云南省2024-2025學(xué)年高二年級上冊12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

云南省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知全集U=區(qū)，集合/={x|/-9<0},2={小>0},貝ij/c%3）=（）

A.(0,3)B.(-3,0)C.[-3,0)(-3,0]

2.若（2+i）z=5+5i,貝”在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）

A.第象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

同

3.已知sina-cosa=——，貝！Jsin2a的值為（）

3

1221

A.-B.——C.-D.——

3333

4.將一個(gè)上底為2,下底為5,高為2的直角梯形繞著直角腰旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體，則

該幾何體的體積為（）

A.52兀B.78兀C.26兀D.14兀

5.-3”是“直線辦+》-4=0與直線9%+即-12=0平行”的（）

A.充要條件B.必要不充分條件

C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知點(diǎn)4（1,0,0）,3（0,1,0）,C（0,0,l）,尸（3,2,1）,則三棱錐P—的體積是（）

A.-B.-C.D.—

2662

22

7.如圖，橢圓會+3=1（°>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，耳，以線段片耳為邊作等邊

三角形仍巴，△砌巴的兩邊他，利分別交該橢圓于48兩點(diǎn).若忸用=：班|,則該橢

O

圓的離心率為（）

;

試卷第1頁，共4頁

8.已知函數(shù)/（x）的定義域?yàn)镽,7（耳-4為奇函數(shù)，/（尤+4）為偶函數(shù)，則

/（1）+/（2）+/（3）+-+/（160）=（）

A.480B.320C.640D.1280

二、多選題

9.已知向量B滿足同=3,W=2,則下列結(jié)論正確的有（）

A.（2a+3可_L（2a-3可

B.若a.5=6，則al1b

c.￡在各方向上的投影向量為:（7?石

D.若|"+2'=后，則￡在I的夾角為g

10.若函數(shù)"力=3,+￡|（0>0）在上單調(diào)遞減，則0的值可能為（）

A.3B.9C.12D.15

22

H.已知雙曲線c：2-3_=i的左、右頂點(diǎn)分別為4，4，點(diǎn)坦加,"）（加>4,〃>o）是

雙曲線。上的點(diǎn)，直線〃4，92的傾斜角分別為4，%,則（）

A.雙曲線C的實(shí)軸長為16

9兀

B.當(dāng)tan3、=—時(shí)，0,=—

11624

C.4tan4+tana的最小值為3

D.當(dāng)4tanq+tanq取最小值時(shí)，△刈出的面積為16

三、填空題

12.拋物線x-」V=o的焦點(diǎn)坐標(biāo)為____,準(zhǔn)線方程為______.

16

13.小洪從某公司購進(jìn)6袋白糖，每袋白糖的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g,為了了解這些白糖的質(zhì)量

情況，稱出各袋白糖的質(zhì)量（單位：g）為495,500,500,495,510,500,則這6袋白糖

的平均質(zhì)量為g,這6袋白糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為g.

試卷第2頁，共4頁

14.在四棱柱N2CD-44C；。中，/4_1_平面480),AB1AD,AB=AD=2AAX=2,

AE=AABt,乖=〃葩，其中2e[0,l],〃e[0,1].若跖與底面/BCD所成角的正弦值為

在，貝心"的最大值是.

5

四、解答題

15.銳角V/3C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,4c,已知

sin5(l+2cosC)=2siiL4cosc+cos/sinC.

(i)求2的值;

a

(2)若。=2,Z\/3C的面積為巫，求c的值.

4

16.如圖，在直三棱柱N3C-44。中，AB=AC==2,AB1AC,D為線段2C的中點(diǎn).

(1)證明：0。，平面/穌0；

⑵求平面ABXD與平面4B?夾角的大小.

17.某場知識答題活動的參賽規(guī)則如下：在規(guī)定時(shí)間內(nèi)每位參賽選手對兩道不同的題作答，

每題只有一次作答機(jī)會，每道題是否答對相互獨(dú)立，每位選手作答的題均不相同.已知甲答

對第一道題的概率為P[O<P<；|,答對第二道題的概率為1-。；乙答對第一道題的概率為

答對第二道題的概率為:.甲、乙每次作答正確與否相互獨(dú)立.

32

3

⑴設(shè)。=7

①求甲答對一道題的概率；

②求甲、乙一共答對三道題的概率.

(2)求甲、乙一共答對三道題的概率的最小值.

18.在平面直角坐標(biāo)系無?！褐?，將點(diǎn)尸(尤,力繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角，利用公式

試卷第3頁，共4頁

x=xcosa-ysma/、3兀

,.可得到點(diǎn)現(xiàn)將雙曲線盯=2繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)可得到

[y=xsma+j^coscr4

雙曲線c.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)以雙曲線C的右頂點(diǎn)為圓心作半徑為1的圓M,直線/：3工+4?-3=0與圓”相交于A,B

兩點(diǎn)，求|/同；

⑶在(2)的條件下，H是圓N:(x+4y+V=4上的動點(diǎn)，求AHXB面積的取值范圍.

22

19.已知橢圓C:二+#=l(a>6>0)的焦距為4,點(diǎn)￡(2,3)在C上，直線/:y=丘+加(左H0)

與C交于M,N兩點(diǎn).

(1)求C的方程.

(2)若A=求的最大值.

⑶若點(diǎn)”與￡重合，過M作斜率與/互為相反數(shù)的直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為H,試

問直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案DACCABDCABDAB

題號11

答案BCD

1.D

【分析】先確定集合A,再根據(jù)集合的運(yùn)算法則計(jì)算.

【詳解】易得/={x|-3<x<3},28={x|xV0},

則4c國為=（-3,0].

故選：D.

2.A

【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.

【詳解】由題意得2=注1（5+5i）（2-i）10-5i+10i-5i2」5+5i_.

（2+i）（2-i）-4-i2'一~1

則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)（3,1）在第一象限.

故選：A.

3.C

【分析】將兩邊同時(shí)平方，再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系及二倍角公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閟ina-cosa,

3

兩邊同時(shí)平方得sin26Z-2sincosa+cos2a=-,

3

1?

所以l-sin2（z=§,所以sin2a=],

故選：C.

4.C

【分析】根據(jù)題意可得該幾何體是一個(gè)圓臺，利用圓臺的體積公式計(jì)算可得體積.

【詳解】由題意可知該幾何體是一個(gè)上底面半徑為2,下底面半徑為5,高為2的圓臺,

貝!]該幾何體的體積為;》（4兀+25兀+J4兀X25TI）X2=26TI.

故選：C.

5.A

答案第1頁，共12頁

【分析】先利用兩直線平行求出。的值，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.

【詳解】若直線ax+y-4=0與直線9x+即+12=0平行，貝1]/=9,解得“=3或一3,

當(dāng)。=3時(shí)，直線3x+y-4=0與直線9x+3y-12=0重合，不符合題意，舍去；

當(dāng)。=一3時(shí)，直線一3x+y—4=0與直線9x-3y-12=0平行，符合題意，

故力=-3”是“直線ax+y-4=0與直線9尤+即-12=0平行”的充要條件，

故選：A

6.B

【分析】由已知可得V/3C為等邊三角形，可得面積為心，利用點(diǎn)到面的距離公式可得點(diǎn)

2

P到平面N8C的距離，再由體積公式即可求解.

【詳解】易得益=(-1,1,0),配=(-1,0,1),SC=(O,-l,l),萬=(2,2,1),

則函=|祠=甌=也，

所以VN8C的面積S=￡x(也『=，，

設(shè)平面ABC的法向量為n=(x,y,z),

n?AB=-x+y=0/、

則五/=r+z=。'可取"="』）,

仍尢5

所以點(diǎn)P到平面ABC的距離d=\n\

則三棱錐IBC的體積是%日臉號

故選：B.

7.D

【分析】連接EB,先求出忸工再利用余弦定理求出忸叫，再根據(jù)橢圓的定義得出。，c的

關(guān)系，即可得解.

則此《網(wǎng)高可月令。=京，

【詳解】連接GB,2

ooo

得忸周二J忸閭2+閨閶2-2忸閭陽閶cos/9西

5717

4C2+—C2-2-2C-—c-cos—=—c

16434

答案第2頁，共12頁

57

由一CH—c=2a,得3C=2Q,

44

故該橢圓的離心率為￡=：

a3

故選：D.

8.C

【分析】利用已知函數(shù)的奇偶性，可推出周期性，再賦值求和即可得到答案.

【詳解】因?yàn)?(X)-4為奇函數(shù),所以〃-x)-4=-"(x)-4],且/⑼-4=0,

可得：/(x)+/(-x)=8,且/(0)=4,

義因?yàn)?(x+4)為偶函數(shù),所以〃x+4)=/(4-x),貝！)/(尤+8)=/(—力,

所以/(》)+/(尤+8)=8,/(x+8)+/(x+16)=8,所以〃x+16)=〃x),

則16是/(X)的一個(gè)周期.

因?yàn)椤?)+〃9)=8,/(2)+/(10)=8,/(3)+/(11)=8,/(4)+/(12)=8,

/(5)+/(13)=8,/(6)+/14=8,/(7)+/(15)=8,/⑻+"16)=8,

故〃1)+/(2)+…+〃160)=10[〃1)+/⑵+-+f(16)]=10x8x8=640.

故選：C.

9.ABD

【分析】利用向量的數(shù)量積定義式和數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算可依次判斷A,B,D,利用投影向量概

念和公式可判斷C.

【詳解】對于A,由(21+33)(2@-3日)=4?2-932=36-36=0可得(2〃+34_L(27-3彼)，

故A正確；

對于B,由展3=同可＜0$,￡=6,可得cos無不=1,

答案第3頁，共12頁

因042石工兀，則a,B=o,故￡〃人則B正確；

對于c,￡在各方向上的投影向量為萼石=」伍?研則C錯誤；

對于D,若歸+21=而,兩邊取平方，a2+4a-fe+4p=9+24cos5,fe+16H13,

解得cosa,b=――,因04,，4兀，故.與［的夾角為與則D正確.

故選：ABD.

10.AB

【分析】采用整體代換的方法，根據(jù)余弦函數(shù)單調(diào)性可構(gòu)造不等關(guān)系求得?？赡艿娜≈?

【詳解】當(dāng)xe(0，W］時(shí)，+唳0+?1,

V12J4(4124)

?.■/(X)在上單調(diào)遞減，:.^a>+^<7t,Xry>0,:.0<a)<9,

即。的值可能為3和9.

故選：AB.

11.BCD

【分析】對于選項(xiàng)A,由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程知a=4,很容易得出A選項(xiàng)錯誤；對于選項(xiàng)B,

997T

C,D,關(guān)鍵是求出tan4tan%為定值7.當(dāng)tan4=廠時(shí)，tanO2=l,又因?yàn)椤?￡(。二)，所

16162

以。2=2，可知B正確；由4tan^+tan02^2^/4tantan02=3,當(dāng)且僅當(dāng)4tanq=tan2,

〃

即二4^二n仁，即加=2今0，〃=4時(shí)，等號成立，可知C正確；又由C選項(xiàng)等號成立的條

m+4m-43

件可知，當(dāng)《tanq+tan為取最小值時(shí)，〃=4,從而求出△出出的面積為:'8x4=16,可

知D正確.

22

【詳解】由雙曲線方程知。=4,6=3,c—yja+b-5-

對于選項(xiàng)A,易得雙曲線C的實(shí)軸長為2a=2x4=8,故A錯誤；

對于選項(xiàng)B,.由題意知4(-4,0),4(4,0),

又由仁-乙=1,得"=2(/—16),

16916、)

nnn29

所以tan仇tan口=KHA^HA=~77=—2—77=77J

2m+4m-4m-1616

9irjr

當(dāng)tanq=7時(shí)，tan=1,又因?yàn)閊^(。，二)，所以。2=:，故B正確；

1624

答案第4頁，共12頁

對于選項(xiàng)C,D,由圖形得Re[o,貝Utanq>0,

又tanOptan%同號，所以tanq>0,tan02>0,

所以4tanOx+tan0222^/4tanOxtanO2=3,

〃

當(dāng)且僅當(dāng)4tanq=tan&,即二4^=；n,即皿=§20,〃=4時(shí)，等號成立,

m+4m-43

此時(shí)△”44的面積為gx8x4=16,故C,D正確.

故選：BCD

12.（4,0）x=T

【分析】將拋物線變形為/=16x,即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.

【詳解】拋物線=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為V=16x,

所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（4,0）,準(zhǔn)線方程為x=T.

故答案為：（4,0）；x=T.

13.5005

【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差公式求解.

【詳解】根據(jù)題意可得這6袋白糖的平均質(zhì)量為---------------------------=500（g）,

這6袋白糖質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)差為

/（495-500）*2+（500-500）2+（500-500）2+（495-500）2+（510-500）2+（500-500）2

V6

_/5+0+0+25+100+0_5僅）

故答案為：500；5.

14.--V2

2

【分析】利用空間向量法求直線與平面所成角的正弦值，再由基本不等式可求最大值.

【詳解】

答案第5頁，共12頁

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,所在直線分別為x,V,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，則2(0,0,0),4(0,0,1),A(2,0,1),￡>(0,2,0),

所以麴=(0,0,1),^4=(-2,0-1),45=(0,2,-1),

EA=A,BXA=(—2/,0,—2),4尸==(0,2〃,—〃)，

則定=或+9+章=(-242〃,-彳-〃+1).

由已知可得數(shù)=(0,0,1)是平面/3CD的一個(gè)法向量.

IJ7I-EF'AA'_|-2-/z+l|y[5

cosEF,AAy—.一11---―/—,

印卜4^412+4^2+(-2-^+1)25'

平方得：4(-4-H+1)2=4/1/+4〃2,整理得：24/+1=24+2〃.

因?yàn)?e[0,l],所以24〃+1=22+2〃24V

當(dāng)且僅當(dāng)彳=〃時(shí)，等號成立.

令1=屈,則不等式2彳〃+1=24+2〃與4/加可轉(zhuǎn)化為2r_務(wù)+120,

解得或，21+老(舍去)，

22

則

故2"的最大值為:-也.

2

故答案為：1-V2.

2

b1

15.(1)-=-

a2

⑵。=2

【分析】(1)利用三角函數(shù)的和差公式化簡得2sinS=sin^,再利用正弦定理的邊角變換即

可得解；

答案第6頁，共12頁

(2)利用(1)中結(jié)論與三角形面積公式求得sinC,進(jìn)而求得cos。，從而利用余弦定理即

可得解.

【詳解】(1)因?yàn)閟inS(l+2cosC)=2siib4cosc+cos/sinC,

所以sinB+2siriScosC=siivlcosC+sin(%+C),

又sin(Z+C)=sin(兀-8)=sinS,

所以2sin5cosc=sirt4cosc,

因?yàn)閂4BC為銳角三角形，所以cosC>0,則2sin^=siih4,

故由正弦定理得助=a,從而2=1.

a2

(2)由(1)可知，b=—a=l,

2

則VABC的面積S=—absinC=sinC=，

24

又cosC>0,則cosC=Vl-sin2C=—,

4

在V/BC中，由余弦定理得。2=/+〃—2。反0$。=4+1—2x2xlx」=4,

4

貝*Jc=2.

16.(1)證明見解析；

(2)巴

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可證明綜由線面垂

直判定定理即可得出證明；

(2)根據(jù)面面角的向量求法求得兩平面的法向量，即可得出結(jié)果.

【詳解】(1)由直三棱柱性質(zhì)以及可知，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，/伐4。,所在直線

分別為％軸，>軸，2軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

zk

A\C\

5

5

4

答案第7頁，共12頁

又AB=AC=y[2AAx=2可得AA{=V2

則/(0,0,0),以(2,0,西),G(0,2,6DQ,l,0),

所以甲=（1,T-拒），福=（2,0,也誦5=?1,0）,

CD-AB.=1x2+0-72xV2=0

可得」_____!即*_1_布?xì)1而；

ClD-AD=l-l+O=O

所以G。_LNg】,GO_L，又AB\CAD=A,4Bi,ADu平面ABXD,

可得G。，平面4BQ

（2）易知函=（2,0,后），為=（0,2,逝）,

設(shè)平面44G的一個(gè)法向量為）=（x,y,z）,

■n=2x+y/lz=0_.

則L,令Z=-'Ji，解得X=l/=1,

-ri=2y+>/2z=0

即萬=（1,1,一行）；

由（1）可知品5=（1,-1,-亞）為平面/"D的一個(gè)法向量,

/—.「[

所以cos,,空）=麗"D本萬1-1不+2甘1又…)"],

可得G，c邛

7T

所以平面ABQ與平面4B?夾角的大小為y.

529

17.(1)?-?-

⑵工

724

【分析】（1）設(shè)出事件，①根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式運(yùn)算求解；②分析可知c=4與+44,

結(jié)合獨(dú)立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法運(yùn)算求解;

（2）由已知。=4當(dāng)+44，整理得尸。）=?271

+—,即可得當(dāng)夕=7時(shí)，概率最小，

242

求解可得.

答案第8頁，共12頁

33115

【詳解】（1）①設(shè)“甲答對一道題”為事件4,貝1尸4）=TX=+：X：=3,

744448

則甲答對一道題的概率為，；

O

②設(shè)“甲答對兩道題”為事件4,“乙答對一道題”為事件用，

“乙答對兩道題”為事件當(dāng)，“甲、乙一共答對三道題”為事件C,

313

則尸（4）=丁丁正，

P（51）=-x-+-xl=-,

'"32322

P（B）=-X-=-,

v27323

尸（0=尸⑷尸（四）+尸（4）尸（旦）=沼+制；噎

故甲、乙一共答對三道題的概率為三29；

96

2

（2）由題知尸（4）=p2+（l_pJ=2p2_2p+],P（A2）=p^l-p）=p-p,

設(shè)“甲、乙一共答對三道題”為事件。,

則尸（D）=尸（4）尸（。）+尸（4）尸（反）

=（2加-2p+l）xg+（21111

P-Px—=—p2——P+—

2663

17

當(dāng)P=5時(shí)，甲、乙一共答對三道題的概率最小，且最小值為點(diǎn).

此⑴2=1

「4」

⑶仁，4

4

【分析】（1）根據(jù)新定義，設(shè)曲線刈=2上任意一點(diǎn)（x,y）繞原點(diǎn)。按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)冷7r后的坐

標(biāo)為（尤',力，列式運(yùn)算得解；

（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，求得弦長；

（3）根據(jù)題意，A/MB的面積范圍，即求點(diǎn)H到直線/的距離范圍，利用圓的性質(zhì)求解.

答案第9頁，共12頁

【詳解】(1)設(shè)曲線孫=2上任意一點(diǎn)(尤/)繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4學(xué)7r后的坐標(biāo)為(兄/),

;爭

里

37-1-X

x'=xcos4_ysm4<

即

爭(-

則V里

3741-(--

y=xsin+ycos4ly

、

得(x'『一(/)2=2xy=4,則”一(2±=i，

44

所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工-片=1.

44

(2)由(1),可得圓心M(2,0)到直線/的距離4=展1=g,則|/引=2)1_]||=|.

/、_|3x(-4)+4x0-3|

(3)圓心N(-4,0)到直線/的距離/——U3,

<9+16

點(diǎn)H到直線/距離的最大值為3+2=5,最小值為3-2=1,

1O1OA

所以△"45面積的最大值為7；X5x==4,最小值為7乂1*二==.

25255

(2)2715

(3)存在，1

【分析】(1)利用橢圓的定義和E點(diǎn)坐標(biāo)列方程組求解即可；

(2)依題意可得直線/的方程為y=+設(shè)W(x”%)，N(%,%),將直線方程與橢圓

方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入弦長公式|MV|=F[義卜「Xzl，化簡即可求得最大值；

(3)根據(jù)題意可得直線/的方程為了=丘-2左+3,直線廠的方程為了=-履+2左+3,分別與

橢圓方程聯(lián)立，解出N,"點(diǎn)的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.

答案第10頁，共12頁

4=4,

【詳解】（1）依題意可得2c=4,解得＜

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