2025高考數(shù)學考二輪專題復習-第八講-排列組合與二項式定理-專項訓練【含答案】

2025高考數(shù)學考二輪專題復習-第八講-排列組合與二項式定理-專項訓練一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對排列組合的考查，重點是特殊元素與特殊位置、兩元素相鄰或不相鄰、分組、分配等問題。題型一般與生活實際聯(lián)系緊密。2.高考對二項式定理的考查，重點是二項展開基本定理考查特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等問題，同時會涉及到賦值法的應用。排列組合2023·新高考Ⅰ卷，132022·新高考Ⅱ卷，52023·新高考Ⅱ卷，32024·新高考Ⅱ卷，14二項式定理2022·新高考Ⅰ卷，13二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會體現(xiàn)出來。Ⅱ卷考查了通過列舉來確定所有可能結(jié)果，其實Ⅰ卷的題目也可以采用列舉法，這兩題考查的方向偏向于與實際生活聯(lián)系在一起；其中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓軸題。預計2025年高考還是主要考查排列組合的應用，題型多變。三：試題精講一、填空題1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·13）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．4．（2023新高考Ⅰ卷·13）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．知識點總結(jié)一、排列與排列數(shù)1、定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．2、排列數(shù)的公式：．特例：當時，；規(guī)定：．3、排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．二、組合與組合數(shù)1、定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．2、組合數(shù)公式及其推導求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．4、組合應用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型三、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．四、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題1、二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，2、二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）．3、兩個常用的二項展開式：①（）②4、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．五、二項式展開式中的最值問題1、二項式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．2、系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來．六、二項式展開式中系數(shù)和有關問題常用賦值舉例：1、設，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．2、若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結(jié)果．【排列組合常用結(jié)論】一、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．二、常見排列組合類型及解法1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．名校模擬練一、單選題1．（2024·重慶·三模）重慶某高校去年招收學生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學校為了解學生的飲食習慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）A． B． C． D．2．（2024·北京·三模）已知的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（

）A． B．240 C．60 D．3．（2024·陜西·三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦方設定了三種不同的票價分別對應球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種4．（2024·四川成都·三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學生的全面發(fā)展，對學生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學校和兩所大學，其中高中教育學校有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學校代表去交流發(fā)言的概率為（

）A． B． C． D．5．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（

）A． B． C． D．6．（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B．30 C．25 D．407．（2024·新疆·三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主為領略五大古都之美，決定用兩個月的時間游覽完五大古都，且每個月只游覽五大古都中的兩個或三個（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為（

）A． B． C． D．8．（2024·北京·三模）在的展開式中，項的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．1449．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請參加同一個時間段的兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種10．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．33611．（2024·浙江紹興·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（

）A．0 B．1 C．2 D．412．（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0二、多選題13．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128B．二項式系數(shù)最大的項為第5項C．有理項共有兩項D．所有項的系數(shù)的和為14．（2024·江西南昌·三模）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．15．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是1三、填空題16．（2024·山東煙臺·三模）展開式的中間一項的系數(shù)為.17．（2024·安徽合肥·三模）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十八號航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有．18．（2024·福建福州·三模）的展開式中常數(shù)項為．19．（2024·新疆喀什·三模）小明設置六位數(shù)字的手機密碼時，計劃將的前6位數(shù)字3，1，4，1，5，9進行某種排列得到密碼．若排列時要求相同數(shù)字不相鄰，且相同數(shù)字之間一個數(shù)字，則小明可以設置的不同密碼種數(shù)為．20．（2024·河北衡水·三模）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）21．（2024·河南·三模）若的展開式中存在常數(shù)項，則的值可以是（寫出一個值即可）22．（2024·上海閔行·三模）某羽毛球俱樂部，安排男女選手各6名參加三場雙打表演賽（一場為男雙，一場為女雙，一場為男女混雙），每名選手只參加1場表演賽，則所有不同的安排方法有種.23．（2024·上?！と＃?024年重慶市高考數(shù)學科目采用新試卷結(jié)構(gòu)，我校高三年級將對來自三個班級的9名學生（每個班級3名學生）做一項圍繞適應新試卷結(jié)構(gòu)的調(diào)研，并再抽選其中的若干名學生做訪談，要求每個班級至少有一名學生被抽中，且任意兩個班級被抽中的學生人數(shù)之和至多為3，則不同的抽選方法數(shù)為.24．（2024·江西九江·三模）某兒童游樂場有一臺打地鼠游戲機，共有9個洞.游戲開始后，每次有且僅有一只地鼠從某洞中冒出，地鼠第1次從1號洞冒出來.假設游戲過程中地鼠從上一個洞繼續(xù)冒出的概率為，從其它洞冒出的可能性相等，則地鼠第3次從1號洞冒出的概率是.假設游戲結(jié)束時，地鼠一共冒出次，則地鼠從1號洞冒出的次數(shù)期望值為參考答案與詳細解析一：考情分析命題解讀考向考查統(tǒng)計1.高考對排列組合的考查，重點是特殊元素與特殊位置、兩元素相鄰或不相鄰、分組、分配等問題。題型一般與生活實際聯(lián)系緊密。2.高考對二項式定理的考查，重點是二項展開基本定理考查特定項、特定項的系數(shù)、二項式系數(shù)等問題，同時會涉及到賦值法的應用。排列組合2023·新高考Ⅰ卷，132022·新高考Ⅱ卷，52023·新高考Ⅱ卷，32024·新高考Ⅱ卷，14二項式定理2022·新高考Ⅰ卷，13二：2024高考命題分析2024年高考新高考Ⅰ卷的排列組合是體現(xiàn)在概率中的，后續(xù)專題會體現(xiàn)出來。Ⅱ卷考查了通過列舉來確定所有可能結(jié)果，其實Ⅰ卷的題目也可以采用列舉法，這兩題考查的方向偏向于與實際生活聯(lián)系在一起；其中邏輯推理能力比較重要，而且都是壓軸題。預計2025年高考還是主要考查排列組合的應用，題型多變。三：試題精講一、填空題1．（2024新高考Ⅱ卷·14）在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．【答案】24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果，即可求解.【詳解】由題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數(shù)字，則所有的可能結(jié)果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數(shù)之和最大，為.故答案為：24；112【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選，利用列舉法寫出所有的可能結(jié)果.高考真題練一、單選題1．（2022新高考Ⅱ卷·5）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計數(shù)原理即可得解【詳解】因為丙丁要在一起，先把丙丁捆綁，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學共有：種不同的排列方式，故選：B2．（2023新高考Ⅱ卷·3）某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.二、填空題3．（2022新高考Ⅰ卷·13）的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項式展開式的通項公式求解.【詳解】因為，所以的展開式中含的項為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-284．（2023新高考Ⅰ卷·13）某學校開設了4門體育類選修課和4門藝術類選修課，學生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64【分析】分類討論選修2門或3門課，對選修3門，再討論具體選修課的分配，結(jié)合組合數(shù)運算求解.【詳解】（1）當從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.知識點總結(jié)一、排列與排列數(shù)1、定義：從個不同元素中取出個元素排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．從個不同元素中取出個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，用符號表示．2、排列數(shù)的公式：．特例：當時，；規(guī)定：．3、排列數(shù)的性質(zhì)：①；②；③．二、組合與組合數(shù)1、定義：從個不同元素中取出個元素并成一組，叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合．從個不同元素中取出個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從個不同元素中取出個元素的組合數(shù)，用符號表示．2、組合數(shù)公式及其推導求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù)，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)；第二步，求每一個組合中個元素的全排列數(shù)；根據(jù)分步計數(shù)原理，得到；因此．這里，，且，這個公式叫做組合數(shù)公式．因為，所以組合數(shù)公式還可表示為：．特例：．注意：組合數(shù)公式的推導方法是一種重要的解題方法！在以后學習排列組合的混合問題時，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式常用于具體數(shù)字計算，常用于含字母算式的化簡或證明．3、組合數(shù)的主要性質(zhì)：①；②．4、組合應用題的常見題型：=1\*GB3①“含有”或“不含有”某些元素的組合題型=2\*GB3②“至少”或“最多”含有幾個元素的題型三、排列和組合的區(qū)別組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．注意：排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎上對入選的元素進行排隊，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．四、二項式展開式的特定項、特定項的系數(shù)問題1、二項式定理一般地，對于任意正整數(shù)，都有：，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式．式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，2、二項式的展開式的特點：①項數(shù)：共有項，比二項式的次數(shù)大1；②二項式系數(shù)：第項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；③次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)．字母降冪排列，次數(shù)由到；字母升冪排列，次數(shù)從到，每一項中，，次數(shù)和均為；④項的系數(shù)：二項式系數(shù)依次是，項的系數(shù)是與的系數(shù)（包括二項式系數(shù)）．3、兩個常用的二項展開式：①（）②4、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：公式特點：①它表示二項展開式的第項，該項的二項式系數(shù)是；②字母的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；③與的次數(shù)之和為．注意：①二項式的二項展開式的第r+1項和的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應用二項式定理時，其中的和是不能隨便交換位置的．②通項是針對在這個標準形式下而言的，如的二項展開式的通項是（只需把看成代入二項式定理）．五、二項式展開式中的最值問題1、二項式系數(shù)的性質(zhì)=1\*GB3①每一行兩端都是，即；其余每個數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)的和，即．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即．=3\*GB3③二項式系數(shù)和令，則二項式系數(shù)的和為，變形式．=4\*GB3④奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)和在二項式定理中，令，則，從而得到：．=5\*GB3⑤最大值：如果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則中間一項的二項式系數(shù)最大；如果二項式的冪指數(shù)是奇數(shù)，則中間兩項，的二項式系數(shù)，相等且最大．2、系數(shù)的最大項求展開式中最大的項，一般采用待定系數(shù)法．設展開式中各項系數(shù)分別為，設第項系數(shù)最大，應有，從而解出來．六、二項式展開式中系數(shù)和有關問題常用賦值舉例：1、設，二項式定理是一個恒等式，即對，的一切值都成立，我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取，的值．①令，可得：②令，可得：，即：（假設為偶數(shù)），再結(jié)合①可得：．2、若，則①常數(shù)項：令，得．②各項系數(shù)和：令，得．③奇數(shù)項的系數(shù)和與偶數(shù)項的系數(shù)和（i）當為偶數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為偶數(shù)，奇數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）（ii）當為奇數(shù)時，奇數(shù)項的系數(shù)和為；偶數(shù)項的系數(shù)和為．（可簡記為：為奇數(shù)，偶數(shù)項的系數(shù)和用“中點公式”，奇偶交錯搭配）若，同理可得．注意：常見的賦值為令，或，然后通過加減運算即可得到相應的結(jié)果．【排列組合常用結(jié)論】一、解決排列組合綜合問題的一般過程1、認真審題，確定要做什么事；2、確定怎樣做才能完成這件事，即采取分步還是分類或是分步與分類同時進行，弄清楚分多少類及多少步；3、確定每一步或每一類是排列（有序）問題還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素；4、解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．二、常見排列組合類型及解法1、如圖，在圓中，將圓分等份得到個區(qū)域，，，，，現(xiàn)取種顏色對這個區(qū)域涂色，要求每相鄰的兩個區(qū)域涂不同的兩種顏色，則涂色的方案有種．2、錯位排列公式3、數(shù)字排列問題的解題原則、常用方法及注意事項（1）解題原則：排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子不排某些元素，解決該類排列問題的方法主要是按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先滿足特殊位子，若一個位子安排的元素影響到另一個位子的元素個數(shù)時，應分類討論．4、定位、定元的排列問題，一般都是對某個或某些元素加以限制，被限制的元素通常稱為特殊元素，被限制的位置稱為特殊位置．這一類問題通常以三種途徑考慮：（1）以元素為主考慮，這時，一般先解決特殊元素的排法問題，即先滿足特殊元素，再安排其他元素；（2）以位置為主考慮，這時，一般先解決特殊位置的排法問題，即先滿足特殊位置，再考慮其他位置；（3）用間接法解題，先不考慮限制條件，計算出排列總數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)．5、解決相鄰問題的方法是“捆綁法”，其模型為將n個不同元素排成一排，其中某k個元素排在相鄰位置上，求不同排法種數(shù)的方法是：先將這k個元素“捆綁在一起”，看成一個整體，當作一個元素同其他元素一起排列，共有種排法；然后再將“捆綁”在一起的元素“內(nèi)部”進行排列，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有種．6、解決不相鄰問題的方法為“插空法”，其模型為將個不同元素排成一排，其中某個元素互不相鄰（），求不同排法種數(shù)的方法是：先將（）個元素排成一排，共有種排法；然后把個元素插入個空隙中，共有種排法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，符合條件的排法共有·種．名校模擬練一、單選題1．（2024·重慶·三模）重慶某高校去年招收學生來自成渝地區(qū)2400人，除成渝外的西部地區(qū)2000人，中部地區(qū)1400人，東部地區(qū)1800人，港澳臺地區(qū)400人.學校為了解學生的飲食習慣，擬選取40人作樣本調(diào)研，為保證調(diào)研結(jié)果的代表性，則從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的性質(zhì)計算即可?！驹斀狻繛楸ＷC調(diào)研結(jié)果的代表性，設從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中抽取n人，則，解得，即從該校去年招收的成渝地區(qū)學生中不同的抽樣結(jié)果種數(shù)為故選：C2．（2024·北京·三模）已知的二項式系數(shù)之和為64，則其展開式的常數(shù)項為（

）A． B．240 C．60 D．【答案】B【分析】根據(jù)二項式系數(shù)之和可得，結(jié)合二項展開式分析求解.【詳解】由題意可知：二項式系數(shù)之和為，可得，其展開式的通項為，令，解得，所以其展開式的常數(shù)項為.故選：B.3．（2024·陜西·三模）2024年中國足球乙級聯(lián)賽陜西聯(lián)合的主場火爆，一票難求，主辦方設定了三種不同的票價分別對應球場三個不同的區(qū)域，五位球迷相約看球賽，則五人中恰有三人在同一區(qū)域的不同座位方式共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【分析】依題意，先將在同一區(qū)域的三個人選出并選定區(qū)域，再對余下的兩人分別在其它兩個區(qū)域進行選擇，由分步乘法計數(shù)原理即得.【詳解】要使五人中恰有三人在同一區(qū)域，可以分成三步完成：第一步，先從五人中任選三人，有種方法；第二步再選這三人所在的區(qū)域，有種方法；第三步，將另外兩人從余下的兩個區(qū)域里任選，有種方法.由分步乘法計數(shù)原理，共有種方法.故選:C.4．（2024·四川成都·三模）成實外教育集團自2000年成立以來，一直行走在民辦教育的前端，致力于學生的全面發(fā)展，對學生的教育視為終身己任，在教育事業(yè)上砥礪前行，永不止步.截至目前，集團已開辦29所K-12學校和兩所大學，其中高中教育學校有11所.集團擬召開綜合考評會.經(jīng)考評后，11所學校得分互不相同，現(xiàn)從中任選3所學校的代表交流發(fā)言，則排名為第一名或第五名的學校代表去交流發(fā)言的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概率結(jié)合組合數(shù)的計算求解即可.【詳解】從11所學校中任選3所學校共有種選法.其中排名為第一名或第五名的學校，可以分為三種情況：第一類：只含有排名為第一名的學校的有種選法；第二類：只含有排名為第五名的學校的有種選法；第三類：同時含有第一名和第五名學校的有種選法；共種選法.根據(jù)概率公式可得.故選：D.5．（2024·重慶九龍坡·三模）用1，2，3，4，5，6這六個數(shù)組成無重復數(shù)字的六位數(shù)，則在數(shù)字1，3相鄰的條件下，數(shù)字2，4，6也相鄰的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)個數(shù)以及數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即可求得答案.【詳解】設“數(shù)字1，3相鄰”，設“數(shù)字2，4，6相鄰”，則數(shù)字1，3相鄰時的六位數(shù)有個，數(shù)字1，3相鄰，數(shù)字2，4，6也相鄰的六位數(shù)的個數(shù)為，則.故選：A.6．（2024·新疆喀什·三模）展開式中，的系數(shù)為（

）A．20 B．30 C．25 D．40【答案】B【分析】分不含項和含有一個項兩種情況求解．【詳解】展開式中，的項為，則的系數(shù)為30．故選：．7．（2024·新疆·三模）西安、洛陽、北京、南京和開封并稱中國的五大古都.某旅游博主為領略五大古都之美，決定用兩個月的時間游覽完五大古都，且每個月只游覽五大古都中的兩個或三個（五大古都只游覽一次），則恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出事件的總數(shù)以及目標事件的數(shù)量，再用古典概型計算即可..【詳解】將古都分成2個、3個兩組，再在兩個月安排旅游順序，故事件總數(shù)為，分2個古都組中含西安、洛陽，或3個古都組中含西安、洛陽，故恰好在同一個月游覽西安和洛陽的事件數(shù)為：，所以恰好在同一個月游覽西安和洛陽的概率為：故選：B8．（2024·北京·三模）在的展開式中，項的系數(shù)為（

）A． B． C．16 D．144【答案】C【分析】寫出的展開式通項，即可列式求解.【詳解】，其展開式通項公式為，，所以所求項的系數(shù)為，故選：C．9．（2024·河北秦皇島·三模）三人被邀請參加同一個時間段的兩個晚會，若兩個晚會都必須有人去，去幾人自行決定，且每人最多參加一個晚會，則不同的去法有（

）A．8種 B．12種 C．16種 D．24種【答案】B【分析】根據(jù)參加晚會的人數(shù)分類討論，利用排列組合數(shù)求解即可.【詳解】第一種情況，只有兩人參加晚會，有種去法；第二種情況，三人參加晚會，有種去法，共12種去法.故選：B10．（2024·安徽蕪湖·三模）已知A、B、C、D、E、F六個人站成一排，要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的排法共有（

）種A．186 B．264 C．284 D．336【答案】D【分析】先考慮A和B不相鄰的排法，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，相減后得到答案.【詳解】先考慮A和B不相鄰的排法，將C、D、E、F四個人進行全排列，有種情況，C、D、E、F四個人之間共有5個空，選擇2個排A和B，有種情況，故有種選擇，再考慮A和B不相鄰，且C站兩端的情況，先從兩端選擇一個位置安排C，有種情況，再將D、E、F三個人進行全排列，有種情況最后D、E、F三個人之間共有4個空，選擇2個排A和B，有種情況，故有種情況，則要求A和B不相鄰，C不站兩端，則不同的安排有種情況.故選：D11．（2024·浙江紹興·三模）在的展開式中，含項的系數(shù)是10，則（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】在的展開式中含的項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項，則可得出答案.【詳解】根據(jù)二項展開式可知含項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)項即可寫出含的項；所以含的項是，可得；即可得.故選：C12．（2024·湖北荊州·三模）已知，則被3除的余數(shù)為（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】先對二項展開式中的進行賦值，得出，再將看作進行展開，再利用二項展開式特點分析即得.【詳解】令，得，令，得，兩式相減，，因為，其中被3整除，所以被3除的余數(shù)為1，綜上，能被3整除．故選：D.二、多選題13．（2024·山西臨汾·三模）在的展開式中（

）A．所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為128B．二項式系數(shù)最大的項為第5項C．有理項共有兩項D．所有項的系數(shù)的和為【答案】AB【分析】先求出二項式系數(shù)和，奇數(shù)項二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項二項式系數(shù)和，即可確定A；二項式系數(shù)的最大項，即為中間項，可確定B；整理出通項公式，再對賦值，即可確定C；令，可求出所有項的系數(shù)的和，從而確定D.【詳解】對于A,二項式系數(shù)和為，則所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為，故A正確；對于B,二項式系數(shù)最大為，則二項式系數(shù)最大的項為第5項，故B正確；對于C,，為有理項，可取的值為，所以有理項共有三項，故C錯誤；對于D,令，則所有項系數(shù)和為，故D錯誤.故選：AB.14．（2024·江西南昌·三模）已知的展開式中二項式系數(shù)的最大值與的展開式中的系數(shù)相等，則實數(shù)a的值可能為（）A． B． C． D．【答案】AB【分析】先計算出的展開式中二項式系數(shù)最大值，根據(jù)二項式定理得到展開式的通項公式，從而得到方程，求出.【詳解】的展開式中二項式系數(shù)最大值為，的展開式通項公式為，令得，，故展開式中的系數(shù)為，故，解得.故選：AB15．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，則（

）A． B．展開式中，二項式系數(shù)的最大值為C． D．的個位數(shù)字是1【答案】BD【分析】對于A：根據(jù)二項展開式分析求解；對于B：根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)分析求解；對于C：利用賦值法，令、即可得結(jié)果；對于D：因為，結(jié)合二項展開式分析求解.【詳解】對于選項A：的展開式的通項為，令，可得，所以，故A錯誤；對于選項B：因為為偶數(shù)，可知二項式系數(shù)的最大值為，故B正確；對于選項C：令，可得；令，可得；所以，故C錯誤；對于選項D：因為，且的展開式的通項為，可知當，均為20的倍數(shù)，即個位數(shù)為0，當時，，所以的個位數(shù)字是1，故D正確；故選：BD.三、填空題16．（2024·山東煙臺·三模）展開式的中間一項的系數(shù)為.【答案】【分析】中間一項是第4項，結(jié)合二項展開式的系數(shù)的計算公式即可求解.【詳解】因為展開式共有7項，它的中間一項是第4項，所以展開式的中間一項的系數(shù)為.故答案為：.17．（2024·安徽合肥·三模）北京時間2024年4月26日5時04分，神舟十七號航天員乘組（湯洪波，唐勝杰，江新林3人）順利打開“家門”，歡迎遠道而來的神舟十八號航天員乘組（葉光富、李聰、李廣蘇3人）入駐“天宮”．隨后，兩個航天員乘組拍下“全家?！?，共同向全國人民報平安．若這6名航天員站成一排合影留念，葉光富不站最左邊，湯洪波不站最右邊，則不同的排法有．【答案】504【分析】本題考查排列中分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.根據(jù)題目要求，分兩類進行討論，第一類葉光富在最右側(cè)，第二類葉光富不在最右側(cè).然后根據(jù)分類加法計數(shù)原理相加即可得到答案.【詳解】根據(jù)葉光富不站最左邊，可以分為兩種情況：第一種情況：葉光富站在最右邊，此時剩余的5人可以進行全排列，共有種排法.第二種情況：葉光富不站在最右邊，根據(jù)題目條件葉光富不站最左邊，此時葉光富有4種站法.根據(jù)題目條件湯洪波不站在最右邊，可知楊洪波只有4種站法.剩余的4人進行全排列,共有種排法，由分類加法計數(shù)原理可知，總共有種