專題48-橢圓、雙曲線、拋物線(知識梳理)(文)(解析版)

專題48橢圓、雙曲線、拋物線（知識梳理）一、橢圓(一)橢圓的基本定義和方程1、橢圓的定義：設(shè)、是定點(diǎn)，為動點(diǎn)，則滿足(為定值且)的動點(diǎn)的軌跡稱為橢圓，符號表示：()。注意：當(dāng)時為線段，當(dāng)時無軌跡。2、橢圓的方程及圖像性質(zhì)定義方程標(biāo)準(zhǔn)方程()()一般方程(，，)推導(dǎo)方程()()范圍，，圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在軸上，對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點(diǎn)(這個對稱中心稱為橢圓的中心)頂點(diǎn)、、、、、、軸長軸的長為：(為長半軸)短軸的長為：(為短半軸)離心率橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，，越大越扁，越小越圓焦距：3、橢圓()的圖像中線段的幾何特征(如圖)：(1)，，；(2)，，；(3)，。例1-1．判斷：(1)到平面內(nèi)兩個定點(diǎn)的距離之和等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。(×)(2)在橢圓定義中，將“大于”改為“等于”的常數(shù)，其它條件不變，點(diǎn)的軌跡為線段。(√)(3)到兩定點(diǎn)和的距離之和為的點(diǎn)的軌跡為橢圓。(×)例1-2．橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦距為；橢圓的焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為?！敬鸢浮亢汀窘馕觥坑煽膳袛鄼E圓的焦點(diǎn)在軸上，由，可得，故其焦距為，由，可判斷橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，焦點(diǎn)坐標(biāo)為和。例1-3．已知橢圓的一個焦點(diǎn)為，則的值為()。A、B、C、D、【答案】D【解析】方程變形為，∵焦點(diǎn)在軸上，∴，解得，又，∴，解得則，故選D。例1-4．方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是?！敬鸢浮俊窘馕觥?，，，解得。(二)橢圓中的焦點(diǎn)三角形：若、是橢圓()的兩個焦點(diǎn)，為橢圓上一動點(diǎn)，則稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，其周長為。1、相關(guān)性質(zhì)：(1)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)逆時針運(yùn)動時，由銳角逐漸增大，到達(dá)點(diǎn)時達(dá)到最大，過了軸之后又逐漸減小。(2)設(shè)，則。(當(dāng)且僅當(dāng)動點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時取等號)(3)設(shè)，則焦點(diǎn)三角形的面積。證明：設(shè)，，由余弦定理得，由橢圓定義得，帶入得，(最大值為)。(4)過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑(垂直于焦點(diǎn)的弦)最短，通徑為。(5)，最大值與最小值之差一定是。證明：的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，根據(jù)橢圓方程得，，當(dāng)時取最小值為，當(dāng)時取最大值為。2、解與焦點(diǎn)三角形(為橢圓上的點(diǎn))有關(guān)的計算問題(1)與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計算問題時，?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式相結(jié)合的方法進(jìn)行計算解題。(2)將有關(guān)線段、、，有關(guān)角()結(jié)合起來，建立和之間的關(guān)系。例1-5．已知、是橢圓的兩個焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，又點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴，∴，即，∴，即，又，∴，故選B。例1-6．橢圓的焦點(diǎn)為、，橢圓上的點(diǎn)滿足，則()。A、B、C、D、【答案】C【解析】由余弦定理：，又，代入化簡得，∴，故選C。例1-7．橢圓上一點(diǎn)滿足到左焦點(diǎn)的距離為，則的面積是?！敬鸢浮俊窘馕觥坑蓹E圓的定義得，∴，，∴，則。(三)直線與橢圓1、由方程組，消去導(dǎo)成()，判斷。方程組有兩解兩個交點(diǎn)相交方程組有一解一個交點(diǎn)相切方程組無解無交點(diǎn)相離2、過橢圓上點(diǎn)切線問題：若在橢圓()上，則過的橢圓的切線方程是。3、弦長公式：若直線與橢圓()的交點(diǎn)為、，則叫做弦長。(韋達(dá)定理)。說明：與分別是直線與曲線方程聯(lián)立方程組消去后的根的判別式及項的系數(shù)。4、焦點(diǎn)弦公式：橢圓方程為()，半焦距為，焦點(diǎn)、，設(shè)過的直線的傾斜角為，交橢圓于兩點(diǎn)、，求弦長。解：連結(jié)、，設(shè)、，由橢圓定義得、，由余弦定理得，整理可得，同理可求，則；同理可求焦點(diǎn)在軸上的過焦點(diǎn)弦長為(為長半軸，為短半軸，為半焦距)。結(jié)論：橢圓過焦點(diǎn)弦長公式：。5、橢圓的斜率公式：(1)過橢圓上()上一點(diǎn)的切線斜率為。(2)直線(不平行于軸)過橢圓()上兩點(diǎn)、，中點(diǎn)為，則。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓()上兩點(diǎn)、，中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。(3)若、是橢圓()上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)、的斜率和都存在時，有。證明：如圖：連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，∴有，由橢圓中點(diǎn)弦斜率公式得：，∴。(4)若、、、是橢圓()上的左、右、上、下頂點(diǎn)，是橢圓上除了、、、的任意一點(diǎn)，則，。(5)橢圓()與斜率為的直線相交于、兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為，則有。例1-8．已知橢圓()的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】且，根據(jù)定理有，即，故選C。例1-9．過橢圓內(nèi)的一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在的直線方程?！窘馕觥吭O(shè)弦所在的直線為，根據(jù)橢圓中點(diǎn)弦的斜率公式知，顯然，∴，故所求的直線方程為，即。例1-10．已知橢圓的焦點(diǎn)和，長軸長，設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)坐標(biāo)?！窘馕觥坑梢阎獥l件得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其中，，從而，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程是：，聯(lián)立方程組，消去得，。設(shè)、，線段的中點(diǎn)為，則，，∴，即線段中點(diǎn)坐標(biāo)為。二、雙曲線(一)雙曲線的基本定義和方程1、雙曲線的定義：把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)、的距離的差的絕對值等于常數(shù)()的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。2、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：定義方程標(biāo)準(zhǔn)方程(，)(，)一般方程()范圍，，圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)在軸上，焦點(diǎn)在軸上，對稱性對稱軸：軸、軸對稱中心：原點(diǎn)(這個對稱中心稱為雙曲線的中心)頂點(diǎn)、、、、、、實(shí)軸長(為實(shí)半軸)，虛軸長(為虛半軸)，焦距，漸近線(或)(或)離心率雙曲線的焦距與長軸長度的比：，，越大開口越大例2-1．已知點(diǎn)的坐標(biāo)滿足下列條件，試判斷下列各條件下點(diǎn)的軌跡是什么圖形？(1)；(2)?！窘馕觥?1)∵表示點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之差的絕對值，，∴，故點(diǎn)的軌跡是雙曲線。(2)∵表示點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之差，，∴，故點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支。例2-2．已知雙曲線，點(diǎn)、為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的值為?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?，，，，，，，，，，，。例2-3．過雙曲線的左焦點(diǎn)有一條弦交左支于、兩點(diǎn)，若，是雙曲線的右焦點(diǎn)，則的周長為?！敬鸢浮俊窘馕觥俊?，，，∴。例2-4．已知雙曲線的方程為，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為?！敬鸢浮俊窘馕觥拷裹c(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，則點(diǎn)到直線距離。或利用雙曲線漸近線性質(zhì)：焦點(diǎn)到漸近線距離為。例2-5．若雙曲線以橢圓的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且經(jīng)過橢圓的兩個焦點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為?！敬鸢浮俊窘馕觥繖E圓的焦點(diǎn)在軸上，且，，，∴焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)為，于是雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)為，則，，∴，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。例2-6．雙曲線：(，)的離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則的焦距為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∴，取，即，則，，∵焦點(diǎn)到漸近線的距離為，∴，即，解得，則焦距為，故選C。(二)雙曲線焦點(diǎn)三角形的幾個性質(zhì)設(shè)若雙曲線方程為(，)，、分別為它的左右焦點(diǎn)，為雙曲線上任意一點(diǎn)，則有：性質(zhì)1、若，則；特別地，當(dāng)時，有。證明：設(shè)，，由余弦定理得，，由雙曲線定義得，帶入得，，。性質(zhì)2、雙曲線焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓與相切于實(shí)軸頂點(diǎn)；且當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支時，切點(diǎn)為左頂點(diǎn)，且當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支時，切點(diǎn)為右頂點(diǎn)。證明：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)三角形的內(nèi)切圓且三邊、、于點(diǎn)、、，雙曲線的兩個頂點(diǎn)為、，則，∵，∴，∴在雙曲線上，又在上，∴在雙曲線與軸的交點(diǎn)，即點(diǎn)、。性質(zhì)3、雙曲線離心率為，其焦點(diǎn)的旁心為，線段的延長線交的延長線于點(diǎn)，則。證明：由角平分線性質(zhì)(三角形一個角的平分線，這個角平分線其對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例)得。性質(zhì)4、雙曲線的焦點(diǎn)中，，，當(dāng)點(diǎn)在雙曲線右支上時，有；當(dāng)點(diǎn)在雙曲線左支上時，有。證明：由正弦定理知，∴，∴，分子分母同除以，得，得。例2-7．設(shè)、分別為雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)使得，，則雙曲線的離心率為()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由于雙曲線有對稱性，則可設(shè)點(diǎn)在雙曲線右支上，則，而，兩式左右平方后相減得，得，∴該雙曲線的離心率，故選B。例2-8．已知、是雙曲線：的左、右兩個焦點(diǎn)，若雙曲線在第一象限上存在一點(diǎn)，使得，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則的值為()。A、B、C、D、【答案】C【解析】，，∴，，，，設(shè)點(diǎn)，，∴，，則，，∴，∴，故選C。(三)雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式性質(zhì)1、直線(不平行于軸)過雙曲線(，)上兩點(diǎn)、，其中中點(diǎn)為，則有。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。特殊的：直線(存在斜率)過橢圓(，)上兩點(diǎn)、，中點(diǎn)為，則。證明：設(shè)、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴。性質(zhì)2、若、是雙曲線(，)上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)、的斜率和都存在時，有。證明：連結(jié)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，∴有，由橢圓中點(diǎn)弦斜率公式得：，∴。性質(zhì)3、若、是雙曲線(，)上的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上除了、的任意一點(diǎn)，則。(四)雙曲線的弦長公式1、雙曲線的焦點(diǎn)弦長公式：設(shè)雙曲線(，)其中兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，過的直線的傾斜角為，交雙曲線于兩點(diǎn)、。則弦長為：焦點(diǎn)在軸上的焦點(diǎn)弦長：，焦點(diǎn)在軸上的焦點(diǎn)弦長：，其中為實(shí)半軸，為虛半軸，為半焦距，為的傾斜角。2、雙曲線的普通弦長公式：設(shè)直線：與雙曲線(，)交于、，且斜率為()，則：(韋達(dá)定理)。說明：與分別是直線與曲線方程聯(lián)立方程組消去后的根的判別式及項的系數(shù)。例2-9．已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求雙曲線的方程。【解析】設(shè)雙曲線的方程為(，)，由題意知，，設(shè)、則有：，，兩式作差得：，又的斜率是，∴，代入得，，，∴雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是。例2-10．已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使交雙曲線于、兩點(diǎn)且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，若存在這樣的直線，求出它的方程；若不存在，說明理由。【解析】若存在這樣的直線的斜率為，則，由雙曲線中點(diǎn)弦的斜率公式知：，此時的方程為：，即，將它代入雙曲線方程并化簡得：，而該方程沒有實(shí)數(shù)根，故這樣的直線不存在。三、拋物線1、拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)和一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線。2、拋物線的圖形和性質(zhì)：(1)頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段的中點(diǎn)；(2)焦準(zhǔn)距：；(3)通徑：過焦點(diǎn)垂直于軸的弦長為；(4)頂點(diǎn)平分焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段：。3、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：，，，。特點(diǎn)：焦點(diǎn)在一次項的軸上，開口與“”方向同向。4、拋物線的圖像和性質(zhì)：(1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是：；(2)準(zhǔn)線方程是：；(3)焦半徑公式：；(4)拋物線上的動點(diǎn)可設(shè)為或。5、一般情況歸納：方程圖象焦點(diǎn)準(zhǔn)線定義特征時開口向右到焦點(diǎn)的距離=到準(zhǔn)線的距離時開口向左時開口向上到焦點(diǎn)的距離=到準(zhǔn)線的距離時開口向下6、焦點(diǎn)弦的相關(guān)公式：直線經(jīng)過拋物線()的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，其中、。(1)焦點(diǎn)弦長公式：過焦點(diǎn)弦長。證明：；(2)以為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線相切。證法：設(shè)拋物線方程為()，則焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，設(shè)以過焦點(diǎn)的弦為直徑的圓的圓心，、、在準(zhǔn)線上的射影分別是、、，則，又，∴，即為以為直徑的圓的半徑，且準(zhǔn)線，∴命題成立。(3)，的值。證法一：設(shè)直線的方程為，與拋物線方程()聯(lián)立可得：，則，化簡得，則，又，且，則。證法二：設(shè)直線的方程為，與拋物線方程()聯(lián)立可得：，則，化簡得，則，又。(4)直線與直線必經(jīng)過原點(diǎn)。證法一：設(shè)：，代入，得，由韋達(dá)定理，得，即，∵軸，且在準(zhǔn)線上，∴，則，故直線經(jīng)過原點(diǎn)。證法二：如圖，記準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，過作，垂足為，則，連結(jié)交于點(diǎn)，則，，∵，，∴，即是的中點(diǎn)，從而點(diǎn)與點(diǎn)重合，故直線經(jīng)過原點(diǎn)。(5)，即。證明：，，∵、、三點(diǎn)共線，∴，∴，∴，∴，即。(6)。證明：、，，則，，則，∴。(7)。證明：。例3-1．斜率為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線相交于、兩點(diǎn)，求線段的長。【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線方程為，設(shè)、，則由拋物線焦點(diǎn)弦長公式得：，又、是拋物線與直線的交點(diǎn)，由得，則，∴。例3-2．正三角形的一個頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)在拋物線()上，求這個正三角形的邊長?！窘馕觥吭O(shè)正三角形的頂點(diǎn)、在拋物線上，且設(shè)點(diǎn)、，則，，又，∴，即，∴，又∵，，，∴，由此可得，即線段關(guān)于軸對稱，∵軸垂直于，且，∴，∵，∴，∴。例3-3．已知、是拋物線()上的兩點(diǎn)，滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))。求證：(1)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；(2)直線經(jīng)過一個定點(diǎn)。【解析】證明：(1)設(shè)、，則，，∴，∵，∴，由此即可解得：，(定值)。(2)直線的斜率，∴直線的方程為，即，由(1)可得，直線過定點(diǎn)。例3-4．定長為的線段的兩端點(diǎn)在拋物線上移動，設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，求點(diǎn)到軸的最小距離?！窘馕觥繏佄锞€焦點(diǎn)，準(zhǔn)線：，設(shè)點(diǎn)、、在準(zhǔn)線上的射影分別是、、，設(shè)點(diǎn)，則，又，，∴，∴，即的最小值是，∴點(diǎn)到軸的最小距離是，當(dāng)且僅當(dāng)過焦點(diǎn)是取得最小距離。例3-5．已知拋物線()，點(diǎn)，為焦點(diǎn)，若拋物線上的動點(diǎn)到、的距離之和的最小值為