圓的兩個焦點，且APFiFz的內(nèi)切圓半徑為

2516

1,當(dāng)P在第一象限時，點P的縱坐標(biāo)為.

【反思】解析幾何中涉及內(nèi)切圓，常見的思考方向有：①用公式S=/Lr進(jìn)行面積與半徑的轉(zhuǎn)化,

此公式的推導(dǎo)如圖bSAABC=SAIAB+SAIAC+SAIBc=||AB|-r+||AC|-r+||BC|-r=|(|AB

|+|AC|+|BC|)r=|Lr;②切線長對應(yīng)相等，如圖1中|AM|

=|AN|;③用角平分線性質(zhì)定理，如圖2,由BI和CI分別為

圖1

NKBA和ZKCA的平分線矢口瞿=償=鑒.

|1K||t$K||CK|

§第3節(jié)橢圓中的設(shè)點設(shè)線方法

一、內(nèi)容提要

1.若點P在橢圓C:胃+胃=l（a>b>0）上運動，由此而產(chǎn)生的求最值（求范圍）問題，設(shè)

動點P的坐標(biāo)并用它表示求最值的目標(biāo)量是常用解法之一，動點P的設(shè)法主要有兩種：

①設(shè)P（x。，y。）用該坐標(biāo)表示的目標(biāo)量往往有x。和y。兩個變量,可利用P在橢圓上即J+g=1

來消元化單變量函數(shù)分析最值（范圍）.

（-=COS0

②利用cos?。+sin20=1進(jìn)行二角換元，可令"，則[y需,于是可設(shè)P（acos0,bsinO）,

7=sine

將求最值的目標(biāo)量表示成關(guān)于6的三角函數(shù)，再分析最值（范圍）.

2.設(shè)直線/與橢圓C交于A、B兩點，由此產(chǎn)生的諸多問題中，需要將直線/與橢圓C的方程聯(lián)

立，但聯(lián)立后我們往往不去解方程組，求交點A,B的坐標(biāo)，而是消去y（或x）整理得出關(guān)于x

（或y）的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理來計算一些目標(biāo)量，如數(shù)量積、弦長、面積等.

二、考點題型

類型I：設(shè)點求最值方法

【例1】已知橢圓3+x2=l（a>1）的離心率e=等,P為橢圓上的一個動點,B（-l,0）,則|PB|的

最大值為（）

B.2C5D.3

2

【反思】橢圓上動點到定點的距離最值問題，常用兩種做法：①設(shè)動點P的坐標(biāo)為（xo,y0）,

利用橢圓方程消去目標(biāo)式中只含平方項的變量，再求最值；②將動點P設(shè)為三角形式，用函

數(shù)的方法求最值.

【變式】設(shè)B是橢圓喧+仁=l（a>b〉0）的上頂點，若C上的任意一點P都滿足|PB|<2b

，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）

A?目）c?（嗎D?（叫

【例2】已知Fi,Fz是橢圓E:f+言=1的兩個焦點，P是橢圓E上任意一點，則第?踮的取值

43

范圍是.

【反思】本題也可設(shè)三角形式的坐標(biāo)，請自行嘗試.

【例3】若點P在直線2:x+y+7=O上，點Q在橢圓C:'+?=1上，則|PQ|的最小值是.

【反思】①和例1、例2不同，本題若將Q的坐標(biāo)設(shè)為(x,y)4ijd=空滬，x和y都有一次項,

V2

利用橢圓方程消元不易，故而舍棄這種設(shè)法；②注意：有的題目條件較為隱蔽，要學(xué)會翻譯，例如

本題不給/的方程，換成給出P的坐標(biāo)為(m,-m-7),也要發(fā)現(xiàn)點P在直線/:x+y+7=0上.

【總結(jié)】從類型I的這些題可以看出，涉及與橢圓上的動點有關(guān)的量(如數(shù)量積、距離等)的最

值，都可設(shè)出動點坐標(biāo)求解，具體設(shè)為(X。，y。),還是三角形式的坐標(biāo),因題而異.

類型II：設(shè)點、設(shè)線翻譯條件

【例4】已知0為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C:\+、=l(a>b>0)的左焦點,A,B分別為C的左、

右頂點，P為C上一點，且PFLx軸，過點A的直線/與線段PF交于點M,與y軸交于點E.若

直線BM經(jīng)過0E的中點，則C的離心率為()

c-

B4,3

【反思】①對于某些條件，幾何方法不好翻譯時，我們可考慮設(shè)點、設(shè)線，用坐標(biāo)去翻譯已知條

件；②解析幾何中三點共線常用斜率相等來翻譯.

【例5】過點P(0,2)且斜率存在的直線/與橢圓片+《=1交于不同的A,B兩點，。為坐標(biāo)原

42

點，若/AOB為銳角，則直線/的斜率k的取值范圍是.

【反思】①涉及直線與橢圓交于A,B兩點，常設(shè)直線方程和交點坐標(biāo)，把直線與橢圓聯(lián)立消去

x或y,得到一個一元二次方程，但很多時候我們并不去解此方程，而是結(jié)合韋達(dá)定理來計算有

關(guān)的量，這種設(shè)而不求思想的應(yīng)用非常廣泛，更多具體的設(shè)點設(shè)線與計算思路我們將在“模塊

6：解析幾何大題”中，為大家展現(xiàn)；②在解析幾何中，ZAOB為銳角常翻譯成OA-OB>0,

NAOB為直角常翻譯成OA-OB=0/AOB為鈍角常翻譯成OA-OB<0,再代入坐標(biāo)運算，但需

考慮A,0,B共線的情形.

§第4節(jié)高考中橢圓常用的二級結(jié)論

一、內(nèi)容提要

解析幾何中存在無數(shù)的二級結(jié)論，本節(jié)篩選出了一些在高考中比較常用的橢圓二級結(jié)論，

記住這些結(jié)論可適當(dāng)縮短解題時間.

1.焦點三角形面積公式：如圖1,設(shè)P是橢圓\+\=1。>13>0）上一點，F(xiàn)I（—C，0）,F2（C，0）

分別是橢圓的左、右焦點，NF1PF2=。，則SAPFIF2=c|yP|

證明：一方面,APFiFz的邊F/2上的高h(yuǎn)=Kp],所以

S

APFiF2=IIF1F2I-h=Ix2cx|yP|=c|yp];另一方面,

圖1

記|PF/=m,|PF2|=n則由橢圓定義，m+n=2a①,

2

在APF1F2中，由余弦定理，IF1F2F=[PF/+|PF2|-2|PF/?|PFz|?cos2FiPF,

所以4c2=m2+n2-2mmcos0=(m+n)2—2mn—2mncos0=(m+n)2—2mn(l+cos0

）②，將式①代入式②可得：M=4a2-2mn（l+儂。）,所以mn=蕓篇=熹,

o.00

故SAPFFZ=|mnsine=|■總.sin。=b??焉*舞—吟

2.焦半徑公式：設(shè)橢圓\+、=l（a>b>0）的左、右焦點分別為點P（x（），yo）為橢圓上

任意一點，則左焦半徑|PFi|=a+ex。,右焦半徑|PFz|=a-ex。,其中e為橢圓的離心率.

證明：FK—e,0）,設(shè)P（Xo，y0）^J|PFi|=J（x（）+c）2+丫02①,因為點P在橢圓上，所以羽+

22222

符=1,故yo=b-撩x,,代入①得：|PF/=|PF/=Jx0+2cx0+c+b-^x0=

2

J（1一芻x（）2+2cx°+a2=+2cx0+a=］（洛+a）=|；x0+a|=|a+ex01,

因為0VeV1,-a<X。4a,所以a+ex0>0故|PF|=a+ex。;同理可證:BF】=a-ex。，

3.基于橢圓第三定義的斜率積結(jié)論：如圖2,設(shè)A,B分別是橢圓\+\=15>13>0）的左、

u2

右頂點，P是橢圓上不與A,B重合的任忌一點，則kPA-kPB=--.

注：上述結(jié)論中A,B是橢圓的左、右頂點，可將其推廣為橢圓上關(guān)于原點對稱的任意兩

點，如圖3,只要直線PA,PB的斜率都存在，就仍然滿足kpA-kpB=-捺,下面給出證明.

證明：設(shè)A（Xi，yD，P（X2，y2）4UB（—x］，—%）,所以kpA?kpB=注?鋁1=紜誓①，因為點

A在橢圓上,所以,+1=1,故y/=b2（l—,）=—］（x/_a2）,同理,yi=-g（x2-

a2）,所以y/jyg=T（x）-a?—xf+a2）=T（xAx。,代入①得:kpA?kpB=-捺;在上

述條件中令A(yù)（-a,0）,B（a,0）,即得內(nèi)容提要第3點的特殊情況下的結(jié)論.

4.中點弦斜率積結(jié)論：如圖4,AB是橢圓\+《=l（a>b>0）的一條不與坐標(biāo)軸垂直且不

過原點的弦，M為AB中點，則1<AB,koM=-？此結(jié)論可用下面的點差法來證明.

（直+追=1

證明：設(shè)人色1，％）田@2少2）衣1：7^2,丫1。丫2,，因為A,B都在橢圓上，所以\al,

漢+在=1

Va2Tb2工

兩式作差得：華+營=0,整理得：g.x=—號①，

azbzxi~x2xi+x2

注：中點弦結(jié)論和上面的第三定義斜率積結(jié)論的結(jié)果都是一號,這是巧合嗎？不是，兩者之

a2

間有必然的聯(lián)系.如上面圖5,設(shè)B'為B關(guān)于原點的對稱點，則B'也在該橢圓上，且0為BB'中

點，結(jié)合M為AB中點可得OM〃AB',所以1<AB-koM=1<AB,1<AB。于是又回到了橢圓上的點A與

橢圓上關(guān)于原點對稱的B和B'的連線的斜率積.

二、考點題型

類型I：焦點三角形面積

【例1】設(shè)Fl,是橢圓?+翁=l（0<b<2際的兩個焦點，點P在橢圓上，NF1PF2=6O。,且

△F1PF2的面積為竽則b=.

【變式】設(shè)Fi,F2是橢圓1+t=1的左、右焦點，P是橢圓在第一象限上的一點，且ZFPF=

4212

60°,則點P的坐標(biāo)為.

【反思】從上面兩道題可以看出，當(dāng)題干給出NF1PF2時，可用SAPFIFZ=b2tan1（其中0=

NF1PE2）來算焦點三角形的面積；由SAP%。=